Études de cas pratique

EGC

Levé Topographique sur un Terrain

Levé Topographique sur un Terrain

Levé Topographique sur un Terrain

Comprendre le Levé Topographique

Un levé topographique est l'ensemble des opérations qui permettent de recueillir sur le terrain les données nécessaires à l'établissement d'un plan ou d'une carte représentant la configuration et les détails de ce terrain. Il vise à déterminer la position planimétrique (X, Y) et altimétrique (Z) de points caractéristiques. Diverses méthodes sont employées, dont le rayonnement, le cheminement, la triangulation, et l'intersection. Le choix de la méthode dépend de la précision requise, de la nature du terrain, et des équipements disponibles. Cet exercice se concentre sur le calcul des coordonnées de points levés par rayonnement et le calcul de l'aire de la parcelle ainsi définie.

Données de l'étude

Un topographe effectue le levé des sommets d'une parcelle de terrain à partir d'une station S dont les coordonnées sont connues. L'instrument est orienté sur une référence R.

Coordonnées du point de station S (en mètres) :

  • \(X_{\text{S}} = 200.000 \, \text{m}\)
  • \(Y_{\text{S}} = 300.000 \, \text{m}\)

Gisement de la référence SR (orientement de la station) :

  • \(G_{\text{SR}} = 30.0000^\circ\)

Mesures par rayonnement depuis la station S vers les sommets de la parcelle (P1, P2, P3, P4) :

Point Visé Angle Horizontal Lu (\(L_H\))
(depuis SR, sens horaire)		 Distance Horizontale (\(D_H\))
(en mètres)
P1 \(45.0000^\circ\) \(50.250 \, \text{m}\)
P2 \(95.0000^\circ\) \(65.800 \, \text{m}\)
P3 \(185.0000^\circ\) \(70.150 \, \text{m}\)
P4 \(275.0000^\circ\) \(45.600 \, \text{m}\)
Schéma : Levé d'une Parcelle par Rayonnement
S N (G=0°) R (G_SR=30°) P1 P2 P3 P4 Levé de Parcelle par Rayonnement

Schéma illustrant le levé des points P1, P2, P3, P4 par rayonnement depuis la station S.

Questions à traiter

  1. Qu'est-ce qu'un levé topographique et quelles sont les informations clés qu'il vise à obtenir ?
  2. Calculer les gisements des visées SP1, SP2, SP3 et SP4.
  3. Calculer les coordonnées (\(X, Y\)) du point P1.
  4. Calculer les coordonnées (\(X, Y\)) du point P2.
  5. Calculer les coordonnées (\(X, Y\)) du point P3.
  6. Calculer les coordonnées (\(X, Y\)) du point P4.
  7. Calculer l'aire de la parcelle P1-P2-P3-P4 en utilisant la méthode des coordonnées.

Correction : Levé Topographique sur un Terrain

Question 1 : Définition du levé topographique

Définition :

Un levé topographique est l'ensemble des opérations sur le terrain et des calculs qui permettent de recueillir les données nécessaires à l'établissement d'un plan ou d'une carte représentant les formes et les détails visibles d'une portion de la surface terrestre. Il vise principalement à déterminer la position tridimensionnelle (planimétrie X, Y et altimétrie Z) de points caractéristiques du terrain et des objets qui s'y trouvent.

Informations clés obtenues :
  • Coordonnées planimétriques (X, Y) : Position des points dans un système de référence horizontal.
  • Coordonnées altimétriques (Z) : Altitude des points par rapport à un niveau de référence (souvent le niveau moyen de la mer).
  • Détails du terrain : Formes du relief (courbes de niveau), limites de propriétés, bâtiments, routes, végétation, hydrographie, etc.
  • Relations spatiales : Distances, angles, surfaces, volumes entre les différents éléments levés.

La méthode de rayonnement est une technique de levé où, depuis un point de station connu et orienté, on mesure des angles horizontaux et des distances horizontales vers les points à lever. Ces mesures polaires sont ensuite converties en coordonnées cartésiennes.

Résultat Question 1 : Un levé topographique collecte des données pour représenter le terrain. Il vise à obtenir les coordonnées (X, Y, Z) des points et les détails du site. Le rayonnement est une méthode de levé depuis une station unique.

Question 2 : Calcul des gisements des visées SP1, SP2, SP3 et SP4

Principe :

