Études de cas pratique

EGC

Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux

Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux

Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux

Comprendre la Thermique des Parois Multi-matériaux

Les parois des bâtiments (murs, toitures, planchers) sont souvent constituées de plusieurs couches de matériaux différents, chacun ayant ses propres caractéristiques thermiques. Pour évaluer la performance thermique globale d'une telle paroi, il est essentiel de calculer sa résistance thermique totale. Cette résistance totale est la somme des résistances thermiques de chaque couche individuelle, ainsi que des résistances thermiques superficielles qui représentent les échanges de chaleur par convection et rayonnement aux surfaces intérieure et extérieure de la paroi.

Une fois la résistance thermique totale (\(R_{\text{tot}}\)) connue, on peut déterminer le coefficient de transmission thermique surfacique (\(U = 1/R_{\text{tot}}\)), qui indique la facilité avec laquelle la chaleur traverse la paroi. Un U faible signifie une bonne isolation. Enfin, connaissant U et la différence de température entre l'intérieur et l'extérieur, on peut calculer le flux de chaleur à travers la paroi.

Cet exercice se concentre sur le calcul de ces grandeurs pour un mur extérieur composite.

Données de l'étude

On étudie un mur extérieur d'un bâtiment résidentiel.

Composition du mur (de l'intérieur vers l'extérieur) et caractéristiques thermiques :

  • Résistance thermique superficielle intérieure (\(R_{\text{si}}\)) : \(0.13 \, \text{m}^2\text{K/W}\)
  • Couche 1 : Enduit intérieur en plâtre
    • Épaisseur (\(e_1\)) : \(15 \, \text{mm}\)
    • Conductivité thermique (\(\lambda_1\)) : \(0.40 \, \text{W/(m·K)}\)
  • Couche 2 : Bloc de béton cellulaire
    • Épaisseur (\(e_2\)) : \(200 \, \text{mm}\)
    • Conductivité thermique (\(\lambda_2\)) : \(0.11 \, \text{W/(m·K)}\)
  • Couche 3 : Isolant thermique extérieur (PSE)
    • Épaisseur (\(e_3\)) : \(120 \, \text{mm}\)
    • Conductivité thermique (\(\lambda_3\)) : \(0.035 \, \text{W/(m·K)}\)
  • Couche 4 : Enduit extérieur hydraulique
    • Épaisseur (\(e_4\)) : \(10 \, \text{mm}\)
    • Conductivité thermique (\(\lambda_4\)) : \(0.90 \, \text{W/(m·K)}\)
  • Résistance thermique superficielle extérieure (\(R_{\text{se}}\)) : \(0.04 \, \text{m}^2\text{K/W}\)

Conditions de température :

  • Température intérieure (\(T_i\)) : \(21^\circ\text{C}\)
  • Température extérieure (\(T_e\)) : \(-7^\circ\text{C}\)
Schéma de la Composition du Mur Multicouche
Mur Multicouche (Coupe) Int (Tᵢ) Ext (Tₑ) {/* */} {/* Plâtre */} Plâtre (e₁) {/* Béton cell */} Béton Cell. (e₂) {/* PSE */} Isolant (e₃) {/* Enduit ext */} Enduit (e₄) {/* */} e₁ e₂ e₃ e₄ {/* */} Flux Φ

Composition d'un mur multicouche et direction du flux thermique.

Questions à traiter

  1. Convertir toutes les épaisseurs données en mètres (m).
  2. Calculer la résistance thermique de chaque couche du mur (\(R_1, R_2, R_3, R_4\)).
  3. Calculer la résistance thermique totale (\(R_{\text{tot}}\)) du mur, en incluant les résistances superficielles.
  4. Calculer le coefficient de transmission thermique surfacique (\(U\)) du mur.
  5. Calculer la puissance du flux thermique (\(\Phi\)) traversant \(1 \, \text{m}^2\) de ce mur pour les conditions de température données.
  6. Calculer la température à l'interface entre la couche d'isolant (PSE) et la brique (\(T_{\text{interface isolant/brique}}\)).

Correction : Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux

Question 1 : Conversion des épaisseurs en mètres

Explication :

Pour effectuer les calculs de résistance thermique, il est impératif que toutes les unités soient cohérentes. Les conductivités thermiques (\(\lambda\)) sont données en W/(m·K), donc les épaisseurs doivent être converties de millimètres (mm) en mètres (m). Pour cela, on divise la valeur en millimètres par 1000.

