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Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux

Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux

Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux

Contexte : L'isolation thermique des bâtiments.

L'un des enjeux majeurs de la construction moderne est de limiter les déperditions énergétiques pour réduire les besoins en chauffage et en climatisation. Les murs extérieurs, ou parois, sont l'une des principales sources de ces déperditions. Comprendre comment la chaleur les traverse est donc fondamental. Cet exercice vous guidera dans le calcul de la performance thermique d'un mur composé de plusieurs couches, une situation typique dans le bâtiment. Nous calculerons sa résistance thermiqueCapacité d'un matériau ou d'une paroi à s'opposer au passage de la chaleur. Plus elle est grande, plus le matériau est isolant. et son coefficient de transmission UQuantité de chaleur qui traverse 1m² de paroi en 1 seconde pour une différence de température de 1 degré entre l'intérieur et l'extérieur. Plus U est faible, meilleure est l'isolation..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe (le transfert de chaleur à travers un mur composite) en étapes simples et logiques, en appliquant des formules de base de la thermique du bâtiment. C'est une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur du secteur.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la résistance thermique d'une couche de matériau homogène.
  • Déterminer la résistance thermique totale d'une paroi multi-couches.
  • Calculer le coefficient de transmission thermique surfacique U (U-value).
  • Évaluer le flux de chaleur traversant une paroi.
  • Déterminer les températures aux interfaces des différentes couches.

Données de l'étude

On étudie un mur extérieur d'une habitation. Ce mur est constitué, de l'intérieur vers l'extérieur, d'une plaque de plâtre, d'un isolant en polystyrène expansé (PSE) et d'un bloc de béton. Les conditions de température sont de 20 °C à l'intérieur et de -5 °C à l'extérieur.

Composition de la paroi
Schéma de la paroi (de l'intérieur vers l'extérieur)
Tᵢ = 20°C Tₑ = -5°C Plâtre Isolant PSE Béton 1.3 cm 12 cm 20 cm
Composant Épaisseur (e) Conductivité thermique (λ)
Plaque de plâtre 0.013 m 0.25 W/(m·K)
Isolant PSE 0.12 m 0.038 W/(m·K)
Bloc béton 0.20 m 1.1 W/(m·K)

On prendra en compte les résistances thermiques superficielles (d'échange) :

  • Résistance superficielle interne : \(R_{\text{si}} = 0.13 \text{ m²·K/W}\)
  • Résistance superficielle externe : \(R_{\text{se}} = 0.04 \text{ m²·K/W}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance thermique propre \(R\) de chaque couche de matériau (plâtre, isolant, béton).
  2. Calculer la résistance thermique totale \(R_{\text{tot}}\) de la paroi, en incluant les résistances superficielles.
  3. En déduire le coefficient de transmission thermique surfacique \(U\) de la paroi.
  4. Calculer le flux thermique \(\Phi\) (déperditions) pour une surface de 1 m² de ce mur.
  5. Calculer les températures aux interfaces entre les matériaux.

Les bases de la Thermique du Bâtiment

Pour résoudre cet exercice, nous utiliserons les principes fondamentaux du transfert de chaleur en régime stationnaire à travers une paroi plane.

1. Résistance Thermique (R)
La résistance thermique d'un matériau homogène est sa capacité à résister au passage de la chaleur. Elle dépend de son épaisseur \(e\) (en m) et de sa conductivité thermique \(\lambda\) (en W/(m·K)). \[ R = \frac{e}{\lambda} \quad (\text{en } \text{m²·K/W}) \]

2. Résistance Totale (R_tot)
Pour une paroi composée de plusieurs couches, les résistances s'additionnent, y compris les résistances superficielles interne (Rsi) et externe (Rse). \[ R_{\text{tot}} = R_{\text{si}} + R_1 + R_2 + ... + R_n + R_{\text{se}} \]

3. Coefficient de Transmission (U)
Le coefficient U, ou U-value, est l'inverse de la résistance totale. Il quantifie la performance globale de la paroi. \[ U = \frac{1}{R_{\text{tot}}} \quad (\text{en } \text{W/(m²·K)}) \]

4. Flux Thermique (\(\Phi\))
Le flux thermique représente la quantité de chaleur qui traverse la paroi par unité de temps. Il est proportionnel au coefficient U, à la surface S de la paroi et à la différence de température \(\Delta T\). \[ \Phi = U \times S \times (T_{\text{int}} - T_{\text{ext}}) \quad (\text{en W}) \]

Correction : Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux

Question 1 : Calcul des résistances thermiques de chaque couche

Principe

Chaque matériau oppose une résistance au passage de la chaleur qui dépend de sa nature (sa conductivité \(\lambda\)) et de son épaisseur \(e\). Nous allons calculer cette résistance pour chaque couche en utilisant la formule de base de la résistance thermique.

