Études de cas pratique

EGC

Topographie Urbaine : Planification et Calculs

Topographie Urbaine : Planification et Calculs

Topographie Urbaine : Planification et Calculs

Comprendre la Topographie Urbaine

La topographie urbaine est une branche spécialisée de la topographie qui se concentre sur le levé, la représentation et l'implantation d'éléments dans des environnements bâtis et denses. Elle est caractérisée par la présence d'infrastructures existantes (bâtiments, routes, réseaux souterrains), des contraintes d'espace, et des exigences de précision élevées. Les tâches courantes incluent les levés de détails pour la création de plans de corps de rue, l'implantation précise de nouveaux bâtiments ou d'infrastructures de Voirie et Réseaux Divers (VRD), les levés de récolement pour vérifier la conformité des travaux, et la surveillance des déformations d'ouvrages.

Données de l'étude

Un géomètre doit implanter les quatre coins d'un futur bâtiment rectangulaire (A-B-C-D) et un regard d'assainissement (R1) sur un terrain. Le levé est réalisé à partir d'une station S, orientée sur un point de référence connu P0.

Coordonnées du point de station S (en mètres) :

  • \(X_{\text{S}} = 350.250 \, \text{m}\)
  • \(Y_{\text{S}} = 480.720 \, \text{m}\)

Coordonnées du point de référence P0 (en mètres) :

  • \(X_{\text{P0}} = 410.870 \, \text{m}\)
  • \(Y_{\text{P0}} = 515.340 \, \text{m}\)

Dimensions du bâtiment rectangulaire A-B-C-D :

  • Longueur AB (et CD) = \(20.000 \, \text{m}\)
  • Largeur BC (et AD) = \(12.000 \, \text{m}\)

Informations pour l'implantation du bâtiment :

  • Le coin A du bâtiment est implanté par rayonnement depuis S avec :
    • Angle horizontal lu \(L_{H,SA}\) (depuis la référence SP0, sens horaire) = \(55.2510^\circ\)
    • Distance horizontale \(D_{H,SA}\) = \(35.680 \, \text{m}\)
  • Le côté AB du bâtiment fait un angle de \(15.0000^\circ\) avec la direction du Nord (gisement de AB = \(15.0000^\circ\)).

Informations pour l'implantation du regard R1 :

  • Le regard R1 est implanté par rayonnement depuis S avec :
    • Angle horizontal lu \(L_{H,SR1}\) (depuis la référence SP0, sens horaire) = \(110.7530^\circ\)
    • Distance horizontale \(D_{H,SR1}\) = \(48.920 \, \text{m}\)
Schéma : Implantation en Milieu Urbain
S P0 (Réf.) A D_H,SA L_H,SA B C D 20m 12m R1 D_H,SR1 L_H,SR1 N Levé et Implantation en Milieu Urbain

Schéma illustrant l'implantation d'un bâtiment et d'un regard depuis la station S.

Questions à traiter

  1. Quelles sont les spécificités et les défis majeurs de la topographie en milieu urbain ?
  2. Calculer le gisement de la référence SP0 (\(G_{\text{SP0}}\)).
  3. Calculer le gisement de la visée SA (\(G_{\text{SA}}\)) et les coordonnées du point A (\(X_{\text{A}}, Y_{\text{A}}\)).
  4. En utilisant le gisement de AB (\(G_{\text{AB}} = 15.0000^\circ\)) et les dimensions du bâtiment, calculer les coordonnées des points B, C, et D.
  5. Calculer le gisement de la visée SR1 (\(G_{\text{SR1}}\)) et les coordonnées du regard R1 (\(X_{\text{R1}}, Y_{\text{R1}}\)).
  6. Calculer la distance et le gisement de la ligne reliant le coin C du bâtiment au regard R1 (\(d_{\text{CR1}}\) et \(G_{\text{CR1}}\)).

Correction : Topographie Urbaine : Planification et Calculs

Question 1 : Spécificités et défis de la topographie urbaine

Définition et Spécificités :

La topographie urbaine concerne les opérations de mesure et de représentation du terrain et des objets s'y trouvant dans des zones densément construites. Elle est essentielle pour la planification, la conception, la construction et la gestion des infrastructures urbaines.

