Études de cas pratique

EGC

Calcul des coordonnées d’un point en Topographie

Calcul des Coordonnées d’un Point en Topographie

Calcul des Coordonnées d’un Point en Topographie

Comprendre le Calcul des Coordonnées

Le calcul des coordonnées planimétriques (X, Y) d'un point est une tâche fondamentale en topographie. Il permet de localiser précisément des objets ou des limites sur le terrain par rapport à un système de référence. Une des méthodes les plus directes est le calcul à partir d'un point connu (station), d'une direction de référence orientée (gisement de référence), d'un angle horizontal mesuré vers le nouveau point, et de la distance horizontale entre la station et ce nouveau point. Ce processus est à la base de la méthode de rayonnement, largement utilisée pour les levés de détails.

Données de l'étude

Un topographe est stationné au point S et a orienté son instrument en visant un point de référence connu R0. Il doit déterminer les coordonnées d'un nouveau point P.

Coordonnées du point de station S (en mètres) :

  • \(X_{\text{S}} = 500.000 \, \text{m}\)
  • \(Y_{\text{S}} = 1000.000 \, \text{m}\)

Coordonnées du point de référence R0 (en mètres) :

  • \(X_{\text{R0}} = 580.000 \, \text{m}\)
  • \(Y_{\text{R0}} = 1060.000 \, \text{m}\)

Mesures effectuées depuis la station S vers le point P :

  • Angle horizontal lu (\(L_H\)) depuis la direction SR0 vers SP (sens horaire) : \(75.5020^\circ\)
  • Distance horizontale (\(D_{H,SP}\)) de S à P : \(125.320 \, \text{m}\)
Schéma : Calcul de Coordonnées par Rayonnement
S (X_S, Y_S) R0 G_SR0 P (X_P, Y_P) D_H,SP L_H N Calcul de Coordonnées d'un Point

Schéma illustrant le calcul des coordonnées du point P depuis la station S, orientée sur R0.

Questions à traiter

  1. Expliquer le principe du calcul de coordonnées planimétriques d'un point à partir d'un point connu, d'un gisement et d'une distance.
  2. Calculer le gisement de la direction de référence SR0 (\(G_{\text{SR0}}\)).
  3. Calculer le gisement de la visée SP (\(G_{\text{SP}}\)).
  4. Calculer les déports en X (\(\Delta X_{\text{SP}}\)) et en Y (\(\Delta Y_{\text{SP}}\)) entre S et P.
  5. Calculer les coordonnées du point P (\(X_{\text{P}}, Y_{\text{P}}\)).
  6. Un deuxième point Q a pour coordonnées \(X_{\text{Q}} = 650.123 \, \text{m}\) et \(Y_{\text{Q}} = 1085.456 \, \text{m}\). Calculer la distance entre les points P et Q.

Correction : Calcul des Coordonnées d’un Point

Question 1 : Principe du calcul de coordonnées par gisement et distance

Principe :

Le calcul de coordonnées planimétriques (X, Y) d'un nouveau point P à partir d'un point connu S (la station) est une application directe de la trigonométrie en coordonnées polaires. Il nécessite :

  1. Les coordonnées du point de station S (\(X_{\text{S}}, Y_{\text{S}}\)).
  2. Le gisement de la visée de la station S vers le point P (\(G_{\text{SP}}\)). Le gisement est l'angle mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord jusqu'à la ligne SP.
  3. La distance horizontale (\(D_{H,SP}\)) entre la station S et le point P.

À partir de ces éléments, on calcule les déports (ou accroissements de coordonnées) \(\Delta X_{\text{SP}}\) et \(\Delta Y_{\text{SP}}\). Ces déports représentent les composantes du vecteur SP selon les axes X (Est) et Y (Nord) du système de coordonnées.

Les formules pour les déports sont :

\[ \Delta X_{\text{SP}} = D_{H,SP} \cdot \sin(G_{\text{SP}}) \]
\[ \Delta Y_{\text{SP}} = D_{H,SP} \cdot \cos(G_{\text{SP}}) \]

Ensuite, les coordonnées du point P sont obtenues en ajoutant ces déports aux coordonnées de la station S :

\[ X_{\text{P}} = X_{\text{S}} + \Delta X_{\text{SP}} \]
\[ Y_{\text{P}} = Y_{\text{S}} + \Delta Y_{\text{SP}} \]

Il est crucial que le gisement \(G_{\text{SP}}\) soit correctement déterminé et que les fonctions trigonométriques utilisent l'angle dans l'unité appropriée (généralement radians pour les calculatrices et langages de programmation, bien que les gisements soient souvent exprimés en degrés, grades ou millièmes en topographie).

