EGC

Traction et compression exercice corrigé

Étude d'un Tirant et d'un Poteau en RdM (Traction / Compression)

Étude en Traction et Compression Axiale

Contexte : L'épine dorsale invisible des structures.

La traction et la compression sont les sollicitations les plus fondamentales en Résistance des Matériaux (RdM). Des haubans d'un pont (traction) aux poteaux d'un bâtiment (compression), d'innombrables pièces sont conçues pour travailler le long de leur axe. Comprendre comment un simple élément réagit à une force axiale est la première étape pour pouvoir dimensionner des structures complexes et garantir leur sécurité. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de la contrainte, de la déformation et de la résistance pour ces deux cas de charge fondamentaux.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la relation directe entre la force appliquée, la géométrie de la pièce et les propriétés du matériau. Nous allons appliquer la loi de Hooke, l'une des relations les plus importantes en ingénierie, pour lier la contrainte (la force interne) à la déformation (l'allongement ou le raccourcissement). C'est la base de tout calcul de structure en régime élastique.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer l'aire d'une section transversale.
  • Déterminer la contrainte normale dans un élément soumis à une force axiale.
  • Appliquer la loi de Hooke pour calculer l'allongement (traction) ou le raccourcissement (compression).
  • Vérifier la résistance de la pièce en comparant la contrainte de service à la limite d'élasticité.
  • Comprendre la symétrie des calculs entre traction et compression (hors flambement).

Données de l'étude

Partie A : Tirant en Traction

On étudie un tirant en acier de section circulaire pleine, suspendu verticalement et soumis à une charge de traction à son extrémité inférieure.

Schéma du tirant en traction (Partie A)
N L = 3000 mm ΔL

Partie B : Poteau en Compression

On étudie ensuite un poteau court en béton armé de section carrée, soumis à une charge de compression centrée. Pour simplifier, on ne tiendra compte que du béton.

Schéma du poteau en compression (Partie B)
N L = 2500 mm
Paramètre Symbole Valeur (Partie A) Valeur (Partie B) Unité
Longueur initiale \(L\) 3000 2500 \(\text{mm}\)
Géométrie section - Circulaire, \(d=20\) Carrée, \(c=200\) \(\text{mm}\)
Force axiale \(N\) 50 000 (Traction) 800 000 (Compression) \(\text{N}\)
Module de Young \(E\) 210 000 (Acier) 30 000 (Béton) \(\text{MPa}\)
Limite d'élasticité / Résistance \(\sigma_{\text{lim}}\) \(\sigma_{\text{e}} = 235\) (Acier) \(f_{\text{ck}} = 25\) (Béton) \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

    Partie A : Tirant en Traction
  1. Calculer l'aire \(A\) de la section transversale du tirant.
  2. Calculer la contrainte normale \(\sigma\) dans le tirant.
  3. Calculer l'allongement total \(\Delta L\) du tirant.
  4. Vérifier la sécurité du tirant.

    5. Partie B : Poteau en Compression
  5. Calculer l'aire \(A\) de la section transversale du poteau.
  6. Calculer la contrainte normale de compression \(\sigma\) dans le poteau.
  7. Calculer le raccourcissement total \(\Delta L\) du poteau.
  8. Vérifier la sécurité du poteau en compression.

Les bases de la Traction-Compression

Avant de plonger dans la correction, revoyons les trois concepts fondamentaux, qui sont valables pour les deux cas.

1. La Contrainte Normale (\(\sigma\)) :
La contrainte est la force interne \(N\) divisée par l'aire \(A\) de la section. Par convention, elle est positive en traction (la matière est "tirée") et négative en compression (la matière est "poussée"). \[ \sigma = \frac{N}{A} \] Elle s'exprime en Mégapascals (MPa), où 1 MPa = 1 N/mm².

2. La Déformation (\(\varepsilon\)) :
C'est la variation de longueur \(\Delta L\) divisée par la longueur initiale \(L\). Elle est positive en traction (allongement) et négative en compression (raccourcissement). \[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L} \] C'est une grandeur sans dimension.

3. La Loi de Hooke :
Elle relie la contrainte et la déformation via le Module de Young \(E\). Elle est valable tant que la contrainte reste sous la limite d'élasticité du matériau. \[ \sigma = E \cdot \varepsilon \] En combinant ces formules, on obtient l'expression de la variation de longueur : \(\Delta L = \frac{N \cdot L}{A \cdot E}\). Le signe de N (positif ou négatif) donnera le signe de \(\Delta L\).

