EGC

Déversement d’une Poutre en Lamellé-Collé

Calcul du Déversement d’une Poutre en Lamellé-Collé (Eurocode 5)

Vérification au Déversement d’une Poutre en Lamellé-Collé

Contexte : La stabilité, l'autre facette de la résistance.

En construction bois, et particulièrement pour les poutres élancées en lamellé-collé, la simple vérification de la résistance à la flexion ne suffit pas. Une poutre longue et haute, mais peu large, peut "déraper" latéralement et se tordre bien avant d'atteindre sa résistance maximale en flexion. Ce phénomène d'instabilité est appelé déversementPhénomène d'instabilité élastique qui affecte les poutres fléchies. La partie comprimée de la poutre se comporte comme une colonne et flambe latéralement, entraînant une torsion de la section.. Le vérifier selon l'Eurocode 5 est une étape non négociable pour garantir la sécurité des structures en bois. Cet exercice vous guide pas à pas dans cette vérification complexe mais essentielle.

Remarque Pédagogique : Cet exercice passe de la simple "résistance" (le matériau casse-t-il ?) à la "stabilité" (la structure conserve-t-elle sa forme ?). C'est un concept plus avancé qui fait appel à des notions de géométrie, de rigidité et de conditions d'appuis. Nous allons calculer une contrainte critique de déversement pour en déduire un coefficient de minoration (\(k_{\text{crit}}\)) qui viendra réduire la résistance en flexion de notre poutre.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les sollicitations et résistances de calcul selon l'Eurocode 5.
  • Déterminer la contrainte critique de déversement (\(\sigma_{\text{m,crit}}\)) pour une poutre en bois.
  • Calculer l'élancement relatif au déversement (\(\lambda_{\text{rel,m}}\)).
  • Déterminer le facteur de réduction pour la stabilité au déversement (\(k_{\text{crit}}\)).
  • Effectuer la vérification finale de la stabilité de la poutre.

Données de l'étude

On étudie une panne de toiture en bois lamellé-collé de classe de résistance GL24h. Elle est en appuis simples et supporte une charge uniformément répartie. Ses extrémités sont maintenues contre le déversement, mais elle n'a pas de support latéral intermédiaire. On se place en classe de service 2, pour une action de longue durée.

Schéma de la poutre et de sa section
q_d L = 6000 mm Section h b
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la poutre \(L\) 6000 \(\text{mm}\)
Largeur de la section \(b\) 120 \(\text{mm}\)
Hauteur de la section \(h\) 360 \(\text{mm}\)
Charge répartie (à l'ELU) \(q_{\text{d}}\) 2.5 \(\text{kN/m}\)
Résistance en flexion (GL24h) \(f_{\text{m,k}}\) 24 \(\text{MPa}\)
Module d'élasticité moyen \(E_{\text{0,mean}}\) 11500 \(\text{MPa}\)
Module de cisaillement moyen \(G_{\text{0,mean}}\) 720 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le moment fléchissant de calcul (\(M_{\text{d}}\)).
  2. Calculer la contrainte critique de déversement (\(\sigma_{\text{m,crit}}\)).
  3. Calculer l'élancement relatif au déversement (\(\lambda_{\text{rel,m}}\)).
  4. En déduire le facteur de réduction pour le déversement (\(k_{\text{crit}}\)).
  5. Effectuer la vérification de stabilité au déversement.

Les bases de la Stabilité des Poutres (Eurocode 5)

Le déversement est un phénomène complexe. Voici les trois concepts clés pour le comprendre.

1. La Contrainte Critique (\(\sigma_{\text{m,crit}}\)) :
C'est la contrainte de flexion théorique qui provoquerait le déversement d'une poutre parfaitement droite. Elle ne dépend que de la géométrie de la poutre (\(L, b, h\)) et des propriétés élastiques du bois (\(E, G\)). Une poutre est d'autant plus sensible au déversement que cette contrainte critique est faible. \[ \sigma_{\text{m,crit}} = \frac{0.78 \cdot b^2 \cdot E_{\text{0,mean}}}{h \cdot L_{\text{ef}}} \] (\(\text{Formule simplifiée pour une section rectangulaire sous charge répartie}\))

