Calcul de la Tolérance de Fermeture Angulaire
Contexte : Le cheminement polygonalOpération topographique qui consiste à déterminer les coordonnées de points (appelés sommets ou stations) en mesurant les angles et les distances entre eux..
En topographie, la précision est essentielle. Lors de la réalisation d'un cheminement polygonal fermé (une boucle de mesures qui revient à son point de départ), une des premières vérifications consiste à contrôler la qualité des lectures angulairesMesure d'un angle horizontal ou vertical réalisée sur le terrain à l'aide d'un théodolite ou d'une station totale.. La somme des angles mesurés sur le terrain doit correspondre, à une certaine erreur près, à la somme théorique des angles d'un polygone. Cet exercice vous guidera à travers le processus de calcul de cette erreur, appelée fermeture angulaireDifférence entre la somme des angles mesurés sur le terrain et la somme théorique des angles du polygone. C'est un indicateur de la précision des mesures., et de sa comparaison avec la tolérance réglementaire.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental car il représente la première étape de validation d'un levé topographique. Maîtriser ce calcul vous permettra d'assurer la cohérence et la fiabilité de vos mesures angulaires avant de poursuivre des calculs plus complexes.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la notion d'écart de fermeture angulaire.
- Savoir calculer la somme théorique des angles internes d'un polygone.
- Calculer l'écart de fermeture à partir d'un carnet de mesures.
- Déterminer la toléranceErreur maximale admissible pour une mesure ou un calcul. Si l'erreur commise est inférieure à la tolérance, la mesure est considérée comme valide. réglementaire et conclure sur la validité des mesures.
Données de l'étude
Schéma du cheminement polygonal
| Sommet | Angle interne mesuré (gon) |
|---|---|
| A (α) | 105.4580 |
| B (β) | 135.2510 |
| C (γ) | 88.9870 |
| D (δ) | 169.1230 |
| E (ε) | 101.1890 |
Questions à traiter
- Calculer la somme théorique des angles internes pour ce polygone.
- Calculer la somme des angles réellement mesurés sur le terrain.
- En déduire l'écart de fermeture angulaire (fₐ).
- Calculer la tolérance angulaire (Tₐ) pour un cheminement de précision (classement "canevas polygonal").
- Comparer l'écart de fermeture à la tolérance et conclure sur la validité du levé.
Les bases de la Polygonation
Le contrôle d'un cheminement polygonal fermé est basé sur des principes géométriques simples mais stricts. La somme des angles internes d'un polygone est une constante qui ne dépend que du nombre de ses côtés.
1. Somme théorique des angles internes
Pour un polygone à 'n' sommets, la somme théorique des angles internes (en grades ou gons) est donnée par la formule :
\[ \sum \alpha_{\text{théorique}} = (n - 2) \times 200 \text{ gon} \]
2. Tolérance Réglementaire (France)
L'arrêté du 21 janvier 1980 fixe les tolérances pour les levés topographiques. Pour un canevas polygonal de précision, la tolérance sur la fermeture angulaire est :
\[ T_a = 0.02 \times \sqrt{n} \text{ gon} \]
Où 'n' est le nombre de sommets du polygone. Cette tolérance est souvent exprimée en milligrades (mgon) pour une manipulation plus aisée des chiffres.
Correction : Calcul de la Tolérance de Fermeture Angulaire
Question 1 : Calculer la somme théorique des angles internes pour ce polygone.
Principe
La géométrie euclidienne nous enseigne que la somme des angles d'un polygone convexe est directement liée à son nombre de côtés. C'est une propriété immuable qui nous sert de référence absolue pour vérifier nos mesures.
Mini-Cours
Cette formule découle du fait que l'on peut décomposer n'importe quel polygone de 'n' côtés en (n-2) triangles. Comme la somme des angles d'un triangle est de 200 gon, la somme totale est simplement (n-2) fois 200 gon.
Remarque Pédagogique
La première étape est toujours d'identifier sans erreur le nombre de sommets 'n' de votre polygone. Une erreur ici faussera tous les calculs suivants. Prenez le temps de bien compter sur votre schéma.
Normes
Ce calcul ne dépend pas d'une norme de construction mais d'un théorème mathématique fondamental. Les normes interviendront plus tard, pour définir l'erreur acceptable sur ce calcul théorique.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que le polygone est simple, c'est-à-dire que ses arêtes ne se croisent pas. On travaille également dans un plan euclidien (les effets de la courbure de la Terre sont négligés, ce qui est valable pour les chantiers de taille standard).