Résultat Question 1 : Le calcul des coordonnées d'un point P depuis une station S connue se base sur le gisement de la visée SP et la distance horizontale SP pour déterminer les déports \(\Delta X\) et \(\Delta Y\), qui sont ensuite ajoutés aux coordonnées de S.

Question 2 : Gisement de la direction de référence SR0 (\(G_{\text{SR0}}\))

Principe :

Le gisement d'une ligne entre deux points connus (S et R0) est calculé à partir de leurs coordonnées cartésiennes en utilisant la fonction arc tangente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta X_{\text{SR0}} = X_{\text{R0}} - X_{\text{S}} \]
\[ \Delta Y_{\text{SR0}} = Y_{\text{R0}} - Y_{\text{S}} \]
\[ G_{\text{SR0}} = \text{atan2}(\Delta X_{\text{SR0}}, \Delta Y_{\text{SR0}}) \]

La fonction \(\text{atan2}(\Delta X, \Delta Y)\) donne un résultat en radians, qu'il faut convertir en degrés et ajuster pour être entre \(0^\circ\) et \(360^\circ\).

Données spécifiques :
  • \(X_{\text{S}} = 500.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 1000.000 \, \text{m}\)
  • \(X_{\text{R0}} = 580.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{R0}} = 1060.000 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{SR0}} &= 580.000 - 500.000 = 80.000 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{SR0}} &= 1060.000 - 1000.000 = 60.000 \, \text{m} \\ G_{\text{SR0,rad}} &= \text{atan2}(80.000, 60.000) \\ &\approx \text{atan2}(1.333333) \approx 0.927295 \, \text{radians} \end{aligned} \]

Conversion en degrés :

\[ \begin{aligned} G_{\text{SR0,deg}} &= 0.927295 \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &\approx 53.1301^\circ \end{aligned} \]

Comme \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y > 0\), le gisement est dans le premier quadrant.

Résultat Question 2 : Le gisement de la direction de référence SR0 est \(G_{\text{SR0}} \approx 53.1301^\circ\).

Question 3 : Gisement de la visée SP (\(G_{\text{SP}}\))

Principe :

Le gisement de la visée SP est obtenu en ajoutant l'angle horizontal lu (\(L_H\)) vers P (mesuré dans le sens horaire par rapport à la référence SR0) au gisement de la référence (\(G_{\text{SR0}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{\text{SP}} = (G_{\text{SR0}} + L_H) \pmod{360^\circ}\]
Données spécifiques :
  • \(G_{\text{SR0}} \approx 53.1301^\circ\)
  • \(L_H = 75.5020^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} G_{\text{SP}} &= (53.1301^\circ + 75.5020^\circ) \pmod{360^\circ} \\ &= 128.6321^\circ \pmod{360^\circ} \\ &= 128.6321^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le gisement de la visée SP est \(G_{\text{SP}} \approx 128.6321^\circ\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'angle horizontal \(L_H\) était mesuré dans le sens antihoraire, comment calculerait-on \(G_{\text{SP}}\) ?

Question 4 : Calcul des déports \(\Delta X_{\text{SP}}\) et \(\Delta Y_{\text{SP}}\)

Principe :

Les déports sont les projections de la distance horizontale sur les axes X et Y, calculées à l'aide du gisement de la visée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta X_{\text{SP}} = D_{H,SP} \cdot \sin(G_{\text{SP}}) \]
\[ \Delta Y_{\text{SP}} = D_{H,SP} \cdot \cos(G_{\text{SP}}) \]
Données spécifiques :
  • \(D_{H,SP} = 125.320 \, \text{m}\)
  • \(G_{\text{SP}} \approx 128.6321^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{SP}} &= 125.320 \cdot \sin(128.6321^\circ) \\ &= 125.320 \cdot 0.781156 \\ &\approx +97.898 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Delta Y_{\text{SP}} &= 125.320 \cdot \cos(128.6321^\circ) \\ &= 125.320 \cdot (-0.624295) \\ &\approx -78.238 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Les déports sont \(\Delta X_{\text{SP}} \approx +97.898 \, \text{m}\) et \(\Delta Y_{\text{SP}} \approx -78.238 \, \text{m}\).

