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Calcul de la surface d’un terrain irrégulier

Calcul de la surface d’un terrain irrégulier

Calcul de la surface d’un terrain irrégulier

Contexte : La TopographieLa science qui permet la mesure puis la représentation sur un plan ou une carte des formes et détails visibles sur le terrain. est essentielle pour tout projet d'aménagement.

Un géomètre-topographe a été mandaté pour déterminer la surface exacte, ou contenanceTerme technique et juridique désignant la superficie d'une parcelle de terrain., d'une parcelle de terrain non constructible. Pour ce faire, il a effectué un levé topographique et a déterminé les coordonnées cartésiennesUn système de coordonnées à deux (X, Y) ou trois (X, Y, Z) dimensions permettant de localiser un point dans un plan ou l'espace. de chaque sommet délimitant la parcelle. Cet exercice vous guidera à travers la méthode de calcul de surface la plus utilisée par les professionnels du secteur.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la surface d'un polygone quelconque à partir des coordonnées de ses sommets, une compétence fondamentale en topographie, en ingénierie civile et en urbanisme.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et appliquer la méthode de calcul de surface par coordonnées (formule des lacets).
  • Calculer le périmètre d'un polygone irrégulier à partir des coordonnées.
  • Maîtriser les conversions entre les unités de surface métriques et agraires (hectare, are, centiare).
  • Analyser l'impact de la modification des coordonnées d'un point sur la surface totale.

Données de l'étude

Le levé topographique a permis de définir la parcelle par 5 sommets, notés de A à E. Les coordonnées sont exprimées en mètres dans un système de projection local.

Fiche Technique du Levé
Caractéristique Valeur
Lieu de la mission Commune de "Val-Fleuri" (Fictif)
Opérateur Cabinet GEOTEX (Fictif)
Date du levé 15/06/2024
Plan de la Parcelle Polygonale
A B C D E
Sommet Coordonnée X (m) Coordonnée Y (m)
A 125.45 310.80
B 210.60 335.50
C 295.15 250.25
D 250.90 180.40
E 160.70 215.95

Questions à traiter

  1. Calculer la surface (contenance) de la parcelle ABCDE en mètres carrés (m²).
  2. Calculer le périmètre de la parcelle.
  3. Suite à une rectification, le sommet C est déplacé au point C' de coordonnées (300.00 ; 255.00). Calculer la nouvelle surface de la parcelle ABC'DE.
  4. Exprimer la surface initiale calculée à la question 1 en unités agraires : hectares (ha), ares (a) et centiares (ca).
  5. Pour vérifier le calcul, le géomètre a également calculé la surface du triangle ADE. Calculez cette surface.

Les bases de la Topométrie

Pour résoudre cet exercice, deux formules mathématiques fondamentales issues de la géométrie analytique sont nécessaires.

1. Calcul de Surface par Coordonnées (Formule des Lacets)
La surface d'un polygone dont les sommets sont connus par leurs coordonnées cartésiennes \( (X_i, Y_i) \) peut être calculée avec la formule suivante, souvent appelée "formule des lacets" ou "formule de Gauss". \[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i) \right| \] Où 'n' est le nombre de sommets du polygone, et les coordonnées du sommet n+1 sont celles du premier sommet : \( (X_{n+1}, Y_{n+1}) = (X_1, Y_1) \).

2. Calcul de Distance entre deux Points
La distance entre deux points A et B dans un repère orthonormé est calculée en utilisant le théorème de Pythagore. \[ D_{AB} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} \] Le périmètre du polygone est la somme des longueurs de tous ses côtés.

Correction : Calcul de la surface d’un terrain irrégulier

Question 1 : Calculer la surface de la parcelle ABCDE en m².

Principe

Le concept physique ici est de décomposer une surface complexe (un polygone irrégulier) en une somme algébrique de surfaces de trapèzes formés par les sommets et l'axe des abscisses. La formule des lacets est une méthode élégante pour réaliser cette sommation de manière systématique.

Mini-Cours

La formule des lacets (ou formule de Gauss) est un algorithme qui tire son nom de la méthode de calcul croisé ressemblant à des lacets de chaussure. Elle fonctionne pour tout polygone simple (qui ne se croise pas lui-même). Le résultat est positif si les points sont listés dans le sens anti-horaire, et négatif dans le sens horaire. La valeur absolue garantit une surface toujours positive.

