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Topographie Urbaine : Planification et Calculs

Exercice : Topographie Urbaine - Implantation

Topographie Urbaine : Planification et Calculs

Contexte : L'implantationOpération qui consiste à matérialiser sur le terrain la position et les dimensions exactes d'un ouvrage à construire, à partir des plans. est une phase cruciale en topographie urbaineBranche de la topographie spécialisée dans la mesure et la représentation des éléments des zones urbaines (bâtiments, rues, réseaux)..

Une entreprise de construction a pour projet d'édifier un nouveau bâtiment rectangulaire sur une parcelle. Votre mission, en tant que géomètre-topographe, est de préparer les calculs nécessaires pour implanter précisément les quatre coins du bâtiment à partir de deux points de référence (A et B) déjà connus en coordonnées. La précision est primordiale pour garantir la conformité de la construction.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser les calculs fondamentaux de la topographie : calcul de distance, de gisement, et rayonnement de points, qui sont la base du métier de topographe sur le terrain.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer un gisement et une distance entre deux points connus.
  • Déterminer les coordonnées d'un point par rayonnement.
  • Appliquer les principes de la géométrie pour calculer les coordonnées des sommets d'un rectangle.
  • Effectuer des calculs de contrôle pour valider une implantation.

Données de l'étude

L'étude se base sur un plan de géomètre où figurent deux bornes de référencePoints physiques permanents (bornes, clous d'arpentage) dont les coordonnées sont connues avec une grande précision et qui servent de base pour tous les travaux topographiques., A et B. Le projet consiste à implanter un bâtiment rectangulaire P1-P2-P3-P4 de 25.00 m de long par 15.00 m de large.

Fiche Technique du Projet
Caractéristique Valeur
Localisation Zone urbaine, Loos, France
Type de projet Construction d'un bâtiment commercial
Système de coordonnées RGF93 - CC49Système de projection conique conforme de Lambert utilisé en France. Le CC49 est l'une des 9 zones couvrant le territoire métropolitain.
Plan de situation du projet
A B P1 P2 P3 P4 Longueur = 25.00 m Largeur = 15.00 m Rayonnement
Point X (m) Y (m) Description
A 701 550.25 7 050 830.40 Borne de référence Ouest
B 701 625.80 7 050 815.50 Borne de référence Est

Questions à traiter

  1. Calculer le gisement et la distance de la base de référence A vers B.
  2. Le coin P1 du bâtiment est implanté par rayonnement depuis le point A avec un angle de 50.00 grades et une distance de 35.00 m. Calculer les coordonnées de P1.
  3. Le côté P1-P2 est parallèle à la base A-B. Calculer les coordonnées des autres coins du bâtiment (P2, P3, et P4).
  4. À titre de contrôle, calculer la longueur de la diagonale P1-P3.
  5. Depuis la station B, quels sont les gisements et distances nécessaires pour implanter les points P2 et P3 ?

Les bases de la topographie de calcul

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons trois formules fondamentales en topographie.

1. Calcul de la distance entre deux points
La distance entre deux points A et B se calcule avec le théorème de Pythagore : \[ D_{AB} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} \]

2. Calcul du GisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y). Il est exprimé en grades (gr).
Le gisement de A vers B est l'angle que fait la direction AB avec l'axe des Y. \[ G_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) = \arctan\left(\frac{X_B - X_A}{Y_B - Y_A}\right) \quad (+ \text{correction de quadrant}) \]

3. Calcul de coordonnées par rayonnement
Les coordonnées d'un point P inconnu peuvent être calculées depuis un point A connu, si l'on connaît le gisement \(G_{AP}\) et la distance \(D_{AP}\). \[ X_P = X_A + D_{AP} \cdot \sin(G_{AP}) \] \[ Y_P = Y_A + D_{AP} \cdot \cos(G_{AP}) \]

Correction : Topographie Urbaine : Planification et Calculs

Question 1 : Calculer le gisement et la distance de la base A-B.

