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Dimensionnement d’une Solive en Bois Massif

Dimensionnement d’une Solive en Bois Massif

Dimensionnement d’une Solive en Bois Massif

Contexte : Le squelette de nos planchers.

En construction bois, le dimensionnement des solivesPoutre, généralement en bois et de section rectangulaire, posée horizontalement pour constituer l'ossature d'un plancher. de plancher est une étape fondamentale. Une solive est une poutre, généralement en bois, qui supporte le plancher d'une pièce. Un bon dimensionnement garantit non seulement la sécurité de la structure (elle ne doit pas casser sous le poids des meubles et des personnes) mais aussi son confort (le plancher ne doit pas vibrer ou fléchir excessivement). Cet exercice vous guidera à travers les vérifications réglementaires pour une solive de plancher en bois massif.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une démarche d'ingénieur structure bois. Nous allons partir des charges d'exploitation, les combiner selon les normes, puis vérifier deux critères essentiels : la résistance à la flexion (État Limite Ultime, ELUÉtat qui correspond à la ruine de la structure ou d'un de ses éléments. On vérifie la RÉSISTANCE de la structure sous des charges majorées par des coefficients de sécurité.) et la limitation de la déformation (État Limite de Service, ELSÉtat au-delà duquel les critères d'aptitude au service (confort des usagers, aspect, bon fonctionnement) ne sont plus respectés. On vérifie la DÉFORMATION sous des charges réelles.). C'est le cœur du métier du calcul de structure.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les charges linéiques sur une solive à partir de charges surfaciques.
  • Appliquer les combinaisons de charges de l'Eurocode 5 pour l'ELU et l'ELS.
  • Vérifier la résistance en flexion d'une section bois en tenant compte des facteurs de modification.
  • Vérifier la flèche d'une solive par rapport aux limites réglementaires.
  • Comprendre l'influence de la classe de service et de la durée de chargement via le facteur \(k_{\text{mod}}\).

Données de l'étude

On souhaite dimensionner les solives d'un plancher d'habitation. Les solives sont en bois massif de classe de résistance C24Classe de résistance mécanique pour les bois résineux selon la norme EN 338. Le 'C' signifie Conifère et '24' indique la résistance caractéristique à la flexion en MPa., simplement appuyées à leurs extrémités. Le plancher est situé dans un local chauffé et sec (Classe de service 1Définit les conditions d'humidité. Classe 1 : intérieur chauffé (humidité du bois < 12%). Classe 2 : sous abri non chauffé. Classe 3 : extérieur, exposé aux intempéries.).

Schéma du plancher et de la solive étudiée
Solive étudiée Portée L = 4.0 m Entraxe E Charges G + Q
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la solive \(L\) 4.0 \(\text{m}\)
Entraxe des solives \(E\) 400 \(\text{mm}\)
Section de la solive (b x h) - 75 x 225 \(\text{mm}\)
Charges permanentes (plancher, isolant...) \(G_k\) 1.2 \(\text{kN/m²}\)
Charges d'exploitation (habitation) \(Q_k\) 2.0 \(\text{kN/m²}\)
Classe de service - 1 -

Questions à traiter

  1. Déterminer la charge linéique de calcul à l'ELU (\(q_{\text{Ed}}\)) sur une solive.
  2. Vérifier la résistance de la solive à la flexion à l'ELU.
  3. Calculer la flèche instantanée (\(w_{\text{inst}}\)) et la flèche finale (\(w_{\text{fin}}\)).
  4. Vérifier la solive vis-à-vis des critères de flèche de l'ELS.

Les bases du calcul Bois (Eurocode 5)

Avant la correction, revoyons les concepts spécifiques au dimensionnement du bois.

1. Combinaisons de charges :
On ne somme pas simplement les charges. On les pondère avec des coefficients de sécurité.

  • À l'ELU (Résistance) : \(q_{\text{Ed}} = (1.35 \cdot G_k + 1.5 \cdot Q_k) \cdot E\). On majore les charges pour s'assurer que la structure ne rompra pas.
  • À l'ELS (Déformation) : \(q_{\text{ser}} = (1.0 \cdot G_k + 1.0 \cdot Q_k) \cdot E\). On utilise les charges réelles pour vérifier le confort (flèche).