Donnée(s)
D'après l'énoncé et le schéma, nous identifions le nombre de sommets du polygone.
- Nombre de sommets, n = 5
Astuces
Pour un quadrilatère (n=4), la somme est toujours 400 gon. Pour un pentagone (n=5), c'est 600 gon. Connaître ces valeurs par cœur pour les polygones courants peut vous faire gagner du temps.
Schéma (Avant les calculs)
Triangulation d'un pentagone (n=5)
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Valeur de référence
Réflexions
Cette valeur de 600 gon est la "cible" parfaite que nous devrions atteindre. Toute déviation par rapport à ce chiffre dans nos mesures sur le terrain constituera une erreur à analyser.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de mal compter le nombre de sommets 'n'. Assurez-vous de compter les points, pas les côtés, pour ne pas vous tromper.
Points à retenir
La formule à mémoriser absolument : Somme (gon) = (n - 2) x 200. Elle est la base de tout contrôle de polygonale.
Le saviez-vous ?
Le grade (ou gon) a été introduit en France après la Révolution française, dans le cadre du système métrique, pour diviser l'angle droit en 100 unités au lieu de 90, afin de simplifier les calculs décimaux.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la somme théorique pour un polygone à 8 sommets (un octogone) ?
Question 2 : Calculer la somme des angles réellement mesurés sur le terrain.
Principe
Cette étape consiste à additionner toutes les valeurs angulaires qui ont été collectées sur le terrain. C'est une simple somme arithmétique qui nous donnera la somme réelle, affectée par les inévitables imprécisions de mesure.
Mini-Cours
La somme des mesures est une étape purement calculatoire. En pratique, chaque mesure est entachée d'erreurs instrumentales (imprécision de l'appareil), d'erreurs d'observation (mauvaise visée de l'opérateur) et d'erreurs externes (réfraction atmosphérique, vent...). La somme de ces petites erreurs se retrouvera dans le résultat final.
Remarque Pédagogique
Utilisez une calculatrice et vérifiez votre calcul une deuxième fois. Une simple erreur d'addition à ce stade peut vous amener à rejeter un levé qui était en réalité correct.
Normes
Aucune norme ne s'applique à l'addition elle-même, mais les méthodes de mesure sur le terrain (double-retournement, etc.) sont, elles, normalisées pour minimiser les erreurs.
Formule(s)
Hypothèses
On fait l'hypothèse que les valeurs du carnet de terrain ont été correctement retranscrites et qu'il n'y a pas d'erreur de lecture grossière (par exemple, lire 135 gon au lieu de 235 gon).
Donnée(s)
| Sommet | Angle mesuré (gon) |
|---|---|
| A | 105.4580 |
| B | 135.2510 |
| C | 88.9870 |
| D | 169.1230 |
| E | 101.1890 |
Astuces
Pour éviter les erreurs, additionnez d'abord les parties entières, puis les parties décimales. Ou bien, regroupez les nombres pour faire des sommes plus simples (par exemple, 105.4580 + 88.9870 est plus complexe que d'additionner dans l'ordre).
Schéma (Avant les calculs)
Sommation des angles mesurés
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la sommation
Réflexions
Notre somme mesurée (600.0080 gon) est très proche de la somme théorique (600.0000 gon). Cela suggère à première vue que les mesures ont été effectuées avec soin.
Points de vigilance
Attention aux erreurs de saisie dans la calculatrice. Une seule décimale mal placée peut changer radicalement le résultat.
Points à retenir
La somme des angles mesurés est la valeur "brute" issue du terrain. C'est la réalité de la mesure, avec ses imperfections.
Le saviez-vous ?
Les anciens carnets de terrain étaient tenus à la main. Un géomètre devait avoir une écriture impeccable pour éviter les erreurs de relecture par ses collègues au bureau !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle au sommet C avait été mesuré à 88.9770 gon au lieu de 88.9870, quelle aurait été la nouvelle somme ?
Question 3 : En déduire l'écart de fermeture angulaire (fₐ).
Principe
L'écart de fermeture est la différence directe entre la réalité du terrain (la somme mesurée) et la perfection géométrique (la somme théorique). Ce chiffre représente l'erreur globale commise sur l'ensemble des mesures angulaires.
