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Essai de flexion 4 points sur Béton Fibré (BFUP)

Exercice : Flexion 4 Points sur Béton Fibré

Essai de flexion 4 points sur Béton Fibré (BFUP)

Contexte : Le Béton Fibré à Ultra-Hautes Performances (BFUP)Matériau cimentaire composite très performant, caractérisé par une résistance en compression > 150 MPa et un comportement ductile en traction grâce à l'incorporation de fibres métalliques..

Contrairement au béton ordinaire qui est fragile en traction, le BFUP intègre des fibres (généralement en acier) qui lui confèrent une résistance et une ductilité (capacité à se déformer avant de rompre) exceptionnelles. Pour quantifier ces propriétés, l'essai de flexion 4 points est la norme. Il permet de mesurer non seulement la résistance maximale, mais aussi le comportement post-fissuration, essentiel pour ce matériau.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à analyser les résultats bruts d'un essai de flexion 4 points. Vous calculerez les indicateurs clés qui définissent la performance d'un BFUP : le moment d'inertie, la contrainte à la limite de proportionnalité (LOP), le module de rupture (MOR), le module d'élasticité (E) et la ténacité.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le moment d'inertie d'une section rectangulaire.
  • Appliquer la formule de Navier pour la flexion (\(\sigma = M \cdot y / I\)) pour trouver les contraintes.
  • Distinguer la Limite de Proportionnalité (LOP) du Module de Rupture (MOR).
  • Calculer le module d'élasticité (E) à partir d'un essai de flexion.
  • Interpréter la notion de ténacité et de comportement écrouissant.

Données de l'étude

On réalise un essai de flexion 4 points sur une éprouvette prismatique (poutre) en BFUP.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Type d'essai Flexion 4 points
Dimensions de l'éprouvette (b x h) 100 mm x 100 mm
Portée entre appuis (\(L_e\)) 450 mm
Écartement des points de charge (\(L_c\)) 150 mm
Montage de l'Essai de Flexion 4 Points
Poutre BFUP (100x100mm) A B F/2 F/2 Portée L_e = 450 mm L_c = 150 mm a a

Résultats Clés de l'Essai :

Nom du Paramètre Description Symbole Valeur Unité
Force (LOP) Force à la limite de proportionnalité \(F_{\text{lop}}\) 18 kN
Flèche (LOP) Flèche à la limite de proportionnalité \(\delta_{\text{lop}}\) 0.15 mm
Force (Pic) Force maximale atteinte (Rupture) \(F_{\text{pic}}\) 32 kN
Flèche (Pic) Flèche à la force maximale \(\delta_{\text{pic}}\) 0.80 mm

Questions à traiter

  1. Calculer le moment d'inertie (\(I_g\)) de la section brute de l'éprouvette.
  2. Calculer la contrainte à la limite de proportionnalité (\(\sigma_{\text{lop}}\)).
  3. Calculer le module de rupture (MOR), ou \(\sigma_{\text{pic}}\).
  4. Calculer le module d'élasticité (Module de Young, \(E\)).
  5. Analyser la ténacité et le comportement post-fissuration du matériau.

Les bases sur la Résistance des Matériaux (RdM)

Pour cet exercice, nous avons besoin de deux concepts fondamentaux de la RdM, basés sur l'hypothèse de Navier-Bernoulli (les sections planes restent planes après déformation).

1. Moment d'Inertie Quadratique (\(I_g\))
C'est une propriété géométrique qui mesure la capacité d'une section à résister à la flexion. Plus \(I_g\) est grand, plus la section est rigide. Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\), il vaut : \[ I_g = \frac{b \cdot h^3}{12} \]

2. Formule de Navier (Contrainte de Flexion)
Elle relie le moment fléchissant (\(M\)) appliqué à une section à la contrainte normale (\(\sigma\)) en un point situé à une distance \(y\) de l'axe neutre (le centre de gravité G pour une section symétrique) : \[ \sigma = \frac{M \cdot y}{I_g} \] La contrainte est maximale aux fibres extrêmes, où \(y = y_{\text{max}} = h/2\).

Correction : Essai de flexion 4 points sur Béton Fibré (BFUP)

Question 1 : Calculer le moment d'inertie (\(I_g\))

Principe

Le moment d'inertie (\(I_g\)) est une propriété purement géométrique. Il ne dépend que de la forme de la section transversale de la poutre (ici, un carré) et non du matériau ou des forces appliquées. Il représente la "rigidité géométrique" de la poutre face à la flexion.

Mini-Cours

Pour une section rectangulaire (ou carrée) de base \(b\) et de hauteur \(h\), fléchie autour de son axe neutre horizontal (passant par son centre de gravité), la formule du moment d'inertie est un standard de la RdM. C'est la première chose à calculer pour toute analyse de flexion.

Remarque Pédagogique

C'est une étape préliminaire indispensable. Sans \(I_g\), nous ne pouvons calculer ni la contrainte (Q2, Q3) ni le module d'élasticité (Q4). Il est crucial de ne pas se tromper sur cette valeur de base.

Normes

Ce calcul est universel et ne dépend pas d'une norme spécifique (Eurocode, ACI, etc.). C'est un principe fondamental de la mécanique des solides et de la Résistance des Matériaux (RdM).

Formule(s)

La seule formule nécessaire est celle du moment d'inertie d'un rectangle.

Moment d'inertie (Section Rectangulaire)

\[ I_g = \frac{b \cdot h^3}{12} \]
Hypothèses

Nous considérons la section "brute", c'est-à-dire la section géométrique pleine, avant toute fissuration. On suppose que la section est parfaitement carrée (100x100 mm).

Donnée(s)

Les seules données nécessaires proviennent de la géométrie de l'éprouvette.