Mini-Cours

La conductivité thermique (\(\lambda\)) est une propriété intrinsèque d'un matériau qui décrit sa capacité à laisser passer la chaleur. Un bon isolant a un \(\lambda\) très faible (ex: 0.038 pour notre PSE), tandis qu'un bon conducteur a un \(\lambda\) élevé (ex: 200 pour l'aluminium). La résistance thermique (R) traduit l'opposition au passage de la chaleur pour une épaisseur donnée. C'est le "pouvoir isolant" de la couche.

Remarque Pédagogique

Pour aborder ce type de problème, commencez toujours par décomposer le mur en ses couches élémentaires. Calculez la résistance de chaque couche individuellement avant de les assembler. C'est une méthode qui évite les erreurs.

Normes

Les valeurs de conductivité thermique (\(\lambda\)) des matériaux de construction sont standardisées. En France, elles sont souvent issues des Avis Techniques (ATec) ou des Documents Techniques d'Application (DTA) du CSTB, ou des normes européennes (EN). Les valeurs utilisées ici sont des valeurs typiques reconnues.

Formule(s)

Formule de la résistance thermique d'une couche

\[ R = \frac{e}{\lambda} \]
Hypothèses

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses simplificatrices suivantes :

  • Le transfert de chaleur est unidimensionnel (perpendiculaire au mur).
  • Le régime est stationnaire (les températures ne varient pas dans le temps).
  • Les matériaux sont homogènes et isotropes (leurs propriétés sont les mêmes en tout point et dans toutes les directions).
Donnée(s)

Nous reprenons les données de l'énoncé pour chaque matériau.

MatériauÉpaisseur (e) [m]Conductivité (λ) [W/(m·K)]
Plâtre0.0130.25
Isolant PSE0.120.038
Béton0.201.1
Astuces

Un moyen rapide de vérifier vos calculs est de garder en tête un ordre de grandeur : pour un isolant standard, une épaisseur de 10 cm donne une résistance R d'environ 2.5 à 3.0 m²·K/W. Si vous trouvez une valeur très différente, vérifiez vos unités.

Schéma (Avant les calculs)

Le calcul s'applique à chaque couche de la paroi, représentée individuellement ci-dessous.

Représentation d'une couche unique
eλ
Calcul(s)

Calcul de la résistance du plâtre

\[ R_{\text{plâtre}} = \frac{0.013 \text{ m}}{0.25 \text{ W/(m·K)}} = 0.052 \text{ m²·K/W} \]

Calcul de la résistance de l'isolant

\[ R_{\text{isolant}} = \frac{0.12 \text{ m}}{0.038 \text{ W/(m·K)}} \approx 3.158 \text{ m²·K/W} \]

Calcul de la résistance du béton

\[ R_{\text{béton}} = \frac{0.20 \text{ m}}{1.1 \text{ W/(m·K)}} \approx 0.182 \text{ m²·K/W} \]
Schéma (Après les calculs)

Les résultats sont des valeurs numériques qui caractérisent chaque couche, il n'y a pas de schéma de résultat pour cette étape.

Réflexions

On remarque immédiatement que la résistance de l'isolant (3.158) est très largement supérieure à celle du plâtre (0.052) et du béton (0.182). C'est bien l'isolant qui assure la quasi-totalité de la performance thermique de la paroi.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est l'unité de l'épaisseur. Elle est souvent donnée en centimètres (cm) ou millimètres (mm) mais doit impérativement être convertie en mètres (m) pour le calcul.

Points à retenir

La formule \(R = e / \lambda\) est la base de tout calcul thermique sur les parois. La résistance thermique est directement proportionnelle à l'épaisseur et inversement proportionnelle à la conductivité.

Le saviez-vous ?

Les isolants sous vide (PIV) sont des matériaux de pointe dont la conductivité thermique peut descendre jusqu'à 0.004 W/(m·K), soit près de 10 fois plus performant que le PSE de cet exercice !

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi l'unité de R est-elle en m²·K/W ?

