Calcul de la Tolérance de Fermeture Angulaire en Topographie
Introduction à la Fermeture Angulaire
En topographie, lors de la réalisation d'un cheminement polygonal fermé (un polygone où le point de départ et le point d'arrivée sont identiques), la somme des angles intérieurs (ou extérieurs) mesurés doit théoriquement correspondre à une valeur géométrique précise. En pratique, les mesures sont entachées d'erreurs inévitables. La différence entre la somme des angles observés et la somme théorique est appelée "fermeture angulaire" ou "écart de fermeture angulaire". Pour que le levé soit acceptable, cette fermeture doit être inférieure à une tolérance réglementaire ou fixée en fonction de la précision de l'instrument et de l'ordre du travail. Ce calcul est une vérification essentielle de la qualité des mesures angulaires d'un polygone.
Données de l'étude
| Sommet | Angle Intérieur Observé (gon) |
|---|---|
| A1 | 119.9850 |
| A2 | 120.0150 |
| A3 | 119.9700 |
| A4 | 120.0300 |
| A5 | 119.9900 |
- \(n\) est le nombre de sommets (ou d'angles mesurés).
- \(c\) est un coefficient dépendant de la précision de l'instrument et des conditions de mesure. Pour cet exercice, \(c = 0.0200 \, \text{gon}\).
Schéma d'un Polygone Fermé (Pentagone)
Schéma illustrant un polygone fermé à 5 sommets et ses angles intérieurs.
Questions à traiter
- Calculer la somme des angles intérieurs observés (\(\sum A_{\text{obs}}\)).
- Calculer la somme théorique des angles intérieurs (\(\sum A_{\text{th}}\)) pour un polygone à 5 sommets.
- Calculer l'écart de fermeture angulaire (\(f_a\)).
- Calculer la tolérance de fermeture angulaire admissible (\(T_a\)).
- Comparer l'écart de fermeture angulaire à la tolérance et conclure sur l'acceptabilité du levé.
Correction : Calcul de la Tolérance de Fermeture Angulaire
Question 1 : Somme des angles intérieurs observés (\(\sum A_{\text{obs}}\))
Principe :
Il s'agit de sommer toutes les valeurs des angles intérieurs mesurés sur le terrain.
Calcul :
Question 2 : Somme théorique des angles intérieurs (\(\sum A_{\text{th}}\))
Principe :
La somme théorique des angles intérieurs d'un polygone à \(n\) sommets est donnée par une formule géométrique.
Formule(s) utilisée(s) :
(Ou \((n-2) \times 180^\circ\) si les angles étaient en degrés)
Données et Calcul :
- Nombre de sommets (\(n\)) : 5
Quiz Intermédiaire : Quelle serait la somme théorique des angles intérieurs d'un hexagone (6 sommets) en gons ?
Question 3 : Écart de fermeture angulaire (\(f_a\))
Principe :
L'écart de fermeture angulaire est la différence entre la somme des angles observés et la somme théorique.
Formule(s) utilisée(s) :
Données et Calcul :
- \(\sum A_{\text{obs}} = 599.9900 \, \text{gon}\)
- \(\sum A_{\text{th}} = 600.0000 \, \text{gon}\)
Question 4 : Tolérance de fermeture angulaire admissible (\(T_a\))
Principe :
La tolérance admissible est calculée en fonction du nombre de sommets et du coefficient de précision.
Formule(s) utilisée(s) :
Données et Calcul :
- \(c = 0.0200 \, \text{gon}\)
- \(n = 5\)
Quiz Intermédiaire : Si le coefficient \(c\) était plus petit (instrument plus précis), la tolérance \(T_a\) serait :
Question 5 : Comparaison et Conclusion
Principe :
Le levé est considéré comme acceptable si la valeur absolue de l'écart de fermeture angulaire est inférieure ou égale à la tolérance admissible.
Comparaison :
- \(|f_a| = |-0.0100 \, \text{gon}| = 0.0100 \, \text{gon}\)
- \(T_a \approx 0.0447 \, \text{gon}\)
On compare \(|f_a|\) à \(T_a\) :
Conclusion :
Puisque la valeur absolue de l'écart de fermeture angulaire (\(0.0100 \, \text{gon}\)) est inférieure à la tolérance admissible (\(0.0447 \, \text{gon}\)), le levé angulaire est considéré comme acceptable du point de vue de la fermeture angulaire. Les erreurs de mesure sont dans les limites attendues pour ce type de travail et d'instrumentation.
Quiz Rapide : Testez vos connaissances
1. La somme théorique des angles intérieurs d'un carré (4 sommets) est :
2. Si l'écart de fermeture angulaire \(f_a\) est positif, cela signifie que :
3. Une tolérance de fermeture angulaire plus stricte (plus petite) est généralement requise pour :
Glossaire
- Polygone Fermé (Cheminement Fermé)
- Série de lignes droites connectées formant une figure fermée, où le point de départ et le point d'arrivée coïncident. Utilisé en topographie pour établir un canevas de points.
- Angle Intérieur
- Angle formé à l'intérieur d'un polygone par deux côtés adjacents.
- Somme Théorique des Angles Intérieurs
- Valeur géométrique exacte de la somme des angles intérieurs d'un polygone, dépendant du nombre de ses côtés (\( (n-2) \times 200 \, \text{gon}\) ou \( (n-2) \times 180^\circ \)).
- Somme Observée des Angles Intérieurs
- Somme des angles intérieurs tels que mesurés sur le terrain avec un instrument.
- Fermeture Angulaire (\(f_a\))
- Différence entre la somme des angles observés et la somme théorique des angles d'un polygone. Elle représente l'erreur cumulée des mesures angulaires.
- Tolérance de Fermeture Angulaire (\(T_a\))
- Valeur maximale admissible pour l'écart de fermeture angulaire. Si \(|f_a| \le T_a\), le levé est considéré comme acceptable du point de vue angulaire.
- Gon (ou Grade)
- Unité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 400 gon. \(100 \, \text{gon}\) équivalent à \(90^\circ\).
- Canevas (ou Réseau Géodésique)
- Ensemble de points dont les positions (et/ou altitudes) sont connues avec une certaine précision, servant de base pour d'autres levés topographiques.
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