2. Résistance de calcul (\(f_{m,d}\)) :
La résistance du bois n'est pas une valeur fixe. Elle dépend de la durée des charges et de l'humidité ambiante. On part de la résistance caractéristique (\(f_{m,k}\)) et on l'ajuste : \[ f_{m,d} = f_{m,k} \cdot \frac{k_{\text{mod}}}{\gamma_M} \] Où \(k_{\text{mod}}\)Facteur de modification qui réduit la résistance du bois pour tenir compte de la durée d'application des charges et de la classe de service (humidité). est un facteur de modification et \(\gamma_M\) est un coefficient de sécurité sur le matériau (1.3 pour le bois massif).

3. Vérification de la flèche :
Le bois "fluePhénomène de déformation lente et progressive d'un matériau sous l'effet d'une charge constante appliquée sur une longue durée.", c'est-à-dire qu'il continue de se déformer lentement dans le temps sous l'effet des charges permanentes. On doit donc vérifier deux flèches :

  • Flèche instantanée \(w_{\text{inst}}\) : due aux charges totales (G+Q). Limite typique : L/300.
  • Flèche finale \(w_{\text{fin}}\) : inclut le fluage. \(w_{\text{fin}} = w_{\text{inst}, G} \cdot (1+k_{\text{def}}) + w_{\text{inst}, Q}\). Limite typique : L/250.
\(k_{\text{def}}\) est le coefficient de fluageCoefficient sans dimension qui quantifie l'augmentation de la déformation à long terme due au fluage. Il dépend de la classe de service..

Correction : Dimensionnement d’une Solive en Bois Massif

Question 1 : Déterminer la charge linéique de calcul à l'ELU (\(q_{\text{Ed}}\))

Principe (le concept physique)

Les charges de plancher (poids des matériaux, des meubles, des personnes) sont données en force par unité de surface (kN/m²). Or, une solive est une poutre qui ne "reprend" qu'une bande de ce plancher. La première étape est de transformer la charge surfacique en charge linéique (kN/m) en la multipliant par la largeur de la bande reprise par la solive, qui est son entraxe.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La combinaison de charge à l'État Limite Ultime (ELU) vise à couvrir le scénario le plus défavorable possible en termes de résistance. Les coefficients 1.35 pour les charges permanentes (G) et 1.5 pour les charges variables (Q) sont des coefficients de sécurité réglementaires définis dans l'Eurocode 0. Ils tiennent compte des incertitudes sur les valeurs des charges et de la faible probabilité qu'elles se produisent toutes simultanément à leur maximum.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que chaque solive est responsable de "porter" le plancher jusqu'à mi-chemin de sa voisine de gauche et de sa voisine de droite. La largeur totale qu'elle supporte est donc bien son entraxe. C'est la première étape de toute "descente de charges".

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison de charge \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\) est la combinaison fondamentale pour les bâtiments selon la norme EN 1990 (Eurocode 0). C'est la plus couramment utilisée pour les vérifications de résistance.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Transformation de charge surfacique (p) en charge linéique (q) :

\[ q = p \cdot E \]

2. Combinaison de charges à l'ELU :

\[ q_{\text{Ed}} = (1.35 \cdot G_k + 1.5 \cdot Q_k) \cdot E \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les charges sont uniformément réparties sur le plancher et que chaque solive reprend une charge identique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes, \(G_k = 1.2 \, \text{kN/m²}\)
  • Charges d'exploitation, \(Q_k = 2.0 \, \text{kN/m²}\)
  • Entraxe, \(E = 400 \, \text{mm} = 0.4 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! Il est plus simple de tout convertir en unités de base du Système International (m, N, Pa) pour les calculs. Ici, passez l'entraxe en mètres avant de multiplier. 1 kN/m² = 1000 N/m².