L'unité se déduit de la formule : \(R = e [\text{m}] / \lambda [\text{W/(m·K)}]\). En simplifiant, on obtient \(\text{m} \times (\text{m·K})/\text{W} = \text{m²·K/W}\). Cela représente la différence de température (K) pour une surface (m²) traversée par un flux de 1 Watt.

Résultat Final
Les résistances thermiques des couches sont : \(R_{\text{plâtre}} = 0.052\), \(R_{\text{isolant}} = 3.158\), et \(R_{\text{béton}} = 0.182 \text{ m²·K/W}\).
A vous de jouer

Quelle serait la résistance d'une couche de 20 cm de laine de verre avec \(\lambda = 0.040\) W/(m·K) ?

Question 2 : Calcul de la résistance thermique totale \(R_{\text{tot}}\)

Principe

En thermique, les résistances des couches successives se comportent comme des résistances électriques en série : elles s'additionnent. La résistance totale est donc la somme de toutes les résistances individuelles, y compris celles des fines couches d'air immobiles en surface (résistances superficielles).

Mini-Cours

Les résistances superficielles d'échange (\(R_{\text{si}}\) et \(R_{\text{se}}\)) modélisent les transferts thermiques par convection et rayonnement entre la surface du mur et l'air ambiant (intérieur et extérieur). Leur valeur est forfaitaire et dépend des conditions (vitesse de l'air, direction du flux). \(R_{\text{si}}\) est toujours plus grand que \(R_{\text{se}}\) car l'air intérieur est plus calme que l'air extérieur.

Remarque Pédagogique

Imaginez chaque couche comme un obstacle pour la chaleur. Pour traverser le mur, la chaleur doit franchir tous les obstacles les uns après les autres. Il est donc logique que la difficulté totale (la résistance totale) soit la somme de toutes les difficultés individuelles.

Normes

Les valeurs des résistances superficielles \(R_{\text{si}}\) et \(R_{\text{se}}\) sont fixées par des normes, comme la norme ISO 6946. Les valeurs de 0.13 (interne) et 0.04 (externe) pour un flux horizontal sont les valeurs standards utilisées dans la réglementation thermique française.

Formule(s)

Formule de la résistance totale

\[ R_{\text{tot}} = R_{\text{si}} + \sum R_{\text{couches}} + R_{\text{se}} \]
Hypothèses

Nous supposons qu'il n'y a pas de pont thermique et que les couches sont parfaitement jointives, sans lame d'air intermédiaire non ventilée (qui ajouterait sa propre résistance).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats de la question 1 et les valeurs de Rsi et Rse de l'énoncé.

  • \(R_{\text{si}} = 0.13 \text{ m²·K/W}\)
  • \(R_{\text{plâtre}} = 0.052 \text{ m²·K/W}\)
  • \(R_{\text{isolant}} = 3.158 \text{ m²·K/W}\)
  • \(R_{\text{béton}} = 0.182 \text{ m²·K/W}\)
  • \(R_{\text{se}} = 0.04 \text{ m²·K/W}\)
Astuces

Lors de l'addition, commencez par les petites valeurs. Cela permet de garder un meilleur contrôle sur les chiffres significatifs et de réduire les erreurs d'arrondi si vous faites le calcul à la main.

Schéma (Avant les calculs)

On peut modéliser le mur par une analogie électrique où les résistances sont en série.

Analogie électrique des résistances en série
TᵢRₛᵢR₁R₂R₃RₛₑTₑ
Calcul(s)

Calcul de la résistance totale

\[ \begin{aligned} R_{\text{tot}} &= R_{\text{si}} + R_{\text{plâtre}} + R_{\text{isolant}} + R_{\text{béton}} + R_{\text{se}} \\ &= 0.13 + 0.052 + 3.158 + 0.182 + 0.04 \\ &= 3.562 \text{ m²·K/W} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur unique qui représente la performance globale du mur schématisé ci-dessous.

Résistance Totale de la Paroi
R_tot
Réflexions

La résistance totale est de 3.562. L'isolant seul représente 3.158 / 3.562 \(\approx\) 88.7% de cette résistance totale. Cela montre à quel point l'isolant est le composant le plus important de la paroi. Les résistances superficielles, bien que faibles, comptent tout de même pour (0.13+0.04)/3.562 \(\approx\) 4.8% de la performance globale.

