Études de cas pratique

EGC

Calculs de pentes et de niveaux

Calculs de Pentes et de Niveaux en Terrassement

Comprendre les Pentes et Niveaux en Terrassement

En terrassement, la gestion précise des pentes et des niveaux (altitudes) est fondamentale pour assurer la stabilité des ouvrages, le bon écoulement des eaux, et la conformité avec les plans du projet. Une pente exprime l'inclinaison d'un terrain par rapport à l'horizontale. Elle peut être exprimée en pourcentage (%) ou en degrés (°). Les niveaux, ou altitudes, définissent la hauteur d'un point par rapport à une référence donnée (souvent le niveau de la mer ou un point de référence local).

Données de l'étude

Un projet de terrassement nécessite de définir des pentes et des niveaux entre plusieurs points. Les coordonnées (X, Y, Z) des points A et B sont connues. L'axe X représente l'Est, l'axe Y le Nord, et l'axe Z l'altitude.

Coordonnées des points (en mètres) :

  • Point A : \(X_A = 10.00 \, \text{m}\), \(Y_A = 20.00 \, \text{m}\), \(Z_A = 100.50 \, \text{m}\)
  • Point B : \(X_B = 50.00 \, \text{m}\), \(Y_B = 80.00 \, \text{m}\), \(Z_B = 103.50 \, \text{m}\)
Schéma : Points et Pente
A (ZA = 100.50m) B (ZB = 103.50m) ΔZ Dh Pente (p, α) α Calcul de Pente

Représentation schématique de la dénivelée, de la distance horizontale et de la pente entre deux points A et B.

Questions à traiter

  1. Calculer la dénivelée (\(\Delta Z\)) entre le point A et le point B.
  2. Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) entre le point A et le point B.
  3. Calculer la pente (\(p\)) entre le point A et le point B en pourcentage (%).
  4. Calculer l'angle de la pente (\(\alpha\)) entre le point A et le point B en degrés (°).
  5. Un point C doit être implanté à une distance horizontale de \(30 \, \text{m}\) du point A, dans la direction de B (sur la même ligne en plan). Si l'on souhaite réaliser une pente constante de \(+2.5\%\) depuis A vers C, quelle sera l'altitude \(Z_C\) du point C ?

Correction : Calculs de Pentes et de Niveaux

Question 1 : Dénivelée (\(\Delta Z\)) entre A et B

Principe :

La dénivelée, c'est tout simplement la différence de hauteur (ou d'altitude) qu'il y a entre deux points. Si un point est plus haut que l'autre, la dénivelée sera positive en allant du plus bas vers le plus haut, et négative dans le sens contraire. Pour la calculer, on soustrait l'altitude du point de départ de l'altitude du point d'arrivée. C'est comme mesurer la différence de hauteur entre deux marches d'un escalier.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z = Z_B - Z_A\]
Données spécifiques :
  • Altitude du point A (\(Z_A\)) : \(100.50 \, \text{m}\)
  • Altitude du point B (\(Z_B\)) : \(103.50 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Z &= 103.50 \, \text{m} - 100.50 \, \text{m} \\ &= 3.00 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le point B est donc \(3.00 \, \text{m}\) plus haut que le point A.

Résultat Question 1 : La dénivelée entre A et B est \(\Delta Z = 3.00 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si \(Z_A = 50 \, \text{m}\) et \(Z_B = 48 \, \text{m}\), la dénivelée \(\Delta Z\) de A vers B est :

Question 2 : Distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) entre A et B

Principe :

La distance horizontale, c'est la distance entre deux points comme si on les regardait sur une carte plane, sans tenir compte des différences de hauteur. Imaginez que vous dessinez les points A et B sur une feuille de papier en utilisant leurs coordonnées X (Est-Ouest) et Y (Nord-Sud). La distance horizontale est la longueur de la ligne droite que vous traceriez entre ces deux points sur votre feuille. On la calcule en utilisant le théorème de Pythagore, qui s'applique aux triangles rectangles. On forme un triangle rectangle avec la différence des coordonnées X (\(\Delta X\)) comme un côté, la différence des coordonnées Y (\(\Delta Y\)) comme l'autre côté, et la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) comme l'hypoténuse (le plus long côté).