Remarque Pédagogique

Pour éviter les erreurs de calcul, la meilleure approche est de construire un tableau. Listez les coordonnées X et Y dans deux colonnes, en répétant le premier point à la fin. Calculez ensuite les produits descendants (\(X_i \times Y_{i+1}\)) et les produits montants (\(Y_i \times X_{i+1}\)) séparément avant de faire la différence.

Normes

Il n'y a pas de "norme" de construction ici, mais cette méthode de calcul est universellement reconnue en mathématiques (géométrie analytique) et est la base de tous les logiciels de topographie et de Conception Assistée par Ordinateur (CAO) pour le calcul des surfaces.

Formule(s)

L'outil mathématique est la formule des lacets :

\[ S = \frac{1}{2} | (X_A Y_B + X_B Y_C + ... + X_E Y_A) - (Y_A X_B + Y_B X_C + ... + Y_E X_A) | \]
Hypothèses

Le calcul est valide sous les hypothèses suivantes :

  • Les points sont coplanaires (tous sur le même plan horizontal).
  • Les coordonnées sont exprimées dans un repère orthonormé direct.
  • Le polygone est "simple", c'est-à-dire que ses arêtes ne se croisent pas.
Donnée(s)

Les chiffres d'entrée sont les coordonnées des sommets de la parcelle.

SommetX (m)Y (m)
A125.45310.80
B210.60335.50
C295.15250.25
D250.90180.40
E160.70215.95
Astuces

Pour aller plus vite, si vous avez beaucoup de points, vous pouvez centrer les coordonnées autour de leur moyenne (calculer les \(X' = X - X_{\text{moyen}}\) et \(Y' = Y - Y_{\text{moyen}}\)). Cela réduit la taille des nombres à manipuler et diminue le risque d'erreurs de calcul, sans changer le résultat final de la surface.

Schéma (Avant les calculs)

Visualiser la parcelle permet de vérifier la cohérence de l'ordre des points et d'anticiper la forme générale.

Plan de la Parcelle Polygonale
ABCDE
Calcul(s)

L'application numérique se fait via le tableau des produits croisés.

i\(X_i\)\(Y_i\)\(X_{i+1}\)\(Y_{i+1}\)\(X_i Y_{i+1}\)\(Y_i X_{i+1}\)
A125.45310.80210.60335.5042086.97565454.48
B210.60335.50295.15250.2552702.6599026.825
C295.15250.25250.90180.4053245.0662787.5375
D250.90180.40160.70215.9554181.85529000.68
E160.70215.95125.45310.8050001.6627088.0275
Total252218.2283357.55
\[ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} | 252218.2 - 283357.55 | \\ &= \frac{1}{2} | -31139.35 | \\ &= \frac{1}{2} \times 31139.35 \\ &\Rightarrow S = 15569.675 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Parcelle avec Surface Calculée
ABCDES = 15569.68 m²
Réflexions

Le résultat de 15 569.68 m² correspond à environ 1.5 hectare. C'est une surface conséquente pour une parcelle, ce qui est cohérent avec un terrain non constructible en milieu rural ou péri-urbain. L'ordre de grandeur semble plausible.

Points de vigilance

La plus grande source d'erreur est la saisie des données et les erreurs de calcul. Une seule inversion de chiffre peut modifier significativement le résultat. Il est crucial de bien "fermer" le polygone en réutilisant les coordonnées du premier point à la fin du calcul.

Points à retenir
  • La surface d'un polygone dépend uniquement des coordonnées de ses sommets.
  • La méthode des lacets est systématique et facilement programmable.
  • L'ordre des points est crucial (horaire ou anti-horaire), mais la valeur absolue corrige une éventuelle inversion.
Le saviez-vous ?

La formule est attribuée à Carl Friedrich Gauss (1795) et est également connue sous le nom de "Shoelace formula" (formule du lacet de chaussure) en anglais à cause du motif croisé que l'on peut dessiner en reliant les coordonnées à multiplier. Elle est une application directe du théorème de Green en mathématiques supérieures.