Spécificités :

  • Haute densité d'objets : Présence de nombreux bâtiments, routes, trottoirs, mobilier urbain, réseaux aériens et souterrains.
  • Précision élevée requise : Les tolérances sont souvent plus strictes en raison des contraintes d'espace et des interactions entre les différentes infrastructures.
  • Réseaux existants : Nécessité de localiser avec précision les réseaux souterrains (eau, gaz, électricité, télécoms, assainissement) pour éviter les dommages lors de travaux.
  • Cadastre et limites de propriété : Importance du bornage et du respect des limites parcellaires.
  • Environnement dynamique : Modifications fréquentes du paysage urbain (nouvelles constructions, réaménagements).

Défis majeurs :
  • Obstacles à la visibilité : Les bâtiments et autres structures peuvent masquer les points à lever ou les références.
  • Difficulté d'accès : Circulation, stationnement, zones privées peuvent compliquer l'accès aux points de mesure.
  • Sécurité : Travail à proximité de la circulation routière et des zones de chantier.
  • Multiplicité des intervenants : Coordination nécessaire avec diverses entités (municipalités, concessionnaires de réseaux, entreprises de construction).
  • Qualité des données existantes : Les plans anciens peuvent être imprécis ou obsolètes, nécessitant des vérifications approfondies.
  • Interférences : Les signaux GPS peuvent être perturbés par les hauts bâtiments (effet canyon urbain).
Résultat Question 1 : La topographie urbaine se caractérise par une forte densité d'éléments, des exigences de précision élevées et la gestion des réseaux existants. Les défis incluent les obstacles, l'accès, la sécurité et la coordination.

Question 2 : Gisement de la référence SP0 (\(G_{\text{SP0}}\))

Principe :

Le gisement d'une ligne entre deux points connus (S et P0) est calculé à partir de leurs coordonnées cartésiennes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta X_{\text{SP0}} = X_{\text{P0}} - X_{\text{S}} \]
\[ \Delta Y_{\text{SP0}} = Y_{\text{P0}} - Y_{\text{S}} \]
\[ G_{\text{SP0}} = \text{atan2}(\Delta X_{\text{SP0}}, \Delta Y_{\text{SP0}}) \quad (\text{converti en degrés et ajusté}) \]
Données spécifiques :
  • \(X_{\text{S}} = 350.250 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 480.720 \, \text{m}\)
  • \(X_{\text{P0}} = 410.870 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P0}} = 515.340 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{SP0}} &= 410.870 - 350.250 = 60.620 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{SP0}} &= 515.340 - 480.720 = 34.620 \, \text{m} \\ G_{\text{SP0,rad}} &= \text{atan2}(60.620, 34.620) \\ &\approx \text{atan2}(1.751010976) \approx 1.052065 \, \text{radians} \end{aligned} \]

Conversion en degrés :

\[ \begin{aligned} G_{\text{SP0,deg}} &= 1.052065 \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &\approx 60.2798^\circ \end{aligned} \]

Comme \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y > 0\), le gisement est dans le premier quadrant.

Résultat Question 2 : Le gisement de la référence SP0 est \(G_{\text{SP0}} \approx 60.2798^\circ\).

Question 3 : Gisement \(G_{\text{SA}}\) et coordonnées de P1 (\(X_{\text{A}}, Y_{\text{A}}\))

Principe :

