Calcul de la Tolérance Totale (T)

1. Calcul de l’Erreur Quadratique Moyenne (EQM)

Supposons que vous mesurez la même distance plusieurs fois et que vos résultats varient légèrement : certaines mesures sont un peu plus grandes, d’autres un peu plus petites que la valeur réelle. L’EQM (ou "écart-type" simplifié) permet de représenter, avec un seul nombre, à quel point ces mesures s’éloignent en moyenne de la valeur vraie. Pour cela :

1. On élève chaque erreur au carré pour que toutes les valeurs soient positives et pour donner plus de poids aux grandes erreurs.
2. On fait la moyenne de ces carrés pour obtenir une valeur moyenne de l’erreur « au carré ».
3. On prend la racine carrée de cette moyenne pour revenir à l’unité de mesure initiale (ici, le mètre).

Grâce à ce procédé, on obtient une estimation fiable de la dispersion de vos mesures.

Formule

\[ \mathrm{EQM} = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} e_i^2 } \]

Données utilisées

• N = 15 : nombre total de mesures réalisées.
• e_i = E = 0,05 m : hypothèse que chaque mesure peut avoir une erreur maximale de 0,05 m.

Étapes de calcul pas à pas

Pour comprendre chaque étape, considérons d’abord une seule mesure :

• Erreur au carré :
  \[(0,05\,\mathrm{m})^2 = 0,0025\,\mathrm{m}^2\]
• Somme des carrés (15 mesures identiques) :
  \[15 \times 0,0025\,\mathrm{m}^2 = 0,0375\,\mathrm{m}^2\]
• Moyenne des carrés :
  \[\frac{0,0375\,\mathrm{m}^2}{15} = 0,0025\,\mathrm{m}^2\]
• Racine carrée :
  \[\sqrt{0,0025\,\mathrm{m}^2} = 0,05\,\mathrm{m}\]

Réponse à la question 1 :

\[\mathrm{EQM} = 0,05\,\mathrm{m}\]

2. Détermination de la Tolérance Totale (T)

Imaginez que chaque mesure apporte un petit "défaut" de position. Si vous réalisez plusieurs mesures, ces petites erreurs peuvent s’additionner et produire un écart plus important. Pour limiter cet écart total et s’assurer qu’il reste dans des limites acceptables à 95 % de chances, on procède en deux étapes :

1. On calcule d’abord l’écart‑type cumulatif des erreurs en multipliant l’EQM par √N. Cela donne une idée de l’erreur "globale" si l’on regroupe les N mesures.
2. On multiplie ensuite ce résultat par un facteur de sécurité k (k = 2 pour 95 % de confiance). Ce facteur élargit la marge pour couvrir la plupart des cas.

Formule

\[ T = k \times ( \mathrm{EQM} \times \sqrt{N} ) \]

Données utilisées

• k = 2 : coefficient correspondant à un niveau de confiance d’environ 95 %.
• EQM = 0,05 m : résultat du calcul précédent.
• N = 15 : nombre total de mesures.

2.4 Étapes de calcul pas à pas

1. Écart‑type cumulatif :
\[\mathrm{EQM} \times \sqrt{N} = 0,05\,\mathrm{m} \times \sqrt{15} \] \[ \approx 0,05\,\mathrm{m} \times 3,87 \] \[ = 0,1935\,\mathrm{m}\]
2. Application du coefficient k :
\[ T = 2 \times 0,1935\,\mathrm{m} \] \[ T = 0,387\,\mathrm{m} \]
3. Résultat final arrondi :
\[ T \approx 0,387\,\mathrm{m} \]

Réponse à la question 2 :

\[ T \approx 0,387\,\mathrm{m} \]

Synthèse finalisée

Pour résumer :

• EQM (dispersion moyenne des erreurs) : 0,05 m
• Tolérance Totale (T) pour 95 % de confiance : 0,387 m