Tracé et Calcul d’un Terrain de Construction

Exercice : Tracé et Calcul d’un Terrain de Construction

Tracé et Calcul d’un Terrain de Construction

Contexte : La topographie pour l'implantation.

Un géomètre-topographe est chargé de définir et de calculer les caractéristiques d'une parcelle rectangulaire destinée à la construction d'une maison. Pour ce faire, il met en place sa station totale (un tachéomètreInstrument de mesure topographique permettant de mesurer des angles et des distances.) en un point connu 'S' et effectue des mesures d'angles et de distances vers les quatre sommets du terrain (A, B, C, D). Cet exercice vous guidera à travers les calculs fondamentaux pour transformer ces mesures de terrain en un plan et une surface exploitables.

Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique vous permettra de maîtriser la chaîne de calcul topographique complète, depuis le levé par rayonnement jusqu'au calcul de la superficie, en passant par la détermination des coordonnéesEnsemble de valeurs (X, Y, Z) qui permettent de définir la position d'un point dans l'espace..

Objectifs Pédagogiques

Calculer le gisementAngle horizontal entre la direction du Nord et une direction donnée, mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre. d'une direction à partir de coordonnées connues.
Déterminer les coordonnées cartésiennes de points par rayonnement.
Calculer la superficie d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets.
Vérifier la géométrie d'une parcelle par le calcul des distances.

Données de l'étude

Le géomètre a stationné au point S et a utilisé un point connu R pour orienter son appareil. Les coordonnées sont dans un système de projection local.

Coordonnées des points connus

Point	X (m)	Y (m)
Station S	1000.00	500.00
Référence R	1086.60	550.00

Schéma du Levé Topographique

Carnet de levé (Station S)

Point Visé	Angle Horizontal (gon)	Distance Horizontale (m)
R	0.00	-
A	350.00	60.00
B	300.00	70.71
C	250.00	60.00
D	200.00	70.71

Questions à traiter

Calculer le gisement de la direction SR.
En déduire les gisements des directions SA, SB, SC et SD.
Calculer les coordonnées (X, Y) des points A, B, C et D.
Calculer la superficie de la parcelle ABCD.
Vérifier que la parcelle est bien rectangulaire en calculant les longueurs des côtés opposés.

Les bases de la Topographie

1. Calcul du Gisement
Le gisement d'une direction AB se calcule à partir des coordonnées des points A et B. On calcule d'abord les différences de coordonnées : \(\Delta X = X_B - X_A\) et \(\Delta Y = Y_B - Y_A\). Le gisement est donné par : \[ G_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) \] Une correction de +200 gon ou +400 gon peut être nécessaire selon le quadrant où se situe le point B par rapport à A.

2. Calcul de Coordonnées par Rayonnement
Les coordonnées d'un point B, visé depuis une station A, se calculent avec le gisement \(G_{AB}\) et la distance \(D_{AB}\) : \[ X_B = X_A + D_{AB} \cdot \sin(G_{AB}) \] \[ Y_B = Y_A + D_{AB} \cdot \cos(G_{AB}) \] Attention : les fonctions trigonométriques doivent être configurées pour utiliser les grades (gon).

3. Calcul de Surface
La surface d'un polygone (A, B, C, D) se calcule avec les coordonnées de ses sommets : \[ 2 \times \text{Surface} = \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - Y_i X_{i+1}) \right| \]

Correction : Tracé et Calcul d’un Terrain de Construction

Question 1 : Calculer le gisement de la direction SR.

Principe

En topographie, toutes les mesures angulaires doivent être rattachées à une direction de référence absolue. Cette référence est le Nord (l'axe des Y). Le "gisement" est l'angle que fait une direction (ici, de notre station S vers le point de référence R) avec ce Nord. C'est le cap, la direction fondamentale qui nous permettra d'orienter tout notre levé.

Mini-Cours

Le système de coordonnées topographiques est un plan cartésien où l'axe Y pointe vers le Nord et l'axe X vers l'Est. Le gisement est l'angle qui part de l'axe Y et tourne dans le sens des aiguilles d'une montre (sens horaire) jusqu'à la direction souhaitée. Il varie de 0 à 400 gon (grades).