ParamètreSymboleValeurUnité
Base de la sectionb100mm
Hauteur de la sectionh100mm
Astuces

Attention à la puissance 3 ! C'est la hauteur \(h\) (la dimension dans la direction de la flexion) qui est au cube, pas la base \(b\). Pour un carré, \(b=h\), donc le risque d'erreur est faible, mais c'est un piège courant pour les sections rectangulaires.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la section transversale pour laquelle nous calculons \(I_g\).

Section Transversale de la Poutre
G b = 100 mm h = 100 mm
Calcul(s)

Nous allons appliquer la formule de \(I_g\) en substituant les valeurs de \(b = 100 \text{ mm}\) et \(h = 100 \text{ mm}\).

Étape 1 : Application de la formule

\[ \begin{aligned} I_g &= \frac{b \cdot h^3}{12} \\ &= \frac{(100 \text{ mm}) \cdot (100 \text{ mm})^3}{12} \\ &= \frac{100 \cdot 1\,000\,000 \text{ mm}^3}{12} \\ &= \frac{100\,000\,000 \text{ mm}^4}{12} \\ \Rightarrow I_g &\approx 8\,333\,333 \text{ mm}^4 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur numérique (\(I_g\)), il n'y a pas de schéma de résultat pour cette étape. Cette valeur sera utilisée dans les questions suivantes.

Réflexions

Cette valeur de 8.33 millions de \(\text{mm}^4\) représente la rigidité géométrique de notre éprouvette. Si nous avions une poutre de 50x100 mm (même surface) fléchie dans sa hauteur, \(I_g\) serait de \(50 \cdot 100^3 / 12 \approx 4.17 \text{ M mm}^4\) (deux fois moins rigide). Si on la fléchissait "à plat" (100x50 mm), \(I_g\) serait de \(100 \cdot 50^3 / 12 \approx 1.04 \text{ M mm}^4\) (8 fois moins rigide !). Cela montre l'importance capitale de la hauteur dans la résistance à la flexion.

Points de vigilance

L'unité du moment d'inertie est une longueur à la puissance 4 (ici, \(\text{mm}^4\)). C'est une erreur très fréquente d'écrire \(\text{mm}^3\) (réservé au module de section) ou \(\text{mm}^2\) (réservé à l'aire). Une erreur d'unité ici faussera tous les calculs suivants.

Points à retenir

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Le moment d'inertie (\(I_g\)) mesure la rigidité géométrique à la flexion.
  • Formule Essentielle : \(I_g = b \cdot h^3 / 12\) pour un rectangle.
  • Résultat : \(I_g \approx 8.33 \times 10^6 \text{ mm}^4\).
Le saviez-vous ?

C'est pour maximiser le moment d'inertie (et donc la rigidité) pour une quantité de matière donnée que les poutres en acier ont une forme de "I" (profilés IPE ou HEA). La matière est concentrée le plus loin possible de l'axe neutre (dans les "semelles"), là où elle est le plus efficace pour résister à la flexion (\(y\) est max).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi utilise-t-on \(I_g\) (section brute) et non \(I_{\text{fissuré}}\) ?

Pour la Q1, on calcule juste la propriété géométrique de la pièce. Pour la Q2 (calcul à la LOP), on est encore dans le domaine élastique *non fissuré*, donc la section brute (\(I_g\)) est la bonne hypothèse. Pour la Q3 (calcul au pic), on *devrait* utiliser un moment d'inertie fissuré, mais la norme demande de calculer une contrainte *fictive* (le MOR) en gardant \(I_g\) pour pouvoir comparer les matériaux entre eux sur une base commune.

Résultat Final
Le moment d'inertie de la section brute est \(I_g \approx 8\,333\,333 \text{ mm}^4\).
A vous de jouer

Si la poutre avait fait 50 mm de large (\(b\)) et 100 mm de haut (\(h\)), quel aurait été son moment d'inertie \(I_g\) (en \(\text{mm}^4\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

  • Concept Clé : Rigidité géométrique à la flexion.
  • Formule Essentielle : \(I_g = b \cdot h^3 / 12\).
  • Point de Vigilance Majeur : Unité en \(\text{mm}^4\).

Question 2 : Calculer la contrainte à la limite de proportionnalité (\(\sigma_{\text{lop}}\))

Principe

La LOP (Limite de Proportionnalité) est la contrainte correspondant à la fin du comportement élastique linéaire. C'est le point où la courbe Force-Flèche (F-δ) cesse d'être une ligne droite. On considère que c'est le début de la "fissuration" (micro-fissuration) du béton. On la calcule en utilisant la formule de flexion de Navier avec la force mesurée à ce point précis (\(F_{\text{lop}}\)).

Mini-Cours

En flexion 4 points, la zone entre les deux points de charge (la zone de \(\text{longueur } L_c\)) est soumise à un moment fléchissant constant et maximal, sans effort tranchant. C'est la zone "pure" de l'essai. Le moment maximal vaut : \(M_{\text{max}} = R_A \cdot a\), où \(R_A\) est la réaction d'appui (\(F/2\)) et \(a\) est la distance de l'appui au premier point de charge.

Remarque Pédagogique

Cette valeur est cruciale. Elle représente la "résistance élastique" du matériau. Pour un béton ordinaire, ce point correspondrait quasiment à la rupture (comportement fragile). Pour un BFUP, ce n'est que le début de la "vraie" performance du matériau, là où les fibres vont commencer à travailler.

Normes

Le calcul de cette contrainte (et du MOR à la Q3) est standardisé, par exemple dans la norme européenne EN 14651 ou les recommandations ACI 544. Elles définissent la géométrie de l'essai et les formules à utiliser pour assurer la comparabilité des résultats.

Formule(s)

Nous avons besoin de deux formules : celle du moment fléchissant max dans l'essai, et celle de la contrainte de Navier.

