Études de cas pratique

EGC

Calcul des Dénivelés et des Pentes

Calcul des Dénivelés et des Pentes en Topographie

Calcul des Dénivelés et des Pentes en Topographie

Comprendre le Calcul des Dénivelés et des Pentes

En topographie, la détermination précise des dénivelés (différences d'altitude) et des pentes est cruciale pour de nombreux projets d'ingénierie et d'aménagement. Que ce soit pour la conception de routes, de canaux, de réseaux d'assainissement, ou pour l'analyse de la stabilité des terrains, ces calculs permettent de quantifier l'inclinaison du sol. La pente peut être exprimée en pourcentage, en degrés, ou sous forme de rapport, chacune de ces expressions ayant son utilité selon le contexte. Les calculs se basent sur les altitudes des points et les distances qui les séparent, qu'elles soient horizontales ou suivant la pente naturelle du terrain.

Données de l'étude

Un levé topographique a été réalisé pour déterminer les caractéristiques d'un profil en long entre deux points principaux P1 et P2. Un point intermédiaire P_int est également considéré.

Coordonnées et mesures :

  • Point P1 :
    • Coordonnées : \(X_1 = 100.00 \, \text{m}\), \(Y_1 = 200.00 \, \text{m}\)
    • Altitude (\(Z_1\)) : \(55.25 \, \text{m}\)
  • Point P2 :
    • Coordonnées : \(X_2 = 350.00 \, \text{m}\), \(Y_2 = 280.00 \, \text{m}\)
    • Altitude (\(Z_2\)) : \(48.75 \, \text{m}\)
  • Point Intermédiaire P_int :
    • Situé sur l'alignement P1-P2, à une distance horizontale de \(100.00 \, \text{m}\) depuis P1.

Hypothèses :

  • Le système de coordonnées est un système plan local.
  • La pente entre P1 et P2 est supposée constante pour la détermination de l'altitude de P_int.

Schéma : Profil en long et points topographiques
{/* */} {/* */} P1 (Z₁) {/* Position approx. de P_int */} P_int P2 (Z₂) {/* */} {/* Horizontale depuis P1 */} {/* Verticale de P2 à l'horizontale de P1 */} {/* */} {/* Verticale depuis P_int */} {/* Horizontale vers P_int */} {/* */} {/* */} ΔZ₁₂ {/* */} Dh₁₂ {/* */} Dh₁_{int} Profil en Long Topographique

Schéma illustrant un profil en long avec les points P1, P2 et un point intermédiaire P_int.

Questions à traiter

  1. Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{h12}}\)) entre les points P1 et P2.
  2. Calculer la dénivelée (\(\Delta Z_{12}\)) entre les points P1 et P2. Indiquer si la pente est montante ou descendante de P1 vers P2.
  3. Calculer la pente (\(P_{12}\)) entre P1 et P2 en pourcentage (\(\%\)).
  4. Calculer l'altitude (\(Z_{\text{int}}\)) du point intermédiaire P_int, en supposant une pente constante entre P1 et P2.
  5. Si un projet nécessite une pente maximale de \(-3\%\) (descendante) pour une canalisation posée entre P1 et un nouveau point P3 situé à une distance horizontale de \(150 \, \text{m}\) de P1 (sur l'alignement P1-P2), quelle serait l'altitude minimale requise pour P3 ?

Correction : Calcul des Dénivelés et des Pentes

Question 1 : Distance Horizontale (\(D_{\text{h12}}\)) entre P1 et P2

Principe :

La distance horizontale entre deux points de coordonnées (\(X_1, Y_1\)) et (\(X_2, Y_2\)) est donnée par le théorème de Pythagore appliqué aux différences de coordonnées.

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{\text{h12}} = \sqrt{(X_2 - X_1)^2 + (Y_2 - Y_1)^2}\]
Données spécifiques :
  • P1 : \(X_1 = 100.00 \, \text{m}\), \(Y_1 = 200.00 \, \text{m}\)
  • P2 : \(X_2 = 350.00 \, \text{m}\), \(Y_2 = 280.00 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X &= X_2 - X_1 = 350.00 \, \text{m} - 100.00 \, \text{m} = 250.00 \, \text{m} \\ \Delta Y &= Y_2 - Y_1 = 280.00 \, \text{m} - 200.00 \, \text{m} = 80.00 \, \text{m} \\ D_{\text{h12}} &= \sqrt{(250.00 \, \text{m})^2 + (80.00 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{62500 \, \text{m}^2 + 6400 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{68900 \, \text{m}^2} \\ &\approx 262.488 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La distance horizontale entre P1 et P2 est \(D_{\text{h12}} \approx 262.49 \, \text{m}\).

Question 2 : Dénivelée (\(\Delta Z_{12}\)) entre P1 et P2

Principe :

La dénivelée est la différence d'altitude entre P2 et P1.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{12} = Z_2 - Z_1\]
Données spécifiques :
  • Altitude de P1 (\(Z_1\)) : \(55.25 \, \text{m}\)
  • Altitude de P2 (\(Z_2\)) : \(48.75 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{12} &= 48.75 \, \text{m} - 55.25 \, \text{m} \\ &= -6.50 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que la pente est descendante de P1 vers P2.

Résultat Question 2 : La dénivelée entre P1 et P2 est \(\Delta Z_{12} = -6.50 \, \text{m}\). La pente est descendante de P1 vers P2.