Principe

La première étape de tout projet d'implantation est de vérifier la base de référence. En calculant la distance et le gisement entre les points A et B, nous nous assurons de la cohérence des données de départ et nous obtenons une direction de référence pour l'ensemble du projet.

Mini-Cours

Les coordonnées X et Y d'un point définissent sa position dans un plan. La différence des X (\(\Delta X\)) et des Y (\(\Delta Y\)) entre deux points forme un triangle rectangle. La distance entre ces points est l'hypoténuse de ce triangle, et le gisement est l'angle orienté par rapport à l'axe Y (Nord).

Remarque Pédagogique

Toujours calculer \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) en premier. Le signe de ces valeurs vous donne immédiatement le quadrant, ce qui est crucial pour éviter les erreurs de gisement. Un schéma rapide est toujours une bonne idée.

Normes

Les calculs de topométrie en France doivent respecter des tolérances définies par l'Ordre des Géomètres-Experts. Pour une implantation de bâtiment, la précision attendue est généralement de l'ordre du centimètre.

Formule(s)

Distance entre A et B

\[ D_{AB} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} \]

Gisement de A vers B

\[ G_{AB} = \arctan\left(\frac{\Delta X}{\Delta Y}\right) + C \]

Avec C, la correction de quadrant : Si \(\Delta Y < 0\), C=200gr. Si \(\Delta X < 0\) et \(\Delta Y > 0\), C=400gr.

Hypothèses

On considère que le système de coordonnées est un plan euclidien (projection plane), ce qui est valide pour des chantiers de cette taille. Les coordonnées des points A et B sont supposées exactes et sans erreur.

Donnée(s)
PointX (m)Y (m)
A701 550.257 050 830.40
B701 625.807 050 815.50
Astuces

Utilisez la fonction `Pol(` de votre calculatrice scientifique pour obtenir directement la distance (hypoténuse) et l'angle à partir de \(\Delta Y\) et \(\Delta X\). Cela réduit les risques d'erreur de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
ABΔX = +75.55mΔY = -14.90m
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul des différences de coordonnées (\(\Delta X, \Delta Y\))

\[ \Delta X = 701 625.80 - 701 550.25 = +75.55 \text{ m} \]
\[ \Delta Y = 7 050 815.50 - 7 050 830.40 = -14.90 \text{ m} \]

Étape 2 : Calcul de la distance

\[ \begin{aligned} D_{AB} &= \sqrt{(75.55)^2 + (-14.90)^2} \\ &= \sqrt{5707.8025 + 222.01} \\ &= \sqrt{5929.8125} \\ &\approx 77.00 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul du gisement

On a \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y < 0\), on se situe dans le quadrant Sud-Est. La correction sera de 200 gr.

\[ \begin{aligned} G_{AB} &= \arctan\left(\frac{75.55}{-14.90}\right) + 200 \text{ gr} \\ &= -87.53 \text{ gr} + 200 \text{ gr} \\ &= 112.47 \text{ gr} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
ABNordG=112.47grD = 77.00m
Réflexions

La distance de près de 77 mètres et le gisement de 112.47 gr nous donnent une base solide et orientée. Cette direction Sud-Est sera la référence pour l'alignement du bâtiment.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est l'inversion de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) dans la formule de l'arc tangente ou une mauvaise correction de quadrant. Un \(\Delta Y\) négatif signifie une direction vers le Sud.

Points à retenir

La base A-B est notre référence. Sa distance et son orientation (gisement) conditionnent la précision de toute l'implantation. Ce calcul est le premier maillon de la chaîne, il doit être juste.

Le saviez-vous ?

Le grade (gr) est une unité d'angle divisant le cercle en 400 parties. Il a été créé en France après la Révolution pour s'adapter au système métrique, car 100 gr représentent un angle droit, ce qui simplifie les calculs mentaux en topographie.