Moment Fléchissant (Flexion 4 pts)

\[ M = \frac{F}{2} \cdot a \quad \text{avec} \quad a = \frac{L_e - L_c}{2} \]

Contrainte de Flexion (Navier)

\[ \sigma = \frac{M \cdot y_{\text{max}}}{I_g} \quad \text{avec} \quad y_{\text{max}} = \frac{h}{2} \]
Hypothèses

À la LOP, on suppose que le matériau est encore dans son domaine élastique, homogène et non fissuré. On utilise donc le moment d'inertie de la section brute (\(I_g\)) calculé à la Q1. C'est l'hypothèse de la RdM élastique.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'essai et le résultat de la Q1.

ParamètreSymboleValeurUnité
Force à la LOP\(F_{\text{lop}}\)18kN
Portée entre appuis\(L_e\)450mm
Écartement des charges\(L_c\)150mm
Hauteur de sectionh100mm
Moment d'inertie (Q1)\(I_g\)8 333 333mm⁴
Astuces

Le point le plus important est la gestion des unités. Les forces sont en KiloNewtons (kN) et les dimensions en millimètres (mm). Pour obtenir une contrainte en MégaPascals (MPa), le plus simple est de tout convertir en Newtons (N) et millimètres (mm). Rappelez-vous : \(1 \text{ MPa} = 1 \text{ N/mm}^2\).

Schéma (Avant les calculs)

Le diagramme du moment fléchissant est linéaire des appuis aux charges, et constant entre les charges.

Diagramme du Moment Fléchissant (M)
Appui AAppui BF/2F/2M_max = (F/2) * a
Calcul(s)

Le calcul se fait en quatre étapes : trouver 'a', convertir la force, calculer le moment correspondant, puis calculer la contrainte avec la formule de Navier.

Étape 1 : Calcul de la distance 'a'

\[ \begin{aligned} a &= \frac{L_e - L_c}{2} \\ &= \frac{450 \text{ mm} - 150 \text{ mm}}{2} \\ &= \frac{300 \text{ mm}}{2} = 150 \text{ mm} \end{aligned} \]

Étape 2 : Conversion de la force \(F_{\text{lop}}\) en Newtons

\[ F_{\text{lop}} = 18 \text{ kN} = 18 \times 1000 \text{ N} = 18\,000 \text{ N} \]

Étape 3 : Calcul du moment \(M_{\text{lop}}\) (en N·mm)

Le moment est la réaction d'appui (\(F/2\)) multipliée par le bras de levier 'a'.

\[ \begin{aligned} M_{\text{lop}} &= \frac{F_{\text{lop}}}{2} \cdot a \\ &= \frac{18\,000 \text{ N}}{2} \cdot 150 \text{ mm} \\ &= 9\,000 \text{ N} \cdot 150 \text{ mm} \\ &= 1\,350\,000 \text{ N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

Étape 4 : Calcul de la contrainte \(\sigma_{\text{lop}}\) (en MPa)

On utilise la formule de Navier, avec \(y = h/2 = 100 \text{ mm} / 2 = 50 \text{ mm}\).

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{lop}} &= \frac{M_{\text{lop}} \cdot y}{I_g} \\ &= \frac{(1\,350\,000 \text{ N} \cdot \text{mm}) \cdot (50 \text{ mm})}{8\,333\,333 \text{ mm}^4} \\ &= \frac{67\,500\,000 \text{ N} \cdot \text{mm}^2}{8\,333\,333 \text{ mm}^4} \\ \Rightarrow \sigma_{\text{lop}} &\approx 8.1 \text{ N/mm}^2 \text{ (MPa)} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le calcul nous donne la contrainte maximale sur les fibres extrêmes (supérieure et inférieure) de la poutre.

Diagramme des Contraintes (à la LOP)
G\(\sigma_{comp}\)\(\sigma_{trac} = 8.1\) MPa
Réflexions

Une contrainte de 8.1 MPa peut sembler faible pour un matériau "Ultra-Haute Performance". Mais il s'agit de la résistance en *traction par flexion* de la matrice cimentaire. Un béton ordinaire de haute performance (C50/60) aurait une résistance en traction d'environ 4 MPa. Ce BFUP est donc déjà deux fois plus résistant *avant même* que les fibres ne s'activent pleinement. C'est la suite (Q3) qui montrera la vraie performance.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de se tromper dans le calcul du moment. On doit utiliser la force \(F/2\) (la réaction d'appui) et non la force totale \(F\). Une autre erreur est d'oublier de convertir les \(kN\) en \(N\), ce qui donnerait un résultat 1000 fois trop faible (0.0081 MPa).

Points à retenir
  • La LOP est la limite du comportement élastique, où la première micro-fissure apparaît.
  • Le moment en flexion 4 points est constant entre les charges et vaut \(M = (F/2) \cdot a\).
  • \(\sigma_{\text{lop}}\) se calcule avec la formule de Navier et les données du point LOP.
Le saviez-vous ?

Le concept de LOP est spécifique aux matériaux ductiles comme les BFUP. Pour un béton ordinaire fragile, la LOP et le Pic (rupture) sont quasiment confondus. La courbe F-δ s'arrête brutalement juste après la phase linéaire.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Pourquoi le moment est-il constant entre les charges ?

Le diagramme d'effort tranchant (V) pour cet essai est constant et non nul entre l'appui et la charge, et nul (V=0) entre les deux charges. Or, le moment fléchissant (M) est l'intégrale de l'effort tranchant (V). Là où V=0, la pente de M est nulle, donc M est constant.

Que signifie \(\sigma_{\text{lop}}\) physiquement ?

C'est la contrainte de traction maximale que la matrice cimentaire (le "béton" sans les fibres) peut supporter avant de se micro-fissurer. C'est la "résistance en traction" de la matrice.

