Études de cas pratique

EGC

Traction et compression exercice corrigé

Traction et Compression d'une Barre

Traction et Compression d'une Barre

Comprendre la Traction et la Compression Axiales

La traction et la compression sont des sollicitations fondamentales en Résistance des Matériaux. Lorsqu'une force axiale est appliquée à une barre, elle induit une contrainte normale (\(\sigma\)) uniformément répartie sur sa section transversale (si la charge est centrée et loin des points d'application). Cette contrainte provoque une déformation axiale (\(\epsilon\)), qui est un allongement en traction ou un raccourcissement en compression. La relation entre contrainte et déformation dans le domaine élastique est décrite par la loi de Hooke, impliquant le module d'Young (\(E\)) du matériau.

Données de l'étude

Un tirant en alliage d'aluminium, de section rectangulaire, est soumis à un effort de traction axial \(N = 75 \, \text{kN}\).

Caractéristiques du tirant et du matériau :

  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(2.5 \, \text{m}\)
  • Dimensions de la section rectangulaire :
    • Largeur (\(b\)) : \(50 \, \text{mm}\)
    • Épaisseur (\(t\)) : \(10 \, \text{mm}\)
  • Module d'Young de l'aluminium (\(E\)) : \(70 \, \text{GPa}\)
  • Limite d'élasticité de l'aluminium (\(f_y\)) : \(180 \, \text{MPa}\)

Objectif : Calculer la contrainte normale, la déformation axiale, l'allongement total du tirant, et vérifier si le matériau reste dans son domaine élastique.

Schéma : Barre Rectangulaire en Traction
État initial N N L0 = 2.5 m b=50 t=10 Section ΔL

Barre rectangulaire soumise à une traction axiale N.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire (\(A\)) de la section transversale du tirant.
  2. Calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) dans le tirant.
  3. Calculer la déformation axiale (\(\epsilon\)) du tirant.
  4. Déterminer l'allongement total (\(\Delta L\)) du tirant.
  5. Vérifier si la contrainte dans le tirant dépasse la limite d'élasticité (\(f_y\)) de l'aluminium. Conclure sur le comportement du matériau.

Correction : Analyse de la Traction et Compression

Question 1 : Aire (\(A\)) de la Section Transversale

Principe :

L'aire d'une section rectangulaire de largeur \(b\) et d'épaisseur (ou hauteur) \(t\) est donnée par la formule \(A = b \cdot t\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A = b \cdot t\]
Données spécifiques :
  • Largeur (\(b\)) : \(50 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur (\(t\)) : \(10 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= 50 \, \text{mm} \cdot 10 \, \text{mm} \\ &= 500 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale est \(A = 500 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Contrainte Normale (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte normale (\(\sigma\)) est le rapport de l'effort axial normal (\(N\)) à l'aire de la section transversale (\(A\)) sur laquelle il s'applique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sigma = \frac{N}{A}\]
Données spécifiques :
  • Effort axial (\(N\)) : \(75 \, \text{kN} = 75000 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A\)) : \(500 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{75000 \, \text{N}}{500 \, \text{mm}^2} \\ &= 150 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 150 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte normale dans le tirant est \(\sigma = 150 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Déformation Axiale (\(\epsilon\))

Principe :

La déformation axiale (\(\epsilon\)), ou allongement relatif, est reliée à la contrainte axiale (\(\sigma\)) par le module d'Young (\(E\)) selon la loi de Hooke : \(\sigma = E \epsilon\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\epsilon = \frac{\sigma}{E}\]
Données spécifiques :
  • Contrainte normale (\(\sigma\)) : \(150 \, \text{MPa}\)
  • Module d'Young (\(E\)) : \(70 \, \text{GPa} = 70 \times 10^3 \, \text{MPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{150 \, \text{MPa}}{70 \times 10^3 \, \text{MPa}} \\ &= \frac{150}{70000} \\ &= \frac{15}{7000} = \frac{3}{1400} \\ &\approx 0.002142857 \end{aligned} \]

La déformation est adimensionnelle.

Résultat Question 3 : La déformation axiale est \(\epsilon \approx 0.002143\).

