Division d’un Terrain en Topographie
Contexte : Le partage d'une parcelle.
Un propriétaire souhaite diviser une parcelle de terrain quadrilatérale (ABCD) en deux lots de surface égale. La ligne de division doit partir du sommet A et aboutir sur le côté opposé [CD]. En tant que géomètre-topographe, votre mission est de déterminer les coordonnées exactes du nouveau point P sur le segment [CD] qui permettra ce partage équitable. Cet exercice est un cas d'école en topographieLa technique qui a pour objet l'exécution, l'exploitation et la publication des levers d'une étendue limitée de la surface terrestre., faisant appel à des calculs de surface et de coordonnées précis.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser les coordonnées des sommets d'un polygone pour calculer sa surface, puis à résoudre un problème de division parcellaire par une méthode analytique rigoureuse.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la surface d'un polygone à partir des coordonnées de ses sommets.
- Déterminer les coordonnées d'un point sur un segment pour diviser une surface en deux parties égales.
- Appliquer des formules de géométrie analytique dans un contexte topographique concret.
Données de l'étude
Plan de la parcelle à diviser
| Point | Coordonnée X (m) | Coordonnée Y (m) |
|---|---|---|
| A | 50.00 | 50.00 |
| B | 350.00 | 30.00 |
| C | 300.00 | 300.00 |
| D | 100.00 | 270.00 |
Questions à traiter
- Calculer la surface totale de la parcelle ABCD.
- Déterminer la surface de chaque lot après la division.
- Vérifier sur quel segment se situe le point de division P.
- Calculer les coordonnées du point P.
- Vérifier la surface du deuxième lot pour valider le calcul.
Les bases du calcul topographique
La résolution de cet exercice repose sur des principes fondamentaux de la géométrie analytique appliqués à la topographie.
1. Calcul de surface par les coordonnées
La surface d'un polygone dont les sommets sont connus par leurs coordonnées (X, Y) peut être calculée par la méthode des lacets (shoelace formula). Pour un polygone à n sommets, la formule est :
\[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i) \right| \]
Avec \( (X_{n+1}, Y_{n+1}) = (X_1, Y_1) \).
2. Division d'un triangle par une surface donnée
Pour trouver un point P sur un côté (par exemple [CD]) d'un triangle (par exemple ACD) tel que la surface du triangle APD soit égale à une surface S' connue, on peut utiliser des relations de proportionnalité. Si l'on connaît la surface totale du triangle ACD, le rapport des surfaces \(\frac{S_{\text{APD}}}{S_{\text{ACD}}}\) est égal au rapport des longueurs \(\frac{\text{DP}}{\text{DC}}\).
Correction : Division d’un Terrain en Topographie
Question 1 : Calculer la surface totale de la parcelle ABCD.
Principe
Le concept physique ici est la mesure d'une étendue bidimensionnelle. En topographie, on ramène la surface réelle du terrain, qui peut être en pente, à sa projection sur un plan horizontal. Le calcul se base sur la décomposition de la surface en une somme algébrique de trapèzes formés par les sommets et leurs projections sur les axes de coordonnées.
Mini-Cours
La méthode des lacets, ou formule de Gauss, est une technique algorithmique. Imaginez que vous parcourez les sommets du polygone. Pour chaque segment, vous formez un trapèze avec l'axe des X. En additionnant (ou soustrayant) les aires de ces trapèzes de manière systématique, on obtient l'aire totale du polygone. Le sens de parcours (horaire ou anti-horaire) change le signe du résultat, d'où l'utilisation de la valeur absolue.
Remarque Pédagogique
Pour éviter les erreurs, je vous conseille de toujours lister vos points dans un tableau en colonne, en répétant le premier point à la fin. Ensuite, effectuez systématiquement les produits croisés descendants, puis les produits croisés montants. Cette organisation visuelle limite les risques d'oubli ou d'inversion.