Résultat Final
La contrainte à la limite de proportionnalité est \(\sigma_{\text{lop}} \approx 8.1 \text{ MPa}\).
A vous de jouer

Si la force \(F_{\text{lop}}\) avait été de 20 kN (et non 18), quelle aurait été la \(\sigma_{\text{lop}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

  • Concept Clé : Contrainte au début de la fissuration.
  • Formule Essentielle : \(\sigma = (M \cdot y) / I_g\) où \(M = (F/2) \cdot a\).
  • Point de Vigilance Majeur : Unités ! (N et mm pour MPa).

Question 3 : Calculer le module de rupture (MOR)

Principe

Le Module de Rupture (MOR), aussi appelé \(\sigma_{\text{pic}}\), est la contrainte de traction *fictive* maximale calculée au point de charge le plus élevé (\(F_{\text{pic}}\)). On l'appelle "fictive" car à ce stade, la poutre est largement fissurée, la section n'est plus homogène, et l'axe neutre s'est déplacé. La formule de Navier (\(\sigma = My/I_g\)) n'est donc théoriquement plus valide.

Mini-Cours

Malgré l'invalidité théorique de la formule de Navier au-delà de la LOP, les normes exigent que l'on utilise *exactement la même formule* que pour la LOP. Pourquoi ? Pour obtenir un "indice de performance" (le MOR) qui peut être facilement comparé entre différents matériaux. C'est une convention de calcul, pas une description physique exacte de la contrainte dans la poutre.

Remarque Pédagogique

Le MOR est la "star" des bétons fibrés. C'est la valeur que les ingénieurs utilisent pour le dimensionnement. Un MOR élevé (ici, on s'attend à > 14 MPa) signifie que les fibres ont été très efficaces : elles ont "cousu" les micro-fissures et ont permis à la poutre de supporter une charge bien supérieure à celle qui a initié la fissuration (la LOP).

Normes

Les normes (EN 14651, ACI 544) définissent le MOR (Module of Rupture) comme la contrainte maximale calculée avec la formule de flexion élastique, en utilisant la force maximale (\(F_{\text{pic}}\)) et la géométrie brute (\(I_g\)).

Formule(s)

Les formules sont identiques à celles de la Q2, mais on remplace \(F_{\text{lop}}\) par \(F_{\text{pic}}\).

Moment Fléchissant au Pic

\[ M_{\text{pic}} = \frac{F_{\text{pic}}}{2} \cdot a \]

Module de Rupture (MOR)

\[ \text{MOR} = \frac{M_{\text{pic}} \cdot y_{\text{max}}}{I_g} \]
Hypothèses

C'est le point clé : on fait l'hypothèse *fictive* d'un comportement élastique-linéaire jusqu'à la rupture, en utilisant la géométrie de la section brute (\(I_g\)), même si l'on sait que c'est physiquement incorrect. C'est une convention.

Donnée(s)

On utilise la force maximale de l'essai.

ParamètreSymboleValeurUnité
Force au Pic\(F_{\text{pic}}\)32kN
Distance 'a' (Q2)a150mm
Distance axe neutre-fibre\(y_{\text{max}}\)50mm
Moment d'inertie (Q1)\(I_g\)8 333 333mm⁴
Astuces

Puisque \(\sigma\) est proportionnel à \(F\), on peut aussi calculer le MOR par une simple règle de trois : \(\text{MOR} = \sigma_{\text{lop}} \cdot (F_{\text{pic}} / F_{\text{lop}}) = 8.1 \cdot (32 / 18)\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de principe reste le même que pour la Q2, mais la valeur du moment est plus élevée.

Diagramme du Moment Fléchissant (M)
Appui AAppui BF/2F/2M_max = (F_pic/2) * a
Calcul(s)

La méthode est identique à la Question 2, mais nous utilisons la force de pic (\(F_{\text{pic}}\)) au lieu de la force LOP (\(F_{\text{lop}}\)). La distance 'a' et \(I_g\) ne changent pas.

Étape 1 : Conversion de la force \(F_{\text{pic}}\) en Newtons

\[ F_{\text{pic}} = 32 \text{ kN} = 32 \times 1000 \text{ N} = 32\,000 \text{ N} \]

Étape 2 : Calcul du moment \(M_{\text{pic}}\) (en N·mm)

La distance 'a' est toujours de 150 mm.

\[ \begin{aligned} M_{\text{pic}} &= \frac{F_{\text{pic}}}{2} \cdot a \\ &= \frac{32\,000 \text{ N}}{2} \cdot 150 \text{ mm} \\ &= 16\,000 \text{ N} \cdot 150 \text{ mm} \\ &= 2\,400\,000 \text{ N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul du MOR (en MPa)

On utilise \(y = h/2 = 50 \text{ mm}\) et \(I_g = 8\,333\,333 \text{ mm}^4\).

\[ \begin{aligned} \text{MOR} &\approx 14.4 \text{ N/mm}^2 \text{ (MPa)} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le diagramme de contrainte *fictif* (élastique) montrerait 14.4 MPa en traction. En réalité, la contrainte s'est redistribuée grâce à la plastification et à l'action des fibres.

Diagramme des Contraintes (fictif au Pic)
G\(\sigma_{comp}\)MOR = 14.4 MPa
Réflexions

Le résultat est impressionnant. La contrainte de première fissure (LOP) était de 8.1 MPa, mais la résistance maximale (MOR) est de 14.4 MPa. Cela signifie qu'après la fissuration, les fibres ont pris le relais et ont permis à la poutre de supporter une charge beaucoup plus importante (environ 1.78 fois plus, \(\text{Ratio} = 14.4 / 8.1\)). C'est ce qu'on appelle un comportement "écrouissant" (strain-hardening), similaire à celui de l'acier.