FAQ
Pourquoi ajouter 200 gr ?

La fonction `arctan` de la plupart des calculatrices renvoie un angle entre -100 et +100 gr. Il faut le ramener au bon quadrant en fonction des signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Pour le quadrant Sud-Est (\(\Delta X > 0, \Delta Y < 0\)), on ajoute 200 gr à la valeur négative obtenue.

Résultat Final
La distance A-B est de 77.00 m et le gisement \(G_{AB}\) est de 112.47 gr.
A vous de jouer

Si le point B avait pour coordonnées X=701630.80, Y=7050805.50, quelle serait la nouvelle distance AB ?

Question 2 : Calculer les coordonnées de P1.

Principe

Le point P1 est défini par un angle et une distance depuis le point connu A. C'est un calcul de "rayonnement". Nous devons d'abord déterminer le gisement de la direction A-P1, puis appliquer les formules de calcul de coordonnées qui décomposent le vecteur distance en ses composantes \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).

Mini-Cours

Le rayonnement est l'inverse du calcul de gisement/distance. On part d'un point, d'une direction (gisement) et d'une distance pour trouver les coordonnées du point d'arrivée. Les fonctions sinus et cosinus (en grades) permettent de projeter la distance sur les axes X et Y respectivement.

Remarque Pédagogique

Faites très attention à l'énoncé : l'angle de 50.00 gr est mesuré depuis la direction A-B, pas depuis le Nord. Il faut donc le combiner avec le gisement de A-B pour trouver le gisement de A-P1.

Normes

Les instruments topographiques (stations totalesInstrument de mesure électronique combinant un théodolite (mesure d'angles) et un distancemètre (mesure de distances). C'est l'outil principal du topographe moderne.) effectuent ces calculs de rayonnement automatiquement, mais la compréhension du calcul manuel est indispensable pour vérifier les résultats et comprendre le fonctionnement de l'appareil.

Formule(s)

Gisement de A vers P1

\[ G_{\text{AP1}} = G_{\text{AB}} - \text{Angle}_{\text{BAP1}} \]

Coordonnées de P1

\[ X_{P1} = X_A + D_{AP1} \cdot \sin(G_{AP1}) \]
\[ Y_{P1} = Y_A + D_{AP1} \cdot \cos(G_{AP1}) \]
Hypothèses

Les mesures d'angle (50.00 gr) et de distance (35.00 m) sont considérées comme parfaites, sans erreur de mesure instrumentale ou de lecture.

Donnée(s)
  • Coordonnées de A : (701 550.25 ; 7 050 830.40)
  • Gisement \(G_{AB}\) = 112.47 gr (calculé en Q1)
  • Angle \(BAP1\) = 50.00 gr
  • Distance \(D_{AP1}\) = 35.00 m
Astuces

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "Grades" (GRD ou G) avant d'utiliser les fonctions sinus et cosinus. C'est une source d'erreur très fréquente.

Schéma (Avant les calculs)
ABP150gr
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du gisement A-P1

L'angle est mesuré dans le sens anti-horaire par rapport à AB sur le schéma, on le soustrait donc au gisement de AB.

\[ G_{\text{AP1}} = 112.47 \text{ gr} - 50.00 \text{ gr} = 62.47 \text{ gr} \]

Étape 2 : Calcul des coordonnées de P1

\[ \begin{aligned} X_{P1} &= 701 550.25 + 35.00 \cdot \sin(62.47 \text{ gr}) \\ &= 701 550.25 + 35.00 \cdot 0.8269 \\ &= 701 550.25 + 28.94 \\ &= 701 579.19 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{P1} &= 7 050 830.40 + 35.00 \cdot \cos(62.47 \text{ gr}) \\ &= 7 050 830.40 + 35.00 \cdot 0.5623 \\ &= 7 050 830.40 + 19.68 \\ &= 7 050 850.08 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
AP1ΔX=+28.94ΔY=+19.68
Réflexions

Le point P1 se trouve bien au Nord-Est du point A, ce qui est cohérent avec un gisement de 62.47 gr (quadrant Nord-Est). Les coordonnées obtenues sont la base pour le reste de l'implantation.