Points de vigilance

Ne jamais oublier les résistances superficielles ! Elles représentent l'effet isolant de la fine couche d'air "collée" à la paroi et sont indispensables pour un calcul réglementaire. Une erreur fréquente est de ne sommer que les résistances des matériaux.

Points à retenir

Le principe d'additivité des résistances thermiques pour des couches planes en série est un concept clé. Retenez que la résistance totale est TOUJOURS supérieure à la plus grande des résistances individuelles.

Le saviez-vous ?

L'analogie entre la thermique et l'électricité est très puissante. La différence de température est analogue à la différence de potentiel (tension), le flux de chaleur au courant électrique, et la résistance thermique à la résistance électrique. La loi d'Ohm (U=RI) a son équivalent thermique : \(\Delta T = R \times \Phi\).

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Les résistances s'additionnent-elles toujours ?

Oui, pour des couches planes superposées (transfert 1D). Le calcul est plus complexe pour des structures hétérogènes (comme un mur avec des montants en bois) où les transferts se font en parallèle et en série, nécessitant des calculs de U équivalent.

Résultat Final
La résistance thermique totale de la paroi est \(R_{\text{tot}} = 3.562 \text{ m²·K/W}\).
A vous de jouer

Si on remplaçait le béton par une brique de 20 cm (\(R_{\text{brique}} = 0.26\)), quelle serait la nouvelle \(R_{\text{tot}}\) ?

Question 3 : Calcul du coefficient de transmission U

Principe

Le coefficient U (ou U-value) est une mesure directe de la performance d'isolation d'une paroi. Il s'agit simplement de l'inverse de la résistance thermique totale. Plus U est faible, plus la paroi est isolante.

Mini-Cours

Le coefficient U est la valeur la plus utilisée dans les réglementations et par les professionnels pour caractériser une paroi. Il représente le flux de chaleur qui traverse 1 m² de paroi pour une différence de 1 degré. Une passoire thermique aura un U > 1 W/(m²·K), tandis qu'un bâtiment passif visera des U < 0.15 W/(m²·K).

Remarque Pédagogique

Pensez à R et U comme deux faces d'une même pièce. R mesure la capacité à "résister" à la chaleur, on veut qu'il soit grand. U mesure la capacité à "transmettre" la chaleur, on veut qu'il soit petit. L'un est simplement l'inverse de l'autre.

Normes

Les réglementations thermiques (comme la RE2020 en France) imposent des valeurs de U maximales pour les différentes parois (murs, toitures, planchers) d'un bâtiment neuf. Par exemple, pour un mur en contact avec l'extérieur, un U de 0.281 est tout à fait conforme aux exigences actuelles.

Formule(s)

Formule du coefficient U

\[ U = \frac{1}{R_{\text{tot}}} \]
Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour le calcul de R_tot, car le calcul de U en découle directement.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la question 2 :

\[ R_{\text{tot}} = 3.562 \text{ m²·K/W} \]
Astuces

Il n'y a pas d'astuce particulière ici, c'est un calcul direct. Assurez-vous simplement d'utiliser la fonction "1/x" de votre calculatrice.

Schéma (Avant les calculs)

Il n'y a pas de schéma pertinent pour cette étape de calcul simple.

Calcul(s)

Calcul du coefficient U

\[ \begin{aligned} U &= \frac{1}{R_{\text{tot}}} \\ &= \frac{1}{3.562} \\ &\Rightarrow U \approx 0.281 \text{ W/(m²·K)} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Il n'y a pas de schéma de résultat.

Réflexions

Une valeur de U de 0.281 W/(m²·K) est considérée comme une bonne performance pour un mur dans la construction neuve ou en rénovation performante. Cela signifie que la paroi est bien isolée et limitera efficacement les déperditions de chaleur.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre U et λ. λ (lambda) est une propriété du matériau seul, tandis que U est une propriété de la paroi complète (toutes les couches + surfaces).

Points à retenir

U = 1 / R_tot. C'est la valeur de référence pour la performance thermique. Un U faible est synonyme de bonne isolation.

Le saviez-vous ?

Avant l'introduction du coefficient U, on parlait souvent du coefficient K, qui était son équivalent. Le terme U-value est très utilisé dans les pays anglo-saxons, tandis qu'en France, on parle de "coefficient de transmission thermique surfacique U".

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Si j'ajoute un enduit extérieur, est-ce que U va beaucoup changer ?