Normes
En France, toute modification du parcellaire cadastral doit faire l'objet d'un "Document Modificatif du Parcellaire Cadastral" (DMPC), établi par un Géomètre-Expert. Les calculs de surface doivent respecter les tolérances définies par la législation en vigueur pour être juridiquement valables.
Formule(s)
La surface S est donnée par la formule des lacets :
Hypothèses
- Les calculs sont effectués dans un système de coordonnées planes (projection 2D), négligeant la courbure de la Terre.
- Les coordonnées des sommets A, B, C, D sont considérées comme exactes et sans erreur de mesure.
- La parcelle est un polygone simple (ses côtés ne se croisent pas).
Donnée(s)
| Point | X (m) | Y (m) |
|---|---|---|
| A | 50.00 | 50.00 |
| B | 350.00 | 30.00 |
| C | 300.00 | 300.00 |
| D | 100.00 | 270.00 |
Astuces
Pour vérifier rapidement votre calcul manuel, vous pouvez décaler l'origine de vos coordonnées. Par exemple, en translatant le point A à l'origine (0,0) et en ajustant les autres coordonnées. Le calcul de la surface donnera le même résultat et sera plus simple car de nombreux termes s'annuleront.
Schéma (Avant les calculs)
Parcelle ABCD et ses coordonnées
Calcul(s)
On calcule les deux sommes de produits croisés.
Schéma (Après les calculs)
Surface calculée de la parcelle
Réflexions
Le résultat de 61 250 m² (soit 6.125 hectares) représente la surface juridique de la parcelle. C'est cette valeur qui servira de base à toute transaction ou division. L'ordre de grandeur est cohérent avec une parcelle agricole ou un grand terrain à bâtir.
Points de vigilance
La principale source d'erreur est l'inversion dans l'ordre de parcours des sommets (par ex. A-C-B-D). Cela créerait un polygone croisé dont la surface calculée n'aurait aucun sens physique. Il est impératif de suivre le contour de la parcelle.
Points à retenir
La maîtrise du calcul de surface par coordonnées est une compétence fondamentale en topographie. Retenez la structure systématique du calcul : somme des produits croisés dans un sens, moins la somme dans l'autre sens, le tout divisé par deux.
Le saviez-vous ?
La formule des lacets est un cas particulier du théorème de Green, un résultat puissant d'analyse vectorielle qui relie une intégrale de ligne sur une courbe fermée à une intégrale de surface sur la région délimitée par cette courbe.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le point D avait pour coordonnées (120, 250), quelle serait la nouvelle surface totale ?
Question 2 : Déterminer la surface de chaque lot après la division.
Principe
Le problème stipule une division en deux lots de "surface égale". Le principe est donc une simple division arithmétique de la surface totale calculée précédemment.
Mini-Cours
En droit foncier, le principe d'égalité des surfaces lors d'un partage est courant, mais pas obligatoire. Les partages peuvent aussi se faire selon des valeurs (un lot plus petit mais mieux situé peut avoir la même valeur qu'un lot plus grand) ou des droits (division au prorata des parts détenues en indivision).
Remarque Pédagogique
Assurez-vous de toujours bien lire l'énoncé. Une simple lecture attentive vous donne ici la méthode de résolution. Ne cherchez pas de complexité là où il n'y en a pas. La surface d'un lot est la surface totale divisée par le nombre de lots.
Normes
Il n'y a pas de norme de calcul ici, mais une exigence contractuelle (le souhait du propriétaire). Le résultat de ce calcul deviendra une donnée d'entrée pour les étapes suivantes.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que le terme "lots de surface égale" signifie une égalité mathématique stricte.
Donnée(s)
- Surface totale \(S_{\text{ABCD}} = 61250 \text{ m}^2\)
- Nombre de lots \(N=2\)
Astuces
Gardez toujours un maximum de décimales dans vos calculs intermédiaires pour ne pas propager d'erreurs d'arrondi. Ici le calcul est simple, mais c'est une bonne habitude à prendre.
Schéma (Avant les calculs)
Principe de la division en deux lots égaux
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Pas de schéma pertinent après ce simple calcul arithmétique.