Schéma (Avant les calculs)
Transformation de la Charge Surfacique en Linéique
SoliveBande de chargement (largeur E)Charge linéique q_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la charge surfacique pondérée à l'ELU :

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot 1.2 \, \text{kN/m²} + 1.5 \cdot 2.0 \, \text{kN/m²} \\ &= 1.62 \, \text{kN/m²} + 3.0 \, \text{kN/m²} \\ &= 4.62 \, \text{kN/m²} \end{aligned} \]

2. Conversion en charge linéique :

\[ \begin{aligned} q_{\text{Ed}} &= p_{\text{Ed}} \cdot E \\ &= 4.62 \, \text{kN/m²} \cdot 0.4 \, \text{m} \\ &= 1.848 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Solive sous Charge Linéique Calculée
q_Ed = 1.85 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 1.848 kN/m représente la charge maximale "majorée" que la solive doit être capable de supporter sur chaque mètre de sa longueur. C'est la donnée d'entrée fondamentale pour la vérification de la résistance qui suit.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de se tromper dans les unités, notamment en mélangeant les mm et les m pour l'entraxe. Une autre erreur est d'oublier d'appliquer les coefficients de pondération 1.35 et 1.5, ce qui sous-estimerait gravement la charge de calcul et rendrait la structure potentiellement dangereuse.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La charge sur une solive est une charge linéique (en kN/m).
  • On l'obtient en multipliant la charge surfacique (kN/m²) par l'entraxe (m).
  • À l'ELU, on utilise des charges pondérées (\(1.35G + 1.5Q\)) pour la sécurité.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les valeurs des charges d'exploitation (Qk) sont fixées par les normes en fonction de l'usage du bâtiment. Une charge de 2.0 kN/m² (environ 200 kg/m²) est standard pour une habitation, mais elle peut monter à 5.0 kN/m² pour des zones de stockage ou des salles de réunion, ce qui change radicalement le dimensionnement !

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on inclure le poids propre de la solive ?

Oui, rigoureusement, le poids propre de la solive devrait être ajouté aux charges permanentes G. Pour une solive en bois, il est souvent faible et peut être inclus dans la charge Gk globale du plancher (comme ici) ou calculé séparément. Pour une poutre en béton, son poids propre est une part très importante de la charge G.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge linéique de calcul à l'ELU sur une solive est de 1.848 kN/m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez la charge linéique \(q_{\text{Ed}}\) (en kN/m) si l'entraxe passait à 600 mm.

Question 2 : Vérifier la résistance en flexion à l'ELU

Principe (le concept physique)

La charge appliquée sur la solive génère un moment fléchissant, qui lui-même induit des contraintes internes dans le bois. La contrainte maximale (\(\sigma_{m,d}\)) apparaît au milieu de la portée, sur les fibres extrêmes de la section. On doit vérifier que cette contrainte de calcul reste inférieure à la capacité de résistance du bois (\(f_{m,d}\)). C'est le critère de non-rupture.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le facteur \(k_{\text{mod}}\) est crucial. Il ajuste la résistance du bois en fonction de l'environnement (Classe de Service 1, 2 ou 3) et de la durée de la charge la plus influente (permanente, longue, moyenne, courte ou instantanée). Pour un plancher d'habitation (charge de moyenne durée) en Classe de Service 1 (intérieur chauffé), l'Eurocode 5 donne \(k_{\text{mod}}=0.8\). Ce facteur reflète le fait que le bois résiste moins bien à une charge appliquée longtemps qu'à une charge brève.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez au facteur \(k_{\text{mod}}\) comme à un "malus" de performance. C'est comme si on disait à un athlète : "ta performance maximale est de X, mais comme tu vas devoir tenir cet effort longtemps et dans une ambiance un peu humide, on ne va compter que sur 80% de ta capacité pour être en sécurité". C'est une des particularités du calcul bois.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la contrainte de flexion est définie dans la norme EN 1995-1-1 (Eurocode 5). Cette norme fournit les valeurs de résistance caractéristique (\(f_{m,k}\)) pour chaque classe de bois (C24 ici), ainsi que les valeurs des facteurs \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_M\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Moment fléchissant maximal pour une charge répartie :

\[ M_{\text{Ed}} = \frac{q_{\text{Ed}} \cdot L^2}{8} \]

