Convection dans un salon résidentiel

Comprendre la convection dans un salon

Un salon résidentiel de forme rectangulaire a des dimensions de 6 m (longueur) x 4 m (largeur) x 2,5 m (hauteur). Le salon est chauffé par un radiateur électrique situé sur l’un des murs de 4 m. Le radiateur a une puissance de 2000 W et est supposé fonctionner à un rendement de 100 % pour simplifier les calculs. Les murs extérieurs sont en brique avec une isolation standard. La température extérieure moyenne en hiver est de 0°C, et la température intérieure souhaitée est de 22°C.

Pour comprendre le Calcul du Coefficient d’Échange Thermique, cliquez sur le lien.

Le salon a une grande fenêtre de 2 m x 1,5 m sur l’un des murs de 6 m. Le coefficient de transfert thermique de la fenêtre est de 2,5 W/m²K.

• Température de surface du radiateur est de 60°C

Données Additionnelles (si nécessaire)

• Coefficient de transfert thermique moyen pour les murs isolés : \( 0.3 \, \text{W/m}^2\text{K} \).
• Pour simplifier, supposez que le coefficient de transfert de chaleur par convection (\( h \)) autour du radiateur est de \( 10 \, \text{W/m}^2\text{K} \).
• La surface du radiateur peut être estimée à \( 0.6 \, \text{m}^2 \).

Considérations

• N’oubliez pas de tenir compte de toutes les surfaces des murs, du plafond et du sol pour le calcul de la perte de chaleur.
• Vous pouvez supposer que le sol et le plafond ont une isolation similaire aux murs.
• Pour une analyse plus approfondie, considérez les effets de la stratification de l’air et de la ventilation.

Questions:

1. Calculer la perte de chaleur totale à travers les murs et la fenêtre: (Considérez les valeurs moyennes d’isolation pour les murs)

2. Déterminer le flux d’air dû à la convection naturelle créé par le radiateur

3. Évaluer si le radiateur est suffisant pour maintenir la température dans le salon: En tenant compte des pertes de chaleur et de la capacité du radiateur.

Correction : convection dans un salon

1. Calcul de la perte de chaleur totale

a. Surface et données

• Dimensions du salon :
  Longueur = 6 m, Largeur = 4 m, Hauteur = 2,5 m

• Surfaces des parois :

  • Murs :

    • Mur 1 (avec fenêtre) : Surface totale = 6 m × 2,5 m = 15 m²
      → Surface effective (après soustraction de la fenêtre) = 15 m² – 3 m² = 12 m²
    • Mur 2 (opposé au mur avec fenêtre) : 6 m × 2,5 m = 15 m²
    • Mur 3 : 4 m × 2,5 m = 10 m²
    • Mur 4 (celui avec le radiateur) : 4 m × 2,5 m = 10 m²
      → Total murs (hors fenêtre) : 12 + 15 + 10 + 10 = 47 m²

  • Plafond et sol :

    • Plafond : 6 m × 4 m = 24 m²
    • Sol : 6 m × 4 m = 24 m²
      → Total plafond + sol : 24 + 24 = 48 m²

  • Fenêtre :

    • Dimensions : 2 m × 1,5 m = 3 m²

• Données thermiques :

  • Différence de température : ΔT = Température intérieure – Température extérieure = 22°C – 0°C = 22 K
  • Coefficient de transfert thermique des murs (et sol/plafond) : U = 0,3 W/m²K
  • Coefficient de transfert thermique de la fenêtre : U = 2,5 W/m²K

b. Formules et calculs

Pertes par conduction (murs, sol et plafond) :

La perte thermique par conduction se calcule avec :

\[ Q = U \times A \times \Delta T \]

• Pour les surfaces (murs, sol, plafond) :

\[ \text{Aire totale} = \text{Aire murs} + \text{Aire plafond et sol} \] \[ \text{Aire totale} = 47\,m^2 + 48\,m^2 \] \[ \text{Aire totale} = 95\,m^2 \]

Donc,

\[ Q_{\text{surfaces}} = 0.3\,\text{W/m}^2\text{K} \times 95\,m^2 \times 22\,K \] \[ Q_{\text{surfaces}} = 0.3 \times 95 \times 22 \] \[ Q_{\text{surfaces}} \approx 627\,W \]

Pertes par la fenêtre :

• Pour la fenêtre :

Aire = \(3\,m^2\), \(U = 2.5\,\text{W/m}^2\text{K}\).