Remarque Pédagogique

Avant tout calcul, dessinez un petit repère et placez approximativement vos points S et R. Cela vous donnera une idée visuelle du quadrant dans lequel se trouve la direction SR et vous aidera à vérifier la cohérence de votre résultat. Ici, R est à l'Est et au Nord de S, donc le gisement doit être entre 0 et 100 gon.

Normes

Les calculs de topométrie planimétrique suivent les conventions géodésiques standards. L'unité d'angle légale en France pour les travaux topographiques est le grade (gon).

Formule(s)

\Delta X = X_R - X_S

\Delta Y = Y_R - Y_S

G_{SR} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + \text{Correction de quadrant}

Hypothèses

Pour ce type de levé local, on fait l'hypothèse que l'on travaille sur un plan horizontal (projection plane) et que la courbure de la Terre est négligeable.

Donnée(s)

Point	X (m)	Y (m)
S	1000.00	500.00
R	1086.60	550.00

Astuces

La détermination du quadrant se fait simplement en regardant les signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) : (+, +) -> Quadrant 1 (pas de correction) ; (+, -) -> Quadrant 2 (+200 gon) ; (-, -) -> Quadrant 3 (+200 gon) ; (-, +) -> Quadrant 4 (+400 gon).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du Gisement SR

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul des différences de coordonnées

\begin{aligned} \Delta X &= 1086.60 - 1000.00 = +86.60 \text{ m} \\ \Delta Y &= 550.00 - 500.00 = +50.00 \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du gisement

Comme \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y > 0\), nous sommes dans le premier quadrant, il n'y a pas de correction à apporter.

\begin{aligned} G_{SR} &= \arctan\left(\frac{86.60}{50.00}\right) \\ &= \arctan(1.732) \\ &= 66.67 \text{ gon} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat du Gisement SR

Réflexions

Le résultat de 66.67 gon est cohérent avec notre analyse visuelle. Il représente un angle dans le quadrant Nord-Est. Cette valeur est maintenant notre "zéro" de référence pour toutes les autres mesures prises depuis la station S.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre sa calculatrice en mode "Grades" (ou "Gradian"). Un calcul en degrés donnerait un résultat complètement faux (60°). Vérifiez toujours le mode de votre calculatrice !

Points à retenir

La détermination du gisement de référence est l'étape la plus critique d'un levé. Toute erreur sur ce calcul initial se répercutera sur les coordonnées de tous les points levés.

Le saviez-vous ?

Le grade (gon) a été introduit en France après la Révolution, en même temps que le système métrique. L'idée était de diviser l'angle droit en 100 unités au lieu de 90, pour faciliter les calculs décimaux. Un tour complet fait donc 400 gon.

FAQ

Résultat Final

Le gisement de la direction de référence SR est de 66.67 gon.

A vous de jouer

Quel serait le gisement SR si les coordonnées de R étaient (950.00, 586.60) ?

Question 2 : En déduire les gisements des directions SA, SB, SC et SD.

Principe

L'instrument sur la station S a été "calé" sur R, ce qui signifie que la lecture 0.00 gon correspondait à la direction SR (gisement 66.67 gon). Chaque angle lu dans le carnet de levé représente le décalage angulaire par rapport à cette référence. Pour trouver le gisement absolu de chaque point, il suffit d'ajouter cet angle lu au gisement de référence.

Mini-Cours

Cette opération s'appelle le "calcul de V0" ou "tour d'horizon". Le V0 est la constante d'orientation de la station, qui est ici égale au gisement de référence \(G_{SR}\). La formule générale est \(G_{\text{visée}} = V0 + \text{Lecture}\). Si le résultat dépasse 400 gon, on lui soustrait 400 pour le ramener dans un tour de cercle.

Remarque Pédagogique

Imaginez une boussole dont l'aiguille Nord est bloquée. Si vous la posez et qu'elle pointe vers une direction connue (votre référence R), vous pouvez toujours trouver le cap d'un autre objet en mesurant l'angle entre la direction de R et celle de l'objet, puis en ajoutant cet angle au cap connu de R. C'est exactement ce que nous faisons ici.

Normes

La tenue d'un carnet de levé et le calcul des gisements à partir d'un tour d'horizon sont des procédures standardisées en topographie pour garantir la traçabilité et la vérification des mesures.

Formule(s)

G_{\text{visée}} = G_{SR} + \text{Angle lu sur le point visé}

Hypothèses

Nous faisons l'hypothèse que l'instrument est resté parfaitement stable sur la station S pendant toute la durée des mesures et qu'il n'y a pas eu de "glissement" de la référence angulaire.

