Levé Planimétrique et Altimétrique

Introduction au Levé Topographique

Un levé topographique a pour objectif de déterminer la position planimétrique (coordonnées X, Y) et altimétrique (coordonnée Z, ou altitude) d'un ensemble de points sur le terrain. Ces points peuvent représenter des éléments naturels (relief, végétation) ou artificiels (bâtiments, routes, réseaux). Le levé par rayonnement, utilisant un tachéomètre (ou station totale), est une méthode courante. Depuis une station dont les coordonnées sont connues, l'opérateur vise différents points de détail, mesurant des angles (horizontaux et verticaux) et des distances. Ces mesures permettent ensuite de calculer les coordonnées tridimensionnelles des points visés.

Données de l'étude

Un topographe effectue un levé par rayonnement depuis une station S1. La hauteur de l'instrument (hi) est de \(1.55 \, \text{m}\).

Coordonnées de la station S1 :

\(X_{\text{S1}} = 500.000 \, \text{m}\)
\(Y_{\text{S1}} = 1000.000 \, \text{m}\)
\(Z_{\text{S1}} = 152.350 \, \text{m}\) (altitude du point au sol)

Orientation : Le zéro du cercle horizontal de l'instrument est orienté sur un point de référence REF, dont le gisement depuis S1 est \(Gis_{\text{S1-REF}} = 100.0000 \, \text{gon}\).

Mesures effectuées sur les points de détail P1 et P2 : (Ah = Angle horizontal lu, Av = Angle vertical lu, Di = Distance inclinée)

Point Visé	Ah (gon)	Av (gon)	Di (m)	hp (hauteur de prisme/mire) (m)
P1	50.2560	95.1250	45.321	1.600
P2	130.7840	103.5670	62.875	1.600

Note : L'angle vertical (Av) est ici un angle zénithal (0 gon à la verticale, 100 gon à l'horizontale).

Schéma Illustratif d'un Levé par Rayonnement

Schéma simplifié d'un levé par rayonnement depuis une station S1.

Questions à traiter

Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) entre la station S1 et chaque point visé (P1, P2).
Calculer le gisement de chaque point visé (P1, P2) depuis la station S1.
Calculer les coordonnées planimétriques (X, Y) de chaque point visé (P1, P2).
Calculer la dénivelée (\(\Delta Z\)) entre l'axe optique de l'instrument à la station S1 et le point visé sur la mire pour chaque point (P1, P2).
Calculer l'altitude (Z) de chaque point visé (P1, P2).
Présenter tous les résultats calculés (Dh, Gis, X, Y, Z) pour P1 et P2 dans un tableau récapitulatif.

Correction : Levé Planimétrique et Altimétrique

Question 1 : Distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) S1-P1 et S1-P2

Principe :

La distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) est calculée à partir de la distance inclinée (\(D_{\text{i}}\)) et de l'angle vertical (\(A_{\text{v}}\)). L'angle vertical étant zénithal, \(A_{\text{v}} = 100 \, \text{gon}\) correspond à l'horizontale.

Formule(s) utilisée(s) :

D_{\text{h}} = D_{\text{i}} \times \sin(A_{\text{v}})

Attention : L'angle \(A_{\text{v}}\) doit être en radians pour les fonctions trigonométriques des calculatrices, ou utiliser une calculatrice en mode grades/gon. \( \text{angle_radians} = \text{angle_gon} \times \frac{\pi}{200} \).

Calculs :

Pour P1 : \(D_{\text{i,P1}} = 45.321 \, \text{m}\), \(A_{\text{v,P1}} = 95.1250 \, \text{gon}\)

\begin{aligned} D_{\text{h,P1}} &= 45.321 \times \sin(95.1250 \, \text{gon}) \\ &= 45.321 \times \sin(95.1250 \times \pi/200 \, \text{rad}) \\ &= 45.321 \times \sin(1.49420...) \\ &\approx 45.321 \times 0.99633 \\ &\approx 45.156 \, \text{m} \end{aligned}