2. L'Élancement Relatif (\(\lambda_{\text{rel,m}}\)) :
Ce nombre sans dimension compare la résistance du matériau à sa sensibilité à l'instabilité. C'est le ratio entre la résistance en flexion (\(f_{\text{m,k}}\)) et la contrainte critique (\(\sigma_{\text{m,crit}}\)). Un élancement élevé (\(> 0.75\)) indique un risque de déversement. \[ \lambda_{\text{rel,m}} = \sqrt{\frac{f_{\text{m,k}}}{\sigma_{\text{m,crit}}}} \]

3. Le Facteur de Réduction (\(k_{\text{crit}}\)) :
C'est le cœur de la vérification. Si l'élancement montre un risque, on ne peut plus utiliser 100% de la résistance en flexion. \(k_{\text{crit}}\) est un coefficient (toujours \(\le 1.0\)) qui vient réduire la résistance de la poutre pour tenir compte du risque de déversement. Pour le bois massif et lamellé-collé, si \(\lambda_{\text{rel,m}} \le 0.75\), alors \(k_{\text{crit}} = 1.0\). Sinon, on le calcule avec une formule plus complexe.

Correction : Vérification au Déversement d’une Poutre en Lamellé-Collé

Question 1 : Calculer le moment fléchissant de calcul (\(M_{\text{d}}\))

Principe (le concept physique)

Le moment fléchissant de calcul est l'effort interne maximal que la poutre doit supporter. Il est directement lié à la charge appliquée et à la portée. Pour une charge uniformément répartie sur une poutre en appuis simples, le moment est maximal au centre de la travée, là où la "pliure" est la plus prononcée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diagramme de l'effort tranchant pour une charge répartie est linéaire, partant de \(+qL/2\) à un appui, s'annulant au milieu, et atteignant \(-qL/2\) à l'autre appui. Le moment fléchissant étant l'intégrale de l'effort tranchant, son diagramme est une parabole. Le maximum de la parabole se trouve là où sa dérivée (l'effort tranchant) est nulle, c'est-à-dire au centre de la poutre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une corde à sauter que vous tenez aux deux bouts. Son propre poids la fait fléchir en forme de parabole. Le moment fléchissant suit exactement cette forme. Plus la corde est longue et lourde, plus elle se creuse au milieu, tout comme le moment augmente avec le carré de la portée.

Normes (la référence réglementaire)

La formule \(qL^2/8\) est un résultat fondamental de la statique des structures, applicable pour ce cas de charge et ces conditions d'appuis. Les charges utilisées (\(q_{\text{d}}\)) sont des charges de calcul, déjà pondérées par les coefficients de sécurité de l'Eurocode 0.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une charge uniformément répartie \(q_{\text{d}}\) sur une portée \(L\) :

\[ M_{\text{d}} = \frac{q_{\text{d}} \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est prismatique (section constante), que le matériau est homogène et isotrope, que la charge est parfaitement uniforme et que les appuis sont des rotules parfaites (appuis simples).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de calcul, \(q_{\text{d}} = 2.5 \, \text{kN/m}\)
  • Portée de la poutre, \(L = 6.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! La charge est en kN/m et la portée en m. Le résultat sera donc en kN·m. Il est souvent plus pratique de convertir immédiatement en N·mm pour la suite des calculs (\(1 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)).

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Forme attendue)
M_d = ?00
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul en kN·m :

\[ \begin{aligned} M_{\text{d}} &= \frac{2.5 \, \text{kN/m} \cdot (6.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{2.5 \cdot 36}{8} \\ &= 11.25 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