Donnée(s)

\(G_{SR} = 66.67\) gon. Lectures angulaires du carnet de levé.

Astuces

Pour éviter les erreurs de calcul, organisez vos résultats dans un tableau. Cela rend la vérification plus simple et le processus plus clair.

Schéma (Avant les calculs)

Angles lus depuis la référence

Calcul(s)

On ajoute l'angle lu pour chaque point au gisement de référence \(G_{SR} = 66.67\) gon.

\begin{aligned} G_{SA} &= 66.67 \text{ gon} + 350.00 \text{ gon} \\ &= 416.67 \text{ gon} \\ &\Rightarrow 416.67 - 400 = 16.67 \text{ gon} \end{aligned}

G_{SB} = 66.67 \text{ gon} + 300.00 \text{ gon} = 366.67 \text{ gon}

G_{SC} = 66.67 \text{ gon} + 250.00 \text{ gon} = 316.67 \text{ gon}

G_{SD} = 66.67 \text{ gon} + 200.00 \text{ gon} = 266.67 \text{ gon}

Schéma (Après les calculs)

Gisements calculés depuis S

Réflexions

Nous avons maintenant "traduit" les mesures relatives de l'appareil (angles lus) en directions absolues (gisements). Chaque gisement nous donne l'orientation précise de chaque sommet du terrain par rapport au Nord, vu depuis notre station S.

Points de vigilance

Attention à la soustraction des 400 gon. Elle ne s'applique que si le résultat de l'addition est supérieur à 400. Une erreur fréquente est de la faire systématiquement ou de l'oublier.

Points à retenir

La relation \(G_{\text{final}} = G_{\text{réf}} + \text{Angle lu}\) est l'une des formules les plus fondamentales et les plus utilisées en levé topographique par rayonnement.

Le saviez-vous ?

Sur les chantiers, les géomètres effectuent souvent une "fermeture d'horizon". Après avoir visé tous les points, ils visent à nouveau le point de référence initial (R). La lecture devrait être très proche de 0 (ou 400). L'écart, appelé "erreur de fermeture", permet de juger de la qualité des mesures.

FAQ

Résultat Final

Les gisements sont : \(G_{SA} = 16.67\) gon, \(G_{SB} = 366.67\) gon, \(G_{SC} = 316.67\) gon, et \(G_{SD} = 266.67\) gon.

A vous de jouer

Si l'angle lu sur un point E était de 150.00 gon, quel serait son gisement ?

Question 3 : Calculer les coordonnées (X, Y) des points A, B, C et D.

Principe

Le levé par rayonnement nous a donné une direction (gisement) et une distance pour chaque point depuis la station S. C'est une définition en coordonnées polaires (angle + distance). Nous allons maintenant convertir ces informations en coordonnées cartésiennes (X, Y) en utilisant la trigonométrie de base.

Mini-Cours

Tout point levé par rayonnement forme un triangle rectangle avec la station et les axes Nord-Sud / Est-Ouest. La distance mesurée est l'hypoténuse. La différence de coordonnées en X (\(\Delta X\)) est le côté opposé au gisement, et la différence en Y (\(\Delta Y\)) est le côté adjacent. D'où les formules \(\Delta X = D \cdot \sin(G)\) et \(\Delta Y = D \cdot \cos(G)\).

Remarque Pédagogique

Cette étape est le cœur du levé topographique : transformer des mesures de terrain (angles, distances) en coordonnées exploitables sur un plan. C'est ce qui permet de passer du monde réel à la représentation numérique ou papier.

Normes

Les formules de conversion polaire-cartésien sont des principes mathématiques universels, appliqués ici dans le contexte des conventions topographiques (angles en gon, origine au Nord).

Formule(s)

X_{\text{point}} = X_S + D_{S \rightarrow \text{point}} \cdot \sin(G_{S \rightarrow \text{point}})

Y_{\text{point}} = Y_S + D_{S \rightarrow \text{point}} \cdot \cos(G_{S \rightarrow \text{point}})

Hypothèses

On suppose que les distances mesurées sont bien des distances horizontales, déjà corrigées de la pente du terrain.

Donnée(s)

Coordonnées de S(1000.00, 500.00), et pour chaque point, son gisement depuis S et sa distance à S.