FAQ
Que se passe-t-il si j'oublie de répéter le premier point à la fin ?

Le calcul sera incorrect car vous omettrez les produits croisés entre le dernier et le premier sommet (le segment EA dans notre cas), ce qui revient à calculer la surface d'une ligne brisée non fermée.

Résultat Final
La surface de la parcelle ABCDE est de 15 569.68 m².
A vous de jouer

Pour vérifier votre compréhension, que deviendrait la surface si le point A avait pour coordonnée X = 130.00 m au lieu de 125.45 m ?

Question 2 : Calculer le périmètre de la parcelle.

Principe

Le concept physique est simple : le périmètre est la longueur totale de la "frontière" de la parcelle. Pour le calculer, on mesure la longueur de chaque segment de droite qui compose cette frontière et on les additionne.

Mini-Cours

La distance entre deux points dans un plan euclidien est une application directe du théorème de Pythagore. Le segment reliant les deux points devient l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés adjacents sont les différences de coordonnées \(\Delta X = |X_B - X_A|\) et \(\Delta Y = |Y_B - Y_A|\).

Remarque Pédagogique

Calculez chaque longueur de segment séparément et notez-la. Cela évite de se perdre dans une seule longue formule. Une fois toutes les longueurs obtenues, faites la somme finale. C'est une méthode plus sûre et plus facile à vérifier.

Normes

Comme pour la surface, il s'agit d'une application fondamentale de la géométrie euclidienne, la base de la topométrie. Il n'y a pas de norme réglementaire pour le calcul lui-même, mais la précision requise pour les coordonnées initiales est, elle, normée.

Formule(s)

L'outil mathématique est la formule de la distance euclidienne, appliquée à chaque segment.

\[ D_{AB} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} \]
\[ P = D_{AB} + D_{BC} + D_{CD} + D_{DE} + D_{EA} \]
Hypothèses

On suppose que le terrain est plat entre chaque sommet (on mesure des distances horizontales) et que l'on travaille dans un repère orthonormé où le théorème de Pythagore s'applique.

Donnée(s)

Les chiffres d'entrée sont les coordonnées des sommets de la parcelle.

SommetX (m)Y (m)
A125.45310.80
B210.60335.50
C295.15250.25
D250.90180.40
E160.70215.95
Astuces

Utilisez la fonction "carré" (x²) de votre calculatrice pour les différences de coordonnées, puis la fonction "racine carrée" (√). Faites attention à ne pas oublier de mettre au carré les différences avant de les sommer sous la racine.

Schéma (Avant les calculs)

Le même plan de parcelle est utilisé. Le périmètre correspond à la longueur totale du trait de contour vert.

Plan de la Parcelle Polygonale
ABCDE
Calcul(s)

Nous calculons la longueur de chaque segment :

\[ \begin{aligned} D_{AB} &= \sqrt{(210.60 - 125.45)^2 + (335.50 - 310.80)^2} \\ &= \sqrt{85.15^2 + 24.7^2} \\ &= \sqrt{7250.52 + 610.09} \\ &= \sqrt{7860.61} \\ &\Rightarrow D_{AB} = 88.66 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D_{BC} &= \sqrt{(295.15 - 210.60)^2 + (250.25 - 335.50)^2} \\ &= \sqrt{84.55^2 + (-85.25)^2} \\ &= \sqrt{7148.70 + 7267.56} \\ &= \sqrt{14416.26} \\ &\Rightarrow D_{BC} = 120.07 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D_{CD} &= \sqrt{(250.90 - 295.15)^2 + (180.40 - 250.25)^2} \\ &= \sqrt{(-44.25)^2 + (-69.85)^2} \\ &= \sqrt{1958.06 + 4879.02} \\ &= \sqrt{6837.08} \\ &\Rightarrow D_{CD} = 82.69 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D_{DE} &= \sqrt{(160.70 - 250.90)^2 + (215.95 - 180.40)^2} \\ &= \sqrt{(-90.2)^2 + 35.55^2} \\ &= \sqrt{8136.04 + 1263.80} \\ &= \sqrt{9399.84} \\ &\Rightarrow D_{DE} = 96.95 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} D_{EA} &= \sqrt{(125.45 - 160.70)^2 + (310.80 - 215.95)^2} \\ &= \sqrt{(-35.25)^2 + 94.85^2} \\ &= \sqrt{1242.56 + 8996.52} \\ &= \sqrt{10239.08} \\ &\Rightarrow D_{EA} = 101.19 \text{ m} \end{aligned} \]