2. Conversion en N·mm :

\[ \begin{aligned} M_{\text{d}} &= 11.25 \, \text{kN} \cdot \text{m} \times 10^6 \, \frac{\text{N} \cdot \text{mm}}{\text{kN} \cdot \text{m}} \\ &= 11,250,000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Valeur calculée)
M_d = 11.25 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 11.25 kN·m représente la "demande" ou la sollicitation maximale agissant sur la poutre. C'est la valeur de référence que nous utiliserons pour vérifier la résistance et la stabilité de l'élément.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais confondre les cas de charge. Pour une charge ponctuelle au centre, le moment est \(FL/4\) (diagramme triangulaire). Pour un porte-à-faux (poutre encastrée à une extrémité), le moment maximal est \(qL^2/2\) à l'encastrement. Utiliser la mauvaise formule est une erreur majeure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment fléchissant maximal pour une charge répartie est au centre de la travée.
  • La formule à mémoriser est \(M_{\text{d}} = q_{\text{d}} L^2 / 8\).
  • La cohérence des unités (kN et m, ou N et mm) est fondamentale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les anciens bâtisseurs, comme ceux des cathédrales gothiques, n'avaient pas ces formules. Ils utilisaient une approche graphique et intuitive : la "chaînette inversée". Une chaînette (une chaîne suspendue) prend naturellement la forme qui annule les moments de flexion (traction pure). En inversant cette forme, on obtient un arc qui travaille en compression pure, la forme idéale pour la maçonnerie.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la charge n'est pas uniforme ?

Si la charge est, par exemple, triangulaire (comme une charge de neige accumulée contre un mur), le moment maximal ne sera plus au centre et la formule sera différente. Chaque cas de charge a son propre diagramme de moment et sa propre formule pour le moment maximal, que l'on trouve dans les formulaires de RdM.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant de calcul est de 11.25 kN·m (soit 11,250,000 N·mm).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge \(q_{\text{d}}\) était de 5.0 kN/m, quel serait le nouveau moment de calcul \(M_{\text{d}}\) en kN·m ?

Question 2 : Calculer la contrainte critique de déversement (\(\sigma_{\text{m,crit}}\))

Principe (le concept physique)

Cette contrainte représente la capacité "théorique" de la poutre à résister au déversement. Elle ne dépend pas de la résistance du bois, mais uniquement de sa rigidité (\(E_{\text{0,mean}}\)) et de sa géométrie (\(L, b, h\)). C'est une mesure de la stabilité purement élastique de la poutre. Plus une poutre est haute et étroite (\(h/b\) grand) et longue, plus cette contrainte critique sera faible, indiquant une grande sensibilité au déversement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La théorie du déversement est une extension de la théorie du flambement d'Euler pour les colonnes. La semelle comprimée d'une poutre fléchie se comporte comme une colonne qui cherche à flamber. Cependant, elle est retenue par la semelle tendue, ce qui l'oblige à flamber latéralement en tordant toute la section. La formule de \(\sigma_{\text{m,crit}}\) est une simplification de solutions plus complexes qui incluent la rigidité en flexion latérale (\(E \cdot I_z\)) et la rigidité en torsion (\(G \cdot I_t\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Prenez une règle plate en plastique. Essayez de la plier dans son plan de plus grande rigidité. Si elle est assez longue, au lieu de se plier proprement, elle va soudainement "s'échapper" sur le côté et se tordre. C'est exactement le déversement. La contrainte critique est la force qu'il a fallu appliquer pour que ce phénomène se produise.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 (NF EN 1995-1-1, §6.3.3) fournit la méthode de calcul. La formule utilisée ici est une simplification reconnue pour les sections rectangulaires sous charge répartie. La longueur efficace \(L_{\text{ef}}\) est ici égale à la portée \(L\) car il n'y a pas de maintiens intermédiaires.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \sigma_{\text{m,crit}} = \frac{0.78 \cdot b^2}{h \cdot L_{\text{ef}}} \cdot E_{\text{0,mean}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le matériau est linéairement élastique, que les déformations sont faibles, et que la charge est appliquée sur la face supérieure de la poutre (cas le plus courant et légèrement défavorable, pris en compte par le coefficient 0.78).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Largeur, \(b = 120 \, \text{mm}\)
  • Hauteur, \(h = 360 \, \text{mm}\)
  • Longueur efficace, \(L_{\text{ef}} = L = 6000 \, \text{mm}\)
  • Module d'élasticité, \(E_{\text{0,mean}} = 11500 \, \text{MPa}\) (ou N/mm²)
Astuces(Pour aller plus vite)

La formule est extrêmement sensible à la largeur \(b\) (au carré) et inversement sensible à la hauteur \(h\) et à la longueur \(L\). Pour améliorer rapidement la stabilité au déversement, la solution la plus efficace est d'augmenter la largeur de la poutre.