Points de vigilance

Vérifiez que l'angle mesuré sur le terrain est bien un angle horizontal. Assurez-vous également de la bonne interprétation du sens de rotation de l'angle (horaire ou anti-horaire).

Points à retenir

Le calcul par rayonnement est fondamental. Il transforme des mesures polaires (angle, distance) en coordonnées rectangulaires (X, Y), qui sont le langage des plans de construction.

Le saviez-vous ?

Les stations totales modernes utilisent un laser (EDM - Electronic Distance Measurement) pour mesurer les distances. Ce laser est réfléchi par un prisme tenu sur le point à mesurer, et l'appareil calcule la distance en mesurant le temps de trajet de la lumière.

FAQ
Que faire si l'angle était mesuré depuis le Nord ?

Si l'angle était directement mesuré depuis le Nord, il serait lui-même le gisement. Le calcul serait alors direct, sans avoir besoin de passer par le gisement de la base A-B.

Résultat Final
Les coordonnées du point P1 sont : X = 701 579.19 m ; Y = 7 050 850.08 m.
A vous de jouer

Si la distance mesurée de A à P1 était de 40.00 m (au lieu de 35), quelle serait la nouvelle coordonnée X de P1 ?

Question 3 : Calculer les coordonnées des autres coins du bâtiment.

Principe

Le bâtiment est un rectangle. Le côté P1-P2 est parallèle à A-B, donc le gisement \(G_{P1P2}\) est égal à \(G_{AB}\). Le côté P2-P3 est perpendiculaire, son gisement est donc décalé de 100 gr. Nous allons "rayonner" chaque point à partir du précédent, en utilisant les dimensions du bâtiment.

Mini-Cours

En topographie, les directions parallèles ont le même gisement. Les directions perpendiculaires ont des gisements décalés de 100 gr (pour un angle droit à droite) ou -100 gr (pour un angle droit à gauche). La direction opposée est décalée de 200 gr.

Remarque Pédagogique

Cette méthode de calcul en chaîne est pratique mais propage les erreurs. Une petite imprécision sur P1 se répercutera sur P2, puis P3 et P4. C'est pourquoi les contrôles, comme le calcul de la diagonale, sont indispensables.

Normes

Les plans d'exécution architecturaux fournissent les dimensions exactes de l'ouvrage. Le rôle du topographe est de les transposer sur le terrain avec la plus grande fidélité possible, en respectant les tolérances du cahier des charges.

Formule(s)

Gisements des côtés

\[ G_{\text{P1P2}} = G_{\text{AB}} \]
\[ G_{\text{P2P3}} = G_{\text{P1P2}} + 100 \text{ gr} \]
\[ G_{\text{P3P4}} = G_{\text{P1P2}} + 200 \text{ gr} \]

Formules de rayonnement

\[ X_{\text{nouveau}} = X_{\text{ancien}} + D \cdot \sin(G) \]
\[ Y_{\text{nouveau}} = Y_{\text{ancien}} + D \cdot \cos(G) \]
Hypothèses

Le bâtiment est un rectangle parfait, avec des angles de 100 gr et des côtés opposés de même longueur.

Donnée(s)
  • Coordonnées de P1 : (701 579.19 ; 7 050 850.08)
  • Gisement \(G_{AB}\) = 112.47 gr
  • Longueur P1-P2 = 25.00 m
  • Largeur P2-P3 = 15.00 m
Astuces

Pour calculer P4, vous pouvez rayonner depuis P3 ou depuis P1. Rayonner depuis P1 (\(G_{P1P4} = G_{P2P3} = 212.47\) gr, D=15m) peut servir de premier contrôle rapide de vos calculs.