Donc,

\[ Q_{\text{fenêtre}} = 2.5\,\text{W/m}^2\text{K} \times 3\,m^2 \times 22\,K \] \[ Q_{\text{fenêtre}} = 2.5 \times 66 \approx 165\,W \]

Pertes de chaleur totales :

Additionner les pertes par les surfaces et par la fenêtre :

\[ Q_{\text{total}} = Q_{\text{surfaces}} + Q_{\text{fenêtre}} \] \[ Q_{\text{total}} = 627\,W + 165\,W \] \[ Q_{\text{total}} = 792\,W \]

2. Détermination du flux d’air dû à la convection naturelle

a. Données autour du radiateur

• Radiateur :
  Puissance nominale = 2000 W (fonctionnement à 100 %)
  Température de surface = 60°C
  Surface estimée du radiateur = 0,6 m²

• Données de convection locale :
  Coefficient de transfert par convection (h) autour du radiateur = 10 W/m²K
  Température ambiante = 22°C

\(\rightarrow \Delta T_{\text{local}} = 60^\circ\text{C} – 22^\circ\text{C} = 38\,K\).

b. Calcul du flux de chaleur par convection autour du radiateur

On applique la même formule de transfert de chaleur par convection :

\[ Q_{\text{conv}} = h \times A \times \Delta T \]

• Pour le radiateur :

\[ Q_{\text{conv}} = 10\,\text{W/m}^2\text{K} \times 0.6\,m^2 \times 38\,K \] \[ Q_{\text{conv}} = 10 \times 0.6 \times 38 \] \[ Q_{\text{conv}} \approx 228\,W \]

Ce calcul montre que, localement, la convection autour de la surface du radiateur permet de transférer environ 228 W vers l’air ambiant.

c. Estimation du flux d’air induit par cette convection

Pour estimer le débit massique d’air entraîné par ce transfert, on peut utiliser la relation :

\[ Q_{\text{conv}} = \dot{m} \times c_p \times \Delta T \]

où :

• \(\dot{m}\) = débit massique (kg/s),
• \(c_p\) = capacité thermique massique de l’air \(\approx 1000\,\text{J/kgK}\),
• \(\Delta T\) = différence de température (ici, 38 K).

Isolons \(\dot{m}\) :

\[ \dot{m} = \frac{Q_{\text{conv}}}{c_p \times \Delta T} \] \[ \dot{m} = \frac{228\,W}{1000\,\text{J/kgK} \times 38\,K} \] \[ \dot{m} \approx \frac{228}{38000} \] \[ \dot{m} \approx 0.006\,kg/s \]

Pour obtenir le débit volumique, on utilise la densité de l’air \(\rho \approx 1.2\,kg/m^3\) :

\[ \dot{V} = \frac{\dot{m}}{\rho} \] \[ \dot{V} = \frac{0.006\,kg/s}{1.2\,kg/m^3} \] \[ \dot{V} \approx 0.005\,m^3/s \]

Ainsi, le flux d’air induit par la convection naturelle autour du radiateur est d’environ 0,005 m³/s.

3. Évaluation de la capacité du radiateur à maintenir la température

• Pertes thermiques totales calculées : 792 W
• Puissance du radiateur : 2000 W

Le radiateur fournit une puissance bien supérieure aux pertes de chaleur (2000 W vs 792 W). Même si seule une partie de cette puissance est directement transférée par convection naturelle (comme illustré par le calcul local de 228 W), l’ensemble du système de chauffage (radiateur + circulation d’air dans le salon) compense largement les pertes par conduction.

Conclusion :
Le radiateur de 2000 W est largement suffisant pour maintenir la température intérieure de 22°C dans le salon, en tenant compte des pertes de chaleur estimées.

Convection dans un salon

D’autres exercices de thermique de l’habitat :

• Dimensionner le système de chauffage
• Calcul du transfert de chaleur par convection
• Analyse des Besoins de Chauffage