Schéma (Avant les calculs)
Phénomène de Déversement
Déplacement latéralet torsion
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,crit}} &= \frac{0.78 \cdot (120 \, \text{mm})^2}{(360 \, \text{mm}) \cdot (6000 \, \text{mm})} \cdot 11500 \, \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \\ &= \frac{0.78 \cdot 14400}{2160000} \cdot 11500 \\ &\approx 0.0052 \cdot 11500 \\ &\approx 59.8 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Stabilité Théorique de la Poutre
Seuil de stabilitéσ_crit = 59.8 MPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une contrainte critique de 59.8 MPa signifie que si la poutre était un matériau élastique parfait, elle commencerait à déverser dès que la contrainte de flexion maximale atteindrait cette valeur. On va maintenant comparer cette valeur à la résistance intrinsèque du bois pour évaluer le risque réel.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La cohérence des unités est capitale. Toutes les dimensions doivent être en mm et les modules en MPa (N/mm²). Le résultat sera alors directement en MPa. Une erreur fréquente est d'oublier que la largeur \(b\) est au carré.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • \(\sigma_{\text{m,crit}}\) est un seuil de stabilité théorique, pas une résistance du matériau.
  • Il dépend de la rigidité (\(E\)) et de la géométrie (\(L, b, h\)).
  • Une faible valeur de \(\sigma_{\text{m,crit}}\) indique une poutre sensible au déversement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les profilés en I en acier sont si sensibles au déversement que les catalogues de profilés donnent directement leur résistance au déversement pour différentes longueurs sans maintien latéral. Cela évite aux ingénieurs de refaire ce calcul complexe à chaque fois.

FAQ (pour lever les doutes)
Que signifie \(L_{\text{ef}}\) (longueur efficace) ?

\(L_{\text{ef}}\) est la longueur de flambement. Pour une poutre simplement appuyée et maintenue contre la torsion aux extrémités, \(L_{\text{ef}} = L\). Si les appuis empêchaient aussi la rotation latérale (encastrement latéral), on pourrait avoir \(L_{\text{ef}} = 0.7L\), ce qui augmenterait grandement la stabilité.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte critique de déversement est d'environ 59.8 MPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la largeur \(b\) était de 160 mm au lieu de 120 mm, quelle serait la nouvelle \(\sigma_{\text{m,crit}}\) en MPa ?

Question 3 : Calculer l'élancement relatif au déversement (\(\lambda_{\text{rel,m}}\))

Principe (le concept physique)

L'élancement relatif est un indicateur de performance qui met en balance la résistance du matériau (\(f_{\text{m,k}}\)) et sa stabilité géométrique (\(\sigma_{\text{m,crit}}\)). Si la stabilité est très grande (\(\sigma_{\text{m,crit}}\) élevé), l'élancement sera faible et la poutre se comportera "normalement". Si la stabilité est faible (\(\sigma_{\text{m,crit}}\) bas), l'élancement sera élevé, signalant que le déversement est le mode de rupture probable.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce concept d'élancement relatif est au cœur des méthodes de vérification de la stabilité dans les Eurocodes. Il permet de traiter de manière unifiée différents phénomènes d'instabilité (flambement des poteaux, déversement des poutres, voilement des plaques) et différents matériaux. Il représente la transition entre une rupture par écrasement/plastification (pour \(\lambda \to 0\)) et une rupture par instabilité élastique (pour \(\lambda \to \infty\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Voyez l'élancement comme un "score de risque". Un score bas (\(<0.75\)) signifie "risque faible, pas de précautions particulières". Un score élevé (\(>0.75\)) signifie "risque avéré, des mesures de sécurité (le facteur \(k_{\text{crit}}\)) doivent être appliquées". Notre calcul consiste à déterminer dans quelle catégorie se situe notre poutre.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 définit le seuil de 0.75. En dessous de cette valeur, les effets du déversement sont considérés comme négligeables. Au-dessus, ils doivent impérativement être pris en compte par un facteur de réduction.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \lambda_{\text{rel,m}} = \sqrt{\frac{f_{\text{m,k}}}{\sigma_{\text{m,crit}}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

