Études de cas pratique

EGC

Calcul de distance en topographie

Calcul de Distance en Topographie

Calcul de Distance en Topographie

Comprendre le Calcul de Distance en Topographie

En topographie, la mesure et le calcul précis des distances sont fondamentaux. On distingue plusieurs types de distances : la distance horizontale (projection sur un plan horizontal), la distance suivant la pente (distance réelle mesurée sur le terrain) et la dénivelée (différence d'altitude). Ces grandeurs sont interdépendantes et peuvent être calculées à l'aide de principes géométriques simples, notamment le théorème de Pythagore et la trigonométrie, à partir de coordonnées de points ou de mesures directes sur le terrain (angles verticaux, distances inclinées).

Données de l'étude

On considère deux points A et B dont les coordonnées planimétriques et les altitudes ont été relevées.

Coordonnées et mesures :

  • Point A :
    • Coordonnées : \(X_{\text{A}} = 500.00 \, \text{m}\), \(Y_{\text{A}} = 300.00 \, \text{m}\)
    • Altitude (\(Z_{\text{A}}\)) : \(150.20 \, \text{m}\)
  • Point B :
    • Coordonnées : \(X_{\text{B}} = 750.00 \, \text{m}\), \(Y_{\text{B}} = 410.00 \, \text{m}\)
    • Altitude (\(Z_{\text{B}}\)) : \(165.80 \, \text{m}\)
  • Pour un autre segment CD :
    • Distance suivant la pente (\(D_{\text{pCD}}\)) : \(120.50 \, \text{m}\)
    • Angle de pente vertical (\(\alpha_{\text{CD}}\)) : \(+3^\circ 20' 00''\) (montante de C vers D)

Hypothèses :

  • Les coordonnées sont dans un système plan orthonormé.
  • Les mesures sont exemptes d'erreurs grossières.

Schéma : Distances et Dénivelée
{/* */} {/* */} Point A Point B {/* */} {/* */} {/* */} {/* */} \(\alpha\) {/* */} {/* */} \(\Delta Z\) {/* */} \(D_{\text{h}}\) {/* */} \(D_{\text{p}}\) Distances Topographiques

Schéma illustrant la dénivelée (\(\Delta Z\)), la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) et la distance suivant la pente (\(D_{\text{p}}\)) entre deux points A et B.

Questions à traiter

  1. Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{hAB}}\)) entre les points A et B.
  2. Calculer la dénivelée (\(\Delta Z_{\text{AB}}\)) entre les points A et B.
  3. Calculer la distance suivant la pente (\(D_{\text{pAB}}\)) entre A et B.
  4. Pour le segment CD, convertir l'angle de pente vertical \(\alpha_{\text{CD}} = +3^\circ 20' 00''\) en degrés décimaux.
  5. Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{hCD}}\)) et la dénivelée (\(\Delta Z_{\text{CD}}\)) pour le segment CD.

Correction : Calcul de Distance en Topographie

Question 1 : Distance Horizontale (\(D_{\text{hAB}}\)) entre A et B

Principe :

La distance horizontale entre deux points A et B de coordonnées (\(X_{\text{A}}, Y_{\text{A}}\)) et (\(X_{\text{B}}, Y_{\text{B}}\)) est donnée par la formule issue du théorème de Pythagore.

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{\text{hAB}} = \sqrt{(X_{\text{B}} - X_{\text{A}})^2 + (Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}})^2}\]
Données spécifiques :
  • Point A : \(X_{\text{A}} = 500.00 \, \text{m}\), \(Y_{\text{A}} = 300.00 \, \text{m}\)
  • Point B : \(X_{\text{B}} = 750.00 \, \text{m}\), \(Y_{\text{B}} = 410.00 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X &= X_{\text{B}} - X_{\text{A}} = 750.00 \, \text{m} - 500.00 \, \text{m} = 250.00 \, \text{m} \\ \Delta Y &= Y_{\text{B}} - Y_{\text{A}} = 410.00 \, \text{m} - 300.00 \, \text{m} = 110.00 \, \text{m} \\ D_{\text{hAB}} &= \sqrt{(250.00 \, \text{m})^2 + (110.00 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{62500 \, \text{m}^2 + 12100 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{74600 \, \text{m}^2} \\ &\approx 273.130 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La distance horizontale entre A et B est \(D_{\text{hAB}} \approx 273.13 \, \text{m}\).

Question 2 : Dénivelée (\(\Delta Z_{\text{AB}}\)) entre A et B

Principe :

La dénivelée est la différence d'altitude entre le point B et le point A.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z_{\text{AB}} = Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}\]
Données spécifiques :
  • Altitude de A (\(Z_{\text{A}}\)) : \(150.20 \, \text{m}\)
  • Altitude de B (\(Z_{\text{B}}\)) : \(165.80 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{AB}} &= 165.80 \, \text{m} - 150.20 \, \text{m} \\ &= 15.60 \, \text{m} \end{aligned} \]

Le signe positif indique que le point B est plus haut que le point A (pente montante de A vers B).

Résultat Question 2 : La dénivelée entre A et B est \(\Delta Z_{\text{AB}} = +15.60 \, \text{m}\).