Le gisement de la visée SA est calculé en ajoutant l'angle horizontal lu \(L_{H,SA}\) au gisement de référence \(G_{\text{SP0}}\). Ensuite, les coordonnées de A sont calculées par rayonnement depuis S.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{SA}} = (G_{\text{SP0}} + L_{H,SA}) \pmod{360^\circ} \]
\[ X_{\text{A}} = X_{\text{S}} + D_{H,SA} \cdot \sin(G_{\text{SA}}) \]
\[ Y_{\text{A}} = Y_{\text{S}} + D_{H,SA} \cdot \cos(G_{\text{SA}}) \]
Données spécifiques pour A :
  • \(X_{\text{S}} = 350.250 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 480.720 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{SP0}} \approx 60.2798^\circ\)
  • \(L_{H,SA} = 55.2510^\circ\)
  • \(D_{H,SA} = 35.680 \, \text{m}\)
Calcul du Gisement \(G_{\text{SA}}\):
\[ \begin{aligned} G_{\text{SA}} &= (60.2798^\circ + 55.2510^\circ) \pmod{360^\circ} \\ &= 115.5308^\circ \end{aligned} \]
Calcul des Coordonnées de A :
\[ \begin{aligned} X_{\text{A}} &= 350.250 + 35.680 \cdot \sin(115.5308^\circ) \\ &= 350.250 + 35.680 \cdot 0.902357 \\ &\approx 350.250 + 32.195 \\ &\approx 382.445 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{A}} &= 480.720 + 35.680 \cdot \cos(115.5308^\circ) \\ &= 480.720 + 35.680 \cdot (-0.431017) \\ &\approx 480.720 - 15.379 \\ &\approx 465.341 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le gisement \(G_{\text{SA}} \approx 115.5308^\circ\). Les coordonnées du point A sont environ \(X_{\text{A}} \approx 382.445 \, \text{m}\), \(Y_{\text{A}} \approx 465.341 \, \text{m}\).

Question 4 : Coordonnées des points B, C, et D

Principe :

Les points B, C, D sont les autres coins du bâtiment rectangulaire. Leurs coordonnées sont calculées à partir des coordonnées de A, des dimensions du bâtiment (longueur \(L=20\text{m}\), largeur \(l=12\text{m}\)), et des gisements des côtés. Le gisement de AB est donné. Les gisements des autres côtés sont déduits (BC perpendiculaire à AB, etc.).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ X_{\text{P_n}} = X_{\text{P_{n-1}}} + D_{\text{P_{n-1}P_n}} \cdot \sin(G_{\text{P_{n-1}P_n}}) \]
\[ Y_{\text{P_n}} = Y_{\text{P_{n-1}}} + D_{\text{P_{n-1}P_n}} \cdot \cos(G_{\text{P_{n-1}P_n}}) \]
\[ G_{\text{Perpendiculaire}} = (G_{\text{Ligne}} \pm 90^\circ) \pmod{360^\circ} \]
\[ G_{\text{Opposé}} = (G_{\text{Ligne}} \pm 180^\circ) \pmod{360^\circ} \]
Données spécifiques :
  • \(X_{\text{A}} \approx 382.445 \, \text{m}\), \(Y_{\text{A}} \approx 465.341 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{AB}} = 15.0000^\circ\)
  • Longueur \(L_{AB} = 20.000 \, \text{m}\)
  • Largeur \(l_{BC} = 12.000 \, \text{m}\)
Calcul des Coordonnées de B :
\[ \begin{aligned} X_{\text{B}} &= X_{\text{A}} + L_{AB} \cdot \sin(G_{\text{AB}}) \\ &\approx 382.445 + 20.000 \cdot \sin(15.0000^\circ) \\ &\approx 382.445 + 20.000 \cdot 0.258819 \\ &\approx 382.445 + 5.176 \\ &\approx 387.621 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{B}} &= Y_{\text{A}} + L_{AB} \cdot \cos(G_{\text{AB}}) \\ &\approx 465.341 + 20.000 \cdot \cos(15.0000^\circ) \\ &\approx 465.341 + 20.000 \cdot 0.965926 \\ &\approx 465.341 + 19.319 \\ &\approx 484.660 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul des Coordonnées de C :

Gisement de BC : \(G_{\text{BC}} = (G_{\text{AB}} + 90^\circ) = (15.0000^\circ + 90^\circ) = 105.0000^\circ\)

\[ \begin{aligned} X_{\text{C}} &= X_{\text{B}} + l_{BC} \cdot \sin(G_{\text{BC}}) \\ &\approx 387.621 + 12.000 \cdot \sin(105.0000^\circ) \\ &\approx 387.621 + 12.000 \cdot 0.965926 \\ &\approx 387.621 + 11.591 \\ &\approx 399.212 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{C}} &= Y_{\text{B}} + l_{BC} \cdot \cos(G_{\text{BC}}) \\ &\approx 484.660 + 12.000 \cdot \cos(105.0000^\circ) \\ &\approx 484.660 + 12.000 \cdot (-0.258819) \\ &\approx 484.660 - 3.106 \\ &\approx 481.554 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul des Coordonnées de D :

Gisement de AD : \(G_{\text{AD}} = G_{\text{BC}} = 105.0000^\circ\). Ou Gisement de CD : \(G_{\text{CD}} = (G_{\text{AB}} + 180^\circ) = 195.0000^\circ\).