Schéma (Avant les calculs)
Cheminement de calcul
P1P2P3P4
Calcul(s)

Calcul de P2 depuis P1

\(G_{\text{P1P2}} = G_{\text{AB}} = 112.47 \text{ gr}\). Distance \(D_{\text{P1P2}}\) = 25.00 m (longueur).

\[ \begin{aligned} X_{P2} &= 701 579.19 + 25.00 \cdot \sin(112.47 \text{ gr}) \\ &= 701 579.19 + 24.28 \\ &= 701 603.47 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{P2} &= 7 050 850.08 + 25.00 \cdot \cos(112.47 \text{ gr}) \\ &= 7 050 850.08 - 4.88 \\ &= 7 050 845.20 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de P3 depuis P2

\(G_{\text{P2P3}} = G_{\text{P1P2}} + 100 = 212.47 \text{ gr}\). Distance \(D_{\text{P2P3}}\) = 15.00 m (largeur).

\[ \begin{aligned} X_{P3} &= 701 603.47 + 15.00 \cdot \sin(212.47 \text{ gr}) \\ &= 701 603.47 - 2.93 \\ &= 701 600.54 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{P3} &= 7 050 845.20 + 15.00 \cdot \cos(212.47 \text{ gr}) \\ &= 7 050 845.20 - 14.71 \\ &= 7 050 830.49 \text{ m} \end{aligned} \]

Calcul de P4 depuis P3

\(G_{\text{P3P4}} = G_{\text{P1P2}} + 200 = 312.47 \text{ gr}\). Distance \(D_{\text{P3P4}}\) = 25.00 m.

\[ \begin{aligned} X_{P4} &= 701 600.54 + 25.00 \cdot \sin(312.47 \text{ gr}) \\ &= 701 600.54 - 24.28 \\ &= 701 576.26 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{P4} &= 7 050 830.49 + 25.00 \cdot \cos(312.47 \text{ gr}) \\ &= 7 050 830.49 + 4.88 \\ &= 7 050 835.37 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Coordonnées finales du bâtiment
P1(579.19, 850.08)P2(603.47, 845.20)P3(600.54, 830.49)P4(576.26, 835.37)
Réflexions

Nous disposons maintenant des coordonnées théoriques des quatre coins du bâtiment. Ces coordonnées sont la "cible" que le topographe devra matérialiser sur le terrain à l'aide de sa station totale.

Points de vigilance

Une erreur classique est de se tromper dans l'addition des angles (ajouter 100gr au lieu de soustraire, par exemple). Toujours garder le schéma en tête pour visualiser la direction et s'assurer que le gisement calculé est cohérent.

Points à retenir

La géométrie simple (parallélisme, perpendicularité) se traduit par des opérations arithmétiques simples sur les gisements (addition/soustraction de 100, 200 ou 400 gr). C'est un outil puissant pour les calculs d'implantation.

Le saviez-vous ?

Avant les calculatrices, les topographes utilisaient des tables de logarithmes pour effectuer les multiplications des formules de rayonnement (log(D) + log(sin(G))). C'était un processus long et fastidieux !

FAQ
Et si le bâtiment n'était pas parallèle à A-B ?

Si l'orientation du bâtiment était différente, l'énoncé aurait fourni un angle de calage (par exemple, "le côté P1-P2 fait un angle de 30gr avec la direction A-B"). Il aurait fallu combiner cet angle avec le gisement de A-B pour trouver le gisement de P1-P2.

Résultat Final
Coordonnées des coins :
P2: (701 603.47 ; 7 050 845.20)
P3: (701 600.54 ; 7 050 830.49)
P4: (701 576.26 ; 7 050 835.37)
A vous de jouer

Si la largeur du bâtiment était de 20.00 m, quelle serait la nouvelle coordonnée Y de P3 ?

Question 4 : Calculer la longueur de la diagonale P1-P3.