Question 4 : Allongement Total (\(\Delta L\))

Principe :

L'allongement total (\(\Delta L\)) est le produit de la déformation axiale (\(\epsilon\)) et de la longueur initiale (\(L_0\)). Alternativement, il peut être calculé directement avec la formule \(\Delta L = \frac{NL_0}{AE}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta L = \epsilon \cdot L_0 \quad \text{ou} \quad \Delta L = \frac{N L_0}{A E}\]
Données spécifiques :
  • Déformation axiale (\(\epsilon\)) : \(3/1400 \approx 0.002142857\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(2.5 \, \text{m} = 2500 \, \text{mm}\)
  • Ou : \(N=75000 \, \text{N}\), \(A=500 \, \text{mm}^2\), \(E=70000 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul (méthode 1) :
\[ \begin{aligned} \Delta L &= \left(\frac{3}{1400}\right) \cdot 2500 \, \text{mm} \\ &= \frac{7500}{1400} \, \text{mm} \\ &= \frac{75}{14} \, \text{mm} \\ &\approx 5.35714 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Calcul (méthode 2) :
\[ \begin{aligned} \Delta L &= \frac{N L_0}{A E} \\ &= \frac{75000 \, \text{N} \cdot 2500 \, \text{mm}}{(500 \, \text{mm}^2) \cdot (70000 \, \text{N/mm}^2)} \\ &= \frac{187.5 \cdot 10^6 \, \text{Nmm}}{35 \cdot 10^6 \, \text{Nmm}} \\ &= \frac{187.5}{35} \, \text{mm} \\ &= \frac{75}{14} \, \text{mm} \\ &\approx 5.35714 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'allongement total du tirant est \(\Delta L \approx 5.36 \, \text{mm}\).

Question 5 : Vérification du Domaine Élastique

Principe :

Pour vérifier si le tirant reste dans son domaine élastique, on compare la contrainte normale calculée (\(\sigma\)) à la limite d'élasticité du matériau (\(f_y\)). Si \(\sigma \leq f_y\), le matériau se comporte élastiquement.

Données spécifiques :
  • Contrainte normale calculée (\(\sigma\)) : \(150 \, \text{MPa}\)
  • Limite d'élasticité de l'aluminium (\(f_y\)) : \(180 \, \text{MPa}\)
Vérification :
\[\sigma = 150 \, \text{MPa}\] \[f_y = 180 \, \text{MPa}\] \[150 \, \text{MPa} \leq 180 \, \text{MPa}\]

La contrainte calculée est inférieure à la limite d'élasticité.

Résultat Question 5 : Le tirant reste dans le domaine élastique car \(\sigma \leq f_y\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'effort axial \(N\) était de \(100 \, \text{kN}\) au lieu de \(75 \, \text{kN}\), la contrainte normale \(\sigma\) serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

6. En traction, une barre a tendance à :

7. Laquelle de ces affirmations est vraie concernant la contrainte et la déformation axiales ?

8. Si une barre est soumise à une compression axiale, sa variation de longueur \(\Delta L\) sera :

Glossaire

Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne agissant perpendiculairement par unité de surface d'une section transversale d'un corps. Elle est de traction si elle tend à allonger le corps, de compression si elle tend à le raccourcir.
Déformation Axiale (\(\epsilon\))
Mesure du changement relatif de longueur d'un corps sous l'effet d'une contrainte axiale (\(\epsilon = \Delta L / L_0\)). Positive pour un allongement, négative pour un raccourcissement.
Loi de Hooke
Relation linéaire entre la contrainte et la déformation pour un matériau élastique : \(\sigma = E \epsilon\).
Module d'Young (\(E\))
Constante de proportionnalité entre la contrainte et la déformation axiale dans le domaine élastique. Il mesure la rigidité du matériau.
Limite d'Élasticité (\(f_y\) ou \(\sigma_e\))
Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans subir de déformation permanente.
Allongement / Raccourcissement (\(\Delta L\))
Variation absolue de la longueur d'un objet due à une sollicitation.
Traction
Sollicitation qui tend à étirer ou allonger un corps, créant des contraintes de traction.
Compression
Sollicitation qui tend à écraser ou raccourcir un corps, créant des contraintes de compression.
Traction et Compression d'une Barre - Exercice d'Application

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