Points de vigilance

Ne soyez pas confus par la nature "fictive" du MOR. Bien que la formule de Navier soit "fausse" à ce stade, le MOR est la valeur de résistance en flexion conventionnelle et correcte à utiliser pour les BFUP. Ne tentez pas de calculer un \(I_{\text{fissuré}}\) complexe, sauf si vous faites une analyse non-linéaire avancée.

Points à retenir
  • Le MOR (Module de Rupture) est la résistance maximale en flexion.
  • Il se calcule avec la force maximale (\(F_{\text{pic}}\)) mais en gardant les hypothèses élastiques (\(I_g\)).
  • C'est une convention de calcul pour comparer les matériaux.
  • Un MOR > LOP signifie un comportement ductile et écrouissant.
Le saviez-vous ?

Le rapport \(\text{MOR} / \sigma_{\text{lop}}\) est un indicateur de ductilité. Pour un béton ordinaire (fragile), ce rapport est de 1.0. Pour un BFUP performant, on vise un rapport supérieur à 1.2. Notre 1.78 est donc excellent. Certains BFUP optimisés en laboratoire peuvent atteindre des rapports de 2.5 ou 3 !

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Si la formule est fausse, pourquoi l'utilise-t-on ?

Pour la simplicité et la comparaison. Il serait extrêmement complexe de définir la "vraie" contrainte, qui n'est plus triangulaire mais suit un profil plastique complexe. En utilisant la même formule simple pour tous les essais, on peut directement comparer les performances : un matériau avec un MOR de 14 MPa est simplement plus résistant en flexion qu'un matériau avec un MOR de 10 MPa.

Résultat Final
Le Module de Rupture (MOR) est \(\sigma_{\text{pic}} \approx 14.4 \text{ MPa}\).
A vous de jouer

Quelle serait la force de rupture \(F_{\text{pic}}\) (en kN) nécessaire pour atteindre un MOR de 20 MPa ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

  • Concept Clé : Résistance ultime (fictive) en flexion.
  • Formule Essentielle : Identique à Q2, mais avec \(F_{\text{pic}}\).
  • Point de Vigilance Majeur : Le MOR est une convention, pas une contrainte physique réelle.

Question 4 : Calculer le module d'élasticité (\(E\))

Principe

Le module d'élasticité (ou Module de Young, \(E\)) est la "raideur" intrinsèque du matériau. Il décrit le lien de proportionnalité entre la contrainte (\(\sigma\)) et la déformation (\(\epsilon\)) dans le domaine élastique (\(\sigma = E \cdot \epsilon\)). Dans un essai de flexion, on ne mesure pas \(\sigma\) et \(\epsilon\) directement, mais on peut déduire \(E\) de la relation entre la force (\(F\)) et la flèche (\(\delta\)) dans la partie linéaire de la courbe (c'est-à-dire, jusqu'à la LOP).

Mini-Cours

La Résistance des Matériaux nous donne la formule de la flèche (\(\delta\)) au centre d'une poutre en flexion 4 points. Cette formule dépend de la force \(F\), de la géométrie (\(L_e, a, I_g\)) et, surtout, du module d'élasticité \(E\). En connaissant tous les autres termes (on mesure le couple \(F_{\text{lop}}\) et \(\delta_{\text{lop}}\)), on peut isoler \(E\) pour le calculer.

Remarque Pédagogique

Le module \(E\) est fondamental pour prédire comment une structure va se déformer sous une charge de service (avant fissuration). Un \(E\) élevé signifie que la structure est très rigide et se déformera peu. Un \(E\) faible signifie une structure plus "molle" ou souple. Pour un béton, \(E\) est typiquement bien plus faible que celui de l'acier (25-40 GPa contre 210 GPa).

Normes

La formule de la flèche pour une flexion 4 points est un standard de la RdM. Les normes d'essai précisent qu'il faut utiliser un point dans la plage 10% - 50% de la force maximale pour calculer \(E\), mais utiliser le point LOP (s'il est clairement identifié) est une méthode courante et correcte, car il définit la fin de la plage linéaire.

Formule(s)

On part de la formule de la flèche au centre pour une flexion 4 points, qu'on réorganise pour trouver E.

Flèche (Flexion 4 pts)

\[ \delta = \frac{F \cdot a}{48 \cdot E \cdot I_g} \cdot (3L_e^2 - 4a^2) \]

Module d'Élasticité (isolé)

\[ E = \frac{F_{\text{lop}} \cdot a}{48 \cdot \delta_{\text{lop}} \cdot I_g} \cdot (3L_e^2 - 4a^2) \]
Hypothèses

On se place à la LOP (\(F_{\text{lop}}, \delta_{\text{lop}}\)), où le comportement est encore parfaitement élastique. On utilise donc la géométrie brute (\(I_g\)).

Donnée(s)

On utilise toutes les données de l'essai et les résultats précédents.

ParamètreSymboleValeurUnité
Force LOP\(F_{\text{lop}}\)18 000N
Flèche LOP\(\delta_{\text{lop}}\)0.15mm
Portée\(L_e\)450mm
Distance 'a' (Q2)a150mm
Moment d'inertie (Q1)\(I_g\)8 333 333mm⁴
Astuces

Le calcul du terme \((3L_e^2 - 4a^2)\) peut être délicat. Faites-le séparément. Assurez-vous que toutes les unités sont en N et mm. Le résultat pour \(E\) sera directement en \(\text{N/mm}^2\), c'est-à-dire en MPa. Pour le convertir en GigaPascals (GPa), divisez par 1000.

Schéma (Avant les calculs)

On se réfère à la courbe charge-flèche. Le module E est la pente de la partie linéaire initiale de cette courbe, jusqu'au point LOP.