2. Contrainte de flexion :

\[ \sigma_{m,d} = \frac{M_{\text{Ed}}}{W_y} \quad \text{avec} \quad W_y = \frac{b \cdot h^2}{6} \]

3. Critère de vérification :

\[ \frac{\sigma_{m,d}}{f_{m,d}} \le 1.0 \quad \text{avec} \quad f_{m,d} = f_{m,k} \cdot \frac{k_{\text{mod}}}{\gamma_M} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la solive est simplement appuyée à ses deux extrémités et que le déversement (flambement latéral) est empêché par le plancher qui la contrevente.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge à l'ELU, \(q_{\text{Ed}} = 1.848 \, \text{kN/m} = 1848 \, \text{N/m}\)
  • Portée, \(L = 4.0 \, \text{m}\)
  • Section, \(b=75 \text{ mm}, h=225 \text{ mm}\)
  • Bois C24 : \(f_{m,k} = 24 \, \text{MPa}\)
  • Classe de service 1, charge moyenne durée : \(k_{\text{mod}} = 0.8\)
  • Coefficient partiel matériau, \(\gamma_M = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour rapidement estimer la contrainte, retenez la formule du module de flexion \(W_y = bh^2/6\). Calculez-le une fois pour votre section, puis vous pouvez rapidement trouver la contrainte pour n'importe quel moment. C'est plus rapide que de recalculer avec le moment quadratique I.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des efforts et contraintes attendues
M_max = ?σ_max = ?00
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment maximal (en N·m) :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{q_{\text{Ed}} \cdot L^2}{8} \\ &= \frac{1848 \, \text{N/m} \cdot (4.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= 3696 \, \text{N} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul du module de flexion (en mm³) :

\[ \begin{aligned} W_y &= \frac{b \cdot h^2}{6} \\ &= \frac{75 \cdot 225^2}{6} \\ &= 632812.5 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

3. Calcul de la contrainte de calcul (en MPa, soit N/mm²) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{m,d} &= \frac{M_{\text{Ed}}}{W_y} \\ &= \frac{3696 \cdot 1000 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{632812.5 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 5.84 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

4. Calcul de la résistance de calcul :

\[ \begin{aligned} f_{m,d} &= f_{m,k} \cdot \frac{k_{\text{mod}}}{\gamma_M} \\ &= 24 \, \text{MPa} \cdot \frac{0.8}{1.3} \\ &\approx 14.77 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

5. Vérification du critère :

\[ \frac{\sigma_{m,d}}{f_{m,d}} = \frac{5.84 \, \text{MPa}}{14.77 \, \text{MPa}} = 0.40 \le 1.0 \quad (\text{OK}) \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Maximale vs Résistance de calcul
σ_m,d=5.84Résistance f_m,d=14.77 MPaOK (Taux = 0.40)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le ratio de 0.40, aussi appelé "taux de travail", est bien inférieur à 1.0. Cela signifie que la solive est utilisée à seulement 40% de sa capacité de résistance en flexion. La section choisie est donc largement suffisante du point de vue de la résistance. C'est souvent la vérification de la flèche qui est dimensionnante pour les planchers bois.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la résistance caractéristique \(f_{m,k}\) (une propriété du matériau brut) avec la résistance de calcul \(f_{m,d}\) (la valeur à utiliser dans les calculs après application des coefficients). Oublier le facteur \(k_{\text{mod}}\) ou le coefficient \(\gamma_M\) est une erreur grave qui fausse la vérification de sécurité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance du bois est ajustée par le facteur \(k_{\text{mod}}\) et le coefficient \(\gamma_M\).
  • La contrainte de flexion est maximale au milieu de la poutre.
  • Le critère de résistance est : \(\sigma_{m,d} \le f_{m,d}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les poutres de grande hauteur, un autre phénomène peut devenir critique : le déversement. La partie supérieure de la poutre, comprimée, peut avoir tendance à "flamber" latéralement. C'est pour cela qu'il est essentiel que le plancher soit bien fixé sur les solives pour les maintenir droites.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce que le bois "C24" ?