Calculs :
  • \(e_1 = 15 \, \text{mm} = 15 / 1000 = 0.015 \, \text{m}\)
  • \(e_2 = 200 \, \text{mm} = 200 / 1000 = 0.200 \, \text{m}\)
  • \(e_3 = 120 \, \text{mm} = 120 / 1000 = 0.120 \, \text{m}\)
  • \(e_4 = 10 \, \text{mm} = 10 / 1000 = 0.010 \, \text{m}\)
Résultat Question 1 :
\(e_1 = 0.015 \, \text{m}\), \(e_2 = 0.200 \, \text{m}\), \(e_3 = 0.120 \, \text{m}\), \(e_4 = 0.010 \, \text{m}\).

Question 2 : Résistances thermiques des couches (\(R_1, R_2, R_3, R_4\))

Principe :

La résistance thermique (\(R\)) d'une couche de matériau homogène est une mesure de son opposition au passage de la chaleur. Elle est calculée en divisant l'épaisseur de la couche (\(e\)) par la conductivité thermique (\(\lambda\)) du matériau qui la compose.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_{\text{couche}} = \frac{e}{\lambda} \]
Calculs :

Couche 1 (Plâtre) : \(\lambda_1 = 0.40 \, \text{W/(m·K)}\)

\[ \begin{aligned} R_1 &= \frac{0.015 \, \text{m}}{0.40 \, \text{W/(m·K)}} \\ &= 0.0375 \, \text{m}^2\text{K/W} \end{aligned} \]

Couche 2 (Béton cellulaire) : \(\lambda_2 = 0.11 \, \text{W/(m·K)}\)

\[ \begin{aligned} R_2 &= \frac{0.200 \, \text{m}}{0.11 \, \text{W/(m·K)}} \\ &\approx 1.8182 \, \text{m}^2\text{K/W} \end{aligned} \]

Couche 3 (Isolant PSE) : \(\lambda_3 = 0.035 \, \text{W/(m·K)}\)

\[ \begin{aligned} R_3 &= \frac{0.120 \, \text{m}}{0.035 \, \text{W/(m·K)}} \\ &\approx 3.4286 \, \text{m}^2\text{K/W} \end{aligned} \]

Couche 4 (Enduit extérieur) : \(\lambda_4 = 0.90 \, \text{W/(m·K)}\)

\[ \begin{aligned} R_4 &= \frac{0.010 \, \text{m}}{0.90 \, \text{W/(m·K)}} \\ &\approx 0.0111 \, \text{m}^2\text{K/W} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
\(R_1 = 0.0375 \, \text{m}^2\text{K/W}\)
\(R_2 \approx 1.8182 \, \text{m}^2\text{K/W}\)
\(R_3 \approx 3.4286 \, \text{m}^2\text{K/W}\)
\(R_4 \approx 0.0111 \, \text{m}^2\text{K/W}\)

Question 3 : Résistance thermique totale (\(R_{\text{tot}}\))

Principe :

La résistance thermique totale d'une paroi multicouche est la somme des résistances thermiques de chaque couche individuelle et des résistances thermiques superficielles (interne \(R_{\text{si}}\) et externe \(R_{\text{se}}\)). Ces dernières représentent la résistance au transfert de chaleur entre l'air ambiant et la surface de la paroi.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_{\text{tot}} = R_{\text{si}} + R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_{\text{se}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{tot}} &\approx 0.13 + 0.0375 + 1.8182 + 3.4286 + 0.0111 + 0.04 \\ &\approx 5.4654 \, \text{m}^2\text{K/W} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La résistance thermique totale du mur est \(R_{\text{tot}} \approx 5.465 \, \text{m}^2\text{K/W}\).

Question 4 : Coefficient de transmission thermique surfacique (\(U\))

Principe :

Le coefficient de transmission thermique surfacique \(U\) (ou valeur U) est l'inverse de la résistance thermique totale. Il indique la quantité de chaleur qui traverse un mètre carré de la paroi pour une différence de température d'un Kelvin (ou un degré Celsius) entre l'intérieur et l'extérieur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ U = \frac{1}{R_{\text{tot}}} \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} U &= \frac{1}{5.4654 \, \text{m}^2\text{K/W}} \\ &\approx 0.18297 \, \text{W/(m}^2\text{K)} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le coefficient de transmission thermique surfacique du mur est \(U \approx 0.183 \, \text{W/(m}^2\text{K)}\).