La validité de ce calcul repose sur la justesse des valeurs de la résistance caractéristique (\(f_{\text{m,k}}\)) et de la contrainte critique (\(\sigma_{\text{m,crit}}\)) calculée précédemment.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Résistance en flexion, \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte critique, \(\sigma_{\text{m,crit}} = 59.8 \, \text{MPa}\) (du calcul Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)

Puisqu'il s'agit d'une racine carrée, l'élancement est moins sensible aux erreurs de calcul que la contrainte critique. Une erreur de 10% sur \(\sigma_{\text{m,crit}}\) n'entraîne qu'une erreur d'environ 5% sur \(\lambda_{\text{rel,m}}\), ce qui rend la méthode assez robuste.

Schéma (Avant les calculs)
Zone de Risque de Déversement
StableSensibleλ_rel,m = 0.75
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} \lambda_{\text{rel,m}} &= \sqrt{\frac{24}{59.8}} \\ &\approx \sqrt{0.4013} \\ &\approx 0.633 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Positionnement de notre Poutre
0.633λ_rel,m = 0.75
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de 0.633 est inférieure au seuil de 0.75 défini par l'Eurocode 5. Cela signifie que pour cette géométrie, ce matériau et ce chargement, la poutre est considérée comme suffisamment stable latéralement. Le risque de déversement est jugé non prépondérant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre l'élancement relatif au déversement (\(\lambda_{\text{rel,m}}\)) avec l'élancement relatif au flambement (\(\lambda_{\text{rel,c}}\)) pour les poteaux. Les formules et les seuils peuvent être différents.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'élancement relatif compare la résistance à la stabilité.
  • Le seuil clé dans l'Eurocode 5 pour le bois est de 0.75.
  • \(\lambda_{\text{rel,m}} \le 0.75 \Rightarrow\) Pas de risque de déversement à considérer.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La forme de la courbe de réduction (qui donne \(k_{\text{crit}}\) en fonction de \(\lambda_{\text{rel,m}}\)) est basée sur des milliers d'essais en laboratoire. Elle tient compte des imperfections inévitables dans les matériaux et la géométrie, qui font que les poutres réelles déversent toujours à une charge inférieure à la charge critique théorique.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi y a-t-il une racine carrée dans la formule ?

Cela vient de la forme des équations de base. La contrainte critique de flambement d'Euler est proportionnelle à \(1/L^2\), tandis que la résistance est une constante. Pour rendre le ratio non-dimensionnel de manière cohérente, une racine carrée apparaît naturellement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'élancement relatif au déversement est de 0.633.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la valeur de l'élancement si la contrainte critique n'était que de 30 MPa ?

Question 4 : En déduire le facteur de réduction (\(k_{\text{crit}}\))

Principe (le concept physique)

Le facteur \(k_{\text{crit}}\) est la conséquence directe du calcul de l'élancement. Il quantifie la perte de résistance due au risque de déversement. Si l'élancement est faible (comme ici), il n'y a pas de perte de résistance et \(k_{\text{crit}}\) vaut 1.0. Si l'élancement avait été élevé, \(k_{\text{crit}}\) serait devenu inférieur à 1.0, agissant comme un "malus" sur la résistance de la poutre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

\(k_{\text{crit}}\) est un facteur empirique qui permet de passer d'une analyse de bifurcation élastique (la théorie de \(\sigma_{\text{m,crit}}\)) à une vérification de résistance pratique. Il couvre tous les phénomènes complexes qui se produisent dans les poutres réelles, comme l'interaction entre le déversement et la plastification du matériau, ainsi que l'effet des imperfections géométriques initiales.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez \(k_{\text{crit}}\) comme un "handicap de stabilité". Une poutre très stable et robuste n'a aucun handicap (\(k_{\text{crit}}=1.0\)). Une poutre élancée et "instable" se voit attribuer un handicap (\(k_{\text{crit}} < 1.0\)), ce qui signifie qu'on ne lui fait pas confiance pour atteindre sa pleine résistance théorique et on réduit sa capacité de charge en conséquence.