Somme des longueurs :

\[ \begin{aligned} P &= D_{AB} + D_{BC} + D_{CD} + D_{DE} + D_{EA} \\ &= 88.66 + 120.07 + 82.69 + 96.95 + 101.19 \\ &\Rightarrow P = 489.56 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Parcelle avec Longueurs des Côtés
ABCDE88.66 m120.07 m82.69 m96.95 m101.19 m
Réflexions

Un périmètre de près de 490 mètres pour une surface de 1.5 hectare est cohérent. Cela indique une forme de parcelle assez compacte, sans frontières excessivement longues ou découpées.

Points de vigilance

Attention à ne pas mélanger les coordonnées (X avec Y) et à bien appliquer le carré sur la différence totale (y compris le signe). Une erreur fréquente est de faire \( (X_B^2 - X_A^2) \) au lieu de \( (X_B - X_A)^2 \).

Points à retenir
  • Le périmètre est une somme de distances.
  • Chaque distance est calculée via le théorème de Pythagore appliqué aux coordonnées.
  • Le périmètre est exprimé en unités de longueur (m), contrairement à la surface (m²).
Le saviez-vous ?

En topographie, on distingue la distance horizontale (calculée ici) de la distance suivant la pente du terrain. Les surfaces officielles (cadastrales) sont toujours des surfaces projetées à l'horizontale, comme si le terrain était plat.

FAQ
Pourquoi ne pas simplement mesurer sur le terrain avec un ruban ?

Mesurer manuellement sur de longues distances est imprécis, difficile en terrain accidenté, et ne garantit pas l'horizontalité. Le calcul par coordonnées issues d'un levé par station totale ou GPS est infiniment plus précis et fiable.

Résultat Final
Le périmètre de la parcelle est de 489.56 m.
A vous de jouer

Si le segment DE mesurait exactement 100 m, quel serait le nouveau périmètre total ?

Question 3 : Calculer la nouvelle surface avec C' (300.00 ; 255.00).

Principe

Le concept est de voir l'impact d'une modification locale (un seul point bouge) sur une propriété globale (la surface totale). La méthode de calcul reste la même, mais les données d'entrée sont mises à jour.

Mini-Cours

Modifier les coordonnées d'un seul sommet affecte les produits croisés de ses deux voisins. Dans le tableau des lacets, seules les lignes correspondant aux segments qui se connectent au point modifié (ici, les segments BC et CD) verront leurs calculs de produits croisés altérés.

Remarque Pédagogique

Ne recalculez pas tout ! Reprenez le tableau de la question 1 et ne modifiez que les lignes impactées (la ligne du point B, car son successeur C change, et la ligne du point C lui-même). C'est beaucoup plus rapide et moins sujet aux erreurs.

Normes

La procédure de modification de coordonnées et de recalcul est une pratique standard dans les métiers de la topographie, notamment lors des bornages contradictoires ou des rectifications de limites de propriété.

Formule(s)

L'outil mathématique est la formule des lacets, appliquée à la nouvelle géométrie ABC'DE :

\[ S' = \frac{1}{2} | (X_A Y_B + X_B Y_{C'} + X_{C'} Y_D + X_D Y_E + X_E Y_A) - (Y_A X_B + Y_B X_{C'} + Y_{C'} X_D + Y_D X_E + Y_E X_A) | \]
Hypothèses

Le calcul est valide sous les hypothèses suivantes :

  • Les points sont coplanaires (tous sur le même plan horizontal).
  • Les coordonnées sont exprimées dans un repère orthonormé direct.
  • Le polygone est "simple", c'est-à-dire que ses arêtes ne se croisent pas.
Donnée(s)

Les coordonnées initiales sont conservées, sauf pour le point C qui est remplacé par C'.

