Levé Planimétrique et Altimétrique

Exercice : Levé Topographique par Rayonnement

Levé Planimétrique et Altimétrique par Rayonnement

Contexte : Le levé par rayonnementMéthode de levé topographique où les points sont déterminés en mesurant des angles et des distances à partir d'un seul point de station connu..

Un géomètre-topographe est mandaté pour réaliser le levé d'une petite parcelle en vue d'un projet d'aménagement. Depuis une station connue (ST1), il doit déterminer les coordonnées tridimensionnelles (X, Y, Z) des quatre sommets de la parcelle (P1, P2, P3, P4). Cette méthode, appelée levé par rayonnement ou levé tachéométrique, est fondamentale en topographie car elle permet de collecter rapidement les données d'un grand nombre de points depuis un unique emplacement. L'objectif final est de calculer les coordonnées de chaque sommet et la surface totale de la parcelle.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser la chaîne de calcul complète d'un levé par rayonnement, depuis les mesures brutes de terrain (angles, distances) jusqu'à l'exploitation des résultats (coordonnées, surface).

Objectifs Pédagogiques

Appliquer les formules de trigonométrie pour passer des mesures polaires aux coordonnées rectangulaires.
Calculer les distances horizontales et les dénivelées à partir de mesures de terrain.
Déterminer les coordonnées planimétriques (X, Y) et altimétriques (Z) de points.
Calculer la surface d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets.

Données de l'étude

Un opérateur a installé un tachéomètre sur le point de station ST1, dont les coordonnées sont connues. Après avoir orienté son appareil sur une référence (REF) avec un gisement nul, il a visé successivement les quatre sommets de la parcelle. Les mesures sont consignées dans le carnet de levé ci-dessous.

Fiche Technique de la Station

Caractéristique	Valeur
Coordonnées X de ST1	1000.000 m
Coordonnées Y de ST1	5000.000 m
Altitude Z de ST1	150.000 m
Hauteur de l'instrument (hi)	1.650 m

Schéma du Levé par Rayonnement

Point Visé	Lecture Horizontale (gon)	Angle Zénithal (gon)	Distance Inclinée (m)	Hauteur Prisme (hp) (m)
P1	50.1234	102.1540	45.321	1.500
P2	125.4567	98.8765	62.789	1.500
P3	210.7890	105.4321	55.123	1.500
P4	350.9876	95.6789	75.456	1.500

Questions à traiter

Calculer la distance horizontale (Dh) pour chaque point visé.
Calculer la dénivelée (ΔZ) entre la station et chaque point visé.
Calculer les coordonnées complètes (X, Y, Z) de chaque point P1, P2, P3 et P4.
Déterminer la surface du polygone formé par les sommets P1-P2-P3-P4.

Les bases du Levé par Rayonnement

Le levé par rayonnement consiste à déterminer les coordonnées de points inconnus à partir d'un point connu (la station) en mesurant un angle horizontal, un angle vertical et une distance pour chaque point.

1. Angle vertical et distance
L'angle zénithal (V) est l'angle depuis la verticale (le zénith). Il permet de calculer la distance horizontale (Dh) et la dénivelée instrumentale (Δh). \[ \text{Dh} = \text{Di} \times \sin(\text{V}) \] \[ \Delta h = \text{Di} \times \cos(\text{V}) \]

2. Gisement et coordonnées planimétriques
Le gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction de référence (généralement le Nord). (G) est l'angle horizontal entre la direction de référence (Nord) et la direction du point visé. Les coordonnées (X, Y) sont calculées par projection de la distance horizontale sur les axes. \[ X_{\text{P}} = X_{\text{ST}} + \text{Dh} \times \sin(\text{G}) \] \[ Y_{\text{P}} = Y_{\text{ST}} + \text{Dh} \times \cos(\text{G}) \]

3. Coordonnées altimétriques
L'altitude d'un point (Zp) est calculée à partir de l'altitude de la station (Zst), de la dénivelée instrumentale (Δh), de la hauteur de l'instrument (hi) et de la hauteur du prisme (hp). \[ Z_{\text{P}} = Z_{\text{ST}} + \text{hi} + \Delta h - \text{hp} \]

Correction : Levé Planimétrique et Altimétrique par Rayonnement

Question 1 : Calcul des distances horizontales (Dh)

Principe

La distance mesurée sur le terrain avec un tachéomètre est une distance qui suit la pente, appelée "distance inclinée" (Di). Or, un plan topographique est une projection à l'horizontale. Le concept physique est donc de projeter ce segment incliné sur un plan horizontal pour obtenir la "distance horizontale" (Dh), qui sera utilisée pour les calculs en X et Y.