Question 3 : Distance Suivant la Pente (\(D_{\text{pAB}}\)) entre A et B

Principe :

La distance suivant la pente (\(D_{\text{pAB}}\)) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont la distance horizontale (\(D_{\text{hAB}}\)) et la dénivelée (\(\Delta Z_{\text{AB}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{\text{pAB}} = \sqrt{D_{\text{hAB}}^2 + (\Delta Z_{\text{AB}})^2}\]
Données spécifiques :
  • \(D_{\text{hAB}} \approx 273.130 \, \text{m}\)
  • \(\Delta Z_{\text{AB}} = 15.60 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} D_{\text{pAB}} &= \sqrt{(273.130 \, \text{m})^2 + (15.60 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{74600 \, \text{m}^2 + 243.36 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{74843.36 \, \text{m}^2} \\ &\approx 273.575 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La distance suivant la pente entre A et B est \(D_{\text{pAB}} \approx 273.58 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : La distance suivant la pente est toujours :

Question 4 : Conversion de l'Angle \(\alpha_{\text{CD}}\) en Degrés Décimaux

Principe :

Un angle donné en degrés (°), minutes ('), et secondes ('') doit être converti en degrés décimaux pour les calculs trigonométriques. \(1^\circ = 60'\), \(1' = 60''\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{Degrés Décimaux} = \text{Degrés} + \frac{\text{Minutes}}{60} + \frac{\text{Secondes}}{3600}\]
Données spécifiques :
  • \(\alpha_{\text{CD}} = +3^\circ 20' 00''\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{CD}} (\text{décimal}) &= 3 + \frac{20}{60} + \frac{0}{3600} \\ &= 3 + 0.33333... \\ &\approx 3.3333^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'angle de pente \(\alpha_{\text{CD}}\) est d'environ \(+3.3333^\circ\).

Question 5 : Distance Horizontale (\(D_{\text{hCD}}\)) et Dénivelée (\(\Delta Z_{\text{CD}}\)) pour le Segment CD

Principe :

À partir de la distance suivant la pente (\(D_{\text{pCD}}\)) et de l'angle de pente vertical (\(\alpha_{\text{CD}}\)), on peut calculer la distance horizontale et la dénivelée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{\text{hCD}} = D_{\text{pCD}} \times \cos(\alpha_{\text{CD}})\]
\[\Delta Z_{\text{CD}} = D_{\text{pCD}} \times \sin(\alpha_{\text{CD}})\]

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode degrés pour les fonctions trigonométriques.

Données spécifiques :
  • \(D_{\text{pCD}} = 120.50 \, \text{m}\)
  • \(\alpha_{\text{CD}} \approx 3.3333^\circ\)
Calcul de \(D_{\text{hCD}}\) :
\[ \begin{aligned} D_{\text{hCD}} &= 120.50 \, \text{m} \times \cos(3.3333^\circ) \\ &\approx 120.50 \, \text{m} \times 0.99830 \\ &\approx 120.295 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul de \(\Delta Z_{\text{CD}}\) :
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{CD}} &= 120.50 \, \text{m} \times \sin(3.3333^\circ) \\ &\approx 120.50 \, \text{m} \times 0.05814 \\ &\approx 7.005 \, \text{m} \end{aligned} \]

L'angle étant positif, la dénivelée est positive (montante de C vers D).

Résultat Question 5 : Pour le segment CD :
  • Distance horizontale \(D_{\text{hCD}} \approx 120.30 \, \text{m}\)
  • Dénivelée \(\Delta Z_{\text{CD}} \approx +7.01 \, \text{m}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Si l'angle de pente est de 0°, alors :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La distance horizontale est toujours calculée comme :

2. La dénivelée entre deux points est :

3. Si la distance horizontale est de 100 m et la dénivelée est de 10 m, la distance suivant la pente est :

Glossaire

Distance Horizontale (\(D_{\text{h}}\))
Projection de la distance entre deux points sur un plan horizontal. C'est la distance utilisée pour les calculs de pente et sur les cartes topographiques.
Distance Suivant la Pente (\(D_{\text{p}}\))
Distance réelle mesurée le long de la surface du terrain entre deux points. Elle est aussi appelée distance naturelle ou distance inclinée.
Dénivelée (\(\Delta Z\))
Différence d'altitude (ou de hauteur) entre deux points. Elle indique le changement vertical de position.
Altitude (Z)
Hauteur d'un point par rapport à un niveau de référence (datum), qui est souvent le niveau moyen de la mer.
Pente
Mesure de l'inclinaison d'une surface. Elle peut être exprimée en pourcentage (\((\Delta Z / D_{\text{h}}) \times 100\)), en degrés (\(\arctan(\Delta Z / D_{\text{h}})\)), ou en rapport (ex: 1 pour X).
Angle de Pente Vertical (\(\alpha\))
Angle formé par la ligne de pente et le plan horizontal. Un angle positif indique une montée, un angle négatif une descente.
Coordonnées Planimétriques (X, Y)
Coordonnées qui définissent la position d'un point sur un plan horizontal (par exemple, Est et Nord).
Calcul de Distance en Topographie - Exercice d'Application

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