Correction : Étude en Traction et Compression Axiale

Partie A : Correction de l'étude du Tirant (Traction)

Question 1 : Calculer l'aire (A) de la section du tirant

Principe (le concept physique)

L'aire de la section transversale est la surface sur laquelle la force de traction se répartit. C'est cette surface qui "résiste" à l'effort. Pour une même force, une section plus grande subira une contrainte plus faible. Le calcul de cette aire est la première étape indispensable de toute analyse de résistance.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La géométrie de la section est cruciale. Pour une section circulaire, l'aire dépend du carré du rayon (ou du diamètre). C'est pourquoi une petite augmentation du diamètre a un impact significatif sur la capacité de la pièce à supporter une charge.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne confondez jamais le diamètre et le rayon dans la formule de l'aire ! Une erreur classique est d'oublier de diviser le diamètre par deux. Utiliser la formule en \(d^2\) est souvent plus sûr si la donnée est le diamètre.

Normes (la référence réglementaire)

Les diamètres des barres d'acier commerciales sont normalisés (par exemple, dans la norme NF EN 10060 pour les aciers ronds laminés à chaud). Les ingénieurs choisissent parmi ces diamètres standards lors de la conception.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section circulaire de diamètre \(d\) :

\[ A = \pi \cdot \frac{d^2}{4} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est parfaitement circulaire et constante sur toute la longueur du tirant.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Diamètre de la section, \(d = 20 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un calcul mental rapide, on peut approximer \(\pi/4\) à environ 0.785. Pour un diamètre de 20 mm, l'aire est environ \(0.785 \times 20^2 = 0.785 \times 400 \approx 314 \, \text{mm}^2\). Cela permet de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de son résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Section Circulaire
d = 20 mmA = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec le diamètre en mm. L'unité de l'aire sera des mm².

\[ \begin{aligned} A &= \pi \cdot \frac{(20 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \pi \cdot \frac{400}{4} \, \text{mm}^2 \\ &= 100\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 314.16 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Section avec Aire Calculée
A ≈ 314 mm²
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette aire de 314 mm² est la surface effective qui va supporter la charge de 50 000 N. C'est une valeur clé que nous allons réutiliser dans tous les calculs suivants.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre le diamètre au carré. Une autre erreur est de mal gérer les unités. Si le diamètre était donné en mètres, il faudrait convertir en mm avant le calcul pour rester cohérent avec les MPa (N/mm²).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'aire est la surface qui résiste à l'effort.
  • Pour une section circulaire, \(A = \pi d^2 / 4\).
  • L'aire est la base de tout calcul de contrainte.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les câbles de précontrainte ou de suspension, on n'utilise pas une barre pleine mais un toron, composé de nombreux fils d'acier plus fins torsadés ensemble. Cela leur confère une plus grande souplesse et une meilleure résistance à la fatigue que n'aurait une barre pleine de même section.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas utiliser une section carrée ?

Pour une même aire, une section circulaire est souvent préférée pour les tirants car elle n'a pas de concentration de contraintes dans les angles et se comporte de la même manière quelle que soit la direction d'éventuelles petites flexions parasites. Elle est aussi souvent plus facile à fabriquer et à connecter.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'aire de la section transversale est d'environ 314.16 mm².
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le diamètre était de 10 mm, quelle serait la nouvelle aire en mm² ?

Question 2 : Calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) dans le tirant

Principe (le concept physique)

La contrainte normale est la mesure de l'intensité de la force interne qui s'exerce perpendiculairement à la section. Elle représente à quel point la matière est "sollicitée". C'est la contrainte, et non la force seule, qui détermine si un matériau va se déformer plastiquement ou rompre. C'est la grandeur la plus importante en RdM.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Selon le principe de Saint-Venant, si on est suffisamment loin des points d'application de la charge, la contrainte est considérée comme uniformément répartie sur toute la section. C'est cette hypothèse qui nous permet d'utiliser la formule simple \(\sigma = N/A\). Près des points d'ancrage, la distribution est plus complexe.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que la force \(N\) est une foule de 50 000 personnes et que l'aire \(A\) est une porte de 314 m². La contrainte, c'est la "densité" de personnes qui passent par la porte. C'est cette densité qui crée des bousculades, pas le nombre total de personnes dans le stade. En RdM, c'est la "densité de force" qui risque de casser le matériau.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction (comme les Eurocodes) définissent des "contraintes de calcul" ou "contraintes admissibles". Celles-ci sont obtenues en divisant la limite d'élasticité du matériau par des coefficients de sécurité. Le travail de l'ingénieur est de s'assurer que la contrainte de service (celle que nous calculons) reste inférieure à cette contrainte admissible.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La contrainte normale \(\sigma\) est l'effort normal \(N\) divisé par l'aire \(A\).

\[ \sigma = \frac{N}{A} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la contrainte est uniformément répartie sur la section (principe de Saint-Venant) et que le poids propre du tirant est négligeable par rapport à la charge appliquée N.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force de traction, \(N = 50 000 \, \text{N}\)
  • Aire de la section, \(A \approx 314.16 \, \text{mm}^2\) (du calcul Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le choix des unités N et mm est très pratique ici. Le calcul \(N / mm^2\) donne directement un résultat en Mégapascals (MPa), l'unité la plus utilisée pour les contraintes en génie civil et mécanique. Pas besoin de jongler avec les puissances de 10 des Pascals.