C'est une classe de résistance pour les bois résineux définie par la norme européenne. Le "C" signifie "Conifer" (résineux) et le "24" correspond à la valeur de sa résistance caractéristique à la flexion en MPa (\(f_{m,k}\)). Plus le chiffre est élevé (C18, C24, C30...), plus le bois est résistant.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de flexion (5.84 MPa) est inférieure à la résistance de calcul (14.77 MPa). Le critère de résistance est vérifié.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la contrainte \(\sigma_{m,d}\) si on utilisait une solive moins haute de 75x200 mm ?

Simulateur 3D : Contrainte dans la section

Contrainte Max : 5.84 MPa

Question 3 : Calculer la flèche instantanée (\(w_{\text{inst}}\)) et la flèche finale (\(w_{\text{fin}}\))

Principe (le concept physique)

Cette étape consiste à quantifier la déformation de la solive. On calcule d'abord la flèche "instantanée", c'est-à-dire la déformation qui apparaît dès que l'on applique les charges. Ensuite, on calcule la flèche "finale", qui prend en compte un phénomène propre au bois : le fluage. C'est l'augmentation lente de la déformation au fil du temps sous l'effet des charges permanentes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le calcul de la flèche est basé sur l'équation de la déformée \(w(x)\). Pour une poutre sur appuis simples avec une charge uniformément répartie, la flèche maximale au milieu est donnée par la formule classique \(w = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I}\). Le terme \(E \cdot I\) représente la rigidité de la poutre à la flexion. Pour le bois, on distingue la flèche due aux charges permanentes (qui va fluer) de celle due aux charges variables (qui ne flue pas).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il est essentiel de bien séparer les calculs de flèche pour les charges G (permanentes) et Q (variables). Seules les charges qui sont là "tout le temps" (le poids du plancher) vont causer une déformation supplémentaire à long terme. Les charges variables (personnes, meubles) viennent et repartent, elles ne contribuent donc pas au fluage.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 spécifie l'utilisation du module d'élasticité moyen, \(E_{0,\text{mean}}\), pour les calculs de déformation à l'ELS. Il fournit également les valeurs du coefficient de fluage \(k_{\text{def}}\) en fonction de la classe de service du bois (0.6 pour la classe 1).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Flèche instantanée :

\[ w_{\text{inst}} = w_{\text{inst},G} + w_{\text{inst},Q} \quad \text{avec} \quad w = \frac{5 \cdot q_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E_{0,\text{mean}} \cdot I_y} \]

2. Flèche finale :

\[ w_{\text{fin}} = w_{\text{inst},G} (1 + k_{\text{def}}) + w_{\text{inst},Q} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la théorie des poutres d'Euler-Bernoulli pour les petites déformations. Les charges de service (non pondérées) sont utilisées pour le calcul de la flèche, car on s'intéresse au comportement réel de la structure en conditions normales d'utilisation.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges Gk = 1.2 kN/m², Qk = 2.0 kN/m²
  • Entraxe E = 0.4 m, Portée L = 4.0 m
  • Bois C24 : \(E_{0,\text{mean}} = 11000 \, \text{MPa}\)
  • Classe de service 1 : \(k_{\text{def}} = 0.6\)
  • Section b=75 mm, h=225 mm
Astuces(Pour aller plus vite)

La cohérence des unités est ici absolument critique à cause de la puissance 4 sur la longueur ! Le plus sûr est de tout passer en N et mm. N'oubliez pas de convertir \(E_{0,\text{mean}}\) (qui est en MPa, soit N/mm²) et la charge q (qui doit être en N/mm).