Pour P2 : \(D_{\text{i,P2}} = 62.875 \, \text{m}\), \(A_{\text{v,P2}} = 103.5670 \, \text{gon}\)

\begin{aligned} D_{\text{h,P2}} &= 62.875 \times \sin(103.5670 \, \text{gon}) \\ &= 62.875 \times \sin(103.5670 \times \pi/200 \, \text{rad}) \\ &= 62.875 \times \sin(1.62685...) \\ &\approx 62.875 \times 0.99802 \\ &\approx 62.751 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Q1 : \(D_{\text{h,P1}} \approx 45.156 \, \text{m}\) et \(D_{\text{h,P2}} \approx 62.751 \, \text{m}\).

Question 2 : Gisement (\(Gis\)) S1-P1 et S1-P2

Principe :

Le gisement d'un point visé est calculé en ajoutant l'angle horizontal lu (\(A_{\text{h}}\)) au gisement de la référence d'orientation.

Formule(s) utilisée(s) :

Gis_{\text{S1-Point}} = Gis_{\text{S1-REF}} + A_{\text{h}}

Si le résultat est supérieur à 400 gon, soustraire 400 gon.

Calculs :

\(Gis_{\text{S1-REF}} = 100.0000 \, \text{gon}\)

Pour P1 : \(A_{\text{h,P1}} = 50.2560 \, \text{gon}\)

\begin{aligned} Gis_{\text{S1-P1}} &= 100.0000 + 50.2560 \\ &= 150.2560 \, \text{gon} \end{aligned}

Pour P2 : \(A_{\text{h,P2}} = 130.7840 \, \text{gon}\)

\begin{aligned} Gis_{\text{S1-P2}} &= 100.0000 + 130.7840 \\ &= 230.7840 \, \text{gon} \end{aligned}

Résultat Q2 : \(Gis_{\text{S1-P1}} = 150.2560 \, \text{gon}\) et \(Gis_{\text{S1-P2}} = 230.7840 \, \text{gon}\).

Question 3 : Coordonnées planimétriques (X, Y) de P1 et P2

Principe :

Les coordonnées d'un point visé P sont calculées à partir des coordonnées de la station S1, de la distance horizontale S1-P et du gisement S1-P.

Formule(s) utilisée(s) :

X_{\text{P}} = X_{\text{S1}} + D_{\text{h,S1-P}} \times \sin(Gis_{\text{S1-P}})

Y_{\text{P}} = Y_{\text{S1}} + D_{\text{h,S1-P}} \times \cos(Gis_{\text{S1-P}})

Attention aux unités d'angle pour les fonctions trigonométriques (gon vers radians).

Calculs :

\(X_{\text{S1}} = 500.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S1}} = 1000.000 \, \text{m}\)

Pour P1 : \(D_{\text{h,P1}} \approx 45.156 \, \text{m}\), \(Gis_{\text{S1-P1}} = 150.2560 \, \text{gon}\)

\begin{aligned} X_{\text{P1}} &= 500.000 + 45.156 \times \sin(150.2560 \, \text{gon}) \\ &\approx 500.000 + 45.156 \times 0.9221 \\ &\approx 500.000 + 41.639 \\ &\approx 541.639 \, \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} Y_{\text{P1}} &= 1000.000 + 45.156 \times \cos(150.2560 \, \text{gon}) \\ &\approx 1000.000 + 45.156 \times (-0.3869) \\ &\approx 1000.000 - 17.469 \\ &\approx 982.531 \, \text{m} \end{aligned}

Pour P2 : \(D_{\text{h,P2}} \approx 62.751 \, \text{m}\), \(Gis_{\text{S1-P2}} = 230.7840 \, \text{gon}\)

\begin{aligned} X_{\text{P2}} &= 500.000 + 62.751 \times \sin(230.7840 \, \text{gon}) \\ &\approx 500.000 + 62.751 \times (-0.7793) \\ &\approx 500.000 - 48.900 \\ &\approx 451.100 \, \text{m} \end{aligned}

\begin{aligned} Y_{\text{P2}} &= 1000.000 + 62.751 \times \cos(230.7840 \, \text{gon}) \\ &\approx 1000.000 + 62.751 \times (-0.6266) \\ &\approx 1000.000 - 39.320 \\ &\approx 960.680 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Q3 : P1(\(541.639 \, \text{m}\), \(982.531 \, \text{m}\)) et P2(\(451.100 \, \text{m}\), \(960.680 \, \text{m}\)).

