Calcul de la surface d’un terrain irrégulier

Principe :

La méthode des coordonnées, également connue sous le nom de formule de Gauss ou formule des lacets (shoelace formula), permet de calculer l'aire d'un polygone simple dont les sommets sont connus par leurs coordonnées cartésiennes (X, Y) dans un système de référence plan.

Le principe repose sur la décomposition du polygone en une série de trapèzes (ou triangles si un côté est parallèle à un axe) dont les bases sont parallèles à l'un des axes de coordonnées. La formule générale est une somme algébrique de produits croisés des coordonnées des sommets parcourus dans un ordre séquentiel (horaire ou antihoraire).

Si les sommets du polygone à \(n\) côtés sont \((X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \dots, (X_n, Y_n)\), parcourus dans un certain sens, la formule pour le double de la surface (2S) est :

où \((X_{n+1}, Y_{n+1})\) sont les coordonnées du premier point \((X_1, Y_1)\) pour fermer le polygone. L'aire \(S\) est alors la valeur absolue de cette somme divisée par deux :

Une autre présentation courante de la formule est :

où les indices sont pris modulo \(n\) (c'est-à-dire, \(Y_0 = Y_n\), \(Y_{n+1} = Y_1\), etc.). Le signe du résultat dépend du sens de parcours des sommets. La valeur absolue garantit une aire positive.

Principe :

On applique la formule \(2S = \sum (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i)\) en listant les coordonnées des points dans l'ordre et en répétant le premier point à la fin.

Données spécifiques :

• P1: \(X_1 = 100.000\), \(Y_1 = 250.000\)
• P2: \(X_2 = 220.500\), \(Y_2 = 310.250\)
• P3: \(X_3 = 280.150\), \(Y_3 = 240.750\)
• P4: \(X_4 = 190.800\), \(Y_4 = 180.500\)
• P5: \(X_5 = 130.200\), \(Y_5 = 190.600\)
• P6 (identique à P1): \(X_6 = 100.000\), \(Y_6 = 250.000\)

Calcul des produits croisés :

Terme 1 (P1-P2) : \(X_1 Y_2 - X_2 Y_1\)

Terme 2 (P2-P3) : \(X_2 Y_3 - X_3 Y_2\)

Terme 3 (P3-P4) : \(X_3 Y_4 - X_4 Y_3\)

Terme 4 (P4-P5) : \(X_4 Y_5 - X_5 Y_4\)

Terme 5 (P5-P1) : \(X_5 Y_1 - X_1 Y_5\)

Somme des termes pour 2S :

Principe :

La surface S est la moitié de la valeur absolue de 2S calculé précédemment.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(2S = -16941.2075 \, \text{m}^2\)

Calcul :

Arrondi à 3 décimales : \(S \approx 8470.604 \, \text{m}^2\).

Principe :

Les unités agraires courantes sont l'hectare (ha) et l'are (a).

• \(1 \, \text{hectare (ha)} = 10\,000 \, \text{m}^2\)
• \(1 \, \text{are (a)} = 100 \, \text{m}^2\)
• Donc, \(1 \, \text{ha} = 100 \, \text{a}\)

Données spécifiques :

• Surface \(S \approx 8470.604 \, \text{m}^2\)

Calcul :

Conversion en hectares :

Conversion en ares :

On peut aussi exprimer la surface en hectares, ares et centiares (m²). \(0.8470604 \, \text{ha}\) correspond à 0 hectare, 84 ares, et \(70.604\) centiares (m²).

Donc, \(S \approx 0 \, \text{ha} \, 84 \, \text{a} \, 71 \, \text{ca}\) (arrondi au centiare le plus proche).

Principe :

Modifier les coordonnées d'un sommet d'un polygone affectera inévitablement sa forme et donc sa surface. L'ampleur et le sens de la variation dépendent de la manière dont le point est déplacé par rapport aux autres sommets.

Données spécifiques du changement :

• P3 initial : \(X_3 = 280.150 \, \text{m}\), \(Y_3 = 240.750 \, \text{m}\)
• P3 modifié : \(X'_3 = 290.150 \, \text{m}\), \(Y'_3 = 230.750 \, \text{m}\)

Le point P3 est déplacé de :

\(\Delta X = 290.150 - 280.150 = +10.000 \, \text{m}\) (vers l'Est)

\(\Delta Y = 230.750 - 240.750 = -10.000 \, \text{m}\) (vers le Sud)

Analyse qualitative :

Le point P3 est un sommet du polygone P1-P2-P3-P4-P5. Le déplacement de P3 modifie les segments P2P3 et P3P4.

Visualisons l'impact : Le segment P2P3 initial a pour P2(\(220.500, 310.250\)) et P3(\(280.150, 240.750\)). Le segment P3P4 initial a pour P3(\(280.150, 240.750\)) et P4(\(190.800, 180.500\)). Le nouveau point P3'(\(290.150, 230.750\)) est déplacé vers l'Est et vers le Sud par rapport à P3.

L'impact sur la surface dépend de la position relative des points P2, P3 (initial et modifié), et P4. Si le déplacement de P3 "agrandit" le triangle P2P3P4 ou les trapèzes formés lors du calcul par la méthode des coordonnées, la surface augmentera. Si le déplacement "rétrécit" ces formes, la surface diminuera.

Dans la formule des lacets, les termes impliquant \(X_3\) et \(Y_3\) sont : \(X_2 Y_3 - X_3 Y_2\) et \(X_3 Y_4 - X_4 Y_3\). Le déplacement modifie ces termes. Le déplacement de P3 vers l'Est (\(X\) augmente) et vers le Sud (\(Y\) diminue) tend à "étirer" le polygone dans une direction et potentiellement le "comprimer" dans une autre par rapport à ses voisins P2 et P4. Sans recalcul complet, il est difficile de prédire quantitativement l'impact exact, mais on peut s'attendre à une modification de la surface. L'ampleur de la modification dépendra de la géométrie globale du polygone.

Impact qualitatif : Le déplacement du point P3 modifie la forme du polygone. Si le déplacement "éloigne" P3 de la ligne P2P4 (en augmentant la hauteur du triangle P2P3P4 par exemple), la surface tendra à augmenter. Si P3 se "rapproche" de la ligne P2P4, la surface tendra à diminuer. Le déplacement vers l'Est et le Sud pourrait potentiellement augmenter la surface si cela étend le polygone vers l'extérieur par rapport à la configuration initiale des points P2 et P4. Il est plus probable que cela modifie la surface, mais le sens exact (augmentation ou diminution) nécessite un recalcul ou une analyse géométrique plus poussée de la configuration des points. Cependant, un déplacement d'un sommet modifie généralement la surface. Il est difficile de dire avec certitude si elle augmente ou diminue sans recalculer, car cela dépend de l'orientation des segments adjacents. Mais il est certain qu'elle changera.