Le gisement d'une visée depuis la station S vers un point P (\(G_{\text{SP}}\)) est obtenu en ajoutant l'angle horizontal lu (\(L_H\)) vers P (mesuré dans le sens horaire par rapport à la référence) au gisement de la référence (\(G_{\text{SR}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{\text{SP}} = (G_{\text{SR}} + L_H) \pmod{360^\circ}\]
Données spécifiques :
  • \(G_{\text{SR}} = 30.0000^\circ\)
  • \(L_{H,P1} = 45.0000^\circ\)
  • \(L_{H,P2} = 95.0000^\circ\)
  • \(L_{H,P3} = 185.0000^\circ\)
  • \(L_{H,P4} = 275.0000^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} G_{\text{SP1}} &= (30.0000^\circ + 45.0000^\circ) \pmod{360^\circ} = 75.0000^\circ \\ G_{\text{SP2}} &= (30.0000^\circ + 95.0000^\circ) \pmod{360^\circ} = 125.0000^\circ \\ G_{\text{SP3}} &= (30.0000^\circ + 185.0000^\circ) \pmod{360^\circ} = 215.0000^\circ \\ G_{\text{SP4}} &= (30.0000^\circ + 275.0000^\circ) \pmod{360^\circ} = 305.0000^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les gisements sont :
  • \(G_{\text{SP1}} = 75.0000^\circ\)
  • \(G_{\text{SP2}} = 125.0000^\circ\)
  • \(G_{\text{SP3}} = 215.0000^\circ\)
  • \(G_{\text{SP4}} = 305.0000^\circ\)

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'angle horizontal lu pour un point P5 était de \(340.0000^\circ\), quel serait le gisement \(G_{\text{SP5}}\) ?

Question 3 : Coordonnées du point P1 (\(X_{\text{P1}}, Y_{\text{P1}}\))

Principe :

Les coordonnées d'un point rayonné P sont calculées à partir des coordonnées de la station S, de la distance horizontale \(D_H\) de S à P, et du gisement \(G_{\text{SP}}\) de la visée SP.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ X_{\text{P}} = X_{\text{S}} + D_H \cdot \sin(G_{\text{SP}}) \]
\[ Y_{\text{P}} = Y_{\text{S}} + D_H \cdot \cos(G_{\text{SP}}) \]
Données spécifiques pour P1 :
  • \(X_{\text{S}} = 200.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 300.000 \, \text{m}\)
  • \(D_{H,P1} = 50.250 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{SP1}} = 75.0000^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_{\text{P1}} &= 200.000 + 50.250 \cdot \sin(75.0000^\circ) \\ &= 200.000 + 50.250 \cdot 0.9659258 \\ &\approx 200.000 + 48.533 \\ &\approx 248.533 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P1}} &= 300.000 + 50.250 \cdot \cos(75.0000^\circ) \\ &= 300.000 + 50.250 \cdot 0.2588190 \\ &\approx 300.000 + 13.005 \\ &\approx 313.005 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Les coordonnées du point P1 sont environ \(X_{\text{P1}} \approx 248.533 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P1}} \approx 313.005 \, \text{m}\).

Question 4 : Coordonnées du point P2 (\(X_{\text{P2}}, Y_{\text{P2}}\))

Principe et Formules :

Identiques à la Q3.

Données spécifiques pour P2 :
  • \(X_{\text{S}} = 200.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 300.000 \, \text{m}\)
  • \(D_{H,P2} = 65.800 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{SP2}} = 125.0000^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_{\text{P2}} &= 200.000 + 65.800 \cdot \sin(125.0000^\circ) \\ &= 200.000 + 65.800 \cdot 0.8191520 \\ &\approx 200.000 + 53.899 \\ &\approx 253.899 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P2}} &= 300.000 + 65.800 \cdot \cos(125.0000^\circ) \\ &= 300.000 + 65.800 \cdot (-0.5735764) \\ &\approx 300.000 - 37.741 \\ &\approx 262.259 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Les coordonnées du point P2 sont environ \(X_{\text{P2}} \approx 253.899 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P2}} \approx 262.259 \, \text{m}\).

Question 5 : Coordonnées du point P3 (\(X_{\text{P3}}, Y_{\text{P3}}\))

Principe et Formules :

Identiques à la Q3.

Données spécifiques pour P3 :
  • \(X_{\text{S}} = 200.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 300.000 \, \text{m}\)
  • \(D_{H,P3} = 70.150 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{SP3}} = 215.0000^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_{\text{P3}} &= 200.000 + 70.150 \cdot \sin(215.0000^\circ) \\ &= 200.000 + 70.150 \cdot (-0.5735764) \\ &\approx 200.000 - 40.238 \\ &\approx 159.762 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P3}} &= 300.000 + 70.150 \cdot \cos(215.0000^\circ) \\ &= 300.000 + 70.150 \cdot (-0.8191520) \\ &\approx 300.000 - 57.464 \\ &\approx 242.536 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Les coordonnées du point P3 sont environ \(X_{\text{P3}} \approx 159.762 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P3}} \approx 242.536 \, \text{m}\).

Question 6 : Coordonnées du point P4 (\(X_{\text{P4}}, Y_{\text{P4}}\))

Principe et Formules :

Identiques à la Q3.