Calculons D à partir de A (parallèle à BC) :

\[ \begin{aligned} X_{\text{D}} &= X_{\text{A}} + l_{AD} \cdot \sin(G_{\text{AD}}) \\ &\approx 382.445 + 12.000 \cdot \sin(105.0000^\circ) \\ &\approx 382.445 + 11.591 \\ &\approx 394.036 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{D}} &= Y_{\text{A}} + l_{AD} \cdot \cos(G_{\text{AD}}) \\ &\approx 465.341 + 12.000 \cdot \cos(105.0000^\circ) \\ &\approx 465.341 - 3.106 \\ &\approx 462.235 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Les coordonnées des autres coins du bâtiment sont :
  • P_B: \(X_{\text{B}} \approx 387.621 \, \text{m}\), \(Y_{\text{B}} \approx 484.660 \, \text{m}\)
  • P_C: \(X_{\text{C}} \approx 399.212 \, \text{m}\), \(Y_{\text{C}} \approx 481.554 \, \text{m}\)
  • P_D: \(X_{\text{D}} \approx 394.036 \, \text{m}\), \(Y_{\text{D}} \approx 462.235 \, \text{m}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Si le gisement de AB était de \(0^\circ\) (Nord), le gisement de BC (perpendiculaire à droite) serait :

Question 5 : Gisement \(G_{\text{SR1}}\) et coordonnées du regard R1 (\(X_{\text{R1}}, Y_{\text{R1}}\))

Principe :

Similaire à la Q3, le gisement de la visée SR1 est calculé en ajoutant l'angle horizontal lu \(L_{H,SR1}\) au gisement de référence \(G_{\text{SP0}}\). Ensuite, les coordonnées de R1 sont calculées par rayonnement depuis S.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{SR1}} = (G_{\text{SP0}} + L_{H,SR1}) \pmod{360^\circ} \]
\[ X_{\text{R1}} = X_{\text{S}} + D_{H,SR1} \cdot \sin(G_{\text{SR1}}) \]
\[ Y_{\text{R1}} = Y_{\text{S}} + D_{H,SR1} \cdot \cos(G_{\text{SR1}}) \]
Données spécifiques pour R1 :
  • \(X_{\text{S}} = 350.250 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 480.720 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{SP0}} \approx 60.2798^\circ\)
  • \(L_{H,SR1} = 110.7530^\circ\)
  • \(D_{H,SR1} = 48.920 \, \text{m}\)
Calcul du Gisement \(G_{\text{SR1}}\):
\[ \begin{aligned} G_{\text{SR1}} &= (60.2798^\circ + 110.7530^\circ) \pmod{360^\circ} \\ &= 171.0328^\circ \end{aligned} \]
Calcul des Coordonnées de R1 :
\[ \begin{aligned} X_{\text{R1}} &= 350.250 + 48.920 \cdot \sin(171.0328^\circ) \\ &= 350.250 + 48.920 \cdot 0.155967 \\ &\approx 350.250 + 7.630 \\ &\approx 357.880 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{R1}} &= 480.720 + 48.920 \cdot \cos(171.0328^\circ) \\ &= 480.720 + 48.920 \cdot (-0.987758) \\ &\approx 480.720 - 48.320 \\ &\approx 432.400 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le gisement \(G_{\text{SR1}} \approx 171.0328^\circ\). Les coordonnées du regard R1 sont environ \(X_{\text{R1}} \approx 357.880 \, \text{m}\), \(Y_{\text{R1}} \approx 432.400 \, \text{m}\).

