Calcul de la surface d’un terrain irrégulier

1. Calcul de la surface du terrain

Pour calculer l’aire d’un polygone avec des sommets donnés par leurs coordonnées, on utilise la formule du « shoelace » (ou formule des coordonnées). Elle consiste à :

• Multiplier chaque abscisse par l’ordonnée du point suivant.
• Multiplier chaque ordonnée par l’abscisse du point suivant.
• Soustraire les deux sommes, prendre la valeur absolue, puis diviser par 2.

Formule générale

Pour \(n\) sommets \(P_i = (x_i, y_i)\), la formule est :

\[ \mathcal{A} = \frac{1}{2} \Bigl| \sum_{i=1}^{n} (x_i \; y_{i+1}) - \sum_{i=1}^{n} (y_i \; x_{i+1}) \Bigr|, \quad (x_{n+1},y_{n+1}) = (x_1,y_1) \]

Formule pour le quadrilatère ABCD

Avec \(A=(x_A,y_A), B=(x_B,y_B), C=(x_C,y_C), D=(x_D,y_D)\), on a :

\[ \mathcal{A} = \frac{1}{2} \Bigl| (x_A y_B + x_B y_C + x_C y_D + x_D y_A) - (y_A x_B + y_B x_C + y_C x_D + y_D x_A) \Bigr| \]

Données (coordonnées)

• \(A : (30, 40)\)
• \(B : (60, 90)\)
• \(C : (130, 95)\)
• \(D : (100, 50)\)

Distances en mètres.

Calculs

Somme1 :

\[ S_1 = 30 \times 90 + 60 \times 95 + 130 \times 50 + 100 \times 40 \]

\[ S_1 = 2\,700 + 5\,700 + 6\,500 + 4\,000 \] \[ S_1 = 18\,900 \]

Somme2 :

\[ S_2 = 40 \times 60 + 90 \times 130 + 95 \times 100 + 50 \times 30 \]

\[ S_2 = 2\,400 + 11\,700 + 9\,500 + 1\,500 \] \[ S_2 = 25\,100 \]

Différence :

\[ \Delta = |S_1 - S_2| \] \[ \Delta = |18\,900 - 25\,100| \] \[ \Delta = 6\,200 \]

Aire :

\[ \mathcal{A} = \frac{1}{2} \times 6\,200 \] \[ \mathcal{A} = 3\,100\;\mathrm{m}^2 \]

Réponse Q1 : \(3\,100\;\mathrm{m}^2\).

2. Impact des variations d’altitude et méthode d’affinage

2.1 Effet de la pente

Lorsque le terrain est en pente, la surface réelle du sol est plus grande que sa projection horizontale calculée précédemment :

• Imaginez une planche inclinée : sa longueur réelle est plus importante que la distance mesurée au sol.
• Le rapport entre la surface inclinée \(A_{3D}\) et la surface projetée \(A_{2D}\) est donné par :

\[ \frac{A_{3D}}{A_{2D}} = \frac{1}{\cos(\theta)}, \]

où :

• \(\theta\) est l’angle moyen de la pente (mesuré par rapport à l’horizontale).
• Plus \(\theta\) augmente, plus l’écart entre les deux surfaces est grand.

2.2 Méthode d’affinage détaillée

Pour prendre en compte la pente, on raffine le calcul en 4 étapes :

1. Relevé des altitudes : On mesure la hauteur \(z\) en plusieurs points répartis uniformément (par exemple tous les 10–20 m). Chaque point est alors \((x,y,z)\).
2. Construction du maillage triangulaire : On relie ces points pour former des petits triangles couvrant entièrement le terrain.
3. Calcul de l’aire 3D de chaque triangle : Pour un triangle de sommets \(P_1, P_2, P_3\) en 3D, l’aire se calcule par :

\[ \mathcal{A}_i = \frac{1}{2} \left\| (P_2 - P_1) \times (P_3 - P_1) \right\| \]

• Le produit vectoriel \((P_2 - P_1) \times (P_3 - P_1)\) donne un vecteur dont norme est deux fois l’aire du triangle.
• \(\|\,\cdot\,\|\) désigne la norme (longueur) de ce vecteur.
4. Somme des aires : On additionne toutes les aires \(\mathcal{A}_i\) pour obtenir la surface totale du terrain, en tenant compte des variations d’altitude.

Vous pouvez aussi utiliser un Modèle Numérique de Terrain (MNT) obtenu par LIDAR ou photogrammétrie et des logiciels SIG (QGIS, ArcGIS) pour automatiser ces calculs.

Réponse Q2 : Cette méthode fournit une surface réelle 3D précise, car elle intègre l’inclinaison du terrain et réduit l’erreur de projection.

Calcul de la surface d’un terrain irrégulier