Schéma (Avant les calculs)
Répartition de la Force sur l'Aire
Force N = 50 000 NAire A ≈ 314 mm²σ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On divise la force en N par l'aire en mm² pour obtenir la contrainte en MPa.

\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{50000 \, \text{N}}{314.16 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 159.15 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 159.15 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Normale Calculée
σ ≈ 159 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La matière à l'intérieur du tirant est soumise à une contrainte de 159 MPa. Cette valeur, en elle-même, ne signifie rien si on ne la compare pas à la capacité de résistance du matériau, ce que nous ferons à la question 4.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser les bonnes unités. Si la force est en Kilonewtons (kN), il faut la convertir en Newtons (1 kN = 1000 N) avant de diviser par des mm² pour obtenir des MPa. Une erreur d'un facteur 1000 est vite arrivée.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte est la force par unité de surface : \(\sigma = N/A\).
  • C'est la grandeur clé pour évaluer la résistance d'une pièce.
  • L'utilisation de N et mm² donne directement des MPa.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La contrainte n'est pas toujours un simple scalaire. En réalité, c'est un tenseur, un objet mathématique plus complexe qui décrit les contraintes dans toutes les directions en un point. Pour les cas simples comme la traction pure, une seule composante (la contrainte normale) est non-nulle.

FAQ (pour lever les doutes)
Quelle est la différence entre contrainte et pression ?

Les deux ont la même unité (Force/Surface). Cependant, la pression est généralement un chargement externe (la pression de l'eau sur un barrage), tandis que la contrainte est une résultante interne à la matière, qui résiste à ce chargement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte normale dans le tirant est d'environ 159.15 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la force était réduite de moitié (25 000 N), quelle serait la nouvelle contrainte en MPa ?

Question 3 : Calculer l'allongement total (\(\Delta L\)) du tirant

Principe (le concept physique)

Lorsqu'on tire sur un matériau élastique, il s'allonge. L'allongement total dépend de quatre facteurs : la force appliquée (plus on tire fort, plus il s'allonge), sa longueur initiale (une pièce plus longue s'allongera plus), son aire (une pièce plus grosse s'allongera moins) et la nature du matériau, représentée par son Module de Young E (un matériau plus rigide s'allongera moins).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \(\Delta L = NL/AE\) est une combinaison directe des définitions de la contrainte (\(\sigma = N/A\)), de la déformation (\(\varepsilon = \Delta L/L\)) et de la loi de Hooke (\(\sigma = E\varepsilon\)). En substituant, on a \(N/A = E \cdot (\Delta L/L)\), ce qui donne bien \(\Delta L = NL/AE\). Cette formule est l'une des plus utilisées en RdM.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le terme \(AE\) est appelé la "rigidité axiale" de la barre. Il combine la rigidité géométrique (A) et la rigidité du matériau (E). L'allongement est simplement l'effort \(N\) divisé par cette rigidité axiale, le tout multiplié par la longueur \(L\). C'est une façon intuitive de voir la formule.

Normes (la référence réglementaire)

Dans de nombreuses applications (comme le réglage de la tension des câbles ou la précontrainte du béton), le contrôle de l'allongement est un moyen pratique de vérifier que la force de traction souhaitée a bien été appliquée. Les normes de mise en œuvre spécifient souvent les allongements théoriques à atteindre.

Formule(s) (l'outil mathématique)

L'allongement total \(\Delta L\) est donné par :

\[ \Delta L = \frac{N \cdot L}{A \cdot E} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le matériau suit la loi de Hooke, c'est-à-dire qu'il a un comportement linéaire élastique, ce que nous vérifierons à la question 4.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force de traction, \(N = 50 000 \, \text{N}\)
  • Longueur initiale, \(L = 3000 \, \text{mm}\)
  • Aire de la section, \(A \approx 314.16 \, \text{mm}^2\)
  • Module de Young, \(E = 210 000 \, \text{MPa}\) (ou N/mm²)
Astuces(Pour aller plus vite)

La cohérence des unités est capitale. Si \(N\) est en N, \(L\) en mm, \(A\) en mm², et \(E\) en MPa (qui est N/mm²), alors les unités s'annulent parfaitement et le \(\Delta L\) obtenu est directement en mm. C'est le système le plus simple à utiliser.