Schéma (Avant les calculs)
Déformation instantanée et fluage
w_inst = ?w_fin = ?Fluage
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Charges linéiques de service (en N/mm) :

\[ \begin{aligned} q_G &= G_k \cdot E \\ &= 1.2 \, \text{kN/m²} \cdot 0.4 \, \text{m} \\ &= 0.48 \, \text{kN/m} = 0.48 \, \text{N/mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} q_Q &= Q_k \cdot E \\ &= 2.0 \, \text{kN/m²} \cdot 0.4 \, \text{m} \\ &= 0.80 \, \text{kN/m} = 0.80 \, \text{N/mm} \end{aligned} \]

2. Moment quadratique (en mm⁴) :

\[ \begin{aligned} I_y &= \frac{b \cdot h^3}{12} \\ &= \frac{75 \cdot 225^3}{12} \\ &= 71,191,406 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

3. Flèches instantanées (avec L en mm) :

\[ \begin{aligned} w_{\text{inst},G} &= \frac{5 \cdot q_G \cdot L^4}{384 \cdot E_{0,\text{mean}} \cdot I_y} \\ &= \frac{5 \cdot 0.48 \cdot 4000^4}{384 \cdot 11000 \cdot 71191406} \\ &\approx 2.05 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} w_{\text{inst},Q} &= \frac{5 \cdot q_Q \cdot L^4}{384 \cdot E_{0,\text{mean}} \cdot I_y} \\ &= \frac{5 \cdot 0.80 \cdot 4000^4}{384 \cdot 11000 \cdot 71191406} \\ &\approx 3.41 \, \text{mm} \end{aligned} \]

4. Flèche instantanée totale et flèche finale :

\[ \begin{aligned} w_{\text{inst}} &= w_{\text{inst},G} + w_{\text{inst},Q} \\ &= 2.05 \, \text{mm} + 3.41 \, \text{mm} \\ &= 5.46 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} w_{\text{fin}} &= w_{\text{inst},G} (1 + k_{\text{def}}) + w_{\text{inst},Q} \\ &= 2.05 \cdot (1 + 0.6) + 3.41 \\ &= 3.28 \, \text{mm} + 3.41 \, \text{mm} \\ &= 6.69 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeurs des flèches calculées
w_inst = 5.46 mmw_fin = 6.69 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant quantifié la déformation de la solive. Elle se déformera de 5.46 mm le jour de la mise en charge, et cette déformation augmentera progressivement jusqu'à 6.69 mm au fil des ans à cause du fluage. Ces valeurs numériques sont les bases de la vérification de confort qui suit à la question 4.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'appliquer le coefficient de fluage \(k_{\text{def}}\) à la flèche totale. Il ne s'applique qu'à la partie de la flèche due aux charges permanentes (\(w_{\text{inst},G}\)), car le fluage est un phénomène de longue durée. Les charges d'exploitation, par nature variables et de courte durée, ne provoquent pas de fluage.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de flèche se fait à l'ELS avec des charges non pondérées.
  • Le bois flue : on doit calculer la flèche finale avec le coefficient \(k_{\text{def}}\).
  • Le fluage ne s'applique qu'à la part de flèche due aux charges permanentes G.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le fluage n'est pas propre au bois. Le béton flue également, et de manière encore plus significative. C'est pour cela que les ponts en béton sont construits avec une "contre-flèche" (une courbure vers le haut) pour qu'une fois le fluage terminé, le tablier du pont soit à peu près horizontal.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on \(E_{0,\text{mean}}\) et non \(E_{0,05}\) ?

Pour les calculs de résistance (ELU), on utilise des valeurs caractéristiques basses (fractile 5%, noté 0,05) pour être du côté de la sécurité. Pour les déformations (ELS), qui concernent un ensemble d'éléments (tout un plancher), on s'intéresse au comportement moyen du matériau. On utilise donc la valeur moyenne du module d'élasticité, \(E_{0,\text{mean}}\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche instantanée calculée est de 5.46 mm et la flèche finale (incluant le fluage) est de 6.69 mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez la flèche finale \(w_{\text{fin}}\) (en mm) si la solive était en Classe de Service 2 (\(k_{\text{def}}=0.8\)).

