Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux

Comprendre l’Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux

Dans le cadre d’une étude de la performance énergétique d’un bâtiment, il est essentiel de comprendre comment la température varie à travers les différentes couches d’une paroi. Cela permet de déterminer les besoins en chauffage ou en climatisation pour maintenir un confort thermique à l’intérieur du bâtiment. Dans cet exercice, nous allons calculer la distribution de température à travers une paroi composée de trois matériaux différents.

Pour comprendre l’Isolation thermique d’un mur en béton, cliquez sur le lien.

Données :

Paroi externe : Brique avec une conductivité thermique de \(0.6 \, \text{W/mK}\), épaisseur de \(0.2 \, \text{m}\).
Isolation : Laine de roche avec une conductivité thermique de \(0.04 \, \text{W/mK}\), épaisseur de \(0.1 \, \text{m}\).
Paroi interne : Plâtre avec une conductivité thermique de \(0.7 \, \text{W/mK}\), épaisseur de \(0.01 \, \text{m}\).

La paroi est exposée à une température extérieure de \(5°C\) et à une température intérieure de \(20°C\).

Analyse Thermique d'une Paroi Multi-matériaux

Question :

Calculer la température à l’interface entre chaque matériau et estimer la résistance thermique totale de la paroi.

Correction : Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux

Données de l’exercice

Paroi externe (Brique)

Épaisseur : \(e_1 = 0.2\,\text{m}\)
Conductivité thermique : \(\lambda_1 = 0.6\,\text{W/m·K}\)

Isolation (Laine de roche)

Épaisseur : \(e_2 = 0.1\,\text{m}\)
Conductivité thermique : \(\lambda_2 = 0.04\,\text{W/m·K}\)

Paroi interne (Plâtre)

Épaisseur : \(e_3 = 0.01\,\text{m}\)
Conductivité thermique : \(\lambda_3 = 0.7\,\text{W/m·K}\)

– Température extérieure : \(T_\text{ext} = 5\,^\circ\text{C}\)
– Température intérieure : \(T_\text{int} = 20\,^\circ\text{C}\)

1. Calcul des résistances thermiques

Pour un matériau, la résistance thermique \(R\) se calcule à l’aide de la formule :

\[ R = \frac{e}{\lambda} \]

a) Pour la brique :

\[ R_1 = \frac{0.2\,\text{m}}{0.6\,\text{W/m·K}} = 0.3333\,\text{m}^2\text{K/W} \]

b) Pour la laine de roche :

\[ R_2 = \frac{0.1\,\text{m}}{0.04\,\text{W/m·K}} = 2.5\,\text{m}^2\text{K/W} \]

c) Pour le plâtre :

\[ R_3 = \frac{0.01\,\text{m}}{0.7\,\text{W/m·K}} \approx 0.0143\,\text{m}^2\text{K/W} \]

d) Résistance thermique totale de la paroi :

\[ R_{\text{total}} = R_1 + R_2 + R_3 \] \[ R_{\text{total}} = 0.3333 + 2.5 + 0.0143 \] \[ R_{\text{total}} \approx 2.8476\,\text{m}^2\text{K/W} \]

2. Calcul du flux thermique traversant la paroi

Le flux thermique \( \phi \) (en W/m²) est donné par :

\[ \phi = \frac{\Delta T}{R_{\text{total}}} \]

avec

\[ \Delta T = T_{\text{int}} – T_{\text{ext}} \] \[ \Delta T = 20\,^\circ\text{C} – 5\,^\circ\text{C} \] \[ \Delta T = 15\,^\circ\text{C} \]

Donc :

\[ \phi = \frac{15\,\text{K}}{2.8476\,\text{m}^2\text{K/W}} \approx 5.2677\,\text{W/m}^2 \]

3. Calcul de la distribution de température aux interfaces

L’idée est que le même flux \(\phi\) traverse chaque couche. La chute de température dans chaque matériau est :

\[ \Delta T_i = \phi \times R_i \]

a) À l’interface brique / laine de roche :

Chute de température dans la brique :

\[ \Delta T_1 = 5.2677\,\text{W/m}^2 \times 0.3333\,\text{m}^2\text{K/W} \] \[ \Delta T_1 \approx 1.7559\,^\circ\text{C} \]

Température à l’interface :

\[ T_1 = T_{\text{ext}} + \Delta T_1 \] \[ T_1 = 5\,^\circ\text{C} + 1.7559\,^\circ\text{C} \] \[ T_1 \approx 6.76\,^\circ\text{C} \]

b) À l’interface laine de roche / plâtre :

Chute de température dans la laine de roche :

\[ \Delta T_2 = 5.2677\,\text{W/m}^2 \times 2.5\,\text{m}^2\text{K/W} \] \[ \Delta T_2 = 13.1693\,^\circ\text{C} \]

Température à l’interface :

\[ T_2 = T_1 + \Delta T_2 \] \[ T_2 \approx 6.76\,^\circ\text{C} + 13.1693\,^\circ\text{C} \] \[ T_2 \approx 19.93\,^\circ\text{C} \]

c) Dans le plâtre (pour vérifier la cohérence) :

Chute de température dans le plâtre :

\[ \Delta T_3 = 5.2677\,\text{W/m}^2 \times 0.0143\,\text{m}^2\text{K/W} \] \[ \Delta T_3 \approx 0.0753\,^\circ\text{C} \]

Température finale (intérieure) :

\[ T_{\text{int}} = T_2 + \Delta T_3 \] \[ T_{\text{int}} \approx 19.93\,^\circ\text{C} + 0.0753\,^\circ\text{C} \] \[ T_{\text{int}} \approx 20\,^\circ\text{C} \]

Cette analyse permet de visualiser la répartition de la chute de température à travers chaque couche de la paroi et de confirmer que, malgré la forte résistance de la laine de roche, la faible épaisseur (et donc la faible résistance) du plâtre induit une très faible différence de température à l’intérieur du bâtiment.

Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux

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