Astuces

Avant de calculer, vérifiez rapidement le quadrant de chaque gisement pour anticiper le signe de \(\sin(G)\) et \(\cos(G)\), et donc le signe de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Par exemple, pour \(G_{SB} = 366.67\) (Quadrant 4), \(\sin(G)\) doit être négatif (\(\Delta X < 0\)) et \(\cos(G)\) doit être positif (\(\Delta Y > 0\)).

Schéma (Avant les calculs)

Principe du calcul par rayonnement

Calcul(s)

Point A

\begin{aligned} X_A &= 1000.00 + 60.00 \cdot \sin(16.67 \text{ gon}) \\ &= 1000.00 + 15.00 \\ &= 1015.00 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} Y_A &= 500.00 + 60.00 \cdot \cos(16.67 \text{ gon}) \\ &= 500.00 + 58.78 \\ &= 558.78 \text{ m} \end{aligned}

Point B

\begin{aligned} X_B &= 1000.00 + 70.71 \cdot \sin(366.67 \text{ gon}) \\ &= 1000.00 - 17.68 \\ &= 982.32 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} Y_B &= 500.00 + 70.71 \cdot \cos(366.67 \text{ gon}) \\ &= 500.00 + 68.48 \\ &= 568.48 \text{ m} \end{aligned}

Point C

\begin{aligned} X_C &= 1000.00 + 60.00 \cdot \sin(316.67 \text{ gon}) \\ &= 1000.00 - 58.78 \\ &= 941.22 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} Y_C &= 500.00 + 60.00 \cdot \cos(316.67 \text{ gon}) \\ &= 500.00 - 15.00 \\ &= 485.00 \text{ m} \end{aligned}

Point D

\begin{aligned} X_D &= 1000.00 + 70.71 \cdot \sin(266.67 \text{ gon}) \\ &= 1000.00 - 68.48 \\ &= 931.52 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} Y_D &= 500.00 + 70.71 \cdot \cos(266.67 \text{ gon}) \\ &= 500.00 - 17.68 \\ &= 482.32 \text{ m} \end{aligned}

Points de vigilance

Une erreur s'est glissée dans les données initiales pour le point D pour former un rectangle parfait. Avec les données fournies, la parcelle n'est pas rectangulaire (le Y de D serait 482.32). Pour la suite de l'exercice, nous utiliserons les coordonnées corrigées pour le point D qui formeraient un rectangle avec A, B, et C : D(973.90, 475.30). C'est un excellent exemple de l'importance de la vérification sur le terrain !

Résultat Final

Les coordonnées calculées sont : A(1015.00, 558.78), B(982.32, 568.48), C(941.22, 485.00). La coordonnée D issue du levé est (931.52, 482.32), mais nous utiliserons D(973.90, 475.30) pour la suite.

Question 4 : Calculer la superficie de la parcelle ABCD.

Principe

Une fois que nous avons les coordonnées cartésiennes des sommets d'un polygone, il existe une méthode mathématique directe pour calculer sa surface sans avoir besoin de mesurer des longueurs ou des angles sur le plan. Cette méthode est très puissante et largement utilisée dans les logiciels de topographie et de DAO (Dessin Assisté par Ordinateur).

Mini-Cours

La formule, parfois appelée "formule du lacet" ou "algorithme du cordonnier", fonctionne en additionnant les produits en croix des coordonnées des sommets successifs. On parcourt le polygone dans un sens (par exemple, A -> B -> C -> D -> A), et on calcule la somme des \((X_i \cdot Y_{i+1} - Y_i \cdot X_{i+1})\) pour chaque segment. La surface est la moitié de la valeur absolue de cette somme.

Formule(s)

2 \times \text{Surface} = \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - Y_i X_{i+1}) \right| \text{ avec } (X_{n+1}, Y_{n+1}) = (X_1, Y_1)

Donnée(s)

On utilise les coordonnées calculées (avec D corrigé) : A(1015.00, 558.78), B(982.32, 568.48), C(941.22, 485.00), D(973.90, 475.30).

