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Distance géodésique entre deux points

Topographie : Calcul de la Distance Géodésique entre deux Points

Calcul de la Distance Géodésique entre deux Points

Contexte : La Terre n'est pas plate

Pour calculer la distance entre deux points sur une carte, le théorème de Pythagore est souvent suffisant. Cependant, sur de longues distances, la courbure de la Terre devient non négligeable. Utiliser une formule de géométrie plane mènerait à des erreurs significatives. La géodésieScience de la mesure et de la représentation de la surface de la Terre. Une ligne géodésique est le plus court chemin entre deux points sur une surface courbe. nous fournit les outils pour ces calculs. La formule de HaversineÉquation de trigonométrie sphérique permettant de calculer la distance du grand cercle entre deux points d'une sphère à partir de leurs longitudes et latitudes. est une méthode populaire et précise pour déterminer la distance du "grand cercle" (le plus court chemin) entre deux points sur une sphère. Cet exercice a pour but de l'appliquer pour calculer la distance entre Paris et New York.

Remarque Pédagogique : Ce concept est le fondement de toute la navigation moderne, qu'elle soit aérienne, maritime ou même terrestre via GPS. Comprendre pourquoi et comment on passe d'une géométrie plane à une géométrie sphérique est une étape clé pour appréhender les systèmes de coordonnées globaux.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la différence entre distance euclidienne et distance géodésique.
  • Convertir des coordonnées géographiques de degrés en radians.
  • Appliquer la formule de Haversine pour calculer une distance sur une sphère.
  • Manipuler les fonctions trigonométriques (sin, cos, asin) dans un contexte réel.
  • Interpréter le résultat et le convertir en différentes unités (milles nautiques).

Données de l'étude

Un avion doit effectuer un vol direct entre Paris et New York. On souhaite calculer la distance géodésique de ce trajet en considérant la Terre comme une sphère parfaite.

Trajet Paris - New York
Paris (A) NYC (B)

Données :

PointVilleLatitude (φ)Longitude (λ)
AParis48.8566° N2.3522° E
BNew York40.7128° N74.0060° O
  • Rayon moyen de la Terre : \(R = 6371 \, \text{km}\)
  • Conversion : 1 mille nautique = 1852 m

Questions à traiter

  1. Convertir les latitudes (\(\phi_A, \phi_B\)) et les longitudes (\(\lambda_A, \lambda_B\)) de degrés en radians.
  2. Calculer les différences de latitude (\(\Delta\phi\)) et de longitude (\(\Delta\lambda\)).
  3. Calculer le terme intermédiaire \(a\) de la formule de Haversine.
  4. Calculer la distance angulaire \(c\) et en déduire la distance géodésique \(d\) en kilomètres.
  5. Convertir cette distance en milles nautiques.

Correction : Calcul de la Distance Géodésique

Question 1 : Conversion des coordonnées en radians

Principe :
Angle (rad)

Les fonctions trigonométriques dans la plupart des langages de calcul (et dans les formules mathématiques pures) travaillent avec des angles en radians, et non en degrés. La première étape est donc de convertir nos coordonnées géographiques dans la bonne unité.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette conversion est une source d'erreur très fréquente. Oublier cette étape donne des résultats complètement faux sans générer d'erreur de calcul évidente. Il faut toujours vérifier l'unité attendue par les fonctions trigonométriques.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{angle}_{\text{rad}} = \text{angle}_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180} \]
Donnée(s) :
  • \(\phi_A = 48.8566^\circ\), \(\lambda_A = 2.3522^\circ\)
  • \(\phi_B = 40.7128^\circ\), \(\lambda_B = -74.0060^\circ\) (N.B: Ouest = négatif)
Calcul(s) :
\[ \phi_{A, \text{rad}} = 48.8566 \times \frac{\pi}{180} \approx 0.8527 \, \text{rad} \]
\[ \lambda_{A, \text{rad}} = 2.3522 \times \frac{\pi}{180} \approx 0.0411 \, \text{rad} \]
\[ \phi_{B, \text{rad}} = 40.7128 \times \frac{\pi}{180} \approx 0.7106 \, \text{rad} \]
\[ \lambda_{B, \text{rad}} = -74.0060 \times \frac{\pi}{180} \approx -1.2916 \, \text{rad} \]
Points de vigilance :

Signes des coordonnées : Par convention, les latitudes Sud et les longitudes Ouest sont négatives. Ne pas respecter cette convention est une erreur majeure.