Question 4 : Vérifier la solive vis-à-vis des critères de flèche de l'ELS

Principe (le concept physique)

Après avoir calculé les déformations réelles de la solive à la question précédente, cette étape consiste à les comparer à des limites admissibles. Ces limites ne sont pas liées à la sécurité contre la rupture, mais au bon fonctionnement de l'ouvrage et au confort des usagers. On vérifie que la poutre est suffisamment rigide pour son usage.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les limites de flèche sont généralement exprimées comme une fraction de la portée L (par exemple L/250). Cela signifie qu'une poutre plus longue a le droit de fléchir davantage en valeur absolue, ce qui est logique. La limite sur la flèche finale (L/250) est souvent moins stricte que celle sur la flèche instantanée (L/300 ou L/400) car elle inclut des déformations à très long terme qui sont moins perceptibles par les usagers.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez au confort : un plancher peut être parfaitement sûr (il ne cassera pas) mais s'il s'affaisse visiblement ou qu'il "rebondit" quand on marche, personne ne voudra vivre dessus ! La vérification de la flèche est la garantie du confort pour l'utilisateur. C'est souvent ce critère qui impose d'utiliser des solives plus hautes que ce que la seule résistance exigerait.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de flèche (comme L/250 ou L/300) sont généralement définies dans les Annexes Nationales des Eurocodes. Elles peuvent donc varier légèrement d'un pays à l'autre. Celles utilisées ici sont les valeurs communes en France pour les planchers.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Critères de vérification :

\[ w_{\text{inst}} \le \frac{L}{300} \]
\[ w_{\text{fin}} \le \frac{L}{250} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le plancher supporte des éléments non-fragiles. Pour des revêtements fragiles comme le carrelage, des limites plus strictes (par exemple L/400) seraient requises.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Flèche instantanée, \(w_{\text{inst}} = 5.46 \, \text{mm}\) (de Q3)
  • Flèche finale, \(w_{\text{fin}} = 6.69 \, \text{mm}\) (de Q3)
  • Portée, \(L = 4000 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez d'abord les deux valeurs limites. Cela vous donne des cibles claires. Ensuite, comparez simplement les flèches calculées à ces cibles. C'est une vérification binaire : soit ça passe, soit ça ne passe pas.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison de la flèche à la limite admissible
w_fin = 6.69 mmLimite L/250 = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des limites de flèche :

\[ \begin{aligned} w_{\text{inst,lim}} &= \frac{L}{300} \\ &= \frac{4000 \, \text{mm}}{300} \\ &= 13.33 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} w_{\text{fin,lim}} &= \frac{L}{250} \\ &= \frac{4000 \, \text{mm}}{250} \\ &= 16.0 \, \text{mm} \end{aligned} \]

2. Vérifications :

\[ w_{\text{inst}} = 5.46 \, \text{mm} \le 13.33 \, \text{mm} \quad (\text{OK}) \]
\[ w_{\text{fin}} = 6.69 \, \text{mm} \le 16.0 \, \text{mm} \quad (\text{OK}) \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Flèche Finale vs Limite
w_fin=6.7 mmLimite L/250 = 16.0 mmOK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les deux critères de flèche sont respectés avec une marge confortable. Le taux de travail en flèche finale est de \(6.69 / 16.0 \approx 0.42\), ce qui est très similaire au taux de travail en résistance (0.40). Dans ce cas précis, les deux critères (résistance et déformation) sont équilibrés. Souvent, pour les grandes portées, le critère de flèche est le premier à ne plus être respecté.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de comparer la mauvaise flèche à la mauvaise limite. Retenez : "instantanée" avec L/300 (ou plus strict), "finale" avec L/250. Inverser les deux pourrait mener à une conclusion erronée.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de flèche est une comparaison entre la déformation calculée et une limite admissible.
  • Les limites dépendent de la portée L de l'élément.
  • Si la vérification n'est pas satisfaite, la solive n'est pas assez rigide et doit être redimensionnée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les planchers en bois très légers et de grande portée, une troisième vérification devient souvent nécessaire : la vérification au confort vibratoire. On s'assure que la fréquence propre du plancher est supérieure à une certaine limite (souvent 8 Hz) pour éviter qu'il n'entre en résonance avec le rythme de la marche.