Question 6 : Distance et gisement de la ligne CR1

Principe :

La distance et le gisement entre deux points (C et R1) dont les coordonnées sont connues sont calculés comme à la Q2 (gisement) et Q1 (distance).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta X_{\text{CR1}} = X_{\text{R1}} - X_{\text{C}} \]
\[ \Delta Y_{\text{CR1}} = Y_{\text{R1}} - Y_{\text{C}} \]
\[ d_{\text{CR1}} = \sqrt{(\Delta X_{\text{CR1}})^2 + (\Delta Y_{\text{CR1}})^2} \]
\[ G_{\text{CR1}} = \text{atan2}(\Delta X_{\text{CR1}}, \Delta Y_{\text{CR1}}) \]
Données spécifiques :
  • \(X_{\text{C}} \approx 399.212 \, \text{m}\), \(Y_{\text{C}} \approx 481.554 \, \text{m}\)
  • \(X_{\text{R1}} \approx 357.880 \, \text{m}\), \(Y_{\text{R1}} \approx 432.400 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{CR1}} &\approx 357.880 - 399.212 = -41.332 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{CR1}} &\approx 432.400 - 481.554 = -49.154 \, \text{m} \\ d_{\text{CR1}} &= \sqrt{(-41.332)^2 + (-49.154)^2} \\ &= \sqrt{1708.336224 + 2416.116916} \\ &= \sqrt{4124.45314} \\ &\approx 64.222 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} G_{\text{CR1,rad}} &= \text{atan2}(-41.332, -49.154) \\ &\approx -2.44145 \, \text{radians} \end{aligned} \]

Conversion en degrés et ajustement (atan2 retourne entre \(-\pi\) et \(\pi\)):

\[ \begin{aligned} G_{\text{CR1,deg}} &\approx -2.44145 \times \frac{180^\circ}{\pi} \approx -139.8916^\circ \\ G_{\text{CR1}} &\approx -139.8916^\circ + 360^\circ = 220.1084^\circ \end{aligned} \]

(\(\Delta X < 0\) et \(\Delta Y < 0\), donc troisième quadrant, ce qui correspond à \(180^\circ + \text{angle aigu}\). L'angle aigu est \(\text{atan}(|\Delta X / \Delta Y|) = \text{atan}(41.332/49.154) \approx 40.1084^\circ\). Donc \(180^\circ + 40.1084^\circ = 220.1084^\circ\)).

Résultat Question 6 : La distance \(d_{\text{CR1}} \approx 64.222 \, \text{m}\) et le gisement \(G_{\text{CR1}} \approx 220.1084^\circ\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. L'implantation topographique consiste à :

8. Pour calculer les coordonnées d'un point B à partir d'un point A connu (\(X_A, Y_A\)), d'un gisement \(G_{AB}\) et d'une distance \(D_{AB}\), la formule pour \(X_B\) est :

9. La méthode des coordonnées pour calculer l'aire d'un polygone :

Glossaire

Levé Topographique
Ensemble des opérations de mesure sur le terrain visant à collecter des données pour représenter la configuration d'un site.
Implantation
Opération consistant à matérialiser sur le terrain la position exacte de points, d'axes ou de contours d'un projet (bâtiment, route, etc.) à partir des données d'un plan.
Rayonnement (Levé par)
Méthode de levé où les points sont déterminés par mesure d'un angle horizontal et d'une distance horizontale depuis une station connue et orientée.
Station (Topographie)
Point précis où un instrument topographique (théodolite, station totale) est mis en place pour effectuer des mesures.
Référence (Orientation)
Direction connue (par exemple vers un autre point connu ou le Nord) utilisée pour orienter l'instrument et servir d'origine aux mesures angulaires.
Gisement (ou Azimuth)
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir d'une direction de référence (généralement le Nord) jusqu'à une ligne ou une direction donnée.
Coordonnées Cartésiennes (Planimétriques)
Système de positionnement de points dans un plan (X, Y) par rapport à des axes orthogonaux. En topographie, X est souvent l'Est et Y le Nord.
Voirie et Réseaux Divers (VRD)
Ensemble des infrastructures et réseaux nécessaires à la viabilisation d'un terrain ou à l'aménagement d'un espace urbain (routes, trottoirs, réseaux d'eau, d'assainissement, d'électricité, de télécommunication, etc.).
Récolement (Levé de)
Levé topographique effectué après la réalisation de travaux pour vérifier leur conformité par rapport aux plans d'exécution et pour mettre à jour les plans existants.
Levé Topographique sur un Terrain - Exercice d'Application

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