Le saviez-vous ?

Le radian est une unité d'angle "naturelle" en mathématiques. Un radian est l'angle sous-tendu par un arc de cercle de même longueur que le rayon. Il y a \(2\pi\) radians dans un cercle complet.

FAQ en rapport avec la question :
Dois-je utiliser beaucoup de décimales ?

Oui. En géodésie, de petites erreurs d'angle peuvent entraîner de grandes erreurs de distance. Il est recommandé de conserver au moins 4 à 6 décimales pour les angles en radians lors des calculs intermédiaires pour garantir la précision finale.

Résultat : \(\phi_A \approx 0.8527\), \(\lambda_A \approx 0.0411\), \(\phi_B \approx 0.7106\), \(\lambda_B \approx -1.2916\) (en radians).

Question 2 : Calcul des différences de coordonnées (\(\Delta\phi, \Delta\lambda\))

Principe :
A B Δφ Δλ

La formule de Haversine utilise directement la différence (delta, \(\Delta\)) de latitude et de longitude entre les deux points. Il s'agit d'une simple soustraction des valeurs en radians calculées à l'étape précédente.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Ces deltas représentent les côtés d'un "triangle sphérique" virtuel formé par les deux points et l'un des pôles. C'est sur ce triangle que la trigonométrie sphérique va opérer.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta\phi = \phi_{B, \text{rad}} - \phi_{A, \text{rad}} \]
\[ \Delta\lambda = \lambda_{B, \text{rad}} - \lambda_{A, \text{rad}} \]
Donnée(s) :
  • \(\phi_{A, \text{rad}} \approx 0.8527\), \(\lambda_{A, \text{rad}} \approx 0.0411\)
  • \(\phi_{B, \text{rad}} \approx 0.7106\), \(\lambda_{B, \text{rad}} \approx -1.2916\)
Calcul(s) :
\[ \Delta\phi = 0.7106 - 0.8527 = -0.1421 \, \text{rad} \]
\[ \Delta\lambda = -1.2916 - 0.0411 = -1.3327 \, \text{rad} \]
Points de vigilance :

Ordre de soustraction : Bien que pour le calcul final, le signe des deltas importe peu (car ils sont utilisés dans des carrés ou des cosinus), il est de bonne pratique d'être cohérent (par exemple, toujours B - A).

Le saviez-vous ?

Un degré de latitude correspond à une distance quasi constante d'environ 111 km. En revanche, un degré de longitude correspond à 111 km à l'équateur, mais cette distance se réduit à zéro aux pôles !

FAQ en rapport avec la question :
Le signe négatif a-t-il une importance ?

Pour le calcul de Haversine, le signe n'importe pas car on utilise \(\sin^2(\Delta\phi/2)\). Un sinus au carré est toujours positif. Physiquement, un delta négatif indique simplement la direction (Sud ou Ouest) du déplacement.

Résultat : \(\Delta\phi = -0.1421\) rad, \(\Delta\lambda = -1.3327\) rad.

Question 3 : Calcul du terme intermédiaire \(a\)

Principe :
Entrées Δφ, Δλ φₐ, φₑ Formule de Haversine (a) Sortie: a

Le terme \(a\) est le cœur du calcul. Il combine les différences de latitude et de longitude d'une manière qui représente le carré de la moitié de la corde reliant les deux points à travers la sphère. Le calculer en premier simplifie l'équation finale.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La formule peut sembler intimidante, mais elle n'est qu'une application de la trigonométrie. Le terme \(\cos(\phi_A)\cos(\phi_B)\) est un facteur de correction qui ajuste l'effet de la différence de longitude en fonction de la latitude. Cet effet est maximal à l'équateur (\(\cos(0)=1\)) et nul aux pôles (\(\cos(90°)=0\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ a = \sin^2\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right) + \cos(\phi_A) \cos(\phi_B) \sin^2\left(\frac{\Delta\lambda}{2}\right) \]
Donnée(s) :
  • \(\Delta\phi = -0.1421\), \(\Delta\lambda = -1.3327\)
  • \(\phi_A = 0.8527\), \(\phi_B = 0.7106\)
Calcul(s) :

Calculs intermédiaires :

\[ \sin^2\left(\frac{-0.1421}{2}\right) = \sin^2(-0.07105) \approx 0.0050 \]
\[ \sin^2\left(\frac{-1.3327}{2}\right) = \sin^2(-0.66635) \approx 0.3820 \]
\[ \cos(0.8527) \approx 0.6580 \]
\[ \cos(0.7106) \approx 0.7580 \]