Pente Élastique (Module E)
Flèche \(\delta\)Force FLOP (18kN, 0.15mm)PIC (32kN, 0.8mm)Pente = E
Calcul(s)

Nous réorganisons la formule de la flèche pour isoler E. Toutes les valeurs doivent être en Newtons (N) et millimètres (mm).

Formule de base :

\[ \delta = \frac{F \cdot a \cdot (3L_e^2 - 4a^2)}{48 \cdot E \cdot I_g} \]

Formule réorganisée :

\[ E = \frac{F_{\text{lop}} \cdot a \cdot (3L_e^2 - 4a^2)}{48 \cdot \delta_{\text{lop}} \cdot I_g} \]

Étape 1 : Calcul du terme géométrique \((3L_e^2 - 4a^2)\)

\[ \begin{aligned} (3L_e^2 - 4a^2) &= (3 \cdot (450 \text{ mm})^2 - 4 \cdot (150 \text{ mm})^2) \\ &= (3 \cdot 202\,500 - 4 \cdot 22\,500) \\ &= (607\,500 - 90\,000) = 517\,500 \text{ mm}^2 \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul du Numérateur de la formule de E

\[ \begin{aligned} \text{Num.} &= F_{\text{lop}} \cdot a \cdot (3L_e^2 - 4a^2) \\ &= (18\,000 \text{ N}) \cdot (150 \text{ mm}) \cdot (517\,500 \text{ mm}^2) \\ &= 2\,700\,000 \cdot 517\,500 \\ &= 1\,397\,250\,000\,000 \text{ N} \cdot \text{mm}^3 \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul du Dénominateur de la formule de E

\[ \begin{aligned} \text{Dén.} &= 48 \cdot \delta_{\text{lop}} \cdot I_g \\ &= 48 \cdot (0.15 \text{ mm}) \cdot (8\,333\,333 \text{ mm}^4) \\ &= 7.2 \cdot 8\,333\,333 \\ &\approx 60\,000\,000 \text{ mm}^5 \end{aligned} \]

Étape 4 : Calcul final de E (en MPa)

\[ \begin{aligned} E &= \frac{\text{Num.}}{\text{Dén.}} \\ &= \frac{1\,397\,250\,000\,000 \text{ N} \cdot \text{mm}^3}{60\,000\,000 \text{ mm}^5} \\ \Rightarrow E &\approx 23\,287.5 \text{ N/mm}^2 \text{ (MPa)} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le module E est une propriété intrinsèque du matériau (une pente), il n'a pas de représentation schématique propre autre que d'être la pente de la courbe F-δ dans la zone élastique.

Réflexions

Nous trouvons \(E \approx 23\,288 \text{ MPa}\), soit environ \(23.3 \text{ GPa}\). C'est une valeur typique pour un béton haute performance, mais relativement faible pour un BFUP (qui ont souvent E > 40 GPa). Cela peut être dû à la composition spécifique de ce BFUP (par exemple, un dosage en fibres optimisé pour la ductilité plutôt que la rigidité) ou à une légère imprécision dans la mesure de la flèche \(\delta_{\text{lop}}\), qui est très petite (0.15 mm) et donc difficile à mesurer parfaitement.

Points de vigilance

La formule de la flèche est complexe. Une petite erreur de parenthèse ou de puissance fausse tout le calcul. Le terme \( (3L_e^2 - 4a^2) \) est particulièrement sensible. De plus, la mesure de \(\delta_{\text{lop}}\) est le point le plus incertain de l'essai ; une petite erreur sur cette valeur a un impact énorme sur \(E\).

Points à retenir
  • Le module \(E\) mesure la rigidité du matériau.
  • Il se calcule à partir de la pente de la courbe Force-Flèche dans la zone élastique (jusqu'à la LOP).
  • La formule de RdM liant \(\delta\) à \(F\) est l'outil clé.
  • \(1 \text{ GPa} = 1000 \text{ MPa} = 1000 \text{ N/mm}^2\).
Le saviez-vous ?

Le module \(E\) du béton est principalement dicté par la rigidité des granulats (le "squelette" du béton) et non par la pâte de ciment. Le module \(E\) de l'acier (fibres) est de 210 GPa, soit presque 10 fois plus que notre béton. C'est en partie grâce à cette grande différence de rigidité que les fibres sont si efficaces pour "reprendre" l'effort après la fissuration de la matrice.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Cette valeur de 23.3 GPa vous semble-t-elle faible pour un BFUP ?

Oui, elle est dans la fourchette basse. Les BFUP commerciaux ont tendance à avoir des modules entre 40 et 60 GPa, se rapprochant de la rigidité de l'aluminium. Notre valeur de 23.3 GPa est plus proche d'un Béton Haute Performance (BHP) standard. Cela n'enlève rien à sa résistance (MOR) ou à sa ductilité (Q5), qui sont excellentes.

Résultat Final
Le module d'élasticité est \(E \approx 23\,288 \text{ MPa}\) (ou \(23.3 \text{ GPa}\)).
A vous de jouer

Si la flèche \(\delta_{\text{lop}}\) avait été de 0.10 mm (matériau plus rigide) au lieu de 0.15 mm, quel aurait été le module \(E\) (en MPa) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

  • Concept Clé : Rigidité intrinsèque du matériau (\(E\)).
  • Formule Essentielle : Isoler \(E\) de la formule de la flèche \(\delta = f(F, L, a, E, I_g)\).
  • Point de Vigilance Majeur : Formule complexe et sensibilité à la mesure de \(\delta_{\text{lop}}\).

Question 5 : Analyser la ténacité et le comportement post-fissuration

Principe

La ténacité est la capacité d'un matériau à absorber de l'énergie avant (et pendant) sa rupture. Sur la courbe Force-Flèche, elle est représentée par l'aire totale sous la courbe. Un matériau "tenace" a une grande aire sous la courbe, tandis qu'un matériau "fragile" (comme le verre ou le béton ordinaire) a une très petite aire. On analyse cette ténacité en comparant le point Pic au point LOP.