Probablement très peu. Un enduit de 2 cm d'épaisseur a une résistance thermique très faible (environ 0.02 m²·K/W). Ajouté à une R_tot de 3.562, l'impact sur la valeur U finale sera négligeable. C'est l'isolant qui fait le travail !

Résultat Final
Le coefficient de transmission thermique surfacique est \(U = 0.281 \text{ W/(m²·K)}\).
A vous de jouer

Si une paroi a une résistance totale \(R_{\text{tot}} = 4.0\) m²·K/W, quel est son coefficient U ?

Question 4 : Calcul du flux thermique \(\Phi\)

Principe

Le flux thermique, ou déperdition de chaleur, est la quantité d'énergie qui s'échappe à travers le mur. Il est proportionnel à la performance du mur (son coefficient U), à sa surface (S), et à la différence de température (\(\Delta T\)) entre l'intérieur et l'extérieur. C'est la traduction concrète de la performance en perte d'énergie (et donc en euros).

Mini-Cours

La formule \(\Phi = U \times S \times \Delta T\) est une application directe de la loi de Fourier pour une paroi complète. Elle montre que les déperditions sont directement proportionnelles à trois facteurs : la qualité de l'isolation (U), la taille de la surface d'échange (S) et la rigueur du climat (\(\Delta T\)). Pour économiser de l'énergie, il faut agir sur l'un de ces trois leviers.

Remarque Pédagogique

Cette question est cruciale car elle donne un sens physique au coefficient U. Un chiffre comme U=0.281 peut sembler abstrait, mais le calculer en Watts de perte le rend immédiatement compréhensible. C'est la puissance de chauffage que vous devez fournir en continu juste pour compenser la perte à travers ce m² de mur.

Normes

Les calculs de déperditions d'un bâtiment entier, qui permettent de dimensionner le système de chauffage, sont basés sur cette formule appliquée à chaque paroi (murs, fenêtres, toiture, etc.) et en ajoutant les pertes par renouvellement d'air. La méthode est standardisée (norme EN 12831).

Formule(s)

Formule du flux thermique

\[ \Phi = U \times S \times (T_{\text{int}} - T_{\text{ext}}) \]
Hypothèses

Nous restons en régime stationnaire. Dans la réalité, la température extérieure fluctue, mais ce calcul donne la déperdition maximale pour la température de base de -5°C.

Donnée(s)
  • \(U = 0.281 \text{ W/(m²·K)}\) (de la question 3)
  • \(S = 1 \text{ m²}\) (selon l'énoncé)
  • \(T_{\text{int}} = 20 \text{ °C}\)
  • \(T_{\text{ext}} = -5 \text{ °C}\)
Astuces

Attention au signe de \(\Delta T\). En hiver, le flux est sortant (perte), donc \(T_{\text{int}} > T_{\text{ext}}\) et \(\Phi\) est positif. En été, le flux peut être entrant (gain), \(T_{\text{ext}} > T_{\text{int}}\), et \(\Phi\) serait négatif selon la convention, mais on parle alors de "gains solaires" ou "apports".

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre le flux de chaleur de l'intérieur chaud vers l'extérieur froid à travers la paroi.

Flux à travers la paroi
TᵢTₑΦ
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la différence de température

\[ \begin{aligned} \Delta T &= T_{\text{int}} - T_{\text{ext}} \\ &= 20 - (-5) \\ &= 25 \text{ °C} = 25 \text{ K} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul du flux

\[ \begin{aligned} \Phi &= U \times S \times \Delta T \\ &= 0.281 \times 1 \times 25 \\ &= 7.025 \text{ W} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur unique, il n'y a pas de schéma de résultat.

Réflexions

Cela signifie que pour chaque mètre carré de ce mur, lorsque la température extérieure est de -5°C, la maison perd environ 7 Watts en continu. Pour un mur de 20 m², la perte serait de 140 W, soit l'équivalent d'une grosse ampoule à incandescence allumée en permanence.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les unités sont cohérentes : U en W/(m²·K), S en m², et \(\Delta T\) en K ou °C. Le résultat sera alors en Watts.

Points à retenir

Les déperditions thermiques sont directement proportionnelles à la performance de l'enveloppe (U) et à la différence de température. C'est la raison pour laquelle on isole les bâtiments (diminuer U) et on baisse le chauffage la nuit (diminuer \(\Delta T\)).

Le saviez-vous ?

Pour obtenir les déperditions sur toute une saison de chauffe, on ne multiplie pas par le temps, mais on utilise le concept des "Degrés Jours Unifiés" (DJU), qui représente la "rigueur" climatique d'un lieu sur une année.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Ce calcul inclut-il les pertes par les fenêtres ?