Normes (la référence réglementaire)

Selon l'Eurocode 5 (NF EN 1995-1-1, §6.3.3 (5)), pour le bois massif et le bois lamellé-collé :
Si \(\lambda_{\text{rel,m}} \le 0.75\), alors \(k_{\text{crit}} = 1.0\).
Si \(0.75 < \lambda_{\text{rel,m}} \le 1.4\), alors \(k_{\text{crit}} = 1.56 - 0.75 \cdot \lambda_{\text{rel,m}}\).
Si \(\lambda_{\text{rel,m}} > 1.4\), alors \(k_{\text{crit}} = 1 / \lambda_{\text{rel,m}}^2\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Puisque \(\lambda_{\text{rel,m}} = 0.633 \le 0.75\), on utilise la première condition :

\[ k_{\text{crit}} = 1.0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les formules données sont valables pour des sections rectangulaires en bois massif ou lamellé-collé. D'autres matériaux comme l'acier utilisent des courbes de réduction différentes (les courbes de flambement européennes a, b, c, d).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Élancement relatif, \(\lambda_{\text{rel,m}} = 0.633\) (du calcul Q3)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vérifiez toujours en premier le cas \(\lambda_{\text{rel,m}} \le 0.75\). C'est le cas le plus fréquent pour des poutres correctement dimensionnées et il permet de conclure immédiatement que \(k_{\text{crit}} = 1.0\) sans calculs supplémentaires.

Schéma (Avant les calculs)
Courbe de Réduction k_crit
1.000.75λ_rel,m
Calcul(s) (l'application numérique)

Nous avons calculé \(\lambda_{\text{rel,m}} = 0.633\).

\[ \text{Puisque } 0.633 \le 0.75 \text{, alors } k_{\text{crit}} = 1.0 \]
Schéma (Après les calculs)
Positionnement sur la Courbe
1.0Notre poutre0.75λ_rel,m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un \(k_{\text{crit}}\) de 1.0 est le meilleur scénario possible. Cela signifie que la poutre peut être dimensionnée en utilisant sa pleine capacité de résistance en flexion, sans avoir à la réduire pour des raisons de stabilité. La section choisie est bien proportionnée pour la portée donnée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas utiliser la mauvaise formule. Si \(\lambda_{\text{rel,m}}\) était de 0.8, il faudrait impérativement utiliser la formule \(k_{\text{crit}} = 1.56 - 0.75 \cdot \lambda_{\text{rel,m}}\) et non conclure hâtivement que la poutre n'est pas stable.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • \(k_{\text{crit}}\) est le facteur qui réduit la résistance en flexion pour tenir compte du déversement.
  • Si \(\lambda_{\text{rel,m}} \le 0.75\), alors \(k_{\text{crit}} = 1.0\) (pas de réduction).
  • Si \(\lambda_{\text{rel,m}} > 0.75\), alors \(k_{\text{crit}} < 1.0\) (réduction obligatoire).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept d'utiliser un élancement et des courbes de réduction a été développé dans les années 1970 et est connu sous le nom de "méthode des courbes européennes de flambement". C'était une avancée majeure qui a permis d'unifier et de rationaliser le dimensionnement à la stabilité de tous les types de structures métalliques, puis a été adapté aux autres matériaux.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi y a-t-il plusieurs formules pour \(k_{\text{crit}}\) ?

Les différentes formules correspondent à différents comportements. La partie linéaire (\(0.75 < \lambda \le 1.4\)) modélise une interaction complexe entre le flambement élastique et la plastification du matériau. La partie hyperbolique (\(\lambda > 1.4\)) correspond au domaine du flambement purement élastique, où la résistance chute comme le carré de l'élancement (courbe d'Euler).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le facteur de réduction pour le déversement est k_crit = 1.0.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'élancement avait été de 1.2, quel aurait été le \(k_{\text{crit}}\) ?