SommetX (m)Y (m)
A125.45310.80
B210.60335.50
C'300.00255.00
D250.90180.40
E160.70215.95
Astuces

Avant de calculer, essayez de deviner si la surface va augmenter ou diminuer en regardant le schéma. Le point C' est déplacé vers le nord-est. Cela devrait logiquement augmenter la surface de la parcelle.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du Déplacement du Sommet C
CC'
Calcul(s)

Nous recalculons uniquement les produits croisés affectés :

Ligne B (modifiée) :

\[ X_B Y_{C'} = 210.60 \times 255.00 = 53703.00 \]
\[ Y_B X_{C'} = 335.50 \times 300.00 = 100650.00 \]

Ligne C (modifiée) :

\[ X_{C'} Y_D = 300.00 \times 180.40 = 54120.00 \]
\[ Y_{C'} X_D = 255.00 \times 250.90 = 63979.50 \]

Nouvelles sommes :

\[ \sum X_i Y_{i+1} = 42086.975 (\text{A}) + 53703.00 (\text{B}) + 54120.00 (\text{C'}) + 54181.855 (\text{D}) + 50001.66 (\text{E}) = 254093.49 \]
\[ \sum Y_i X_{i+1} = 65454.48 (\text{A}) + 100650.00 (\text{B}) + 63979.50 (\text{C'}) + 29000.68 (\text{D}) + 27088.0275 (\text{E}) = 286172.6875 \]

Nouvelle surface :

\[ \begin{aligned} S' &= \frac{1}{2} | 254093.49 - 286172.6875 | \\ &= \frac{1}{2} | -32079.1975 | \\ &= 16039.59875 \\ &\Rightarrow S' = 16039.60 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Parcelles
CC'Nouvelle Surface = 16039.60 m²
Réflexions

La surface a augmenté de \(16039.60 - 15569.68 = 469.92 \text{ m}^2\). Ce changement, bien que semblant mineur sur le plan, a un impact significatif sur la contenance totale, ce qui souligne l'importance de la précision des levés topographiques.

Points de vigilance

Veillez à bien remplacer TOUTES les occurrences des anciennes coordonnées de C par les nouvelles dans les calculs des produits croisés. Oublier une seule substitution faussera le résultat.

Points à retenir
  • Une modification locale des coordonnées a un impact global sur la surface.
  • La méthode de recalcul partiel est efficace pour minimiser les erreurs.
Le saviez-vous ?

Les litiges fonciers concernant les limites de propriété sont courants. Une différence de quelques centimètres sur la position d'une borne, recalculée par un géomètre-expert, peut représenter des milliers d'euros de valeur foncière.

FAQ
Pourquoi la surface change-t-elle autant ?

La surface est sensible aux changements de coordonnées car elle est calculée à partir de produits de grandes valeurs (les coordonnées elles-mêmes). Un petit déplacement d'un sommet peut étirer ou rétrécir de manière significative les triangles virtuels qui composent le polygone.

Résultat Final
La nouvelle surface de la parcelle ABC'DE est de 16 039.60 m².
A vous de jouer

Si C' avait les coordonnées (290.00, 250.00), quelle serait la nouvelle surface ?

Question 4 : Exprimer la surface initiale en hectares, ares et centiares.

Principe

Le concept est celui de la conversion d'unités. Il s'agit de traduire une mesure exprimée dans une unité de base (le mètre carré) en unités dérivées plus pratiques pour un usage spécifique (l'agriculture, l'immobilier).

Mini-Cours

Les unités agraires sont basées sur le système métrique. L'unité centrale est l'**are**, qui correspond à un carré de 10 mètres de côté, soit 100 m². L'**hectare** (de "hecto-are") vaut 100 ares, soit 10 000 m². Le **centiare** (de "centi-are") vaut un centième d'are, soit 1 m².

Remarque Pédagogique

Pour convertir des m² en ha-a-ca, lisez le nombre de m² comme suit : le chiffre des dizaines de milliers et plus donne les hectares. Les deux chiffres suivants (centaines et milliers) donnent les ares. Les chiffres restants (unités et décimales) donnent les centiares.

Normes

L'utilisation de l'hectare, de l'are et du centiare est standardisée et légale pour les transactions foncières et les documents cadastraux en France et dans de nombreux autres pays utilisant le système métrique.