Schéma (Avant les calculs)
Allongement d'un Tirant
NΔL = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec des unités cohérentes (N, mm, MPa).

\[ \begin{aligned} \Delta L &= \frac{N \cdot L}{A \cdot E} \\ &= \frac{50000 \, \text{N} \cdot 3000 \, \text{mm}}{314.16 \, \text{mm}^2 \cdot 210000 \, \text{N/mm}^2} \\ &= \frac{1.5 \times 10^8}{6.597 \times 10^7} \, \text{mm} \\ &\approx 2.27 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Allongement Calculé
L = 3000 mmΔL ≈ 2.27 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le tirant de 3 mètres de long s'allonge de 2.27 mm sous l'effet de la charge. C'est une déformation faible mais non négligeable, qui doit être prise en compte dans la conception globale de la structure pour éviter des tassements ou des géométries imprévues.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux unités du Module de Young. Il est souvent donné en GPa (Gigapascals). Il faut impérativement le convertir en MPa avant le calcul pour être cohérent avec les N et les mm. Rappel : 1 GPa = 1000 MPa.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'allongement est proportionnel à la force et à la longueur.
  • Il est inversement proportionnel à l'aire et au module de Young.
  • La formule clé est \(\Delta L = NL/AE\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'allongement élastique est utilisé dans les boulons à haute résistance. En serrant l'écrou avec une clé dynamométrique, on applique une force de traction contrôlée dans le boulon, ce qui le tend comme un ressort très rigide. C'est cette tension qui assure un serrage puissant et durable des assemblages.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la pièce se raccourcit ?

Si la force \(N\) était une force de compression, le calcul serait exactement le même, mais le résultat \(\Delta L\) serait négatif, ce qui correspond à un raccourcissement. Les formules de la traction et de la compression simple sont identiques tant qu'on reste dans le domaine élastique et qu'il n'y a pas de risque de "flambement" (instabilité des pièces longues et minces en compression).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'allongement total du tirant est d'environ 2.27 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le tirant était en aluminium (E ≈ 70 000 MPa), quel serait son allongement en mm ?

Question 4 : Vérifier la sécurité du tirant

Principe (le concept physique)

La vérification de la sécurité est l'étape ultime du dimensionnement. Elle consiste à s'assurer qu'en conditions de service, la sollicitation interne (la contrainte \(\sigma\)) reste inférieure à la capacité de résistance du matériau (sa limite d'élasticité \(\sigma_{\text{e}}\)), avec une marge de sécurité suffisante. Si \(\sigma \ge \sigma_{\text{e}}\), le matériau entre dans le domaine plastique : il se déforme de manière permanente et irréversible, ce qui est considéré comme une ruine de l'élément structurel.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le rapport \(\sigma_{\text{e}} / \sigma\) est appelé le coefficient de sécurité. Les normes de calcul imposent des coefficients de sécurité minimaux (souvent entre 1.5 et 3, voire plus) pour tenir compte des incertitudes sur les charges, les dimensions et les propriétés des matériaux. Un coefficient de 1 signifierait que la pièce est exactement à sa limite, sans aucune marge, ce qui est inacceptable en pratique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le "garde-fou" de l'ingénieur. Tous les calculs précédents mènent à cette simple comparaison. C'est un simple "oui" ou "non" : la pièce résiste-t-elle ou non ? Si la contrainte est supérieure à la limite, la conception doit être revue (par exemple, en augmentant le diamètre du tirant).

Normes (la référence réglementaire)

La vérification à l'État Limite Ultime (ELU) dans les Eurocodes est basée sur ce principe. On compare la contrainte de calcul (issue des charges majorées) à la résistance de calcul du matériau (la limite d'élasticité minorée par un coefficient). La condition \(\sigma_{\text{calcul}} \le \sigma_{\text{resistance}}\) doit être respectée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La condition de résistance s'écrit :

\[ \sigma < \sigma_{\text{e}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On compare la contrainte moyenne dans la section à la limite d'élasticité du matériau, en supposant que cette dernière est une valeur fiable et garantie.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte calculée, \(\sigma \approx 159.15 \, \text{MPa}\) (du calcul Q2)
  • Limite d'élasticité, \(\sigma_{\text{e}} = 235 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut directement calculer la force maximale que le tirant peut supporter : \(N_{\text{max}} = \sigma_{\text{e}} \cdot A\). Ici, \(N_{\text{max}} = 235 \times 314.16 \approx 73827 \, \text{N}\). Comme notre force de service (50 000 N) est inférieure à cette force maximale, on sait que le tirant est en sécurité.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte / Résistance
Contrainte σLimite Élastique σ_e?
Calcul(s) (l'application numérique)

On compare les deux valeurs :

\[ 159.15 \, \text{MPa} < 235 \, \text{MPa} \Rightarrow \text{OK} \]