Mini-Cours

La relation entre la distance inclinée (Di), la distance horizontale (Dh) et la dénivelée instrumentale (Δh) forme un triangle rectangle. Di est l'hypoténuse, Dh et Δh sont les deux autres côtés. L'angle zénithal (V) est l'angle entre la verticale et la visée (Di). Par trigonométrie, on a : Dh (côté opposé à l'angle V-100) = Di * sin(V) et Δh (côté adjacent) = Di * cos(V).

Remarque Pédagogique

Visualisez toujours ce triangle rectangle. La distance horizontale Dh est forcément plus courte (ou égale, si la visée est parfaitement horizontale) que la distance inclinée Di. Si votre calcul donne une Dh plus grande que Di, il y a une erreur.

Normes

Les calculs topographiques suivent les principes fondamentaux de la géodésie et de la trigonométrie sphérique, simplifiée en trigonométrie plane pour des levés locaux où la courbure de la Terre est négligeable.

Formule(s)

\text{Dh} = \text{Di} \times \sin(\text{V})

Hypothèses

Pour cet exercice, on formule les hypothèses suivantes :

Le levé est réalisé dans un système de projection local où la Terre peut être considérée comme plate.
Les erreurs de mesure instrumentale et de pointé sont considérées comme négligeables.

Donnée(s)

Nous utilisons les colonnes "Distance Inclinée (Di)" et "Angle Zénithal (V)" du carnet de levé pour chaque point.

Astuces

Pour une vérification rapide, si l'angle zénithal V est très proche de 100 gon (visée quasi-horizontale), la valeur de sin(V) sera très proche de 1. La distance horizontale Dh sera donc quasiment égale à la distance inclinée Di. C'est le cas pour le point P2 (V=98.8765 gon).

Schéma (Avant les calculs)

Triangle de la visée

Calcul(s)

Nous appliquons la formule pour chaque point. Les angles doivent être en grades (gon) et votre calculatrice doit être dans le bon mode (GRAD).

Calcul pour P1 :

\begin{aligned} \text{Dh}_{\text{1}} &= 45.321 \times \sin(102.1540 \text{ gon}) \\ &\Rightarrow \text{Dh}_{\text{1}} = 45.295 \text{ m} \end{aligned}

Calcul pour P2 :

\begin{aligned} \text{Dh}_{\text{2}} &= 62.789 \times \sin(98.8765 \text{ gon}) \\ &\Rightarrow \text{Dh}_{\text{2}} = 62.781 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat pour la visée P1

Réflexions

On observe que pour P1 et P3, où l'angle zénithal est supérieur à 100 gon (visée plongeante), la différence entre Di et Dh est plus marquée que pour P2 et P4, où la visée est plus proche de l'horizontale. Ceci est cohérent avec la géométrie du problème.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est le mode de la calculatrice ! Assurez-vous qu'elle est bien en mode "GRAD" ou "GON" et non en "DEG" (degrés) ou "RAD" (radians). Une erreur ici faussera tous les résultats suivants.

Points à retenir

La distance utilisée pour le calcul des coordonnées X et Y est TOUJOURS la distance horizontale (Dh), jamais la distance inclinée (Di). La conversion Di -> Dh est donc une étape initiale indispensable et non facultative.

Le saviez-vous ?

Le grade (ou gon) a été introduit en France après la Révolution, en même temps que le système métrique. L'idée était de décimaliser toutes les unités, y compris les angles (100 gon pour un angle droit, 400 pour un tour complet), pour simplifier les calculs. Il est majoritairement utilisé en topographie.

FAQ

Résultat Final

Les distances horizontales sont : Dh₁ = 45.295 m, Dh₂ = 62.781 m, Dh₃ = 54.918 m, et Dh₄ = 75.251 m.

A vous de jouer

Calculez la distance horizontale pour une visée avec Di = 80.500 m et V = 92.000 gon.

Question 2 : Calcul des dénivelées (ΔZ)

Principe

La dénivelée est la différence d'altitude entre deux points. Ici, nous la calculons entre l'axe de rotation du tachéomètre sur la station ST1 et le centre du prisme sur le point visé. Cette valeur, purement géométrique (Δh), doit ensuite être corrigée avec la hauteur de l'appareil (hi) et celle du prisme (hp) pour obtenir la vraie différence d'altitude entre les points au sol.