Mini-Cours
Cet écart, noté fₐ, est la somme de toutes les petites erreurs aléatoires commises à chaque station. Selon la théorie des erreurs, ces erreurs ont tendance à se compenser partiellement, mais il reste toujours un écart résiduel. Le but est de vérifier que cet écart est suffisamment petit.
Remarque Pédagogique
Faites bien attention au signe de l'écart de fermeture. Un signe positif signifie que vous avez mesuré "trop" d'angle, un signe négatif que vous n'en avez pas mesuré "assez". Ce signe sera important pour la future compensation des angles.
Normes
La valeur de l'écart de fermeture n'est pas normée en soi, mais elle sera comparée à une valeur normée (la tolérance) à la prochaine étape.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que les deux sommes (théorique et mesurée) ont été calculées correctement aux étapes précédentes.
Donnée(s)
- Somme théorique = 600.0000 gon
- Somme mesurée = 600.0080 gon
Astuces
Pour manipuler des chiffres plus simples, vous pouvez convertir vos valeurs en milligrades (mgon) avant de faire la soustraction : 600008 mgon - 600000 mgon = +8 mgon.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des sommes
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la fermeture
Réflexions
Un écart de +0.0080 gon correspond à +8 milligrades. C'est une très petite valeur, ce qui est un excellent signe quant à la qualité du travail sur le terrain.
Points de vigilance
Ne vous trompez pas dans l'ordre de la soustraction. C'est toujours (Mesuré - Théorique). Inverser l'ordre changera le signe de l'erreur, ce qui est incorrect.
Points à retenir
L'écart de fermeture fₐ est le premier indicateur de la qualité globale de vos mesures angulaires. Il doit être calculé avec soin.
Le saviez-vous ?
Avant les calculatrices, les topographes utilisaient des tables de logarithmes pour effectuer ces calculs, un processus long et fastidieux où la moindre erreur était fatale !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la somme mesurée avait été de 599.9950 gon, quel aurait été l'écart de fermeture en mgon ?
Question 4 : Calculer la tolérance angulaire (Tₐ) pour un cheminement de précision.
Principe
La tolérance définit la limite de l'erreur acceptable. Elle n'est pas une valeur fixe et dépend de la rigueur exigée par les travaux et du nombre de mesures effectuées (plus il y a de mesures, plus le risque d'accumuler des erreurs est grand, donc la tolérance est plus large).
Mini-Cours
La formule de tolérance intègre une racine carrée de 'n' car les erreurs aléatoires ne s'additionnent pas directement. Selon la loi de propagation des variances, l'erreur totale est proportionnelle à la racine carrée du nombre d'opérations. C'est pourquoi la tolérance augmente avec $\sqrt{n}$ et non avec $n$.
Remarque Pédagogique
Assurez-vous de bien utiliser la formule correspondant à la classe de précision demandée. Il existe différentes formules pour les levés de haute précision, les levés courants, etc. Ici, on nous demande un "canevas polygonal", ce qui correspond à une classe de précision élevée.
Normes
Nous nous basons sur l'arrêté du 21 janvier 1980 pour les levés cadastraux et les canevas de précision en France. Le coefficient de 0.02 (ou 2 cgon) est spécifié pour cette classe de travaux.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que le classement "canevas polygonal" de l'énoncé correspond bien à la classe de précision définie par la norme citée.
Donnée(s)
- Nombre de sommets, n = 5
Astuces
La formule est souvent donnée en centi-centigrades (cgon) ou milligrades (mgon). $T_a(\text{mgon}) = 20 \times \sqrt{n}$. Travailler en mgon évite de manipuler trop de zéros après la virgule.
Schéma (Avant les calculs)
Concept de Tolérance
Calcul(s)
Pour une meilleure lisibilité, on convertit le résultat en milligrades (mgon) : $0.0447 \text{ gon} = 44.7 \text{ mgon}$.
Schéma (Après les calculs)
Limites d'Acceptation
Réflexions
La tolérance est de 44.7 mgon. Cela signifie que pour un polygone à 5 côtés mesuré avec cette précision, toute erreur de fermeture inférieure à ce seuil sera considérée comme acceptable et due aux aléas normaux de la mesure.
Points de vigilance
N'oubliez pas la racine carrée ! Une erreur fréquente est de multiplier par 'n' au lieu de $\sqrt{n}$, ce qui donnerait une tolérance beaucoup trop grande (et fausse).