Question 5 : Coordonnées du point P (\(X_{\text{P}}, Y_{\text{P}}\))

Principe :

Les coordonnées du point P sont obtenues en ajoutant les déports calculés aux coordonnées de la station S.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ X_{\text{P}} = X_{\text{S}} + \Delta X_{\text{SP}} \]
\[ Y_{\text{P}} = Y_{\text{S}} + \Delta Y_{\text{SP}} \]
Données spécifiques :
  • \(X_{\text{S}} = 500.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{S}} = 1000.000 \, \text{m}\)
  • \(\Delta X_{\text{SP}} \approx +97.898 \, \text{m}\)
  • \(\Delta Y_{\text{SP}} \approx -78.238 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_{\text{P}} &\approx 500.000 + 97.898 = 597.898 \, \text{m} \\ Y_{\text{P}} &\approx 1000.000 + (-78.238) = 921.762 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Les coordonnées du point P sont environ \(X_{\text{P}} \approx 597.898 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P}} \approx 921.762 \, \text{m}\).

Question 6 : Distance entre les points P et Q

Principe :

La distance entre deux points P(\(X_{\text{P}}, Y_{\text{P}}\)) et Q(\(X_{\text{Q}}, Y_{\text{Q}}\)) est calculée en utilisant la formule de la distance euclidienne.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ d_{\text{PQ}} = \sqrt{(X_{\text{Q}} - X_{\text{P}})^2 + (Y_{\text{Q}} - Y_{\text{P}})^2} \]
Données spécifiques :
  • \(X_{\text{P}} \approx 597.898 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P}} \approx 921.762 \, \text{m}\)
  • \(X_{\text{Q}} = 650.123 \, \text{m}\), \(Y_{\text{Q}} = 1085.456 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{PQ}} &= X_{\text{Q}} - X_{\text{P}} \approx 650.123 - 597.898 = 52.225 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{PQ}} &= Y_{\text{Q}} - Y_{\text{P}} \approx 1085.456 - 921.762 = 163.694 \, \text{m} \\ d_{\text{PQ}} &= \sqrt{(52.225)^2 + (163.694)^2} \\ &= \sqrt{2727.440625 + 26795.752636} \\ &= \sqrt{29523.193261} \\ &\approx 171.823 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La distance entre les points P et Q est d'environ \(171.823 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si les coordonnées de P étaient identiques à celles de Q, la distance PQ serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. Le calcul des coordonnées \(X_P = X_S + D_H \cdot \sin(G_{SP})\) est correct si le gisement \(G_{SP}\) est :

8. Si le gisement d'une ligne AB est de \(270^\circ\), cela signifie que B est situé :

9. En topographie, la fonction \(\text{atan2}(\Delta X, \Delta Y)\) est souvent utilisée pour calculer un gisement car :

Glossaire

Coordonnées Planimétriques (X, Y)
Couple de valeurs numériques qui définissent la position d'un point sur un plan horizontal par rapport à un système de référence (axes X et Y, souvent Est et Nord).
Gisement (ou Azimuth)
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir d'une direction de référence (généralement le Nord géographique ou de la projection cartographique) jusqu'à une ligne ou une direction donnée. Varie de \(0^\circ\) à \(360^\circ\).
Distance Horizontale (\(D_H\))
Distance entre deux points, réduite au plan horizontal. C'est la distance qui serait mesurée si le terrain était parfaitement plat entre les deux points.
Rayonnement (Levé par)
Méthode de levé topographique consistant à déterminer la position de points par mesure d'un angle horizontal et d'une distance horizontale à partir d'une station connue et orientée.
Point de Station (S)
Point sur lequel l'instrument topographique (théodolite, station totale) est installé pour effectuer des mesures.
Référence (Orientation)
Direction connue (par exemple vers un autre point connu ou le Nord) utilisée pour orienter l'instrument à la station et servir d'origine aux mesures angulaires.
Déports (\(\Delta X, \Delta Y\))
Différences de coordonnées entre deux points selon les axes X et Y. \(\Delta X = X_{\text{final}} - X_{\text{initial}}\), \(\Delta Y = Y_{\text{final}} - Y_{\text{initial}}\).
atan2(y, x)
Fonction mathématique qui calcule l'arc tangente de \(y/x\) en utilisant les signes des deux arguments pour déterminer le quadrant correct de l'angle résultant (généralement entre \(-\pi\) et \(\pi\) radians).
Calcul des Coordonnées d’un Point - Exercice d'Application

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