Mini-Cours

La dénivelée totale ΔZ entre le sol au point ST1 et le sol au point P est la somme de trois segments verticaux : on monte de la hauteur de l'instrument (+hi), on monte ou on descend selon la visée (+Δh, qui peut être négatif), puis on descend de la hauteur du prisme (-hp). La formule \( \Delta\text{Z} = \text{hi} + \Delta h - \text{hp} \) traduit ce cheminement vertical.

Remarque Pédagogique

Le signe de la dénivelée instrumentale \( \Delta h = \text{Di} \times \cos(\text{V}) \) est crucial. Si V < 100 gon (visée montante), cos(V) est positif et Δh est positif. Si V > 100 gon (visée plongeante), cos(V) est négatif et Δh est négatif. Cela correspond bien à la réalité physique.

Normes

Le calcul d'altitude est basé sur un nivellement trigonométrique. Les normes de précision topographique (classes de levé) définissent les tolérances acceptables pour ces mesures en fonction de la finalité des travaux.

Formule(s)

\Delta\text{Z} = \text{hi} + (\text{Di} \times \cos(\text{V})) - \text{hp}

Hypothèses

On suppose que les hauteurs `hi` et `hp` ont été mesurées précisément et perpendiculairement à la verticale du lieu (le fil à plomb).

Donnée(s)

Nous utilisons Di, V, hi (1.650 m) et hp (1.500 m) pour chaque point.

Astuces

Si, comme ici, la hauteur du prisme `hp` est constante, on peut pré-calculer le terme \( \text{hi} - \text{hp} = 1.650 - 1.500 = +0.150 \text{ m} \). La formule devient alors \( \Delta\text{Z} = 0.150 + \text{Di} \times \cos(\text{V}) \), ce qui accélère les calculs répétitifs.

Schéma (Avant les calculs)

Composition de la dénivelée

Calcul(s)

Appliquons la formule complète pour le point P2.

Calcul pour P2 :

\begin{aligned} \Delta\text{Z}_{\text{2}} &= 1.650 + (62.789 \times \cos(98.8765 \text{ gon})) - 1.500 \\ &= 1.650 + (62.789 \times 0.01765) - 1.500 \\ &= 1.650 + 1.108 - 1.500 \\ &\Rightarrow \Delta\text{Z}_{\text{2}} = 1.258 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Profil des altitudes relatives

Réflexions

Le signe du résultat final de ΔZ nous informe directement si le point visé est plus haut (signe +) ou plus bas (signe -) que la station de départ. Par exemple, P1 et P3 sont plus bas que ST1, tandis que P2 et P4 sont plus hauts.

Points de vigilance

Une erreur fréquente est d'inverser `hi` et `hp` ou d'oublier l'un des deux termes. Imaginez le trajet du "rayon laser" : il part de `hi` au-dessus de la station et arrive à `hp` au-dessus du point final. La formule devient alors logique.

Points à retenir

La dénivelée n'est pas juste un calcul trigonométrique ; c'est une combinaison de mesures (Di, V), de hauteurs instrumentales (hi, hp) et de trigonométrie. Chaque élément est indispensable pour obtenir l'altitude correcte.

Le saviez-vous ?

Pour des visées très longues (plusieurs kilomètres), les topographes doivent corriger leurs calculs de dénivelée pour prendre en compte deux effets : la courbure de la Terre (qui fait "disparaître" l'objet derrière l'horizon) et la réfraction atmosphérique (les rayons lumineux sont déviés par les couches d'air).

FAQ

Résultat Final

Les dénivelées sont : ΔZ₁ = -1.384 m, ΔZ₂ = 1.258 m, ΔZ₃ = -3.209 m, et ΔZ₄ = 4.909 m.

A vous de jouer

Calculez la dénivelée ΔZ pour Di = 40m, V = 108 gon, hi = 1.60m, hp = 1.80m.

Question 3 : Calcul des coordonnées (X, Y, Z)

Principe

Le but est de passer d'un système de coordonnées polaires (Gisement G, Distance horizontale Dh) centré sur la station, à un système de coordonnées cartésiennes (ou rectangulaires) (X, Y) dans le système de référence général. On utilise pour cela les formules de projection trigonométriques. L'altitude Z est ensuite simplement la somme de l'altitude de départ et de la dénivelée calculée.