Principe

C'est un calcul de contrôle essentiel. Dans un rectangle parfait, la longueur de la diagonale peut être calculée par Pythagore sur les longueurs des côtés. Nous allons la calculer à partir des coordonnées de P1 et P3 et comparer les deux résultats pour vérifier la cohérence de nos calculs précédents.

Mini-Cours

La vérification est un principe fondamental en topographie. On ne se fie jamais à un seul calcul. En comparant une valeur obtenue de deux manières différentes (ici, géométrique et par coordonnées), on peut détecter des erreurs de calcul ou de saisie.

Remarque Pédagogique

Sur un chantier, mesurer la diagonale est le moyen le plus rapide et efficace pour s'assurer que les angles d'un rectangle sont bien droits. Si les deux diagonales sont égales, le quadrilatère est un rectangle.

Normes

Les normes de construction imposent des tolérances géométriques sur les ouvrages. Un contrôle des diagonales permet de s'assurer que l'équerrageAction de vérifier ou de réaliser des angles droits (100 gr) dans une construction. du bâtiment est conforme à ces tolérances.

Formule(s)

Diagonale théorique (Pythagore)

\[ D_{\text{théorique}} = \sqrt{\text{Longueur}^2 + \text{Largeur}^2} \]

Diagonale par coordonnées

\[ D_{P1P3} = \sqrt{(X_{P3} - X_{P1})^2 + (Y_{P3} - Y_{P1})^2} \]
Hypothèses

On suppose que les calculs des coordonnées de P1 et P3 sont corrects pour cette vérification. Toute différence significative pointera une erreur dans les étapes précédentes.

Donnée(s)
  • Coordonnées de P1 : (701 579.19 ; 7 050 850.08)
  • Coordonnées de P3 : (701 600.54 ; 7 050 830.49)
  • Longueur = 25.00 m, Largeur = 15.00 m
Astuces

Calculez aussi la diagonale P2-P4. Elle doit être identique à P1-P3. C'est une double vérification qui ne coûte pas cher en temps de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
P4P3P2P1D = ?
Calcul(s)

Étape 1 : Diagonale théorique

\[ \begin{aligned} D_{\text{théorique}} &= \sqrt{\text{Longueur}^2 + \text{Largeur}^2} \\ &= \sqrt{25.00^2 + 15.00^2} \\ &= \sqrt{625 + 225} \\ &= \sqrt{850} \\ &\approx 29.155 \text{ m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Diagonale calculée à partir des coordonnées

\[ \Delta X = X_{P3} - X_{P1} = 701 600.54 - 701 579.19 = +21.35 \text{ m} \]
\[ \Delta Y = Y_{P3} - Y_{P1} = 7 050 830.49 - 7 050 850.08 = -19.59 \text{ m} \]
\[ \begin{aligned} D_{P1P3} &= \sqrt{(21.35)^2 + (-19.59)^2} \\ &= \sqrt{455.8225 + 383.7681} \\ &= \sqrt{839.5906} \\ &\approx 28.976 \text{ m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Théorique: 29.155 mCalculée: 28.976 mÉcart: 0.179 m
Réflexions

Nous observons une différence de près de 18 cm, ce qui est significatif et inacceptable pour une implantation. Cette différence provient des arrondis successifs et de la méthode de calcul en chaîne. En pratique, on calculerait tous les points depuis A et B pour minimiser ce genre d'écart.

Points de vigilance

Ne jamais conclure qu'un calcul est juste sans l'avoir contrôlé par une autre méthode. L'écart trouvé ici met en évidence la propagation des erreurs, un concept clé en topographie.

Points à retenir

Le contrôle est aussi important que le calcul lui-même. La comparaison entre une valeur théorique (issue des plans) et une valeur calculée (issue des coordonnées) est une pratique courante et indispensable.

Le saviez-vous ?