Le coefficient de sécurité est :

\[ \begin{aligned} \text{Coeff. Sécurité} &= \frac{\sigma_{\text{e}}}{\sigma} \\ &= \frac{235}{159.15} \\ &\approx 1.48 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Sécurité
σ = 159 MPaσ_e = 235 MPaOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte dans le tirant est inférieure à la limite d'élasticité. La pièce est donc en sécurité. Le coefficient de sécurité de 1.48 est acceptable mais pourrait être jugé un peu faible selon les normes et le type de structure. Cela signifie que la pièce peut supporter environ 48% de charge en plus avant de commencer à se déformer de manière permanente.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais comparer directement les forces ! C'est bien la contrainte (\(N/A\)) qui doit être comparée à la limite d'élasticité. De plus, il faut être sûr d'utiliser la bonne limite d'élasticité (\(\sigma_{\text{e}}\)) et non la limite à la rupture (\(\sigma_{\text{r}}\)), qui est plus élevée mais correspond à la cassure de la pièce.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La sécurité est assurée si \(\sigma < \sigma_{\text{e}}\).
  • Le rapport \(\sigma_{\text{e}} / \sigma\) est le coefficient de sécurité.
  • Si la condition n'est pas vérifiée, la conception doit être modifiée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les matériaux fragiles comme la fonte ou le verre, qui cassent sans déformation plastique, on ne parle pas de limite d'élasticité mais de "résistance à la rupture". La vérification de sécurité se fait par rapport à cette valeur, souvent avec des coefficients de sécurité beaucoup plus élevés car la rupture est brutale et sans avertissement.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si on dépasse la limite d'élasticité ?

Le matériau entre en "plasticité". Il continue de s'allonger mais pour une augmentation de force très faible (phase d'écrouissage). Surtout, si on relâche la force, la pièce ne revient pas à sa longueur initiale ; elle conserve une déformation permanente. La pièce est alors considérée comme "hors service".

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de service (159.15 MPa) est inférieure à la limite d'élasticité (235 MPa). Le tirant est donc en sécurité.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel est le diamètre minimum (en mm) que le tirant devrait avoir pour obtenir un coefficient de sécurité de 2.0 ?

Partie B : Correction de l'étude du Poteau (Compression)

Question 5 : Calculer l'aire (A) de la section du poteau

Principe (le concept physique)

Comme pour la traction, l'aire de la section transversale est la surface sur laquelle la force de compression se répartit. Une plus grande surface permet de mieux distribuer l'effort et de réduire la contrainte interne dans le matériau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour les poteaux en béton armé, on distingue l'aire brute de béton et l'aire "nette" ou "homogénéisée" qui tient compte de la présence des aciers. Pour ce calcul simplifié, nous ne considérons que l'aire brute du béton, ce qui est une première approche courante.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La formule pour un carré est la plus simple qui soit, mais il est facile de se tromper en calculant mentalement \(200 \times 200\). Prenez le temps de bien poser le calcul : \(2 \times 2 = 4\), et on ajoute les quatre zéros, soit 40 000.

Normes (la référence réglementaire)

Les dimensions des poteaux en béton sont généralement des multiples de 5 cm (50 mm). Des dimensions comme 200x200 mm, 250x250 mm, etc., sont très courantes car elles correspondent aux dimensions standards des coffrages.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section carrée de côté \(c\) :

\[ A = c^2 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est parfaitement carrée et que l'on néglige la surface occupée par les armatures en acier.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Côté de la section, \(c = 200 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour convertir rapidement des cm² en mm², souvenez-vous que 1 cm = 10 mm, donc 1 cm² = 10² mm² = 100 mm². Un poteau de 20x20 cm a une aire de 400 cm², soit \(400 \times 100 = 40000\) mm².

Schéma (Avant les calculs)
Section Carrée
c = 200 mmc = 200 mm
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} A &= (200 \, \text{mm})^2 \\ &= 40000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Section avec Aire Calculée
A = 40 000 mm²
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'aire du poteau (40 000 mm²) est beaucoup plus grande que celle du tirant (314 mm²), ce qui est logique car il est conçu pour reprendre des charges bien plus importantes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre l'aire et le périmètre. L'aire est bien le côté au carré, et non 4 fois le côté.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'aire d'un carré est \(c^2\).
  • Les poteaux ont des sections importantes pour limiter la contrainte de compression.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les colonnes des temples grecs antiques, comme le Parthénon, ne sont pas parfaitement cylindriques. Elles présentent un léger renflement au milieu, appelé "entasis". Cette correction optique visait à compenser l'illusion d'optique qui fait paraître les colonnes parfaitement droites plus minces en leur centre.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi les poteaux sont-ils souvent carrés ou ronds ?

Ces formes sont symétriques et ont la même résistance au flambement dans toutes les directions. Les poteaux rectangulaires sont aussi utilisés, mais il faut alors vérifier le risque de flambement dans la direction la plus "faible" (celle de la plus petite dimension).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'aire de la section transversale du poteau est de 40 000 mm².
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le poteau était un carré de 300 mm de côté, quelle serait sa section en mm² ?