Réflexions
La valeur de 30 625 m² devient notre "surface cible". C'est la contrainte principale que nous devrons respecter pour déterminer la position de la nouvelle limite.
Points de vigilance
Attention à ne pas arrondir ce résultat. Une petite erreur à ce stade pourrait rendre impossible la validation finale où la somme des surfaces des lots doit être égale à la surface totale.
Points à retenir
La première étape de tout problème de division est de définir clairement les surfaces cibles pour chaque lot.
Le saviez-vous ?
Le mot "cadastre" vient du bas latin "catastrum", qui désignait le registre des impôts fonciers à l'époque romaine. Le calcul précis des surfaces a toujours été lié à la fiscalité.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la surface totale était de 75 000 m² et qu'on voulait 3 lots, quelle serait la surface de chaque lot ?
Question 3 : Vérifier sur quel segment se situe le point de division P.
Principe
La ligne de partage part du point A. Pour déterminer sur quel côté opposé elle va "atterrir", on calcule les surfaces cumulées des triangles formés par le point de départ A et les sommets successifs (ABC, puis ACD). On compare ensuite notre surface cible (30 625 m²) à ces surfaces cumulées pour localiser le bon segment.
Mini-Cours
Cette méthode de "balayage" est générale. Pour un polygone A-B-C-D-E..., on calcule S(ABC), puis S(ACD), etc. On crée ainsi des surfaces partielles. La ligne de partage AP coupera le côté [XY] si S(A...X) < S_cible < S(A...Y). C'est une application directe de la logique de balayage de surface depuis un sommet.
Remarque Pédagogique
C'est une étape de pure logique qui doit précéder tout calcul complexe. Se lancer tête baissée dans une formule sans savoir où l'on va est le meilleur moyen de se tromper. Prenez le temps de "sentir" la géométrie du problème.
Normes
Aucune norme spécifique ne régit cette étape de raisonnement, qui relève de la méthodologie du géomètre.
Formule(s)
On réutilise la formule de la surface d'un triangle par les coordonnées.
Hypothèses
On suppose que la ligne de partage est une droite partant de A.
Donnée(s)
- Coordonnées des points A, B, C.
- Surface cible \(S_{\text{lot}} = 30625 \text{ m}^2\).
Astuces
Un simple croquis à main levée en respectant approximativement les positions relatives des points peut souvent vous donner la réponse intuitivement avant même le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Test de la surface du triangle ABC
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma n'est pas nécessaire car il n'y a pas de résultat géométrique à visualiser pour cette étape.
Réflexions
Nous avons \(S_{\text{lot}} = 30625 \text{ m}^2\) et \(S_{\text{ABC}} = 40000 \text{ m}^2\). Puisque la surface que nous cherchons à délimiter (30 625 m²) est INFERIEURE à la surface du premier triangle test (ABC), cela signifie que la ligne de partage ne va pas jusqu'au point C. Le point P se trouve donc sur le segment [BC].
Points de vigilance
L'énoncé initial suggérait que P serait sur [CD]. Cet exemple montre qu'il ne faut jamais se fier à l'énoncé d'un problème sans vérifier les hypothèses. Une lecture critique est essentielle. Notre calcul a corrigé l'hypothèse de départ.
Points à retenir
La méthode de comparaison de la surface cible aux surfaces partielles est la clé pour localiser le segment sur lequel se trouve le point de division.
Le saviez-vous ?
Les premiers arpenteurs égyptiens utilisaient des cordes à treize nœuds pour recréer des angles droits (triangle 3-4-5) et redéfinir les limites des parcelles après les crues du Nil. La géométrie a toujours été au cœur des problématiques foncières.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la surface cible était de 45 000 m², sur quel segment se trouverait P ?
Question 4 : Calculer les coordonnées du point P sur le segment [BC].
