Levé Topographique d'un Point Inaccessible
Contexte : Le levé par rayonnementMéthode topographique consistant à déterminer les coordonnées de points depuis une seule station connue en mesurant des angles et des distances..
En topographie, il est courant de devoir déterminer les coordonnées (X, Y, Z) de points qui ne sont pas directement accessibles (coins de bâtiments, pylônes, etc.). La méthode du levé par rayonnement, utilisant un tachéomètreAppareil de mesure topographique permettant de mesurer des angles horizontaux, des angles verticaux et des distances., est fondamentale pour résoudre ce type de problème. Cet exercice vous guidera à travers les calculs nécessaires pour déterminer la position tridimensionnelle d'un point P depuis une station de référence connue.
Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique vous permettra d'appliquer les formules de base de la trigonométrie et de la topographie pour passer des mesures de terrain (angles, distances) à des coordonnées exploitables dans un plan.
Objectifs Pédagogiques
- Maîtriser le calcul de la distance horizontale à partir d'une distance inclinée et d'un angle zénithal.
- Appliquer la méthode du nivellement trigonométriqueDétermination de la différence d'altitude entre deux points à l'aide d'angles verticaux et de distances. pour calculer une altitude.
- Calculer les coordonnées rectangulaires (X, Y) d'un point à partir d'un gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord. et d'une distance.
- Comprendre l'importance des hauteurs d'appareil et de prisme dans les calculs d'altitude.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Instrument Utilisé | Tachéomètre Leica TS16 |
| Précision Angulaire | 1" (0.0003 gon) |
| Précision Distancemètre | 2 mm + 2 ppm |
Schéma du Levé Topographique
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| ST10 | Coordonnées de la station | X=550.00, Y=250.00, Z=100.00 | m |
| hi | Hauteur de l'instrument | 1.65 | m |
| hp | Hauteur du prisme | 2.00 | m |
| Hz | Angle horizontal mesuré | 45.0000 | gon |
| V | Angle zénithal mesuré | 95.0000 | gon |
| Di | Distance inclinée mesurée | 85.42 | m |
Questions à traiter
- Calculer la distance horizontale (Dh) entre la station ST10 et le point P.
- Calculer la dénivelée (ΔH) entre l'axe optique de l'appareil et le prisme.
- Déterminer l'altitude (Zp) du point P.
- Calculer les coordonnées (Xp, Yp) du point P.
Les bases du Levé par Rayonnement
Le levé par rayonnement est une méthode fondamentale en topographie qui permet de déterminer les coordonnées de plusieurs points depuis une seule et même station. Elle repose sur deux principes mathématiques clés.
1. Projection et Nivellement Trigonométrique
Les mesures brutes d'un tachéomètre sont une distance inclinée (Di) et un angle zénithal (V). Pour les calculs planimétriques et altimétriques, ces mesures doivent être projetées sur les plans horizontal et vertical.
\[ D_h = D_i \cdot \sin(V) \]
\[ \Delta H = D_i \cdot \cos(V) \]
2. Calcul de Coordonnées par Gisement
Une fois la distance horizontale (Dh) connue, on peut calculer les coordonnées d'un point P (Xp, Yp) à partir d'une station A (Xa, Ya) en utilisant le gisement (G) de la direction AP.
\[ X_p = X_a + D_h \cdot \sin(G) \]
\[ Y_p = Y_a + D_h \cdot \cos(G) \]
Correction : Levé Topographique d'un Point Inaccessible
Question 1 : Calculer la distance horizontale (Dh)
Principe
La distance mesurée par l'appareil est la distance directe, inclinée. Pour les calculs de planimétrie (sur une carte), nous avons besoin de sa projection sur un plan parfaitement horizontal. C'est le "pourquoi" avant le "comment".
Mini-Cours
La visée topographique forme un triangle rectangle dans l'espace. L'hypoténuse est la distance inclinée (Di). Les deux autres côtés sont la distance horizontale (Dh) et la dénivelée (ΔH). L'angle zénithal (V) nous permet, grâce à la trigonométrie (sinus, cosinus), de calculer la longueur de ces deux côtés.