Question 6 : Calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) dans le poteau

Principe (le concept physique)

La logique est identique à celle de la traction : la contrainte est la force répartie sur la surface. La seule différence est le signe : la force "rentre" dans la section au lieu d'en "sortir", ce qui génère une contrainte de compression, que l'on note par convention avec un signe négatif.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le béton est un matériau qui résiste très bien à la compression, mais très mal à la traction. C'est pourquoi on l'utilise pour les poteaux et les fondations. Sa résistance caractéristique en compression, notée \(f_{\text{ck}}\), est la valeur de référence pour le dimensionnement (ici, 25 MPa pour un béton standard).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Même si le calcul donne un résultat négatif, on raisonne souvent sur la valeur absolue de la contrainte pour la comparer à la résistance du matériau. L'important est de bien savoir qu'on est en compression.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2 (calcul des structures en béton) définit précisément comment calculer la résistance de calcul du béton en compression en appliquant des coefficients de sécurité sur la valeur de \(f_{\text{ck}}\). Il prend aussi en compte les effets à long terme comme le fluage (déformation lente sous charge constante).

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \sigma = \frac{N}{A} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge est parfaitement centrée et que la contrainte est uniforme. On néglige le risque de flambement (poteau "court").

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force de compression, \(N = -800 000 \, \text{N}\) (négative par convention)
  • Aire de la section, \(A = 40000 \, \text{mm}^2\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut simplifier le calcul en enlevant les zéros : \(800000 / 40000\) est la même chose que \(80 / 4\), ce qui donne 20. C'est un moyen rapide de trouver le résultat sans calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)
Force de Compression sur la Section
N = 800 kNA = 40 000 mm²σ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On utilise un N négatif pour la compression.

\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{-800000 \, \text{N}}{40000 \, \text{mm}^2} \\ &= -20 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte de Compression Calculée
σ = -20 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte de -20 MPa représente l'intensité de la compression dans le béton. C'est une valeur significative pour ce matériau, qui se rapproche de sa limite de résistance, comme nous le verrons.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le signe est une bonne pratique pour se souvenir qu'on est en compression. L'erreur la plus grave serait de mal calculer l'aire ou de se tromper dans les unités de la force (kN).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La formule de la contrainte est la même en compression.
  • Par convention, la contrainte de compression est négative.
  • Le béton est un matériau optimisé pour travailler en compression.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les Romains étaient des maîtres dans l'utilisation de la compression. Leurs arcs et voûtes, comme au Colisée ou au Pont du Gard, sont des structures ingénieuses qui transforment les charges verticales (poids) en forces de compression pure que la pierre peut facilement supporter.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne tient-on pas compte de l'acier dans le poteau ?

En compression, le béton et l'acier travaillent ensemble. Pour un calcul précis, on utilise une section "homogénéisée" où l'on convertit l'aire de l'acier en une aire de béton équivalente. Cependant, comme le béton constitue la grande majorité de la section, le calcul sur le béton seul donne une bonne première estimation de la contrainte.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de compression dans le poteau est de -20 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle force de compression (en N) produirait une contrainte de -15 MPa ?

Question 7 : Calculer le raccourcissement total (\(\Delta L\)) du poteau

Principe (le concept physique)

De la même manière qu'un tirant s'allonge, un poteau se raccourcit sous l'effet d'une charge de compression. La variation de longueur est régie par les mêmes quatre paramètres : la force, la longueur, la section et le module d'élasticité du matériau.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le module de Young du béton (ici 30 000 MPa ou 30 GPa) est environ 7 fois plus faible que celui de l'acier (210 GPa). Cela signifie que pour une même contrainte, le béton se déforme 7 fois plus que l'acier. C'est un matériau beaucoup moins "rigide".