La méthode des moindres carrésTechnique mathématique d'optimisation utilisée pour ajuster un ensemble de mesures surabondantes afin de trouver la solution la plus probable et de minimiser les erreurs., développée par Gauss, est utilisée dans les logiciels de topographie pour trouver la solution la plus probable et minimiser les erreurs.

FAQ
Cette erreur de 18 cm est-elle grave ?

Oui, pour la construction d'un bâtiment, une telle erreur est très importante. Elle pourrait entraîner des problèmes de structure, de non-conformité avec les plans et des surcoûts importants. Les tolérances sont généralement de quelques centimètres au maximum.

Résultat Final
La longueur calculée de la diagonale P1-P3 est de 28.98 m, révélant un écart de 18 cm avec la valeur théorique.
A vous de jouer

Quelle serait la longueur théorique de la diagonale pour un bâtiment de 30m par 20m ?

Question 5 : Calculer les éléments d'implantation depuis la station B.

Principe

Pour implanter les points P2 et P3 sur le terrain depuis la station B, le topographe a besoin de deux informations pour chaque point : le gisement (la direction) et la distance horizontale. C'est le même calcul que pour la question 1, mais cette fois-ci depuis le point B vers les points à implanter.

Mini-Cours

L'implantation sur le terrain consiste à faire le chemin inverse du levé. Au lieu de mesurer des points existants pour en calculer les coordonnées, on calcule les angles et distances à partir des coordonnées du plan, puis on utilise un instrument (la station totale) pour matérialiser ces angles et distances sur le terrain et y planter un piquet.

Remarque Pédagogique

En pratique, on implante toujours un point depuis au moins deux stations différentes pour le contrôler. Calculer les éléments depuis B est donc une étape de préparation essentielle, même si on a déjà implanté depuis A.

Normes

Les fiches d'implantation sont des documents officiels du chantier. Elles doivent être claires, précises et contenir toutes les informations nécessaires pour que l'équipe sur le terrain puisse travailler sans ambiguïté.

Formule(s)

Distance et Gisement

\[ D_{BP} = \sqrt{(X_P - X_B)^2 + (Y_P - Y_B)^2} \]
\[ G_{BP} = \arctan\left(\frac{X_P - X_B}{Y_P - Y_B}\right) + C \]
Hypothèses

On utilise les coordonnées des points P2 et P3 calculées précédemment, en étant conscient de l'erreur de propagation mise en évidence à la question 4.

Donnée(s)
  • Coordonnées de B : (701 625.80 ; 7 050 815.50)
  • Coordonnées de P2 : (701 603.47 ; 7 050 845.20)
  • Coordonnées de P3 : (701 600.54 ; 7 050 830.49)
Astuces

Avant de commencer, estimez mentalement la position des points. P2 et P3 sont à l'Ouest et au Nord de B. On s'attend donc à un \(\Delta X\) négatif, un \(\Delta Y\) positif, et un gisement dans le quadrant Nord-Ouest (entre 300 et 400 gr).

Schéma (Avant les calculs)
BP2P3
Calcul(s)

Implantation de P2 depuis B

\[ \Delta X = 701 603.47 - 701 625.80 = -22.33 \text{ m} \]
\[ \Delta Y = 7 050 845.20 - 7 050 815.50 = +29.70 \text{ m} \]
\[ \begin{aligned} D_{BP2} &= \sqrt{(-22.33)^2 + (29.70)^2} \\ &= \sqrt{498.6289 + 882.09} \\ &\approx 37.16 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G_{BP2} &= \arctan\left(\frac{-22.33}{29.70}\right) + 400 \text{ gr} \\ &= -41.33 \text{ gr} + 400 \text{ gr} \\ &= 358.67 \text{ gr} \end{aligned} \]