FAQ (pour lever les doutes)
Puis-je utiliser une limite de flèche plus stricte ?

Oui, absolument. Les limites L/250 ou L/300 sont des minimums réglementaires. Pour des ouvrages sensibles ou pour un confort accru (par exemple pour éviter la fissuration d'un carrelage grand format), un ingénieur peut décider d'adopter des limites plus sévères, comme L/400 ou L/500, ce qui conduira à des solives plus hautes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les critères de flèche instantanée (5.46 mm < 13.33 mm) et de flèche finale (6.69 mm < 16.0 mm) sont vérifiés. La solive est correctement dimensionnée.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

La solive serait-elle toujours conforme (vérification de la flèche finale) si la portée était de 5.0 m ? (Calculez la nouvelle \(w_{\text{fin}}\) et la nouvelle limite).

Simulateur 3D : Flèche de la solive

Flèche Finale : 6.69 mm (Ratio: 0.42)

Outil Interactif : Optimisation de Solive

Variez les paramètres de la solive pour observer leur impact sur les ratios de résistance et de flèche.

Paramètres d'Entrée
225 mm
400 mm
4.0 m
Ratios de Vérification (doivent être ≤ 1.0)
Ratio Résistance (ELU) -
Ratio Flèche Finale (ELS) -
Poids de la solive (kg) -

Le Saviez-Vous ?

Le bois lamellé-collé, inventé au début du 20ème siècle, permet de fabriquer des poutres de très grandes dimensions et de formes courbes, impossibles à réaliser avec du bois massif. En collant de fines lamelles de bois, on obtient un matériau plus homogène et plus résistant que le bois d'origine, ouvrant la voie à des structures bois spectaculaires comme les charpentes de gymnases ou de piscines.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si un seul des deux critères (ELU ou ELS) n'est pas respecté ?

La solive n'est pas conforme et doit être redimensionnée. Si le critère de résistance (ELU) n'est pas respecté, la structure est dangereuse. Si le critère de flèche (ELS) n'est pas respecté, la structure n'est pas confortable ou durable. Dans les deux cas, l'ingénieur doit augmenter la section de la solive (généralement la hauteur) ou réduire son entraxe.

Pourquoi utilise-t-on des coefficients de sécurité différents pour G et Q ?

Les charges permanentes (G, le poids propre de la structure) sont connues avec une bien meilleure précision que les charges d'exploitation (Q, le poids des personnes, des meubles...). Le coefficient de sécurité sur Q (1.5) est donc plus élevé que sur G (1.35) pour tenir compte de cette plus grande incertitude.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on passe d'une classe de service 1 (sec) à une classe de service 2 (humide), le facteur k_mod diminue. Qu'est-ce que cela implique pour la solive ?

2. Pour un plancher de bureau, la charge d'exploitation Qk est plus élevée. Quel sera l'impact principal sur le dimensionnement ?

Classe de Service
Catégorie définissant les conditions d'humidité ambiante d'une structure bois (1: sec, 2: humide, 3: extérieur). Elle influence les coefficients k_mod et k_def.
k_mod (Facteur de modification)
Coefficient qui ajuste la résistance du bois en fonction de la classe de service et de la durée de la charge. Il est toujours inférieur ou égal à 1.
k_def (Coefficient de fluage)
Coefficient utilisé pour calculer la déformation à long terme (fluage) du bois sous l'effet des charges permanentes.
Solive
Poutre de section généralement rectangulaire, posée horizontalement, qui constitue l'ossature d'un plancher.
Dimensionnement d’une Solive en Bois Massif

D’autres exercices de Structure en bois:

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