Question 3 : Pente (\(P_{12}\)) entre P1 et P2 en Pourcentage (%)

Principe :

La pente en pourcentage est le rapport de la dénivelée à la distance horizontale, multiplié par 100.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{12} (\%) = \frac{\Delta Z_{12}}{D_{\text{h12}}} \times 100\]
Données spécifiques :
  • Dénivelée (\(\Delta Z_{12}\)) : \(-6.50 \, \text{m}\)
  • Distance horizontale (\(D_{\text{h12}}\)) : \(262.49 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{12} (\%) &= \frac{-6.50 \, \text{m}}{262.49 \, \text{m}} \times 100 \\ &\approx -0.024765 \times 100 \\ &\approx -2.4765 \% \end{aligned} \]

Arrondi à deux décimales : \(-2.48 \%\).

Résultat Question 3 : La pente entre P1 et P2 est d'environ \(-2.48 \%\).

Quiz Intermédiaire 1 : Une pente négative indique que :

Question 4 : Altitude (\(Z_{\text{int}}\)) du Point Intermédiaire P_int

Principe :

En supposant une pente constante, la dénivelée entre P1 et P_int est proportionnelle à la distance horizontale entre ces points, par rapport à la dénivelée et distance totale P1-P2.

Pente \(P = \frac{\Delta Z_{12}}{D_{\text{h12}}}\). Dénivelée P1-P_int : \(\Delta Z_{1\text{-int}} = P \times D_{\text{h1-int}}\). Altitude \(Z_{\text{int}} = Z_1 + \Delta Z_{1\text{-int}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{int}} = Z_1 + \left( \frac{\Delta Z_{12}}{D_{\text{h12}}} \right) \times D_{\text{h1-int}}\]
Données spécifiques :
  • Altitude de P1 (\(Z_1\)) : \(55.25 \, \text{m}\)
  • Dénivelée P1-P2 (\(\Delta Z_{12}\)) : \(-6.50 \, \text{m}\)
  • Distance horizontale P1-P2 (\(D_{\text{h12}}\)) : \(262.49 \, \text{m}\)
  • Distance horizontale P1-P_int (\(D_{\text{h1-int}}\)) : \(100.00 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{Pente (valeur)} &= \frac{-6.50 \, \text{m}}{262.49 \, \text{m}} \approx -0.024765 \\ \Delta Z_{1\text{-int}} &= -0.024765 \times 100.00 \, \text{m} \\ &\approx -2.4765 \, \text{m} \\ Z_{\text{int}} &= 55.25 \, \text{m} + (-2.4765 \, \text{m}) \\ &= 55.25 \, \text{m} - 2.4765 \, \text{m} \\ &\approx 52.7735 \, \text{m} \end{aligned} \]

Arrondi à deux décimales : \(52.77 \, \text{m}\).

Résultat Question 4 : L'altitude du point intermédiaire P_int est d'environ \(52.77 \, \text{m}\).

Question 5 : Altitude Minimale pour P3 avec une Pente de -3%

Principe :

La dénivelée requise pour une pente donnée sur une distance horizontale donnée est \(\Delta Z = P \times D_h\). L'altitude du point P3 sera \(Z_3 = Z_1 + \Delta Z_{13}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{13} = P_{\text{requise}} \times D_{\text{h13}}\]
\[Z_3 = Z_1 + \Delta Z_{13}\]
Données spécifiques :
  • Altitude de P1 (\(Z_1\)) : \(55.25 \, \text{m}\)
  • Pente requise (\(P_{\text{requise}}\)) : \(-3\% = -0.03\)
  • Distance horizontale P1-P3 (\(D_{\text{h13}}\)) : \(150.00 \, \text{m}\)
Calcul de la dénivelée \(\Delta Z_{13}\) :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{13} &= -0.03 \times 150.00 \, \text{m} \\ &= -4.50 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul de l'altitude \(Z_3\) :
\[ \begin{aligned} Z_3 &= 55.25 \, \text{m} + (-4.50 \, \text{m}) \\ &= 55.25 \, \text{m} - 4.50 \, \text{m} \\ &= 50.75 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'altitude minimale requise pour le point P3 est de \(50.75 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si la distance horizontale double et que la dénivelée reste la même, la valeur absolue de la pente :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La distance horizontale entre deux points (X1, Y1) et (X2, Y2) est calculée par :

2. Une pente de \(-5\%\) signifie :

3. L'altitude d'un point est sa hauteur par rapport à :

Glossaire

Topographie
Technique de représentation sur un plan des formes et détails visibles sur la surface terrestre (relief, objets naturels ou artificiels).
Dénivelée (\(\Delta Z\))
Différence d'altitude entre deux points. Peut être positive (montée) ou négative (descente) selon le sens de parcours.
Pente
Mesure de l'inclinaison d'une surface par rapport à l'horizontale. Elle est le rapport entre la dénivelée et la distance horizontale.
Distance Horizontale (\(D_{\text{h}}\))
Projection sur un plan horizontal de la distance entre deux points.
Altitude (Z)
Élévation verticale d'un point par rapport à un niveau de référence (datum), généralement le niveau moyen de la mer.
Coordonnées Planimétriques (X, Y)
Coordonnées qui définissent la position d'un point sur un plan horizontal (Est et Nord, ou Abscisse et Ordonnée).
Profil en Long
Représentation graphique de la variation d'altitude le long d'un tracé linéaire (ex: axe d'une route, d'une conduite).
Calcul des Dénivelés et des Pentes - Exercice d'Application

D’autres exercices de topographie:

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