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{\text{h}} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2}\]

Ou, en posant \(\Delta X = X_B - X_A\) et \(\Delta Y = Y_B - Y_A\) :

\[D_{\text{h}} = \sqrt{(\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2}\]
Données spécifiques :
  • Coordonnées de A : \(X_A = 10.00 \, \text{m}\), \(Y_A = 20.00 \, \text{m}\)
  • Coordonnées de B : \(X_B = 50.00 \, \text{m}\), \(Y_B = 80.00 \, \text{m}\)
Calcul :

D'abord, calculons les différences de coordonnées :

\[ \Delta X = X_B - X_A = 50.00 \, \text{m} - 10.00 \, \text{m} = 40.00 \, \text{m} \]
\[ \Delta Y = Y_B - Y_A = 80.00 \, \text{m} - 20.00 \, \text{m} = 60.00 \, \text{m} \]

Ensuite, appliquons la formule de la distance horizontale :

\[ \begin{aligned} D_{\text{h}} &= \sqrt{(40.00 \, \text{m})^2 + (60.00 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{1600 \, \text{m}^2 + 3600 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{5200 \, \text{m}^2} \\ &\approx 72.11 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La distance horizontale entre A et B est \(D_{\text{h}} \approx 72.11 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La distance horizontale est toujours :

Question 3 : Pente (\(p\)) entre A et B en pourcentage (%)

Principe :

La pente en pourcentage nous dit de combien de mètres on monte (ou on descend) verticalement pour chaque 100 mètres parcourus horizontalement. Par exemple, une pente de 5% signifie que pour 100 mètres à l'horizontale, on s'élève de 5 mètres. Pour la calculer, on divise la dénivelée (la différence de hauteur, \(\Delta Z\)) par la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)), puis on multiplie le résultat par 100 pour l'exprimer en pourcentage. Une pente montante sera positive, une pente descendante sera négative.

Formule(s) utilisée(s) :
\[p (\%) = \frac{\Delta Z}{D_{\text{h}}} \times 100\]
Données spécifiques :
  • Dénivelée (\(\Delta Z\)) : \(3.00 \, \text{m}\)
  • Distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) : \(72.11 \, \text{m}\) (valeur arrondie du calcul précédent)
Calcul :
\[ \begin{aligned} p (\%) &= \frac{3.00 \, \text{m}}{72.11 \, \text{m}} \times 100 \\ &\approx 0.04160 \times 100 \\ &\approx 4.16 \% \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La pente entre A et B est \(p \approx +4.16 \%\).

Quiz Intermédiaire 3 : Une pente de 100% correspond à une élévation de :

Question 4 : Angle de la pente (\(\alpha\)) entre A et B en degrés (°)

Principe :

En plus du pourcentage, on peut exprimer une pente par l'angle qu'elle forme avec l'horizontale. Cet angle est souvent noté \(\alpha\). Pour le trouver, on utilise la trigonométrie. Le rapport entre la dénivelée (\(\Delta Z\)) et la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) est égal à la tangente de cet angle \(\alpha\). Donc, pour trouver l'angle \(\alpha\) lui-même, on utilise la fonction "arc tangente" (souvent notée \(\arctan\) ou \(\tan^{-1}\) sur les calculatrices) du rapport \(\frac{\Delta Z}{D_{\text{h}}}\). La calculatrice donne généralement le résultat en radians, qu'il faut ensuite convertir en degrés si besoin (en multipliant par \(\frac{180}{\pi}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tan(\alpha) = \frac{\Delta Z}{D_{\text{h}}}\]
\[\alpha = \arctan\left(\frac{\Delta Z}{D_{\text{h}}}\right)\]

Pour convertir des radians en degrés : \(\alpha_{\text{degrés}} = \alpha_{\text{radians}} \times \frac{180}{\pi}\)

Données spécifiques :
  • Dénivelée (\(\Delta Z\)) : \(3.00 \, \text{m}\)
  • Distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) : \(72.11 \, \text{m}\)
  • Rapport \(\frac{\Delta Z}{D_{\text{h}}} \approx 0.04160\) (calculé pour la pente en %)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \alpha &= \arctan(0.04160) \\ &\approx 0.04158 \, \text{radians} \end{aligned} \]

Conversion en degrés :

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{degrés}} &= 0.04158 \times \frac{180}{\pi} \\ &\approx 0.04158 \times 57.2958 \\ &\approx 2.38 \, \text{degrés} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'angle de la pente entre A et B est \(\alpha \approx 2.38^\circ\).