Question 4 : Dénivelée (\(\Delta Z\)) S1 (axe optique) - Point sur mire

Principe :

La dénivelée entre l'axe optique de l'instrument et le point visé sur la mire (ou prisme) est calculée à partir de la distance inclinée (\(D_{\text{i}}\)) et de l'angle vertical (\(A_{\text{v}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :

\Delta H = D_{\text{i}} \times \cos(A_{\text{v}})

Une valeur positive de \(\Delta H\) signifie que le point sur la mire est plus bas que l'axe optique de l'instrument (cas typique pour \(A_{\text{v}} > 100 \, \text{gon}\)). Une valeur négative signifie qu'il est plus haut (\(A_{\text{v}} < 100 \, \text{gon}\)).

Calculs :

Pour P1 : \(D_{\text{i,P1}} = 45.321 \, \text{m}\), \(A_{\text{v,P1}} = 95.1250 \, \text{gon}\)

\begin{aligned} \Delta H_{\text{P1}} &= 45.321 \times \cos(95.1250 \, \text{gon}) \\ &\approx 45.321 \times 0.07654 \\ &\approx 3.468 \, \text{m} \end{aligned}

Puisque \(A_{\text{v}} < 100\) gon, le point visé est plus haut que l'axe optique. On considère la dénivelée de l'axe optique vers le point visé comme négative (montée). \(\Delta Z_{\text{axe-mire, P1}} = -3.468 \, \text{m}\)

Pour P2 : \(D_{\text{i,P2}} = 62.875 \, \text{m}\), \(A_{\text{v,P2}} = 103.5670 \, \text{gon}\)

\begin{aligned} \Delta H_{\text{P2}} &= 62.875 \times \cos(103.5670 \, \text{gon}) \\ &\approx 62.875 \times (-0.05599) \\ &\approx -3.520 \, \text{m} \end{aligned}

Puisque \(A_{\text{v}} > 100\) gon, le point visé est plus bas que l'axe optique. \(\Delta Z_{\text{axe-mire, P2}} = 3.520 \, \text{m}\)

Résultat Q4 : \(\Delta Z_{\text{axe-mire, P1}} \approx -3.468 \, \text{m}\) (le point sur la mire est plus haut que l'axe optique). \(\Delta Z_{\text{axe-mire, P2}} \approx +3.520 \, \text{m}\) (le point sur la mire est plus bas que l'axe optique).

Question 5 : Altitude (Z) de P1 et P2

Principe :

L'altitude d'un point visé P est calculée à partir de l'altitude de la station S1, de la hauteur de l'instrument (hi), de la dénivelée \(\Delta Z_{\text{axe-mire}}\) et de la hauteur de la mire/prisme (hp).

Formule(s) utilisée(s) :

Z_{\text{P}} = Z_{\text{S1}} + hi + \Delta Z_{\text{axe-mire, P}} - hp

Altitude de l'axe optique \(Z_{\text{axe}} = Z_{\text{S1}} + hi\). Dénivelée de l'axe optique au point sur le prisme: \(\Delta Z_{\text{prisme}} = - D_{\text{i}} \cos(A_{\text{v}})\) (si Av est zénithal, \(\cos(A_{\text{v}})\) est la projection sur la verticale, négative si le point est plus haut). Altitude du point sur le prisme: \(Z_{\text{prisme}} = Z_{\text{axe}} - D_{\text{i}} \cos(A_{\text{v}})\). Altitude du point au sol: \(Z_{\text{P}} = Z_{\text{prisme}} - hp = Z_{\text{S1}} + hi - D_{\text{i}} \cos(A_{\text{v}}) - hp\). Utilisons la dénivelée calculée à Q4: \(\Delta Z_{\text{axe-mire, P}}\). C'est la différence d'altitude entre l'axe optique et le point sur le prisme. Si \(\Delta Z_{\text{axe-mire, P}}\) est négatif, le prisme est PLUS HAUT que l'axe optique. Si \(\Delta Z_{\text{axe-mire, P}}\) est positif, le prisme est PLUS BAS que l'axe optique. Donc, \(Z_{\text{PointAuSol}} = (Z_{\text{S1}} + hi) + \Delta Z_{\text{axe-mire, P}} - hp\).