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous tenez une lampe de poche (le tachéomètre) et que vous éclairez un objet (le prisme). La distance horizontale est la distance que parcourrait votre ombre au sol si le soleil était parfaitement au-dessus de vous (au zénith). C'est cette distance qui est représentée sur les plans.
Normes
Il n'y a pas de "norme" de calcul à proprement parler, car il s'agit d'une application directe de la trigonométrie. Cependant, les tolérances de précision pour les levés topographiques sont définies par des cahiers des charges ou des normes professionnelles qui dictent la classe de précision à atteindre.
Formule(s)
La distance horizontale (Dh) est le côté opposé à l'angle (100 - V) dans le triangle rectangle. La formule la plus directe utilise le sinus de l'angle zénithal V.
Hypothèses
Pour ce calcul, on fait les hypothèses suivantes :
- La Terre est considérée comme plate à l'échelle de la mesure (on néglige la courbure terrestre).
- La réfraction atmosphérique n'a pas d'impact significatif sur cette mesure de distance.
Donnée(s)
Nous extrayons les valeurs nécessaires de l'énoncé pour ce calcul spécifique.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance inclinée | Di | 85.42 | m |
| Angle zénithal | V | 95.0000 | gon |
Astuces
Un moyen rapide de vérifier votre calcul : la distance horizontale Dh est toujours inférieure ou égale à la distance inclinée Di. Si vous trouvez une valeur supérieure, il y a une erreur ! L'égalité n'est vraie que pour une visée parfaitement horizontale (V = 100 gon).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons le triangle rectangle de la mesure. C'est la clé pour comprendre les relations entre Di, Dh et ΔH.
Triangle de la visée
Calcul(s)
On applique directement la formule avec les valeurs données. Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "grades" ou "gons" pour les angles.
Schéma (Après les calculs)
Le même schéma, mais avec la valeur calculée, pour bien fixer le résultat.
Triangle de la visée (Résultat)
Réflexions
Le résultat (85.34 m) est très proche de la distance inclinée (85.42 m). Cela est logique car l'angle zénithal (95 gon) est très proche de l'horizontale (100 gon). La pente est donc faible. Cette distance de 85.34 m est celle que l'on utilisera pour dessiner le point P sur un plan.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'utiliser le mauvais mode d'angle sur sa calculatrice. Si vous aviez calculé sin(95 degrés), vous auriez obtenu 0.996... et un résultat de 85.11 m, ce qui est incorrect. Vérifiez toujours : degrés (°), radians (rad) ou grades (gon).
Points à retenir
Pour passer de la mesure 3D du terrain à la représentation 2D du plan, la projection horizontale est une étape non négociable. La formule à mémoriser est : Dh = Di x sin(V).
Le saviez-vous ?
L'unité 'gon' (ou grade) a été introduite en France après la Révolution, dans le cadre du système métrique. L'idée était d'avoir un angle droit qui mesure 100 unités (100 gon) plutôt que 90 (degrés), pour faciliter les calculs décimaux. Un cercle complet fait 400 gon.
FAQ
Voici les questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la distance inclinée (Di) était de 120.50 m et l'angle zénithal (V) de 88.0000 gon, quelle serait la distance horizontale (Dh) ?
Question 2 : Calculer la dénivelée (ΔH)
Principe
La dénivelée (ΔH) est la différence de hauteur verticale entre l'axe de rotation du tachéomètre (axe des tourillons) et le centre du prisme visé. C'est le deuxième côté du triangle rectangle de la visée, qui représente le déplacement vertical.
Mini-Cours
La dénivelée est calculée en utilisant la fonction cosinus de l'angle zénithal. C'est la projection de la distance inclinée sur l'axe vertical. Cette valeur est cruciale pour le calcul d'altitude, car elle représente le gain ou la perte d'altitude de la visée elle-même, avant de prendre en compte les hauteurs d'instrument et de prisme.