Question 5 : Flux thermique (\(\Phi\)) à travers \(1 \, \text{m}^2\) de mur

Principe :

Le flux thermique (\(\Phi\)) à travers une surface est la quantité de chaleur qui la traverse par unité de temps. Il est proportionnel au coefficient U, à la surface (ici \(1 \, \text{m}^2\)) et à la différence de température entre l'intérieur et l'extérieur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Phi = U \cdot S \cdot (T_i - T_e) \]

Pour \(S = 1 \, \text{m}^2\), on a \(\Phi = U \cdot (T_i - T_e)\).

Données :
  • \(U \approx 0.18297 \, \text{W/(m}^2\text{K)}\)
  • \(T_i = 21^\circ\text{C}\)
  • \(T_e = -7^\circ\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta T &= T_i - T_e \\ &= 21^\circ\text{C} - (-7^\circ\text{C}) \\ &= 28^\circ\text{C} = 28 \, \text{K} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Phi &= U \cdot \Delta T \quad (\text{pour } S=1 \text{m}^2) \\ &\approx 0.18297 \, \text{W/(m}^2\text{K)} \times 28 \, \text{K} \\ &\approx 5.123 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]

Donc, pour \(1 \, \text{m}^2\) de mur, le flux est d'environ \(5.12 \, \text{W}\).

Résultat Question 5 : Le flux thermique à travers \(1 \, \text{m}^2\) de ce mur est \(\Phi \approx 5.12 \, \text{W}\).

Question 6 : Température à l'interface isolant/brique (\(T_{\text{int,2/3}}\))

Principe :

La température à une interface entre deux couches peut être calculée en considérant que le flux thermique est constant à travers chaque couche en régime stationnaire. On peut utiliser la proportionnalité des chutes de température par rapport aux résistances thermiques depuis la température intérieure jusqu'à l'interface souhaitée.

\( T_{\text{int,2/3}} = T_i - \Phi \times (R_{\text{si}} + R_1 + R_2) \)

Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{cumulée avant interface}} &= R_{\text{si}} + R_1 + R_2 \\ &= 0.13 + 0.0375 + 1.8182 \\ &= 1.9857 \, \text{m}^2\text{K/W} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} T_{\text{int,2/3}} &= T_i - \Phi \times R_{\text{cumulée avant interface}} \\ &\approx 21 - 5.123 \, \text{W/m}^2 \times 1.9857 \, \text{m}^2\text{K/W} \\ &\approx 21 - 10.172 \\ &\approx 10.828 \, ^\circ\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La température à l'interface entre l'isolant (laine de verre) et la brique est \(T_{\text{int,2/3}} \approx 10.83 \, ^\circ\text{C}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une faible valeur du coefficient de transmission thermique U indique :

2. La résistance thermique d'une couche de matériau augmente si :

3. Le flux thermique à travers une paroi est proportionnel à :

Glossaire

Résistance Thermique (\(R\))
Capacité d'un matériau ou d'une paroi à s'opposer au passage de la chaleur. \(R = e/\lambda\) pour une couche homogène, où \(e\) est l'épaisseur et \(\lambda\) la conductivité thermique. Unité : m²K/W.
Conductivité Thermique (\(\lambda\))
Propriété intrinsèque d'un matériau à conduire la chaleur. Un matériau avec une faible conductivité thermique est un bon isolant. Unité : W/(m·K).
Coefficient de Transmission Thermique Surfacique (\(U\))
Quantité de chaleur qui traverse 1 m² d'une paroi par seconde pour une différence de température de 1 Kelvin (ou 1°C) entre les deux côtés de la paroi. C'est l'inverse de la résistance thermique totale (\(U = 1/R_{\text{tot}}\)). Unité : W/(m²K).
Résistance Thermique Superficielle (\(R_s\))
Résistance à l'échange de chaleur entre la surface d'une paroi et l'ambiance (air intérieur ou extérieur). Elle combine les effets de la convection et du rayonnement. On distingue \(R_{\text{si}}\) (intérieure) et \(R_{\text{se}}\) (extérieure).
Flux Thermique (\(\Phi\))
Quantité de chaleur transférée par unité de temps à travers une surface. Pour les déperditions par transmission à travers une paroi, \(\Phi = U \cdot A \cdot (T_i - T_e)\). Unité : Watt (W).
Paroi Multi-matériaux (ou Multicouche)
Paroi composée de plusieurs couches de matériaux différents, superposées pour obtenir des performances thermiques spécifiques.
Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux - Exercice d'Application

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