Calcul final de a :

\[ \begin{aligned} a &\approx 0.0050 + (0.6580 \times 0.7580 \times 0.3820) \\ &\approx 0.0050 + 0.1905 \\ &\approx 0.1955 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Calculatrice en mode RADIAN : C'est l'erreur la plus critique. Si votre calculatrice est en mode Degrés (DEG) à cette étape, tous les cosinus et sinus seront incorrects. Assurez-vous qu'elle est bien en mode Radians (RAD).

Le saviez-vous ?

La formule de Haversine (contraction de "half-versine") a été publiée en 1805 mais ses principes étaient connus bien avant. Elle est numériquement plus stable que les formules basées sur le cosinus pour les petites distances, car elle évite la soustraction de deux nombres très proches.

FAQ en rapport avec la question :
Qu'est-ce que la fonction \(\sin^2(x)\) ?

C'est simplement une notation pour \((\sin(x))^2\). Il faut d'abord calculer le sinus de l'angle, puis élever le résultat au carré.

Résultat : Le terme intermédiaire est \(a \approx 0.1955\).

Question 4 : Calcul de la distance angulaire (c) et géodésique (d)

Principe :
c · R d = c × R

À partir du terme \(a\), on peut trouver la distance angulaire \(c\) entre les deux points. C'est l'angle formé par les deux points et le centre de la Terre. Une fois cet angle (en radians) connu, il suffit de le multiplier par le rayon de la Terre pour "dérouler" cet arc et obtenir la distance à la surface.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est ici que la magie opère. On transforme un problème de distance sur une surface courbe en un simple problème d'angle au centre, beaucoup plus facile à résoudre. La distance \(d\) est par définition la longueur de l'arc de cercle sous-tendu par l'angle \(c\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ c = 2 \times \text{atan2}(\sqrt{a}, \sqrt{1-a}) \]
\[ d = R \times c \]
Donnée(s) :
  • \(a \approx 0.1955\)
  • Rayon de la Terre \(R = 6371 \, \text{km}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} c &= 2 \times \text{atan2}(\sqrt{0.1955}, \sqrt{1-0.1955}) \\ &= 2 \times \text{atan2}(0.4421, 0.8969) \\ &\approx 2 \times 0.4579 \\ &\approx 0.9158 \, \text{rad} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} d &= 6371 \times 0.9158 \\ &\approx 5834.4 \, \text{km} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

atan2 vs atan : La fonction `atan2(y, x)` est plus robuste que `atan(y/x)` car elle gère correctement tous les quadrants. Si on utilise `asin`, la formule est \(c = 2 \times \text{asin}(\sqrt{a})\). Les deux donnent le même résultat ici.

Le saviez-vous ?

Les routes aériennes (orthodromies) suivent ces arcs de grand cercle. C'est pourquoi un vol Paris-New York sur une carte plate semble curvé vers le Nord, passant près du Groenland. C'est en réalité le chemin le plus court.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi ne pas utiliser la loi des cosinus pour les triangles sphériques ?

On pourrait ! La formule de Haversine est en fait une reformulation mathématique de la loi des cosinus sphérique, mais elle est mieux conditionnée pour les calculs informatiques, surtout pour les petites distances où la loi des cosinus classique peut souffrir d'erreurs d'arrondi.

Résultat : La distance géodésique est d'environ 5834 km.

Question 5 : Conversion en milles nautiques

Principe :

La conversion d'unités est une étape finale courante en sciences appliquées pour présenter le résultat dans une unité pertinente pour le domaine d'application (ici, l'aviation et la marine).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Savoir convertir les unités est aussi important que le calcul lui-même. Un résultat correct dans la mauvaise unité est une réponse fausse dans un contexte pratique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{distance}_{\text{NM}} = \frac{\text{distance}_{\text{m}}}{1852} \]
Donnée(s) :
  • Distance \(d \approx 5834.4 \, \text{km} = 5,834,400 \, \text{m}\)
  • 1 mille nautique = 1852 m
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} d_{\text{NM}} &= \frac{5834400}{1852} \\ &\approx 3150.3 \, \text{NM} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Conversion km -> m : Ne pas oublier de multiplier la distance en kilomètres par 1000 pour l'obtenir en mètres avant de diviser par 1852.