Points à retenir
La tolérance dépend de deux choses : la classe de précision (le coefficient multiplicateur) et la taille du polygone (le nombre de sommets n).
Le saviez-vous ?
Les tolérances pour les grands réseaux géodésiques nationaux sont bien plus strictes et prennent en compte la courbure de la Terre, utilisant des calculs sur l'ellipsoïde plutôt que sur un plan.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la tolérance en mgon pour un polygone de 16 sommets avec la même classe de précision ?
Question 5 : Comparer l'écart de fermeture à la tolérance et conclure.
Principe
C'est le moment de vérité : on compare l'erreur que l'on a commise (l'écart de fermeture) avec l'erreur maximale que l'on avait le droit de commettre (la tolérance). La conclusion est binaire : soit les mesures sont acceptées, soit elles sont rejetées.
Mini-Cours
Cette comparaison est au cœur du contrôle qualité en topographie. Si l'écart est dans la tolérance, on considère que les erreurs sont principalement aléatoires et peuvent être "lissées" par une procédure mathématique appelée compensation. Si l'écart est hors tolérance, cela indique la présence probable d'une faute (erreur grossière) qu'il faut trouver et corriger, souvent en retournant sur le terrain.
Remarque Pédagogique
La conclusion doit être claire et sans ambiguïté. Indiquez si le critère est respecté, rappelez les deux valeurs comparées, et terminez par "le levé est accepté" ou "le levé est rejeté".
Normes
La comparaison se fait par rapport à la norme qui a défini la tolérance, ici l'arrêté de 1980. Le respect de cette norme garantit la validité légale et technique du levé.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que les calculs de fₐ et Tₐ sont exacts.
Donnée(s)
- Écart de fermeture, fₐ = +0.0080 gon
- Tolérance, Tₐ ≈ 0.0447 gon
Astuces
Il est toujours plus simple de comparer les valeurs dans la même sous-unité, par exemple en milligrades : on compare |+8 mgon| à 44.7 mgon. La comparaison est immédiate.
Schéma (Avant les calculs)
Positionnement de l'écart sur l'échelle de tolérance
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Validation du Levé
Réflexions
L'écart étant largement inférieur à la tolérance (il représente moins de 20% de la tolérance autorisée), on peut conclure que le travail de terrain a été réalisé avec un grand soin, bien au-delà des exigences minimales de la norme.
Points de vigilance
Attention à bien utiliser la valeur absolue de l'écart de fermeture pour la comparaison. Le signe de l'erreur n'importe pas pour la validation, seulement sa magnitude.
Points à retenir
La conclusion finale repose sur la simple comparaison : |Erreur commise| ≤ Erreur permise. C'est le principe de base de tout contrôle de qualité.
Le saviez-vous ?
Dans les projets de très haute précision comme le tunnel sous la Manche ou les accélérateurs de particules, les tolérances sont des milliers de fois plus faibles et nécessitent des instruments et des méthodes de calcul extraordinairement sophistiqués.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'écart de fermeture avait été de -50 mgon, quelle aurait été votre conclusion ?
Outil Interactif : Simulateur de Tolérance
Utilisez cet outil pour visualiser comment la tolérance angulaire évolue en fonction du nombre de sommets du polygone et de la classe de précision du levé (représentée par le coefficient 'k').
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la somme théorique des angles internes d'un hexagone (6 côtés) en grades ?
2. Si l'écart de fermeture est négatif, cela signifie que :
3. Que doit faire un géomètre si $|f_a| > T_a$ ?
- Cheminement Polygonal
- Opération topographique qui consiste à déterminer les coordonnées de points (appelés sommets ou stations) en mesurant les angles et les distances entre eux, formant ainsi un polygone.
- Fermeture Angulaire (fₐ)
- Différence entre la somme des angles mesurés sur le terrain et la somme théorique des angles du polygone. C'est un indicateur de la précision des mesures.
- Gon (ou grade)
- Unité de mesure d'angle où un tour complet vaut 400 gon. Un angle droit mesure 100 gon. C'est l'unité standard en topographie en France.
- Tolérance (Tₐ)
- Erreur maximale admissible pour une mesure ou un calcul. Si l'erreur commise est inférieure à la tolérance, la mesure est considérée comme valide et peut être compensée.
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