Mini-Cours

Imaginez un cercle trigonométrique centré sur la station ST1. Le Nord est en haut (direction des Y positifs). Un point P est repéré par son gisement G (angle depuis le Nord) et sa distance Dh. La différence de coordonnée en Y (\(\Delta\text{Y}\)) est la projection de Dh sur l'axe Nord-Sud, soit \( \text{Dh} \times \cos(\text{G}) \). La différence en X (\(\Delta\text{X}\)) est la projection sur l'axe Est-Ouest, soit \( \text{Dh} \times \sin(\text{G}) \).

Remarque Pédagogique

Soyez méthodique. Calculez d'abord les termes \( \Delta\text{X} = \text{Dh} \times \sin(\text{G}) \) et \( \Delta\text{Y} = \text{Dh} \times \cos(\text{G}) \) séparément pour chaque point. Ensuite, ajoutez-les aux coordonnées de la station. Cela limite les risques d'erreur de saisie dans la calculatrice.

Normes

Les coordonnées calculées sont généralement exprimées dans un système de projection national ou légal (en France, le RGF93 et la projection Lambert-93), qui garantit que les levés de différents opérateurs sont cohérents entre eux.

Formule(s)

X_{\text{P}} = X_{\text{ST}} + \text{Dh} \times \sin(\text{G})

Y_{\text{P}} = Y_{\text{ST}} + \text{Dh} \times \cos(\text{G})

Z_{\text{P}} = Z_{\text{ST}} + \Delta\text{Z}

Hypothèses

On suppose que la référence utilisée pour orienter l'appareil (gisement 0) correspond parfaitement à la direction des Y positifs (le Nord) du système de coordonnées.

Donnée(s)

On utilise les coordonnées de ST1 (X=1000, Y=5000, Z=150), les gisements (G=Lh), et les Dh et ΔZ calculés aux questions précédentes.

Schéma (Avant les calculs)

Projection des coordonnées

Calcul(s)

Calcul pour P3 :

G₃ = 210.7890 gon, Dh₃ = 54.918 m, ΔZ₃ = -3.209 m.

\begin{aligned} X_{\text{3}} &= 1000.000 + 54.918 \times \sin(210.7890 \text{ gon}) \\ &= 1000.000 + 54.918 \times (-0.1691) \\ &\Rightarrow X_{\text{3}} = 990.718 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} Y_{\text{3}} &= 5000.000 + 54.918 \times \cos(210.7890 \text{ gon}) \\ &= 5000.000 + 54.918 \times (-0.9856) \\ &\Rightarrow Y_{\text{3}} = 4945.895 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} Z_{\text{3}} &= 150.000 - 3.209 \\ &\Rightarrow Z_{\text{3}} = 146.791 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Plan de la parcelle levée

Réflexions

L'analyse des coordonnées confirme la position des points par rapport à la station. P1 (X>1000, Y>5000) est bien dans le quadrant Nord-Est. P3 (X<1000, Y<5000) est dans le quadrant Sud-Ouest. Les calculs sont cohérents avec le schéma de principe.

Points de vigilance

Attention aux signes des sinus et cosinus en fonction du quadrant du gisement ! G entre 0-100 (NE): sin+, cos+. G entre 100-200 (SE): sin+, cos-. G entre 200-300 (SO): sin-, cos-. G entre 300-400 (NO): sin-, cos+.

Points à retenir

La transformation de coordonnées polaires en cartésiennes est l'une des opérations les plus fondamentales en topographie. Maîtriser ces trois formules est absolument essentiel.

Le saviez-vous ?

Les systèmes GPS fonctionnent sur un principe inverse appelé "intersection". Le récepteur ne mesure pas d'angles, mais des distances à plusieurs satellites dont les positions sont connues. En calculant l'intersection des sphères ayant pour rayon ces distances, le GPS détermine ses propres coordonnées X, Y, Z.

FAQ

Résultat Final

Le tableau final des coordonnées est :

Point	X (m)	Y (m)	Z (m)
P1	1032.091	5032.000	148.616
P2	1062.633	4993.456	151.258
P3	990.718	4945.895	146.791
P4	928.025	5071.956	154.909

A vous de jouer

Un point P5 est visé avec G=320 gon et Dh=100m depuis ST1. Calculez sa coordonnée X.