Formule(s)

Les formules sont des règles de conversion simples :

\[ \text{Surface (ha)} = \frac{\text{Surface (m}^2)}{10000} \]
\[ \text{Surface (a)} = \frac{\text{Surface (m}^2)}{100} \]
\[ \text{Surface (ca)} = \text{Surface (m}^2) \]
Hypothèses

Aucune hypothèse supplémentaire n'est nécessaire, il s'agit d'une simple conversion mathématique.

Donnée(s)

La donnée d'entrée est le résultat de la question 1 : \(S = 15 569.68 \text{ m}^2\).

Astuces

Pensez à un grand nombre comme 15569.68. Placez une virgule après le premier chiffre pour les hectares (1,5569 ha), après le troisième pour les ares (155,69 a), et le nombre tel quel pour les centiares (15569,68 ca).

Schéma (Avant les calculs)

Pas de schéma applicable pour une conversion d'unités.

Calcul(s)

Nous décomposons le nombre 15 569.68 :

\[ 15569.68 \text{ m}^2 = 1 \times 10000 \text{ m}^2 + 55 \times 100 \text{ m}^2 + 69.68 \times 1 \text{ m}^2 \]

Cette décomposition se traduit directement en :

  • 1 hectare (pour le bloc de 10 000 m²)
  • 55 ares (pour le bloc de 5 500 m²)
  • 69.68 centiares (pour le reste)
Schéma (Après les calculs)

Non applicable.

Réflexions

Exprimer la surface en ha-a-ca est beaucoup plus parlant pour un professionnel de l'immobilier ou un agriculteur que de parler de milliers de mètres carrés. Cela donne une échelle de grandeur immédiatement compréhensible.

Points de vigilance

Ne vous trompez pas dans les facteurs de conversion. Une erreur commune est de penser qu'il y a 1000 m² dans un hectare, ce qui est faux (c'est 10 000). Pensez à un carré de 100m x 100m.

Points à retenir
  • 1 ha = 100 a = 10 000 ca = 10 000 m².
  • La conversion est une simple lecture du nombre de m² par tranches de deux chiffres à partir de la droite.
Le saviez-vous ?

L'unité "are" a été créée pendant la Révolution Française, en 1795, en même temps que le reste du système métrique, pour unifier les mesures agraires qui variaient énormément d'une région à l'autre (arpent, journal, etc.).

FAQ
Utilise-t-on encore les centiares ?

Oui, le centiare est l'unité de base pour les documents cadastraux. La surface d'une parcelle est toujours donnée en m² (donc en centiares) sur les plans et les actes notariés pour une précision maximale.

Résultat Final
La contenance de la parcelle est de 1 hectare, 55 ares et 70 centiares (arrondi).
A vous de jouer

Comment écririez-vous une surface de 8452 m² en ha-a-ca ?

Question 5 : Calculer la surface du triangle ADE.

Principe

Le concept est celui de la décomposition de forme. Un polygone complexe peut toujours être décomposé en une série de triangles. Calculer la surface d'un de ces triangles est une étape qui peut servir à vérifier ou à décomposer un calcul plus grand.

Mini-Cours

La formule des lacets est universelle pour tout polygone simple, y compris le plus simple d'entre eux : le triangle. L'appliquer à seulement 3 points (en n'oubliant pas de boucler avec le premier) donne directement la surface de ce triangle.

Remarque Pédagogique

Cette question montre que la méthode est modulaire. Vous n'avez pas besoin d'une formule différente pour un triangle ou un pentagone. C'est la même logique, appliquée à un nombre différent de points. C'est une excellente façon de vérifier une partie de vos calculs.

Normes

Non applicable.

Formule(s)

On applique la formule des lacets aux 3 sommets A, D, E.

\[ S_{\text{ADE}} = \frac{1}{2} | (X_A Y_D + X_D Y_E + X_E Y_A) - (Y_A X_D + Y_D X_E + Y_E X_A) | \]
Hypothèses

Le calcul est valide sous les hypothèses suivantes :

  • Les points sont coplanaires (tous sur le même plan horizontal).
  • Les coordonnées sont exprimées dans un repère orthonormé direct.
  • Le polygone est "simple", c'est-à-dire que ses arêtes ne se croisent pas.
Donnée(s)

On n'utilise que les coordonnées des points A, D, et E.