Données spécifiques pour P4 :
  • \(X_{\text{S}} = 200.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 300.000 \, \text{m}\)
  • \(D_{H,P4} = 45.600 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{SP4}} = 305.0000^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_{\text{P4}} &= 200.000 + 45.600 \cdot \sin(305.0000^\circ) \\ &= 200.000 + 45.600 \cdot (-0.8191520) \\ &\approx 200.000 - 37.354 \\ &\approx 162.646 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{P4}} &= 300.000 + 45.600 \cdot \cos(305.0000^\circ) \\ &= 300.000 + 45.600 \cdot 0.5735764 \\ &\approx 300.000 + 26.158 \\ &\approx 326.158 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Les coordonnées du point P4 sont environ \(X_{\text{P4}} \approx 162.646 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P4}} \approx 326.158 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si le gisement \(G_{\text{SP4}}\) était de \(270^\circ\) (Ouest) et \(D_{H,P4} = 50 \, \text{m}\), les coordonnées de P4 seraient :

Question 7 : Aire de la parcelle P1-P2-P3-P4

Principe :

L'aire d'un polygone dont les sommets sont connus par leurs coordonnées cartésiennes peut être calculée par la méthode des lacets (ou formule de Gauss pour l'aire, ou méthode des trapèzes).

Formule(s) utilisée(s) :

Pour un polygone à \(n\) sommets \((X_1, Y_1), (X_2, Y_2), \dots, (X_n, Y_n)\), l'aire est donnée par :

\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i) \right| \]

où \((X_{n+1}, Y_{n+1}) = (X_1, Y_1)\).

Données spécifiques (coordonnées arrondies) :
  • P1: \(X_1=248.533, Y_1=313.005\)
  • P2: \(X_2=253.899, Y_2=262.259\)
  • P3: \(X_3=159.762, Y_3=242.536\)
  • P4: \(X_4=162.646, Y_4=326.158\)
Calcul :

On applique la formule : \(2 \times \text{Aire} = (X_1Y_2 - X_2Y_1) + (X_2Y_3 - X_3Y_2) + (X_3Y_4 - X_4Y_3) + (X_4Y_1 - X_1Y_4)\)

\[ \begin{aligned} X_1Y_2 &= 248.533 \times 262.259 \approx 65174.959 \\ X_2Y_1 &= 253.899 \times 313.005 \approx 79481.580 \\ X_2Y_3 &= 253.899 \times 242.536 \approx 61579.997 \\ X_3Y_2 &= 159.762 \times 262.259 \approx 41895.009 \\ X_3Y_4 &= 159.762 \times 326.158 \approx 52108.534 \\ X_4Y_3 &= 162.646 \times 242.536 \approx 39449.973 \\ X_4Y_1 &= 162.646 \times 313.005 \approx 50909.786 \\ X_1Y_4 &= 248.533 \times 326.158 \approx 81009.813 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 2 \times \text{Aire} &= (65174.959 - 79481.580) + (61579.997 - 41895.009) \\ &\quad + (52108.534 - 39449.973) + (50909.786 - 81009.813) \\ &= (-14306.621) + (19684.988) + (12658.561) + (-30090.027) \\ &= -12053.099 \end{aligned} \]
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} |-12053.099| \approx 6026.55 \, \text{m}^2 \]
Résultat Question 7 : L'aire de la parcelle P1-P2-P3-P4 est d'environ \(6026.55 \, \text{m}^2\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. Pour calculer les coordonnées d'un point par rayonnement, quelles mesures sont essentielles depuis la station ?

9. Le gisement d'une visée SP est calculé par \(G_{\text{SP}} = (G_{\text{SR}} + L_H) \pmod{360^\circ}\). Si \(G_{\text{SR}} = 10^\circ\) et \(L_H = 355^\circ\), alors \(G_{\text{SP}}\) est :

10. La formule de calcul des coordonnées \(X_{\text{P}} = X_{\text{S}} + D_H \cdot \sin(G_{\text{SP}})\) suppose que le gisement \(G_{\text{SP}}\) est :

Glossaire

Levé Topographique
Ensemble des opérations permettant de recueillir des données sur le terrain pour établir des plans et cartes.
Rayonnement (Levé par)
Méthode de levé topographique consistant à déterminer la position de points par mesure d'un angle horizontal et d'une distance horizontale à partir d'une station connue et orientée.
Point de Station (S)
Point sur lequel l'instrument topographique (théodolite, station totale) est installé pour effectuer des mesures.
Référence (R)
Direction connue ou point de visée utilisé pour orienter l'instrument à la station et définir l'origine des angles horizontaux mesurés.
Angle Horizontal Lu (\(L_H\))
Angle mesuré dans le plan horizontal par l'instrument, généralement dans le sens horaire, à partir de la direction de référence vers le point visé.
Distance Horizontale (\(D_H\))
Distance entre la station et le point visé, réduite à l'horizontale.
Gisement (ou Azimuth)
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir d'une direction de référence (généralement le Nord géographique ou magnétique) jusqu'à une ligne ou une direction donnée.
Coordonnées Cartésiennes
Système de positionnement de points dans un plan (par exemple, X et Y, souvent Est et Nord respectivement en topographie) par rapport à des axes orthogonaux.
Méthode des Coordonnées (pour l'Aire)
Formule mathématique permettant de calculer l'aire d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets.
Levé Topographique sur un Terrain - Exercice d'Application

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