Remarque Pédagogique
Pensez à ΔH comme la hauteur d'un ascenseur qui vous emmènerait de l'altitude de votre œil (dans l'appareil) à l'altitude du centre du prisme. Un ΔH positif signifie que l'ascenseur monte ; un ΔH négatif, qu'il descend.
Normes
Le calcul est trigonométrique. Les normes topographiques interviennent dans la précision requise pour cette dénivelée, qui dépendra s'il s'agit d'un nivellement de précision ou d'un levé courant.
Formule(s)
Dans le même triangle rectangle que précédemment, la dénivelée (ΔH) est le côté adjacent à l'angle formé par la visée et la verticale. On utilise donc le cosinus de l'angle zénithal V.
Hypothèses
Les hypothèses sont identiques à celles de la question 1 : on néglige la courbure terrestre et la réfraction atmosphérique pour ce calcul direct.
Donnée(s)
Mêmes données que pour la question 1, nous nous concentrons sur Di et V.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Distance inclinée | Di | 85.42 | m |
| Angle zénithal | V | 95.0000 | gon |
Astuces
Pour un angle V proche de 100 gon, ΔH sera petit. Pour un angle V proche de 0 ou 200 gon (visée très plongeante ou très ascendante), ΔH sera proche de Di et Dh sera petit. C'est une bonne vérification de l'ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Nous réutilisons le même triangle, en mettant cette fois l'accent sur le côté vertical ΔH.
Triangle de la visée - Focus sur ΔH
Calcul(s)
On applique la formule avec les données connues, toujours en mode "gons".
Schéma (Après les calculs)
Le triangle complété avec la valeur de ΔH.
Triangle de la visée (Résultat)
Réflexions
Le résultat est positif (+6.70 m), ce qui confirme que le prisme est plus haut que l'axe de l'appareil. Ceci est cohérent avec un angle zénithal V < 100 gon (visée montante). Cette valeur est la brique essentielle pour le calcul d'altitude de la question suivante.
Points de vigilance
Attention au signe ! Un angle zénithal V > 100 gon (visée plongeante) donne un cosinus négatif, et donc une dénivelée négative. Un angle V < 100 gon (visée montante) donne un cosinus positif et une dénivelée positive. C'est une vérification simple et cruciale.
Points à retenir
La dénivelée est la composante verticale de la visée. La formule à mémoriser est : ΔH = Di x cos(V). Le signe de ΔH dépend directement de la valeur de V par rapport à 100 gon.
Le saviez-vous ?
Pour des visées très longues (plusieurs kilomètres), les topographes doivent appliquer des corrections de courbure terrestre (la Terre n'est pas plate) et de réfraction atmosphérique (les rayons lumineux ne sont pas parfaitement droits). Pour cet exercice, ces effets sont négligeables.
FAQ
Questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Avec une distance inclinée (Di) de 75.20 m et un angle zénithal (V) de 112.0000 gon, quelle serait la dénivelée (ΔH) ?
Question 3 : Déterminer l'altitude (Zp) du point P
Principe
L'altitude du point au sol (Zp) est calculée en créant une "chaîne" de hauteurs : on part de l'altitude connue du sol sous l'appareil, on "monte" jusqu'à l'axe de l'appareil (hi), on applique le déplacement vertical de la visée (ΔH), puis on "descend" du prisme jusqu'au sol (hp).
Mini-Cours
Cette méthode s'appelle le nivellement trigonométrique. Elle permet de transférer une altitude d'un point à un autre sans avoir à mesurer directement la différence de niveau avec une mire, en se basant sur des mesures d'angle et de distance. C'est une méthode très efficace et rapide sur le terrain.
Remarque Pédagogique
C'est comme un jeu de piste en hauteur. Vous êtes au point de départ (Z_station). Vous montez sur un tabouret (hi). Vous regardez un point plus haut ou plus bas (ΔH). Ce point est sur un autre tabouret (hp). Vous enlevez la hauteur du deuxième tabouret pour trouver l'altitude du sol à cet endroit.
