Calcul du Nombre de Radiateurs pour une Maison

\[ S = L \times l = 120 \text{ m}^2 \]

\[ L = 2 \times l \]

Calcul :

1. Remplaçons \(L\) dans la surface :

\[ 120 = (2 \times l) \times l = 2l^2 \quad \Rightarrow \quad l^2 = \frac{120}{2} = 60 \]

\[ l = \sqrt{60} \approx 7,746 \text{ m} \]

2. La longueur :

\[ L = 2 \times 7,746 \approx 15,492 \text{ m} \]

3. Volume de la maison, \(V\) :

\[ V = S \times \text{Hauteur} \] \[ V = 120 \times 2,5 \] \[ V = 300 \text{ m}^3 \]

2. Calcul de la Surface de l’Enveloppe

Nous calculerons la surface des murs extérieurs (en considérant la maison de plain-pied) et la surface de la toiture. En général, le plancher n’est pas inclus dans le calcul de la déperdition par l’enveloppe puisque le sol est en contact avec le terrain.

Formules et données :

\[ P = 2 \times (L + l) \]

\[ A_{\text{murs}} = P \times \text{Hauteur} \]

\[ A_{\text{toit}} = 120 \text{ m}^2 \]

Calcul :

1. Périmètre :

\[ P = 2 \times (15,492 + 7,746) \] \[ P = 2 \times 23,238 \] \[ P \approx 46,476 \text{ m} \]

2. Surface des murs :

\[ A_{\text{murs}} = 46,476 \times 2,5 \] \[ A_{\text{murs}} \approx 116,19 \text{ m}^2 \]

3. Surface totale de l’enveloppe (murs + toit) :

\[ A_{\text{env}} = A_{\text{murs}} + A_{\text{toit}} \] \[ A_{\text{env}} \approx 116,19 + 120 \] \[ A_{\text{env}} = 236,19 \text{ m}^2 \]

3. Calcul des Déperditions par Conduction

Les pertes par conduction se calculent à l’aide du coefficient de transmission thermique global \(U\) (donné ici 0,35 W/m²K) et de la différence de température entre l’intérieur et l’extérieur. La température intérieure souhaitée est de 20°C et la température extérieure envisagée est -10°C, soit une différence de 30°C.

Formule et données :

Formule :

\[ P_{\text{cond}} = U \times A_{\text{env}} \times \Delta T \]

Données :

Calcul :

\[ P_{\text{cond}} = 0,35 \times 236,19 \times 30 \]

Calculons d’abord \(0,35 \times 236,19\) :

\[ 0,35 \times 236,19 \approx 82,667 \text{ W/K} \]

Puis,

\[ P_{\text{cond}} = 82,667 \times 30 \] \[ P_{\text{cond}} \approx 2480 \text{ W} \]

4. Calcul des Déperditions par Infiltration/Ventilation

La perte de chaleur par infiltration (ventilation) peut être estimée avec la formule classique :

\[ P_{\text{vent}} = 0,33 \times n \times V \times \Delta T \]

Formule et données :

Formule :

\[ P_{\text{vent}} = 0,33 \times n \times V \times \Delta T \]

Données :

Calcul :

\[ P_{\text{vent}} = 0,33 \times 1 \times 300 \times 30 \]

Effectuons le calcul :

\[ 0,33 \times 300 = 99 \quad \text{puis} \quad 99 \times 30 = 2970 \text{ W} \]

5. Calcul de la Puissance Totale Nécessaire

La puissance totale nécessaire est la somme des pertes par conduction et des pertes par ventilation.

Formule et données :

\[ P_{\text{tot}} = P_{\text{cond}} + P_{\text{vent}} \]

Calcul :

\[ P_{\text{tot}} = 2480 + 2970 \] \[ P_{\text{tot}} = 5450 \text{ W} \quad (\text{arrondi}) \]

6. Détermination du Nombre de Radiateurs

Chaque radiateur disponible fournit une puissance de 1500 W. Il suffit donc de diviser la puissance totale nécessaire par la puissance d’un radiateur et d’arrondir à l’entier supérieur.

Formule et données :

\[ \text{Nombre de radiateurs} = \left\lceil \frac{P_{\text{tot}}}{P_{\text{rad}}} \right\rceil \]

Calcul :

\[ \frac{5450}{1500} \approx 3,633 \]

L’arrondi à l’entier supérieur donne :

\[ \text{Nombre de radiateurs} = 4 \]

Réponse finale :

Il est nécessaire d’installer 4 radiateurs pour maintenir la température intérieure de 20°C lorsque la température extérieure atteint -10°C.