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul est identique à celui de la traction. Il suffit d'utiliser la force de compression (avec un signe négatif) pour obtenir un allongement négatif, c'est-à-dire un raccourcissement. La physique sous-jacente est la même.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul du raccourcissement des éléments porteurs verticaux est très important dans les immeubles de grande hauteur. La somme des raccourcissements de tous les poteaux sur plusieurs étages peut atteindre plusieurs centimètres et doit être anticipée lors de la construction pour que les planchers restent bien horizontaux.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \Delta L = \frac{N \cdot L}{A \cdot E} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un comportement linéaire élastique du béton, ce qui est une approximation acceptable pour des niveaux de charge de service.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force, \(N = -800 000 \, \text{N}\)
  • Longueur, \(L = 2500 \, \text{mm}\)
  • Aire, \(A = 40000 \, \text{mm}^2\)
  • Module de Young, \(E = 30 000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut aussi utiliser la formule \(\Delta L = \varepsilon \cdot L\). On a déjà calculé \(\sigma = -20\) MPa. Donc \(\varepsilon = \sigma / E = -20 / 30000 \approx -0.000667\). Puis \(\Delta L = -0.000667 \times 2500 \approx -1.67\) mm. Cela permet de séparer les étapes du calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Raccourcissement d'un Poteau
NΔL = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \Delta L &= \frac{N \cdot L}{A \cdot E} \\ &= \frac{-800000 \, \text{N} \cdot 2500 \, \text{mm}}{40000 \, \text{mm}^2 \cdot 30000 \, \text{N/mm}^2} \\ &= \frac{-2 \times 10^9}{1.2 \times 10^9} \, \text{mm} \\ &\approx -1.67 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Raccourcissement Calculé
L = 2500 mmΔL ≈ -1.67 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le poteau de 2.5 mètres se raccourcit de 1.67 mm. Ce phénomène, appelé raccourcissement élastique, est instantané. À long terme, le béton subira également un raccourcissement supplémentaire dû au fluage.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser le bon module de Young est critique. Mettre le module de l'acier à la place de celui du béton conduirait à sous-estimer le raccourcissement d'un facteur 7, ce qui serait une erreur de conception majeure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La formule du raccourcissement est la même que celle de l'allongement.
  • Une force de compression (N < 0) donne une variation de longueur négative (\(\Delta L < 0\)).
  • Le béton est moins rigide (E plus faible) que l'acier.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans le béton précontraint, on tend des câbles d'acier à l'intérieur du béton. Quand on relâche les câbles, ils cherchent à se raccourcir et mettent le béton en compression. Cette "pré-compression" permet de compenser les futures tractions que subira la poutre et d'éviter qu'elle ne se fissure.

FAQ (pour lever les doutes)
Le raccourcissement est-il permanent ?

Tant qu'on reste dans le domaine élastique (ce qui est le cas ici), ce raccourcissement est réversible. Si on enlevait la charge, le poteau retrouverait sa longueur initiale. Cependant, le béton présente aussi un phénomène de "fluage", qui est une déformation lente et irréversible sous une charge maintenue longtemps.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le raccourcissement total du poteau est d'environ 1.67 mm (le signe négatif indique une compression).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le poteau faisait 5000 mm de haut, quel serait son raccourcissement en mm ?

Question 8 : Vérifier la sécurité du poteau

Principe (le concept physique)

La vérification consiste à comparer la contrainte de compression dans le matériau à sa capacité de résistance en compression. Pour le béton, cette résistance est appelée la résistance caractéristique en compression, notée \(f_{\text{ck}}\). Tant que la contrainte est inférieure à cette limite (avec une marge de sécurité), le poteau ne s'écrasera pas.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance du béton (\(f_{\text{ck}}\)) est déterminée par des essais d'écrasement sur des éprouvettes cylindriques ou cubiques après 28 jours de durcissement. Un béton "C25/30" a une résistance caractéristique de 25 MPa sur cylindre (\(f_{\text{ck}}\)) et 30 MPa sur cube.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le béton est un matériau dont la résistance est très variable. C'est pourquoi les coefficients de sécurité utilisés pour le béton (typiquement 1.5 en situation durable) sont plus élevés que pour l'acier (typiquement 1.0 à 1.15), qui est un matériau industriel beaucoup plus homogène et contrôlé.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2 impose de vérifier que la force de calcul \(N_{\text{Ed}}\) est inférieure à la résistance de calcul en compression \(N_{\text{Rd}}\). La résistance \(N_{\text{Rd}}\) est calculée à partir de \(f_{\text{ck}}\), de l'aire de la section et des coefficients de sécurité réglementaires.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On compare la valeur absolue de la contrainte à la résistance en compression du béton :

\[ |\sigma| < f_{\text{ck}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On effectue une vérification simplifiée en comparant directement la contrainte de service à la résistance caractéristique, sans appliquer les coefficients de sécurité normatifs.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte calculée, \(\sigma = -20 \, \text{MPa}\)
  • Résistance caractéristique du béton, \(f_{\text{ck}} = 25 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul du coefficient de sécurité (\(f_{\text{ck}} / |\sigma|\)) donne une idée immédiate de la marge de sécurité. Si ce coefficient est inférieur aux valeurs requises par les normes, la conception n'est pas valide.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte / Résistance (Béton)
Contrainte |σ|Résistance f_ck?
Calcul(s) (l'application numérique)

On compare les valeurs absolues :

\[ |-20 \, \text{MPa}| < 25 \, \text{MPa} \Rightarrow \text{OK} \]