Question 4 : Calcul de la surface du polygone

Principe

La méthode des "produits en croix" ou "formule des lacets" est une technique algorithmique qui permet de calculer l'aire d'un polygone quelconque à partir des coordonnées cartésiennes de ses sommets. Elle fonctionne en additionnant les aires des trapèzes formés par chaque côté du polygone et l'axe des abscisses.

Mini-Cours

On "parcourt" le polygone en prenant les sommets dans l'ordre (P1 -> P2 -> P3 -> P4 -> P1). Pour chaque segment (de Pi à Pi+1), on calcule le produit \(X_i Y_{i+1}\). On fait de même avec le produit \(Y_i X_{i+1}\). La somme de toutes les premières multiplications, moins la somme de toutes les secondes, donne le double de la surface. L'ordre des points est crucial.

Remarque Pédagogique

Pour éviter les erreurs, le mieux est de présenter le calcul dans un tableau à deux colonnes (X et Y), en répétant les coordonnées du premier point à la fin. On multiplie ensuite en diagonale ("les lacets").

Formule(s)

\text{Surface} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i) \right|

Donnée(s)

On utilise les coordonnées X et Y des points P1, P2, P3 et P4 calculées à la question 3.

Schéma (Avant les calculs)

Polygone à calculer

Calcul(s)

Organisons le calcul dans un tableau pour plus de clarté :

Point	X	Y	XᵢYᵢ₊₁	YᵢXᵢ₊₁
P1	1032.091	5032.000	5153835.6	5341639.8
P2	1062.633	4993.456	5255088.3	4985958.4
P3	990.718	4945.895	5024346.8	4590656.3
P4	928.025	5071.956	4695995.1	5201111.9
P1	1032.091	5032.000
Total			20129265.8	20119366.4

\begin{aligned} 2\text{S} &= |20129265.8 - 20119366.4| \\ &\Rightarrow 2\text{S} = 9899.4 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Illustration de la méthode des lacets

Réflexions

Une surface de près de 5000 m² (un demi-hectare) est une taille plausible pour une parcelle destinée à un aménagement. Le résultat est cohérent. La précision du résultat (deux décimales) dépend de la précision des coordonnées initiales.

Points de vigilance

Deux erreurs classiques : oublier de répéter le premier point à la fin de la liste, ce qui fausse tout le calcul, et oublier de diviser la somme finale par 2.

Points à retenir

Cette formule est extrêmement puissante car elle fonctionne pour n'importe quel polygone simple (qui ne se croise pas lui-même), quel que soit le nombre de ses sommets. C'est la méthode utilisée par tous les logiciels de topographie et de DAO.

Le saviez-vous ?

Cette formule est une application d'un théorème mathématique plus général appelé "Théorème de Green", qui relie une intégrale sur une surface à une intégrale sur le contour de cette surface. Le calcul de surface par les sommets en est une version discrète.

FAQ

Résultat Final

\[ \begin{aligned} \text{S} &= \frac{9899.4}{2} \\ &\Rightarrow \text{S} = 4949.7 \text{ m}^2 \end{aligned} \]

A vous de jouer

Un triangle a pour sommets A(0,0), B(10,0) et C(5,10). Quelle est sa surface ?

Outil Interactif : Simulateur de Visée

Utilisez les curseurs pour faire varier la distance inclinée et l'angle vertical d'une visée et observez en temps réel l'impact sur la distance horizontale et la dénivelée instrumentale.

Paramètres de la Visée

Distance Inclinée (Di) 50 m

Angle Zénithal (V) 102.0 gon

Résultats Calculés

Distance Horizontale (Dh) -

Dénivelée instrumentale (Δh) -

Gisement (G): Angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre, à partir d'une direction de référence (généralement le Nord géographique ou Lambert) vers une direction donnée. Exprimé en grades (gon).
Tachéomètre: Instrument de topographie (ou station totale) permettant de mesurer les angles horizontaux, les angles verticaux et les distances.
Angle Zénithal (V): Angle mesuré sur un plan vertical à partir de la direction du zénith (la verticale ascendante). Une visée horizontale correspond à V = 100 gon.
Planimétrie: Partie de la topographie qui s'occupe de la représentation sur un plan des détails du terrain, sans tenir compte des altitudes (coordonnées X, Y).
Altimétrie: Partie de la topographie qui s'occupe de la détermination et de la représentation des altitudes des points du terrain (coordonnée Z).

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