Mini-Cours

On caractérise le comportement post-fissuration (après la LOP) par deux aspects :
1. L'écrouissage (Strain-Hardening) : La capacité à supporter *plus* de charge après la première fissure (\(F_{\text{pic}} > F_{\text{lop}}\)). C'est ce que nous avons.
2. L'adoucissement (Strain-Softening) : La charge chute après la LOP, mais lentement (\(F_{\text{pic}} < F_{\text{lop}}\)). C'est moins bon, mais toujours ductile.
La ductilité se mesure par la capacité à se déformer. On la quantifie par le rapport des flèches (\(\delta_{\text{pic}} / \delta_{\text{lop}}\)).

Remarque Pédagogique

C'est la question la plus importante pour un BFUP. Sa "magie" n'est pas sa résistance élastique (LOP, Q2), mais sa capacité à continuer de travailler, de se déformer et de résister *après* cette première fissure. C'est ce qui le rend si différent du béton classique et lui permet d'être utilisé pour des structures légères, sans armatures passives traditionnelles.

Normes

Les normes (comme la EN 14651) ne se contentent pas de la LOP et du MOR. Elles demandent de calculer des résistances résiduelles à des flèches précises (ex: à \(\delta = 0.5 \text{ mm}\) et \(\delta = 2.5 \text{ mm}\)) pour classifier le matériau (par exemple, "Classe 3b"). Notre analyse qualitative (\(F_{\text{pic}}\) vs \(F_{\text{lop}}\)) est la première étape de cette classification.

Formule(s)

Il s'agit moins de formules que de ratios d'analyse, basés sur les données de l'essai.

Ratio d'Écrouissage (Force)

\[ \text{Ratio}_{\text{Force}} = \frac{F_{\text{pic}}}{F_{\text{lop}}} \]

Ratio de Ductilité (Flèche)

\[ \text{Ratio}_{\text{Flèche}} = \frac{\delta_{\text{pic}}}{\delta_{\text{lop}}} \]
Hypothèses

Nous supposons que les 4 points de données (\(F_{\text{lop}}, \delta_{\text{lop}}, F_{\text{pic}}, \delta_{\text{pic}}\)) sont corrects et représentatifs du comportement du matériau.

Donnée(s)

On utilise les 4 données clés de l'énoncé.

ParamètreSymboleValeurUnité
Force LOP\(F_{\text{lop}}\)18kN
Flèche LOP\(\delta_{\text{lop}}\)0.15mm
Force Pic\(F_{\text{pic}}\)32kN
Flèche Pic\(\delta_{\text{pic}}\)0.80mm
Astuces

Un simple coup d'œil aux données (\(F_{\text{pic}} > F_{\text{lop}}\)) confirme un comportement écrouissant (strain-hardening). Si on avait eu \(F_{\text{pic}} \approx F_{\text{lop}}\), le comportement aurait été fragile. Si \(F_{\text{pic}} < F_{\text{lop}}\) mais avec une descente lente, on parlerait d'adoucissement (softening).

Schéma (Avant les calculs)

La courbe Force-Flèche illustre parfaitement ce concept. La zone avant LOP est l'élasticité, la zone entre LOP et Pic est l'écrouissage, et l'aire totale sous la courbe est la ténacité.

Courbe Force-Flèche Typique d'un BFUP
Flèche deltaForce FLOP (18kN, 0.15mm)PIC (32kN, 0.8mm)ÉcrouissageTÉNACITÉ
Calcul(s)

Nous n'effectuons pas un calcul complexe d'aire, mais plutôt deux ratios simples qui quantifient la ductilité (capacité de déformation) et l'écrouissage (gain de résistance).

Étape 1 : Calcul du ratio d'écrouissage (Force)

On compare la force maximale à la force de première fissuration.

\[ \begin{aligned} \text{Ratio}_{\text{Force}} &= \frac{F_{\text{pic}}}{F_{\text{lop}}} \\ &= \frac{32 \text{ kN}}{18 \text{ kN}} \\ &\approx 1.78 \end{aligned} \]

Cela signifie que la poutre peut supporter une charge 78% plus élevée *après* avoir commencé à fissurer (LOP) avant d'atteindre sa rupture (Pic).

Étape 2 : Calcul du ratio de ductilité (Flèche)

On compare la déformation au pic à la déformation à la première fissuration.

\[ \begin{aligned} \text{Ratio}_{\text{Flèche}} &= \frac{\delta_{\text{pic}}}{\delta_{\text{lop}}} \\ &= \frac{0.80 \text{ mm}}{0.15 \text{ mm}} \\ &\approx 5.33 \end{aligned} \]

Cela signifie que la poutre peut se déformer plus de 5 fois plus entre la première fissure (LOP) et le point de rupture (Pic). C'est cet énorme capacité de déformation qui prouve la grande ténacité du matériau.

Schéma (Après les calculs)

Pas de schéma supplémentaire. Le schéma 'Avant les calculs' (la courbe F-δ) est le principal résultat visuel pour cette question. Les calculs ci-dessus ne font que quantifier les points clés sur ce graphique.

Réflexions

Analyse de Ténacité : Les deux ratios sont excellents.
1. Le \(\text{Ratio}_{\text{Force}} \approx 1.78\) confirme un comportement écrouissant (strain-hardening) très marqué. Les fibres s'activent efficacement et reprennent plus de charge que la matrice initiale.
2. Le \(\text{Ratio}_{\text{Flèche}} \approx 5.33\) confirme une très grande ductilité. La poutre prévient largement de sa rupture par une déformation visible importante, ce qui est un atout majeur en sécurité structurelle (pas de rupture soudaine et fragile).
Conclusion : Ce BFUP est un matériau de haute performance, ductile et tenace, qui se comporte davantage comme un métal que comme un béton traditionnel.