Le saviez-vous ?

Le mille nautique n'a pas été choisi au hasard. Il correspond (approximativement) à la longueur d'un arc d'une minute d'angle (1/60e de degré) le long d'un méridien terrestre. C'est pourquoi il est si pratique pour la navigation.

FAQ en rapport avec la question :
Quelle est la différence avec un mille terrestre ?

Le mille terrestre (ou "statute mile"), utilisé principalement aux États-Unis et au Royaume-Uni, est plus court. Il mesure 1609.344 mètres. Il ne faut jamais les confondre en navigation !

Conclusion : La distance du vol est d'environ 3150 milles nautiques.

Simulation de Distance Géodésique

Cliquez sur deux points de la carte pour calculer la distance géodésique entre eux. Les coordonnées et la distance sont mises à jour en temps réel.

Coordonnées et Résultat
Point A (Lat, Lon)
Point B (Lat, Lon)
Distance (km)
Distance (NM)

Pour Aller Plus Loin : La Vraie Forme de la Terre

La Terre, une sphère aplatie : Pour des calculs de très haute précision (utilisés par les GPS ou pour la balistique), on ne peut plus considérer la Terre comme une sphère parfaite. C'est en réalité un "ellipsoïde de révolution", légèrement aplati aux pôles. Des formules plus complexes, comme celles de Vincenty, sont alors utilisées. Elles prennent en compte cet aplatissement pour un calcul de distance précis à quelques millimètres près sur des milliers de kilomètres.

Le Saviez-Vous ?

Au 18ème siècle, l'Académie des sciences française a financé deux expéditions géodésiques, l'une au Pérou (près de l'équateur) et l'autre en Laponie (près du pôle), pour mesurer la longueur d'un degré de latitude à différents endroits. Leurs résultats ont prouvé que la Terre était bien aplatie aux pôles, validant les théories de Newton et Huygens.

Foire Aux Questions (FAQ)

La distance est-elle la même de Paris à New York que de New York à Paris ?

Mathématiquement, la distance géodésique est symétrique. Cependant, en aviation, la durée du vol n'est pas la même dans les deux sens à cause des "courants-jets" (jet streams), de puissants vents d'altitude qui soufflent majoritairement d'ouest en est, ralentissant les vols vers l'ouest et accélérant ceux vers l'est.

Cette formule prend-elle en compte l'altitude ?

Non, la formule de Haversine calcule la distance à la surface d'une sphère de rayon R. Pour inclure l'altitude, il faudrait ajouter l'altitude des points au rayon de la Terre (par exemple, utiliser R + altitude). Pour l'aviation commerciale à 10 km d'altitude, cela augmente la distance d'environ 0.16%.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pourquoi ne peut-on pas utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la distance Paris-New York ?

2. Deux points sont sur le même méridien (même longitude). Pour calculer leur distance, il suffit de connaître :

Glossaire

Géodésie
La science qui étudie les dimensions et la forme de la Terre, ainsi que son champ de gravité. Elle fournit les modèles mathématiques pour se repérer et mesurer des distances à sa surface.
Distance Géodésique
Le plus court chemin entre deux points sur une surface courbe, comme celle de la Terre. Sur une sphère, cela correspond à un arc de "grand cercle".
Formule de Haversine
Une formule de trigonométrie sphérique particulièrement adaptée aux calculs informatiques pour trouver la distance du grand cercle entre deux points dont on connaît les coordonnées en latitude et longitude.
Radian (rad)
L'unité d'angle standard du Système International. Un cercle complet mesure \(2\pi\) radians. Les fonctions trigonométriques en calcul scientifique utilisent les radians.
Latitude (φ)
L'angle, mesuré en degrés ou radians, entre un point et le plan de l'équateur. Varie de -90° (Pôle Sud) à +90° (Pôle Nord).
Longitude (λ)
L'angle, mesuré en degrés ou radians, entre un point et le méridien de référence (Greenwich). Varie de -180° (Ouest) à +180° (Est).
Calcul de la Distance Géodésique

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1 Commentaire
  1. Guilhem
    Guilhem sur 3 décembre 2024 à 8h43

    Vraiment je vous remercie de partager ces cours, c’est pas facile de trouver des explications ou des mises en application aussi claires, surtout quand on est plus dans le cursus scolaire depuis longtemps!
    Encore un grand merci!

    Réponse
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