Question 5 : Effectuer la vérification de stabilité au déversement

Principe (le concept physique)

C'est la vérification ultime. On compare la contrainte réelle dans la poutre due aux charges (\(\sigma_{\text{m,d}}\)) à la résistance admissible du matériau, cette dernière étant éventuellement réduite par le facteur de déversement \(k_{\text{crit}}\). La structure est considérée comme sûre si la contrainte appliquée est inférieure à la résistance disponible.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette approche de calcul est appelée "calcul aux états limites". L'État Limite Ultime (ELU) que nous vérifions ici correspond à la ruine de la structure. On s'assure que la sollicitation de calcul (\(E_d\)), qui inclut les charges majorées, est inférieure à la résistance de calcul (\(R_d\)), qui inclut les résistances des matériaux minorées. L'inéquation \(E_d \le R_d\) est la base de la sécurité structurelle moderne.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme vérifier si une étagère peut supporter des livres. La contrainte \(\sigma_{\text{m,d}}\) représente le "poids" des livres. La résistance \(k_{\text{crit}} \cdot f_{\text{m,d}}\) représente la "charge maximale" que l'étagère peut supporter sans s'effondrer. Notre calcul vérifie simplement que le poids des livres est inférieur à la charge maximale admissible.

Normes (la référence réglementaire)

L'inégalité de vérification est donnée par l'Eurocode 5 (NF EN 1995-1-1, éq. 6.32) :

\[ \frac{\sigma_{\text{m,d}}}{k_{\text{crit}} \cdot f_{\text{m,d}}} \le 1.0 \]

où \(f_{\text{m,d}}\) est la résistance de calcul en flexion.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Contrainte de flexion de calcul :

\[ \sigma_{\text{m,d}} = \frac{M_{\text{d}}}{W_{\text{y}}} \quad \text{avec} \quad W_{\text{y}} = \frac{b \cdot h^2}{6} \]

2. Résistance de flexion de calcul :

\[ f_{\text{m,d}} = k_{\text{mod}} \frac{f_{\text{m,k}}}{\gamma_M} \]

On prendra \(k_{\text{mod}} = 0.8\) (longue durée, classe 2) et \(\gamma_M = 1.3\) (bois lamellé-collé).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les coefficients partiels de sécurité (\(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_M\)) ont été choisis correctement en fonction de la classe de service (humidité) et de la durée d'application des charges, conformément à l'Eurocode 5.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul, \(M_{\text{d}} = 11.25 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Géométrie, \(b = 120 \, \text{mm}, h = 360 \, \text{mm}\)
  • Résistance caractéristique, \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\)
  • Facteurs, \(k_{\text{crit}} = 1.0, k_{\text{mod}} = 0.8, \gamma_M = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Un ratio de vérification (aussi appelé "taux de travail") de 0.294 est très faible. Dans une phase de conception, cela indiquerait que la poutre est surdimensionnée et qu'on pourrait probablement utiliser une section plus petite (par exemple, moins haute) pour économiser du matériau, tout en restant en dessous de 1.0.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte / Résistance
Contrainte σ_d ?Résistancek_crit*f_d
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du module de flexion \(W_{\text{y}}\) :

\[ \begin{aligned} W_{\text{y}} &= \frac{120 \cdot 360^2}{6} \\ &= 2,592,000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

2. Calcul de la contrainte de calcul \(\sigma_{\text{m,d}}\) :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,d}} &= \frac{11.25 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{2,592,000 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 4.34 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

3. Calcul de la résistance de calcul \(f_{\text{m,d}}\) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{m,d}} &= 0.8 \cdot \frac{24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 14.77 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

4. Vérification finale :

\[ \begin{aligned} \frac{\sigma_{\text{m,d}}}{k_{\text{crit}} \cdot f_{\text{m,d}}} &= \frac{4.34 \, \text{MPa}}{1.0 \cdot 14.77 \, \text{MPa}} \\ &= 0.294 \end{aligned} \]
\[ 0.294 \le 1.0 \quad \Rightarrow \quad \text{OK} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Vérification
σ_d=4.34f_d=14.77Ratio = 29.4% OK ✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le ratio de 0.294 (ou 29.4%) indique que la poutre est largement surdimensionnée pour la charge donnée. Elle travaille à moins de 30% de sa capacité, que ce soit en flexion pure ou en stabilité au déversement. C'est une situation très sûre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier un seul terme dans la vérification finale. Omettre \(k_{\text{crit}}\) (même s'il vaut 1.0 ici) ou \(k_{\text{mod}}\) est une erreur fréquente qui fausse le résultat. La sécurité structurelle repose sur l'application rigoureuse de la formule complète.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification finale compare la contrainte de calcul à la résistance de calcul.
  • La résistance de calcul doit inclure tous les facteurs pertinents : \(\gamma_M\), \(k_{\text{mod}}\), et \(k_{\text{crit}}\).
  • Le ratio de vérification \(\sigma_{\text{m,d}} / (k_{\text{crit}} \cdot f_{\text{m,d}})\) doit être inférieur ou égal à 1.0.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En plus de l'ELU (État Limite Ultime) pour la résistance, les ingénieurs doivent vérifier les ELS (États Limites de Service). Pour une poutre en bois, cela consiste principalement à vérifier que la flèche sous les charges de service (non pondérées) reste inférieure à une limite (souvent L/300 ou L/400) pour garantir le confort des usagers et éviter d'endommager les éléments non structuraux (cloisons, vitrages).