Implantation de P3 depuis B

\[ \Delta X = 701 600.54 - 701 625.80 = -25.26 \text{ m} \]
\[ \Delta Y = 7 050 830.49 - 7 050 815.50 = +14.99 \text{ m} \]
\[ \begin{aligned} D_{BP3} &= \sqrt{(-25.26)^2 + (14.99)^2} \\ &= \sqrt{638.0676 + 224.7001} \\ &\approx 29.37 \text{ m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G_{BP3} &= \arctan\left(\frac{-25.26}{14.99}\right) + 400 \text{ gr} \\ &= -65.23 \text{ gr} + 400 \text{ gr} \\ &= 334.77 \text{ gr} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Fiche d'implantation depuis B
PointGisement (gr)Distance (m)
P2358.6737.16
P3334.7729.37
Réflexions

Ces valeurs sont les données concrètes à entrer dans la station totale sur le terrain. L'instrument, une fois calé sur une autre référence (comme le point A), pourra indiquer au porte-prisme où se placer pour matérialiser P2 et P3.

Points de vigilance

Assurez-vous que les coordonnées utilisées pour le calcul sont celles du bon système de projection (ici RGF93 CC49). Utiliser des coordonnées d'un autre système mènerait à une implantation complètement fausse.

Points à retenir

La préparation des calculs au bureau est une étape fondamentale qui garantit l'efficacité et la précision du travail sur le terrain. Une bonne préparation permet de gagner un temps précieux et d'éviter les erreurs coûteuses.

Le saviez-vous ?

Aujourd'hui, de nombreux géomètres utilisent des récepteurs GPS/GNSS RTKSystème de positionnement par satellite qui utilise une station de base fixe pour corriger les erreurs et fournir des coordonnées en temps réel avec une précision centimétrique. qui donnent des coordonnées en temps réel avec une précision centimétrique, ce qui accélère considérablement les levers et les implantations.

FAQ
Qu'est-ce qu'une "station totale" ?

C'est l'instrument principal du topographe. Il s'agit d'un théodoliteInstrument d'optique utilisé pour mesurer avec précision les angles horizontaux et verticaux. électronique (qui mesure les angles) couplé à un mesureur de distance électronique (EDM). Il permet de mesurer des angles et des distances avec une très grande précision pour déterminer les coordonnées des points.

Résultat Final
Depuis B :
- Pour P2 : Gisement = 358.67 gr, Distance = 37.16 m.
- Pour P3 : Gisement = 334.77 gr, Distance = 29.37 m.
A vous de jouer

Quel serait le gisement de B vers A (\(G_{BA}\)) ? (Indice: \(G_{BA} = G_{AB} + 200\))

Outil Interactif : Simulateur de Bâtiment

Utilisez les curseurs pour modifier les dimensions du bâtiment et observer l'impact sur sa surface et son périmètre. Le graphique montre l'évolution de la surface en fonction de la longueur pour la largeur sélectionnée.

Paramètres du Bâtiment
25 m
15 m
Résultats Clés
Surface au sol (m²) -
Périmètre (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce qu'un "gisement" en topographie ?

2. Si \(\Delta X\) est positif et \(\Delta Y\) est négatif, dans quel quadrant se situe le gisement ?

3. Pourquoi est-il important de calculer une diagonale pour contrôler une implantation rectangulaire ?

4. Dans la formule \(X_P = X_A + D_{AP} \cdot \sin(G_{AP})\), que représente \(D_{AP}\) ?

5. Si le gisement de P1 vers P2 est de 112.47 gr, quel est le gisement de la direction perpendiculaire P2 vers P3 ?

Gisement
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) à partir de la direction de référence du Nord (l'axe Y). Il est généralement exprimé en grades (gr).
Implantation
Opération de topographie qui consiste à matérialiser sur le terrain, à l'aide de repères (piquets, chaises d'implantation), la position exacte d'un ouvrage à construire (bâtiment, route, etc.) en se basant sur les informations du plan.
Rayonnement
Méthode de calcul topographique permettant de déterminer les coordonnées d'un point inconnu en mesurant un angle et une distance depuis un point connu (station).
Topographie Urbaine : Planification et Calculs

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