Normes
Les altitudes en France sont généralement rattachées au système de Nivellement Général de la France (NGF-IGN69), dont le point zéro est défini par le marégraphe de Marseille. Tous les points de référence officiels (bornes) ont une altitude dans ce système.
Formule(s)
La formule complète du nivellement trigonométrique est une somme algébrique des différentes hauteurs.
Hypothèses
On suppose que les hauteurs de l'instrument (hi) et du prisme (hp) ont été mesurées avec précision, et que la canne du prisme était parfaitement verticale (tenue à l'aide d'une nivelle sphérique).
Donnée(s)
On rassemble toutes les données altimétriques de l'énoncé et des calculs précédents.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Altitude Station | Z_st10 | 100.00 | m |
| Hauteur instrument | hi | 1.65 | m |
| Dénivelée | ΔH | +6.70 | m |
| Hauteur prisme | hp | 2.00 | m |
Astuces
Pour éviter les erreurs de signe, calculez l'altitude de l'axe optique de votre appareil : Z_axe = Z_station + hi. C'est votre altitude de référence pour la visée. Ensuite, l'altitude du prisme est Z_prisme = Z_axe + ΔH. Enfin, l'altitude du point au sol est Zp = Z_prisme - hp.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de l'Altitude Zp
Calcul(s)
On remplace chaque terme par sa valeur numérique.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma complété avec le résultat final.
Altitude Zp Calculée
Réflexions
L'altitude finale de 106.35 m est cohérente. Le terrain monte de la station vers le point P, ce qui correspond à la dénivelée positive calculée. Les hauteurs hi et hp ont un impact direct sur le résultat final et ne doivent jamais être négligées.
Points de vigilance
Une erreur fréquente est d'inverser l'addition de hi et la soustraction de hp. Retenez : on part du sol, donc on ajoute la hauteur de l'instrument. On arrive au prisme, et on veut le sol, donc on soustrait la hauteur du prisme.
Points à retenir
L'altitude d'un point levé est la somme de l'altitude de départ, de la hauteur de l'appareil, de la dénivelée (qui peut être positive ou négative), moins la hauteur de la cible. Zp = Z_dep + hi + ΔH - hp.
Le saviez-vous ?
Les altitudes fournies par un GPS grand public sont des altitudes "ellipsoïdales", basées sur un modèle mathématique parfait de la Terre. Les altitudes des topographes sont "orthométriques", basées sur le niveau moyen des mers (le géoïde). Il peut y avoir plusieurs dizaines de mètres de différence entre les deux en France !
FAQ
Questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez Zp si Z_st10 = 52.80 m, hi = 1.58 m, hp = 1.80 m et la dénivelée ΔH = -4.25 m.
Question 4 : Calculer les coordonnées (Xp, Yp) du point P
Principe
Les coordonnées du point P sont calculées en ajoutant aux coordonnées de la station ST10 les "déplacements" en X (vers l'Est) et en Y (vers le Nord). Ces déplacements (ΔX, ΔY) sont obtenus en projetant la distance horizontale (Dh) sur les axes cardinaux à l'aide du gisement de la visée.
Mini-Cours
C'est une conversion de coordonnées polaires (un angle et une distance) en coordonnées rectangulaires (X, Y). En topographie, le cercle trigonométrique est orienté différemment : le 0 est au Nord, et les angles (gisements) tournent dans le sens horaire. C'est pourquoi le sinus est associé à l'axe des X (Est) et le cosinus à l'axe des Y (Nord).
Remarque Pédagogique
Imaginez que vous êtes au centre d'une boussole au point ST10. Vous visez dans la direction 45 gon et vous marchez sur une distance de 85.34 m. Le calcul de ΔX et ΔY vous dit simplement de combien de mètres vous vous êtes déplacé vers l'Est et de combien vers le Nord.
Normes
Les coordonnées sont calculées dans un système de projection plan, comme le système légal en France, le Lambert 93, ou d'autres systèmes locaux. L'important est que la station et le point calculé soient dans le même système.