Non, ce calcul ne concerne que la partie opaque du mur. Les pertes par les fenêtres (qui ont leur propre coefficient U, généralement plus élevé) doivent être calculées séparément et ajoutées.

Résultat Final
Le flux thermique à travers 1 m² de paroi est \(\Phi = 7.025 \text{ W}\).
A vous de jouer

Si la température extérieure descend à -10°C, quel sera le nouveau flux thermique (pour 1 m²) ?

Question 5 : Calcul des températures aux interfaces

Principe

La température chute progressivement à travers la paroi. Cette chute de température au niveau de chaque couche est proportionnelle à la résistance de cette couche. Une couche très résistante (comme l'isolant) provoquera une grande chute de température, tandis qu'une couche peu résistante (comme le plâtre) ne provoquera qu'une faible chute.

Mini-Cours

Le profil de température à travers une paroi en régime stationnaire est une succession de segments de droite. La pente de chaque segment est inversement proportionnelle à la conductivité thermique \(\lambda\) du matériau. Pour un bon isolant (\(\lambda\) faible), la pente sera très forte, indiquant une chute de température rapide.

Remarque Pédagogique

Ce calcul est très important en pratique pour vérifier le risque de condensation. Si la température à une interface descend en dessous du "point de rosée" de l'air intérieur, de la vapeur d'eau peut se condenser à l'intérieur du mur, causant des dégradations.

Normes

Les méthodes de calcul pour vérifier les risques de condensation interne dans les parois sont également standardisées (norme EN ISO 13788). Elles utilisent ce profil de température pour le comparer au profil de température de rosée.

Formule(s)

Chute de température à travers une couche

\[ \Delta T_{\text{couche}} = \phi \times R_{\text{couche}} \]

Température à une interface

\[ T_{\text{interface}} = T_{\text{précédente}} - \Delta T_{\text{couche}} \]
Hypothèses

Les hypothèses de régime stationnaire et de flux 1D sont toujours valables.

Donnée(s)
  • Flux surfacique : \(\phi = \Phi/S = 7.025 \text{ W/m²}\)
  • Résistances : \(R_{\text{si}}=0.13\), \(R_{\text{plâtre}}=0.052\), \(R_{\text{isolant}}=3.158\), \(R_{\text{béton}}=0.182\), \(R_{\text{se}}=0.04\)
Astuces

Pour vérifier votre calcul final, assurez-vous que la température calculée après la dernière couche (\(R_{\text{se}}\)) correspond bien à la température extérieure. Si ce n'est pas le cas (à quelques arrondis près), vous avez fait une erreur en amont.

Schéma (Avant les calculs)

On cherche les températures aux points Tsi, T1, T2 et Tse, qui délimitent chaque couche du mur.

Points de calcul des températures
TᵢTₑTₛᵢT₁T₂Tₛₑ
Calcul(s)

On part de \(T_{\text{int}} = 20\text{°C}\).

1. Température de surface intérieure (\(T_{\text{si}}\))

\[ \begin{aligned} T_{\text{si}} &= T_{\text{int}} - (\phi \times R_{\text{si}}) \\ &= 20 - (7.025 \times 0.13) \\ &\approx 19.09 \text{ °C} \end{aligned} \]

2. Température interface Plâtre/Isolant (\(T_{1}\))

\[ \begin{aligned} T_{1} &= T_{\text{si}} - (\phi \times R_{\text{plâtre}}) \\ &= 19.09 - (7.025 \times 0.052) \\ &\approx 18.72 \text{ °C} \end{aligned} \]

3. Température interface Isolant/Béton (\(T_{2}\))

\[ \begin{aligned} T_{2} &= T_{1} - (\phi \times R_{\text{isolant}}) \\ &= 18.72 - (7.025 \times 3.158) \\ &\approx -3.47 \text{ °C} \end{aligned} \]

4. Température de surface extérieure (\(T_{\text{se}}\))

\[ \begin{aligned} T_{\text{se}} &= T_{2} - (\phi \times R_{\text{béton}}) \\ &= -3.47 - (7.025 \times 0.182) \\ &\approx -4.75 \text{ °C} \end{aligned} \]

Vérification

\[ \begin{aligned} T_{\text{ext}} &= T_{\text{se}} - (\phi \times R_{\text{se}}) \\ &= -4.75 - (7.025 \times 0.04) \\ &\approx -5.03 \text{ °C} \end{aligned} \]

L'écart de 0.03°C est dû aux arrondis. Le résultat est cohérent.