SommetX (m)Y (m)
A125.45310.80
D250.90180.40
E160.70215.95
Astuces

Puisqu'il n'y a que 3 points, vous pouvez presque faire le calcul de tête ou sur un coin de feuille sans tableau complet, mais le tableau reste la méthode la plus sûre.

Schéma (Avant les calculs)

On peut surligner le triangle ADE sur le schéma général pour bien l'isoler visuellement.

Isolation du Triangle ADE
ABCDE
Calcul(s)

On construit le tableau des produits croisés pour les points A, D, E.

i\(X_i\)\(Y_i\)\(X_{i+1}\)\(Y_{i+1}\)\(X_i Y_{i+1}\)\(Y_i X_{i+1}\)
A125.45310.80250.90180.4022631.1877986.92
D250.90180.40160.70215.9554181.85529000.68
E160.70215.95125.45310.8050001.6627088.0275
Total126814.695134075.6275
\[ \begin{aligned} S_{\text{ADE}} &= \frac{1}{2} | 126814.695 - 134075.6275 | \\ &= \frac{1}{2} | -7260.9325 | \\ &= 3630.46625 \\ &\Rightarrow S_{\text{ADE}} = 3630.47 \text{ m}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Triangle ADE avec Surface
ADES = 3630.47 m²
Réflexions

La surface du polygone total ABCDE (15569.68 m²) est bien plus grande que celle du triangle ADE (3630.47 m²), ce qui est visuellement cohérent. La surface restante, celle du polygone ABCE, serait de \(15569.68 - 3630.47 = 11939.21 \text{ m}^2\).

Points de vigilance

Assurez-vous de bien prendre les 3 bons points et de boucler la boucle correctement (A -> D -> E -> A). Ne mélangez pas avec les coordonnées des points B ou C.

Points à retenir
  • La méthode de calcul de surface est applicable à n'importe quel nombre de sommets.
  • La décomposition d'un polygone en formes plus simples est une stratégie de vérification puissante.
Le saviez-vous ?

Les premiers cadastres, comme le cadastre napoléonien au début du 19ème siècle, étaient levés avec des méthodes de "triangulation". Les géomètres mesuraient une base avec une grande précision, puis mesuraient uniquement les angles pour former des triangles couvrant tout le territoire, calculant ensuite toutes les distances et surfaces.

FAQ
Pourquoi la question demande-t-elle de "déduire" la surface du polygone ?

C'est une tournure de phrase pour vous faire réfléchir à la relation entre les parties et le tout. Si on vous avait donné la surface du polygone ABCE et demandé de calculer celle de ADE, vous auriez pu déduire la surface totale par addition. C'est un exercice de logique.

Résultat Final
La surface du triangle ADE est de 3 630.47 m².
A vous de jouer

En utilisant la même méthode, quelle serait la surface du triangle ABC ?

Outil Interactif : Simulateur d'Impact

Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier les coordonnées du sommet C et observer en temps réel l'impact sur la surface totale de la parcelle et son périmètre.

Paramètres du Sommet C
295.15 m
250.25 m
Résultats Clés
Surface Totale (m²) -
Périmètre (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel est le principal avantage de la méthode de calcul par coordonnées ?

2. Si vous parcourez les sommets dans le sens inverse (A-E-D-C-B), que se passe-t-il avec le résultat de la formule des lacets avant l'application de la valeur absolue ?

3. Combien d'ares y a-t-il dans 2.5 hectares ?

4. Le calcul de la distance entre deux points se base sur :

5. Un centiare (ca) est équivalent à :

Glossaire

Coordonnées Cartésiennes
Système permettant de définir la position d'un point dans un plan (X, Y) ou dans l'espace (X, Y, Z) par rapport à des axes perpendiculaires.
Contenance
Terme juridique et technique pour désigner la surface ou la superficie d'une parcelle de terrain.
Formule des Lacets
Algorithme mathématique permettant de calculer l'aire d'un polygone simple dont les sommets sont décrits par leurs coordonnées cartésiennes.
Topographie
Technique de représentation graphique des formes et des détails d'un terrain, qu'ils soient naturels ou artificiels.
Calcul de la surface d’un terrain irrégulier

D’autres exercices de topographie:

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