Formule(s)
Le gisement (G) utilisé est ici l'angle horizontal (Hz) mesuré, car on suppose que l'appareil a été orienté sur le Nord.
Hypothèses
On suppose que l'orientation de l'appareil est juste, c'est-à-dire que la lecture 0.0000 gon sur le cercle horizontal correspond bien à la direction du Nord du système de coordonnées utilisé.
Donnée(s)
On rassemble les données planimétriques.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coordonnées Station | X_st10, Y_st10 | 550.00, 250.00 | m |
| Distance horizontale | Dh | 85.34 | m |
| Gisement (Angle Hz) | G | 45.0000 | gon |
Astuces
Vérifiez le quadrant de votre gisement pour anticiper le signe de ΔX et ΔY.
- 0-100 gon (NE): ΔX > 0, ΔY > 0
- 100-200 gon (SE): ΔX > 0, ΔY < 0
- 200-300 gon (SO): ΔX < 0, ΔY < 0
- 300-400 gon (NO): ΔX < 0, ΔY > 0
Schéma (Avant les calculs)
Vue en plan montrant la projection de la distance horizontale sur les axes X et Y.
Projection en Coordonnées
Calcul(s)
On calcule d'abord les composantes ΔX et ΔY, puis on les ajoute aux coordonnées de la station.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma complété avec les valeurs numériques.
Coordonnées Calculées
Réflexions
Les deux déplacements ΔX et ΔY sont positifs, ce qui est logique : un angle de 45 gon se situe dans le premier quadrant (Nord-Est), donc le point P doit être au Nord-Est de la station ST10, ce que les coordonnées finales confirment (X et Y ont tous deux augmenté).
Points de vigilance
L'erreur classique est d'inverser sinus et cosinus. En topographie (0 au Nord, sens horaire), c'est bien ΔX = Dh * sin(G) et ΔY = Dh * cos(G). En mathématiques classiques (0 à l'Est, sens anti-horaire), ce serait l'inverse. Ne confondez pas les deux conventions !
Points à retenir
Le calcul de coordonnées est la finalité du levé. Les formules à maîtriser sont : ΔX = Dh * sin(Gisement) et ΔY = Dh * cos(Gisement), puis l'addition aux coordonnées de la station de départ.
Le saviez-vous ?
Avant les calculatrices et ordinateurs, les topographes utilisaient des tables de logarithmes pour effectuer ces multiplications de sinus et cosinus, un processus long et fastidieux. Les stations totales modernes font tous ces calculs instantanément.
FAQ
Questions fréquentes sur ce calcul.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez les coordonnées (Xp, Yp) si X_st10=1000, Y_st10=2000, Dh=150.00 m et Hz=225.0000 gon.
Outil Interactif : Simulateur de Levé
Utilisez les curseurs pour modifier l'angle horizontal et la distance inclinée et observez en temps réel l'impact sur les coordonnées du point P.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (Planimétrie)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si l'angle zénithal V est exactement de 100 gon, que peut-on dire de la visée ?
2. Quelle formule est correcte pour le calcul de la dénivelée ΔH ?
3. Pour calculer les coordonnées X et Y, quelle donnée est indispensable ?
4. Un gisement est un angle mesuré par rapport à...
5. Si on oublie de soustraire la hauteur du prisme (hp) dans le calcul de Zp, le résultat sera...
- Tachéomètre (ou Station Totale)
- Instrument de géomètre qui mesure les angles horizontaux (Hz), les angles verticaux/zénithaux (V) et les distances inclinées (Di).
- Gisement
- Angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la direction de référence, généralement le Nord géographique ou Lambert.
- Angle Zénithal (V)
- Angle mesuré sur le plan vertical à partir du zénith (la verticale au-dessus de l'appareil). V=0 gon à la verticale haute, V=100 gon à l'horizontale, V=200 gon à la verticale basse.
- Nivellement Trigonométrique
- Méthode de détermination des différences d'altitude (dénivelées) en utilisant des mesures d'angles verticaux et de distances.
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