Quiz Q4 : Une pente de 45° correspond à un pourcentage de :

Question 5 : Altitude \(Z_C\) du point C

Principe :

On nous demande de trouver l'altitude d'un nouveau point C. On connaît l'altitude du point de départ A. On sait aussi que C est à une certaine distance horizontale de A, et qu'il y a une pente spécifique (donnée en pourcentage) entre A et C. Pour trouver l'altitude de C, on doit d'abord calculer de combien on monte (ou descend) verticalement en allant de A à C. C'est la dénivelée \(\Delta Z_{AC}\). Puisqu'on connaît la pente en pourcentage et la distance horizontale, on peut trouver cette dénivelée. Une pente de \(p\%\) signifie qu'on monte (ou descend) de \(p\) mètres pour \(100\) mètres horizontaux. Donc, pour une distance horizontale \(D_{\text{h,AC}}\), la dénivelée sera \(\frac{p}{100} \times D_{\text{h,AC}}\). Une fois qu'on a cette dénivelée \(\Delta Z_{AC}\), on l'ajoute à l'altitude de départ \(Z_A\) pour obtenir l'altitude de C (\(Z_C\)). Si la pente est positive (montante), on ajoute. Si la pente était négative (descendante), on soustrairait.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{AC} = \frac{p_{AC} (\text{en %})}{100} \times D_{\text{h,AC}}\]
\[Z_C = Z_A + \Delta Z_{AC}\]
Données spécifiques :
  • Altitude du point A (\(Z_A\)) : \(100.50 \, \text{m}\)
  • Distance horizontale de A à C (\(D_{\text{h,AC}}\)) : \(30 \, \text{m}\)
  • Pente de A vers C (\(p_{AC}\)) : \(+2.5\%\) (montante)
Calcul :

Calcul de la dénivelée \(\Delta Z_{AC}\) :

\[ \begin{aligned} \Delta Z_{AC} &= \frac{2.5}{100} \times 30 \, \text{m} \\ &= 0.025 \times 30 \, \text{m} \\ &= 0.75 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul de l'altitude \(Z_C\) :

\[ \begin{aligned} Z_C &= Z_A + \Delta Z_{AC} \\ &= 100.50 \, \text{m} + 0.75 \, \text{m} \\ &= 101.25 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'altitude du point C est \(Z_C = 101.25 \, \text{m}\).

Quiz Q5 : Si la pente de A vers C était de \(-1\%\) (descendante), l'altitude \(Z_C\) serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La dénivelée entre deux points est :

2. Une pente de 0% signifie que le terrain est :

3. Pour calculer la pente en pourcentage, on divise la dénivelée par :

Glossaire

Altitude (ou Niveau, Z)
Hauteur d'un point par rapport à un plan de référence horizontal (par exemple, le niveau moyen de la mer). En topographie, on utilise souvent la coordonnée Z.
Dénivelée (\(\Delta Z\))
Différence d'altitude entre deux points. Elle peut être positive (montée) ou négative (descente).
Distance Horizontale (\(D_{\text{h}}\))
Distance entre deux points projetée sur un plan horizontal. C'est la distance que l'on mesurerait sur une carte.
Pente (\(p\))
Mesure de l'inclinaison d'une surface par rapport à l'horizontale. Elle est souvent exprimée en pourcentage (%) ou en degrés (°).
Pente en Pourcentage (\(p\%\))
Rapport de la dénivelée à la distance horizontale, multiplié par 100. \(p\% = (\Delta Z / D_{\text{h}}) \times 100\). Indique le nombre d'unités de dénivelée pour 100 unités de distance horizontale.
Pente en Degrés (\(\alpha^\circ\))
Angle formé par la ligne de pente et le plan horizontal. Calculé par \(\alpha = \arctan(\Delta Z / D_{\text{h}})\).
Coordonnées (X, Y, Z)
Système permettant de localiser un point dans l'espace. X et Y sont généralement les coordonnées planimétriques (Est/Ouest, Nord/Sud) et Z est l'altitude.
Arc tangente (\(\arctan\) ou \(\tan^{-1}\))
Fonction mathématique inverse de la tangente. Si \(\tan(\alpha) = x\), alors \(\arctan(x) = \alpha\). Utilisée pour trouver un angle à partir du rapport des côtés d'un triangle rectangle.
Calculs de Pentes et de Niveaux en Terrassement - Exercice d'Application

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