Points de vigilance

Ne pas confondre "ténacité" et "résistance". Un matériau peut être très résistant (MOR élevé) mais fragile (ratio de flèche proche de 1). La performance du BFUP réside dans sa capacité à combiner les deux : une haute résistance (MOR) *et* une haute ténacité (grande aire sous la courbe, grands ratios).

Points à retenir
  • La ténacité est l'aire sous la courbe Force-Flèche.
  • Comportement écrouissant = \(F_{\text{pic}} > F_{\text{lop}}\). C'est le cas idéal.
  • Comportement ductile = \(\delta_{\text{pic}} \gg \delta_{\text{lop}}\).
  • Ces deux propriétés combinées sont ce qui définit un BFUP.
Le saviez-vous ?

L'énergie absorbée (ténacité), qui a pour unité des Joules (N·m), peut être directement calculée en intégrant la courbe F-δ. C'est cette capacité d'absorption d'énergie qui rend les BFUP si performants pour les structures pare-balles, les enceintes de confinement nucléaire ou les bâtiments en zone sismique.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape.

Toutes les fibres donnent-elles ce résultat ?

Non. Le type de fibre (longueur, forme, matériau) et le dosage (le % en volume) sont cruciaux. Des fibres trop courtes ou pas assez nombreuses peuvent mener à un comportement "adoucissant" (\(F_{\text{pic}} < F_{\text{lop}}\)), qui est moins performant. Cet essai montre un dosage et un type de fibre très bien optimisés.

Qu'est-ce qui se passe physiquement dans la poutre ?

À la LOP, la matrice se fissure. Les fibres qui traversent cette fissure entrent en tension. Elles "tirent" sur les lèvres de la fissure pour l'empêcher de s'ouvrir. Comme elles sont très résistantes, elles y parviennent, et la charge peut continuer d'augmenter (écrouissage) jusqu'à ce que les fibres elles-mêmes commencent à glisser de la matrice ou à rompre, menant au Pic.

Résultat Final
Le matériau présente un comportement écrouissant (Ratio Force \(\approx\) 1.78) et très ductile (Ratio Flèche \(\approx\) 5.33), indicateur d'une excellente ténacité.
A vous de jouer

Un autre essai donne \(F_{\text{lop}}=15 \text{ kN}\) et \(F_{\text{pic}}=16 \text{ kN}\). Le comportement est-il écrouissant ou adoucissant ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

  • Concept Clé : Ténacité (énergie) et Ductilité (déformation).
  • Analyse Clé : Comparer le point Pic au point LOP.
  • Résultat : Écrouissant (\(F_{\text{pic}} > F_{\text{lop}}\)) et Ductile (\(\delta_{\text{pic}} \gg \delta_{\text{lop}}\)).

Outil Interactif : Simulateur de MOR

Explorez comment la géométrie de l'éprouvette et la force de rupture influencent le Module de Rupture (MOR). La formule utilisée est \(\text{MOR} = (F_{\text{pic}} \cdot a \cdot (h/2)) / I_g\), où \(a = (L_e - L_c)/2\) et \(I_g = b \cdot h^3 / 12\).

Paramètres d'Entrée
32 kN
100 mm
100 mm
Résultats Clés
Moment d'Inertie (\(I_g\)) (M.mm⁴) -
Moment au Pic (\(M_{\text{pic}}\)) (kN·m) -
Module de Rupture (MOR) (MPa) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que le Moment d'Inertie (\(I_g\)) mesure principalement ?

2. La LOP (\(\sigma_{\text{lop}}\)) est calculée en utilisant...

3. Pourquoi le MOR est-il considéré comme une contrainte "fictive" ?

4. Un comportement "écrouissant" (strain-hardening) signifie que...

5. Si on double la hauteur (\(h\)) de la poutre, comment évolue son moment d'inertie (\(I_g\)) ?

Glossaire

BFUP (Béton Fibré Ultra-Haute Performance)
Matériau cimentaire avec des résistances en compression très élevées (>150 MPa) et un comportement ductile en traction grâce à l'ajout de fibres, généralement métalliques.
Ductilité
Capacité d'un matériau à se déformer plastiquement (de manière permanente) avant de rompre. C'est le contraire de la fragilité.
Écrouissage (Strain-Hardening)
Phénomène où la contrainte nécessaire pour déformer un matériau augmente avec la déformation plastique. En flexion BFUP, cela se traduit par \(F_{\text{pic}} > F_{\text{lop}}\).
Limite de Proportionnalité (LOP)
Point sur la courbe contrainte-déformation (ou Force-Flèche) où le comportement cesse d'être linéaire. Correspond à la première micro-fissuration de la matrice.
Module d'Élasticité (Module de Young, E)
Mesure de la rigidité d'un matériau. C'est la pente de la partie linéaire de la courbe contrainte-déformation. Unité : Pa ou GPa.
Module de Rupture (MOR)
Contrainte de traction maximale *fictive* calculée en utilisant la formule de flexion élastique (\(\sigma = My/I_g\)) avec la force maximale atteinte (\(F_{\text{pic}}\)).
Moment d'Inertie (\(I_g\))
Propriété géométrique d'une section qui quantifie sa capacité à résister à la flexion. Unité : \(\text{m}^4\) ou \(\text{mm}^4\).
Ténacité
Capacité d'un matériau à absorber de l'énergie (par déformation et endommagement) avant de rompre. Elle est représentée par l'aire totale sous la courbe Force-Flèche.
Exercice : Flexion 4 Points sur Béton Fibré (BFUP)

D’autres exercices de Résistances des materiaux:

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