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le ratio est supérieur à 1.0 ?

Un ratio supérieur à 1.0 (par exemple 1.15) signifie que la poutre est jugée non conforme à la réglementation et dangereuse. L'ingénieur doit alors la redimensionner : augmenter la hauteur, la largeur, ou utiliser une classe de bois plus résistante, jusqu'à ce que le ratio repasse en dessous de 1.0.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vérification de stabilité est satisfaite (0.294 ≤ 1.0). La poutre est stable.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En supposant que la poutre soit dimensionnée pour un ratio de 0.95, quelle charge maximale \(q_{\text{d}}\) (en kN/m) pourrait-elle supporter ?

Outil Interactif : Stabilité au Déversement

Modifiez la portée et la hauteur de la poutre pour voir quand le déversement devient critique.

Paramètres d'Entrée
6000 mm
360 mm
Résultats Clés
Élancement Relatif (\(\lambda_{\text{rel,m}}\)) -
Facteur de Réduction (\(k_{\text{crit}}\)) -
Ratio de Vérification -

Le Saviez-Vous ?

Le bois lamellé-collé a été breveté en Allemagne en 1901 par Otto Hetzer. Cette technique permet de fabriquer des pièces de bois de très grandes dimensions et de formes complexes (arcs, courbes) impossibles à réaliser avec du bois massif. En optimisant l'usage du bois (les meilleures lamelles sont placées dans les zones les plus sollicitées), on obtient des performances mécaniques supérieures et plus homogènes que le bois massif.

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment peut-on empêcher le déversement en pratique ?

La solution la plus efficace est d'ajouter des maintiens latéraux. Dans une toiture, les pannes intermédiaires qui s'appuient sur notre poutre principale peuvent jouer ce rôle. On peut aussi ajouter des entretoises (des pièces de bois entre les poutres) ou un platelage continu (plancher ou voligeage) cloué sur la face supérieure. Ces éléments empêchent la semelle supérieure (comprimée) de se déplacer latéralement, ce qui augmente considérablement la contrainte critique de déversement.

Est-ce que le déversement existe pour les poutres en béton armé ?

Le phénomène existe théoriquement, mais il est extrêmement rare en pratique pour les poutres en béton armé coulées en place. Leurs dimensions sont généralement massives (rapport h/b faible) et elles sont presque toujours solidaires d'une dalle en béton qui assure un maintien latéral parfait. Le déversement est surtout un problème pour les matériaux élancés comme l'acier ou le bois.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle action est la plus efficace pour réduire le risque de déversement d'une poutre ?

2. Si le calcul donne un élancement \(\lambda_{\text{rel,m}} = 1.1\), cela signifie que...

Déversement
Phénomène d'instabilité par flambement latéral et torsion d'une poutre soumise à de la flexion dans son plan de plus grande inertie.
Élancement Relatif (\(\lambda_{\text{rel,m}}\))
Ratio sans dimension qui compare la résistance d'une poutre à sa stabilité élastique. Il permet de déterminer si le déversement est un phénomène à prendre en compte.
k_crit
Facteur de réduction (≤ 1.0) appliqué à la résistance en flexion pour tenir compte des effets du déversement lorsque l'élancement est trop élevé.
Vérification au Déversement d’une Poutre en Lamellé-Collé

D’autres exercices de Structure en Bois:

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