Schéma (Après les calculs)

Le profil de température à travers la paroi peut être tracé pour visualiser la chute de température à travers chaque couche.

Profil de température à travers la paroi
Position dans la paroi Température (°C) 20 0 -20 Plâtre Isolant Béton 20°C 19.1°C 18.7°C -3.5°C -4.7°C -5°C
Réflexions

Le graphique montre clairement que la plus grande partie de la chute de température (de 18.7°C à -3.5°C) se produit à travers l'isolant. Cela confirme son rôle crucial. La température de surface intérieure (19.1°C) est très proche de la température de l'air (20°C), ce qui indique une paroi bien isolée et confortable (pas d'effet de "paroi froide").

Points de vigilance

Une erreur classique est de mal calculer le flux \(\phi\) à l'étape précédente, ce qui fausse ensuite toutes les températures d'interface. Une autre est d'oublier de soustraire la chute de température à partir de la température de l'interface précédente, et non toujours de la température intérieure.

Points à retenir

La chute de température à travers une couche est proportionnelle à sa résistance thermique. Plus une couche est isolante (R élevé), plus la température "chute" fortement à sa traversée.

Le saviez-vous ?

La caméra thermique est un outil qui permet de visualiser ce profil de température. En filmant un mur depuis l'extérieur en hiver, les zones mal isolées (ponts thermiques) apparaîtront "chaudes" (en rouge/jaune) car la chaleur s'y échappe plus facilement, augmentant leur température de surface extérieure.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi la température de surface intérieure n'est-elle pas de 20°C ?

Parce qu'il y a un échange par convection et rayonnement entre l'air et la surface, modélisé par \(R_{\text{si}}\). La chaleur doit d'abord traverser cette "barrière" d'air stagnant, ce qui crée une première petite chute de température avant même d'entrer dans le mur solide.

Résultat Final
Les températures sont : \(T_{\text{si}} \approx 19.1\text{°C}\), \(T_{\text{plâtre/isolant}} \approx 18.7\text{°C}\), \(T_{\text{isolant/béton}} \approx -3.5\text{°C}\), et \(T_{\text{se}} \approx -4.7\text{°C}\).
A vous de jouer

Avec les données initiales, si la température intérieure était de 22°C (et extérieure -5°C), quelle serait la nouvelle température de surface intérieure \(T_{\text{si}}\) ? (Indice: recalculez d'abord le nouveau flux).

Outil Interactif : Simulateur de Performance Thermique

Utilisez les curseurs pour faire varier l'épaisseur de l'isolant et la température extérieure, et observez leur impact sur la performance du mur (coefficient U) et les déperditions énergétiques (flux thermique).

Paramètres d'Entrée
12 cm
-5 °C
Résultats Clés
Coefficient U (W/m²·K) -
Flux Thermique (W/m²) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double l'épaisseur d'un isolant, sa résistance thermique...

2. Un matériau est un bon isolant si sa conductivité thermique (λ) est...

3. Pour améliorer la performance thermique d'une paroi, il faut chercher à...

4. Le flux thermique à travers un mur augmente si...

5. Dans notre mur, quelle couche a la plus faible résistance thermique ?

Glossaire

Conductivité thermique (λ)
Propriété intrinsèque d'un matériau à conduire la chaleur. Plus λ est faible, plus le matériau est isolant. Unité : W/(m·K).
Résistance thermique (R)
Capacité d'une couche de matériau à s'opposer au passage de la chaleur. Elle dépend de l'épaisseur et de la conductivité. Unité : m²·K/W.
Coefficient de transmission thermique (U)
Quantité de chaleur qui traverse 1m² de paroi par seconde pour un écart de 1 Kelvin (ou 1°C). C'est l'inverse de la résistance totale. Plus U est faible, meilleure est l'isolation. Unité : W/(m²·K).
Flux thermique (Φ)
Quantité totale de chaleur (énergie par unité de temps) qui traverse une surface. Unité : Watt (W).
Pont thermique
Zone localisée dans l'enveloppe d'un bâtiment où la résistance thermique est affaiblie. Les ponts thermiques (ex: jonction mur/plancher) sont des sources importantes de déperditions.
Analyse Thermique d’une Paroi Multi-matériaux

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