Le coefficient de sécurité est :

\[ \begin{aligned} \text{Coeff. Sécurité} &= \frac{f_{\text{ck}}}{|\sigma|} \\ &= \frac{25}{20} \\ &= 1.25 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Sécurité (Béton)
|σ| = 20 MPaf_ck = 25 MPaOK (marge faible)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte est inférieure à la résistance du béton. Cependant, un coefficient de sécurité de 1.25 est très faible pour du béton, les normes (Eurocode 2) imposent un coefficient de 1.5 sur le matériau. En conditions réelles, ce poteau ne serait pas réglementaire et sa section devrait être augmentée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier les coefficients de sécurité dans un vrai projet d'ingénierie. Comparer directement la contrainte de service à la résistance caractéristique est une approche pédagogique, mais dangereuse en pratique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La sécurité en compression est assurée si \(|\sigma| < f_{\text{ck}}\).
  • Le béton a une bonne résistance en compression, mais elle est variable.
  • Les coefficients de sécurité normatifs sont essentiels pour la conception.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Il existe des bétons à très hautes performances (BHP) qui peuvent atteindre des résistances en compression de plus de 100 MPa, soit 4 fois plus qu'un béton standard. Ils sont utilisés dans des ouvrages d'art exceptionnels ou les étages inférieurs des très hauts gratte-ciels.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la charge n'était pas centrée ?

Si la charge est excentrée, elle crée non seulement de la compression, mais aussi un moment de flexion. On parle alors de "flexion composée". Le calcul est plus complexe car la contrainte n'est plus uniforme sur la section : elle est maximale d'un côté et minimale de l'autre.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de service (20 MPa) est inférieure à la résistance du béton (25 MPa). Le poteau est en sécurité d'un point de vue purement théorique, mais avec une marge de sécurité faible.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la force de compression maximale (en N) que ce poteau peut supporter avant d'atteindre sa limite de résistance ?

Outil Interactif : Paramètres de Traction

Modifiez les paramètres du tirant pour voir leur influence sur l'allongement et la sécurité.

Paramètres d'Entrée
50000 N
3000 mm
20 mm
Résultats Clés
Allongement Total (mm) -
Contrainte de Service (MPa) -
Coefficient de Sécurité -

Le Saviez-Vous ?

Le scientifique anglais Robert Hooke (1635-1703) a été le premier à formuler la loi sur l'élasticité en 1678. Il l'a d'abord publiée sous la forme d'une anagramme latine, "ceiiinosssttuv", qu'il a ensuite révélée comme "ut tensio, sic vis", signifiant "telle est l'extension, telle est la force". C'était un moyen courant à l'époque pour un scientifique de revendiquer la paternité d'une découverte avant d'être prêt à en publier tous les détails.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la limite d'élasticité est-elle de 235 MPa et pas une autre valeur ?

235 MPa est la limite d'élasticité minimale garantie pour l'acier de construction le plus courant, le S235. Le "S" signifie "Structurel" et "235" correspond à cette limite en MPa. Il existe des aciers beaucoup plus résistants (S355, S460, etc.) qui sont utilisés lorsque des contraintes plus élevées sont attendues.

Le poids propre du tirant n'a-t-il vraiment aucune importance ?

Dans cet exercice, non. Le poids propre du tirant est d'environ 7.3 kg, soit une force de ~73 N. C'est moins de 0.2% de la charge appliquée (50 000 N), donc son influence est totalement négligeable. Pour des éléments très longs comme les câbles d'ascenseur ou de ponts suspendus, le poids propre devient une charge prépondérante qui doit absolument être prise en compte.

Qu'est-ce que le flambement en compression ?

Le flambement (ou flambage) est un phénomène d'instabilité qui affecte les pièces longues et minces soumises à de la compression. Au lieu de simplement se raccourcir, la pièce peut brusquement fléchir latéralement et se rompre, même si la contrainte de compression est bien inférieure à la limite de résistance du matériau. Cet exercice concerne des poteaux "courts" pour lesquels ce phénomène est négligé.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double le diamètre d'un tirant, sa capacité à porter une charge de traction avant d'atteindre la limite d'élasticité est...

2. Pour une même force et une même géométrie, une barre en aluminium (E ≈ 70 GPa) s'allongera...

3. Un poteau court et un tirant de même section et même matériau, soumis à la même intensité de force |N|, subiront...

Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne par unité de surface, agissant perpendiculairement à la section d'un matériau. C'est la mesure de l'intensité de la sollicitation. Unité : Pascal (Pa) ou MPa.
Déformation (\(\varepsilon\))
Allongement (ou raccourcissement) par unité de longueur. C'est une mesure relative de la variation de dimension. Grandeur sans dimension.
Loi de Hooke
Principe physique qui énonce que, pour un matériau élastique, la déformation est proportionnelle à la contrainte (\(\sigma = E \cdot \varepsilon\)).
Limite d'Élasticité (\(\sigma_{\text{e}}\))
Valeur de contrainte au-delà de laquelle un matériau cesse de se déformer de manière élastique (réversible) et commence à se déformer de manière plastique (permanente).
Étude en Traction et Compression Axiale

D’autres exercices de Résistance des materiaux :

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