Calcul de la Courbure de la Terre en Topographie
Introduction à la Courbure Terrestre et à la Réfraction Atmosphérique
Lors des opérations de nivellement sur de longues distances, deux phénomènes principaux affectent la précision des mesures : la courbure de la Terre et la réfraction atmosphérique. La Terre étant (approximativement) une sphère, une ligne de visée horizontale issue d'un instrument de nivellement s'écartera de la surface de niveau courbe de la Terre à mesure que la distance augmente. Cet effet fait apparaître les points éloignés plus bas qu'ils ne le sont réellement. La réfraction atmosphérique, due aux variations de densité de l'air, courbe le rayon lumineux vers le bas, faisant apparaître les points visés légèrement plus haut. La correction combinée de ces deux effets est cruciale pour obtenir des altitudes précises.
Données de l'étude
- Distance horizontale entre la station A et le point B (\(D\)) : \(2.5 \, \text{km}\)
- Altitude de la station A (\(Z_{\text{A}}\)) : \(125.350 \, \text{m}\)
- Hauteur de l'instrument à la station A (\(h_{\text{i}}\)) : \(1.520 \, \text{m}\)
- Lecture sur la mire placée au point B (\(L_{\text{m}}\)) : \(2.875 \, \text{m}\)
- On utilisera la formule simplifiée pour la correction combinée de courbure et de réfraction : \(c_r = 0.0675 \times D^2\), où \(D\) est en kilomètres et \(c_r\) est en mètres. Cette formule suppose un rayon terrestre moyen et un coefficient de réfraction standard.
Schéma Illustrant l'Effet de la Courbure et de la Réfraction
Schéma illustrant l'effet de la courbure terrestre et de la réfraction sur une visée de nivellement.
Questions à traiter
- Calculer la correction combinée de courbure et de réfraction (\(c_r\)) pour la distance de visée \(D\).
- Déterminer l'altitude de la ligne de visée horizontale au droit du point B, avant application de la correction de courbure/réfraction à la lecture sur mire.
- Expliquer si la correction \(c_r\) doit être ajoutée ou soustraite à la lecture sur mire (\(L_{\text{m}}\)) pour obtenir la dénivelée correcte par rapport à la ligne de visée horizontale.
- Calculer l'altitude corrigée du point B (\(Z_{\text{B}}\)).
Correction : Calcul de la Courbure de la Terre
Question 1 : Correction combinée de courbure et de réfraction (\(c_r\))
Principe :
La formule simplifiée donnée permet de calculer directement la correction combinée. La courbure fait apparaître le point visé plus bas, et la réfraction le fait apparaître plus haut. L'effet net est que le point visé apparaît plus bas qu'il ne l'est par rapport à une ligne de niveau passant par l'instrument. La correction \(c_r\) représente la valeur dont la ligne de visée horizontale se situe au-dessus de la surface de niveau à la distance D.
Formule(s) utilisée(s) :
Où \(D\) est en kilomètres et \(c_r\) est en mètres.
Données et Calcul :
- \(D = 2.5 \, \text{km}\)
Question 2 : Altitude de la ligne de visée horizontale au droit du point B
Principe :
L'altitude de la ligne de visée horizontale issue de l'instrument est constante. Elle est égale à l'altitude de la station A plus la hauteur de l'instrument.
Formule(s) utilisée(s) :
Données et Calcul :
- \(Z_{\text{A}} = 125.350 \, \text{m}\)
- \(h_{\text{i}} = 1.520 \, \text{m}\)
Quiz Intermédiaire : Si la distance D augmente, la correction \(c_r\) :
Question 3 : Application de la correction \(c_r\) à la lecture sur mire
Principe et Explication :
La lecture sur la mire (\(L_{\text{m}}\)) est effectuée le long de la ligne de visée, qui est affectée par la réfraction mais est tangente à la surface de niveau à la station A. La correction \(c_r\) représente l'écart vertical entre la ligne de visée horizontale (théorique, non courbée par la réfraction et ne suivant pas la courbure terrestre) et la surface de niveau courbe passant par le point B.
Comme la Terre est courbe, la ligne de visée horizontale "s'élève" par rapport à la surface de niveau courbe à mesure que la distance augmente. Ainsi, le point B sur la surface de niveau est en réalité plus bas que ce que la lecture sur mire indiquerait si la Terre était plate. La correction \(c_r\) doit donc être soustraite de la lecture sur mire pour obtenir une lecture qui correspondrait à une visée sur une surface de niveau "plane" passant par B et vue depuis A.
Autrement dit, la lecture sur mire \(L_{\text{m}}\) est trop grande car la ligne de visée est au-dessus de la surface de niveau. Pour trouver la "vraie" dénivelée par rapport à la ligne de visée, il faut réduire la lecture sur mire de la valeur de \(c_r\). Lecture corrigée sur mire (par rapport à la ligne de visée horizontale) = \(L_{\text{m}} - c_r\).
Question 4 : Altitude corrigée du point B (\(Z_{\text{B}}\))
Principe :
L'altitude du point B est calculée à partir de l'altitude de la ligne de visée à la station A, de la lecture sur mire corrigée. Altitude de la ligne de visée = \(Z_{\text{A}} + h_{\text{i}}\). Dénivelée corrigée entre la ligne de visée et le point B au sol = \(L_{\text{m}} - c_r\). Donc, \(Z_{\text{B}} = (Z_{\text{A}} + h_{\text{i}}) - (L_{\text{m}} - c_r)\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données et Calcul :
- \(Z_{\text{A}} = 125.350 \, \text{m}\)
- \(h_{\text{i}} = 1.520 \, \text{m}\)
- \(L_{\text{m}} = 2.875 \, \text{m}\)
- \(c_r \approx 0.422 \, \text{m}\) (de Q1)
Quiz Intermédiaire : Si la réfraction atmosphérique était négligée (k=0), la correction \(c_r\) serait-elle plus grande ou plus petite que celle calculée avec la formule simplifiée (qui inclut un effet moyen de réfraction) ?
Quiz Rapide : Testez vos connaissances
1. L'effet de la courbure de la Terre, sans considérer la réfraction, fait apparaître un point éloigné :
2. La réfraction atmosphérique tend à :
3. Si la distance de visée double, la correction de courbure (sans réfraction, \(c = D^2/(2R)\)) :
Glossaire
- Courbure Terrestre
- Effet dû à la forme sphérique (ou ellipsoïdale) de la Terre, qui fait qu'une ligne de visée horizontale s'écarte de la surface de niveau courbe de la Terre avec la distance.
- Réfraction Atmosphérique
- Déviation d'un rayon lumineux lorsqu'il traverse des couches d'air de densités différentes. En nivellement, elle tend à courber la visée vers le bas.
- Correction Combinée (\(c_r\))
- Correction appliquée aux lectures de nivellement pour tenir compte simultanément des effets de la courbure terrestre et de la réfraction atmosphérique.
- Nivellement
- Ensemble des opérations topographiques permettant de déterminer les altitudes des points par rapport à une surface de référence.
- Ligne de Visée Horizontale
- Ligne droite tangente à la surface de niveau au point de station de l'instrument.
- Surface de Niveau
- Surface équipotentielle du champ de pesanteur terrestre. Elle est perpendiculaire en tout point à la direction de la verticale (fil à plomb).
- Altitude
- Distance verticale d'un point par rapport à une surface de référence, généralement le géoïde (niveau moyen des mers).
- Mire de Nivellement
- Règle graduée utilisée en nivellement pour mesurer la différence de hauteur entre la ligne de visée de l'instrument et le point où la mire est posée.
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