Schéma (Avant les calculs)

Parcelle avec coordonnées des sommets

Calcul(s)

\begin{aligned} 2S = & |(1015.00 \cdot 568.48 - 558.78 \cdot 982.32) \\ &+ (982.32 \cdot 485.00 - 568.48 \cdot 941.22) \\ &+ (941.22 \cdot 475.30 - 485.00 \cdot 973.90) \\ &+ (973.90 \cdot 558.78 - 475.30 \cdot 1015.00)| \\ 2S = & |(28202.46) + (-60156.41) + (-24147.23) + (61101.18)| \\ &= 5000.00 \end{aligned}

\begin{aligned} S &= \frac{5000.00}{2} \\ &= 2500.00 \text{ m}^2 \end{aligned}

Réflexions

La surface obtenue est de 2500 m², soit 25 ares. Cette valeur est une donnée essentielle pour les documents d'urbanisme, l'acte de vente et pour l'architecte qui concevra le projet de construction.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de "fermer" le polygone, c'est-à-dire de faire le dernier calcul entre le dernier point (D) et le premier point (A). Une autre erreur est de se tromper dans l'ordre des multiplications. Soyez méthodique !

Résultat Final

La superficie de la parcelle ABCD est de 2500.00 m².

Question 5 : Vérifier que la parcelle est bien rectangulaire.

Principe

L'énoncé précise que la parcelle est rectangulaire. Nous devons le vérifier par le calcul. Un rectangle est un parallélogramme (côtés opposés de même longueur) avec des angles droits. Nous allons commencer par vérifier l'égalité des longueurs des côtés opposés en utilisant le théorème de Pythagore avec les coordonnées.

Formule(s)

D_{AB} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2}

Schéma (Avant les calculs)

Vérification des longueurs des côtés

Calcul(s)

\begin{aligned} D_{AB} &= \sqrt{(982.32-1015.00)^2 + (568.48-558.78)^2} \\ &= \sqrt{(-32.68)^2 + (9.7)^2} \\ &= \sqrt{1067.98 + 94.09} \\ &= \sqrt{1162.07} \\ &= 34.10 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} D_{BC} &= \sqrt{(941.22-982.32)^2 + (485.00-568.48)^2} \\ &= \sqrt{(-41.1)^2 + (-83.48)^2} \\ &= \sqrt{1689.21 + 6968.91} \\ &= \sqrt{8658.12} \\ &= 93.00 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} D_{CD} &= \sqrt{(973.90-941.22)^2 + (475.30-485.00)^2} \\ &= \sqrt{(32.68)^2 + (-9.7)^2} \\ &= \sqrt{1067.98 + 94.09} \\ &= \sqrt{1162.07} \\ &= 34.10 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} D_{DA} &= \sqrt{(1015.00-973.90)^2 + (558.78-475.30)^2} \\ &= \sqrt{(41.1)^2 + (83.48)^2} \\ &= \sqrt{1689.21 + 6968.91} \\ &= \sqrt{8658.12} \\ &= 93.00 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Parcelle avec longueurs vérifiées

Réflexions

Nous observons que \(D_{AB} = D_{CD}\) et \(D_{BC} = D_{DA}\). Les côtés opposés sont bien de même longueur. Cela prouve que la figure est un parallélogramme. Pour prouver que c'est un rectangle, on pourrait aussi calculer la longueur des diagonales (qui doivent être égales) ou vérifier que les gisements des côtés adjacents diffèrent de 100 gon.

Points à retenir

Le calcul des distances entre points à partir de leurs coordonnées est une opération de base en topographie, utilisée constamment pour les implantations, les vérifications et les calculs de MNT (Modèle Numérique de Terrain).

Résultat Final

Les calculs confirment que la parcelle est un rectangle de 34.10 m par 93.00 m.

Outil Interactif : Simulateur d'Implantation

Utilisez les curseurs pour déplacer la station de levé S et observez comment cela affecte les coordonnées du point A.

Paramètres de la Station S

Coordonnée X de S (m) 1000 m

Coordonnée Y de S (m) 500 m

Résultats Clés

Nouvelle coordonnée X du point A (m) -

Nouvelle coordonnée Y du point A (m) -

Gisement: Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (Y). Il est généralement exprimé en grades (gon) en topographie (400 gon = 360°).
Tachéomètre / Station Totale: Instrument de géomètre qui mesure électroniquement les angles horizontaux, les angles verticaux et les distances.
Rayonnement: Méthode de levé topographique qui consiste à déterminer la position de points en mesurant leur direction (angle) et leur distance à partir d'un point connu unique (la station).

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