Calculs :

\(Z_{\text{S1}} = 152.350 \, \text{m}\), \(hi = 1.550 \, \text{m}\), \(hp = 1.600 \, \text{m}\) pour P1 et P2.

Altitude de l'axe optique de l'instrument : \(Z_{\text{axe_optique}} = Z_{\text{S1}} + hi = 152.350 + 1.550 = 153.900 \, \text{m}\).

Pour P1 : \(\Delta Z_{\text{axe-mire, P1}} \approx -3.468 \, \text{m}\) (le point sur la mire est 3.468m plus haut que l'axe optique)

\begin{aligned} Z_{\text{P1}} &= Z_{\text{axe_optique}} + \Delta Z_{\text{axe-mire, P1}} - hp \\ &= 153.900 + (-3.468) - 1.600 \\ &= 153.900 - 3.468 - 1.600 \\ &= 148.832 \, \text{m} \end{aligned}

Pour P2 : \(\Delta Z_{\text{axe-mire, P2}} \approx +3.520 \, \text{m}\) (le point sur la mire est 3.520m plus bas que l'axe optique)

\begin{aligned} Z_{\text{P2}} &= Z_{\text{axe_optique}} + \Delta Z_{\text{axe-mire, P2}} - hp \\ &= 153.900 + 3.520 - 1.600 \\ &= 155.820 \, \text{m} \end{aligned}

Résultat Q5 : \(Z_{\text{P1}} \approx 148.832 \, \text{m}\) et \(Z_{\text{P2}} \approx 155.820 \, \text{m}\).

Question 6 : Tableau récapitulatif

Tableau récapitulatif des résultats pour les points P1 et P2 :

Tableau Récapitulatif du Levé :

Point	Dh (m)	Gisement (gon)	X (m)	Y (m)	Z (m)
P1	45.156	150.2560	541.639	982.531	148.832
P2	62.751	230.7840	451.100	960.680	155.820

Glossaire

Levé Planimétrique: Détermination des positions horizontales (coordonnées X, Y) des points.
Levé Altimétrique: Détermination des altitudes (coordonnée Z) des points.
Tachéomètre / Station Totale: Instrument de topographie permettant de mesurer des angles horizontaux, des angles verticaux et des distances.
Station (S1): Point connu (en X, Y, Z) où l'instrument de mesure est installé.
Point de Détail (P1, P2): Point dont on souhaite déterminer les coordonnées et/ou l'altitude.
Rayonnement: Méthode de levé où, depuis une station connue, on vise successivement plusieurs points de détail pour déterminer leurs positions.
Hauteur d'Instrument (hi): Distance verticale entre le point de station au sol et l'axe optique (axe des tourillons) de l'instrument.
Hauteur de Prisme/Mire (hp): Distance verticale entre le point au sol visé et le centre du prisme (ou la lecture sur la mire).
Angle Horizontal (Ah): Angle mesuré dans le plan horizontal, généralement par rapport à une référence.
Angle Vertical (Av) / Angle Zénithal: Angle mesuré dans le plan vertical. L'angle zénithal est mesuré depuis la direction du zénith (0 gon vers le haut, 100 gon à l'horizontale, 200 gon vers le nadir).
Distance Inclinée (Di): Distance directe mesurée entre l'instrument et le point visé sur le prisme/mire.
Distance Horizontale (Dh): Projection de la distance inclinée sur le plan horizontal.
Gisement (Gis): Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction de référence (généralement le Nord) jusqu'à la direction considérée.
Gon (ou grade): Unité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 400 gon. \(90^\circ = 100 \, \text{gon}\).