Principe
Puisque P est sur le segment [BC], les triangles ABP et ABC partagent la même base [AB] (ou la même hauteur issue de A). Il existe une relation de proportionnalité directe entre les surfaces et les positions relatives. Le rapport des surfaces \(\frac{S_{\text{ABP}}}{S_{\text{ABC}}}\) est égal au rapport des longueurs \(\frac{\text{BP}}{\text{BC}}\). Ce rapport k nous permet de trouver les coordonnées de P par interpolation linéaire entre B et C.
Mini-Cours
L'interpolation linéaire est une méthode pour trouver un point situé sur un segment de droite. Si un point P divise un segment [BC] avec un rapport k (où k = BP/BC), ses coordonnées sont une moyenne pondérée des coordonnées de B et C : \(P = (1-k)B + kC\). Dans nos formules, nous utilisons une forme équivalente : \(P = B + k(C-B)\).
Remarque Pédagogique
Visualisez le rapport k comme un curseur sur le segment [BC]. Si k=0, P est en B. Si k=1, P est en C. Si k=0.5, P est au milieu de [BC]. Notre calcul va simplement trouver la position exacte de ce curseur pour obtenir la bonne surface.
Normes
Les calculs de coordonnées (ou calculs de gisement et distance) sont des opérations de base en topographie, standardisées dans tous les manuels et logiciels de la profession.
Formule(s)
Calcul du rapport de proportionnalité :
Formules d'interpolation linéaire :
Hypothèses
On suppose que la ligne BC est une droite parfaite, ce qui est cohérent avec l'hypothèse d'un système de coordonnées planes.
Donnée(s)
- \(S_{\text{cible}} = S_{\text{ABP}} = 30625 \text{ m}^2\)
- \(S_{\text{ABC}} = 40000 \text{ m}^2\)
- Coordonnées de B(350, 30) et C(300, 300)
Astuces
Avant de calculer, vérifiez le signe de \((X_C - X_B)\) et \((Y_C - Y_B)\). Cela vous donne la direction du vecteur \(\vec{BC}\). Si \(X_C < X_B\), \(X_P\) doit être inférieur à \(X_B\). C'est un bon moyen de vérifier la cohérence de votre résultat final.
Schéma (Avant les calculs)
Localisation de P sur le segment [BC]
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du rapport k
Étape 2 : Calcul des coordonnées de P
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma n'est pas nécessaire car il n'y a pas de résultat géométrique à visualiser pour cette étape.
Réflexions
Les coordonnées de P (311.72, 236.72) sont précises. C'est cette précision qui garantit que la surface du lot sera exacte. Sur le terrain, le géomètre devra implanter ce point avec des instruments de haute précision (station totale, GPS RTK).
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'inverser B et C dans la formule d'interpolation, ce qui reviendrait à calculer \(P = C + k(B-C)\), donnant un point complètement différent. Soyez rigoureux sur le point de départ (B) et le vecteur directeur (\(\vec{BC}\)).
Points à retenir
La proportionnalité entre les surfaces et les longueurs dans un triangle est un outil puissant pour résoudre les problèmes de division. La formule d'interpolation linéaire est la traduction mathématique de ce principe.
Le saviez-vous ?
Les coordonnées utilisées en topographie ne sont pas de simples X/Y. Elles sont rattachées à des systèmes de projection nationaux (comme le Lambert 93 en France) qui sont des représentations planes de la surface courbe de la Terre, minimisant les déformations.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si on voulait un lot de seulement 10 000 m², quel serait le rapport k ?
Question 5 : Vérifier la surface du deuxième lot pour valider le calcul.
Principe
C'est le contrôle final. Un calcul juste doit être vérifiable. Nous allons calculer la surface du second lot (APCD) de manière indépendante et vérifier que sa surface est bien égale à la surface cible, et que la somme des deux lots redonne bien la surface totale.
Mini-Cours
En métrologie (la science de la mesure), le principe de "fermeture" est essentiel. Quand on mesure un parcours en boucle (un polygone), on doit revenir exactement au point de départ. En calcul, c'est pareil : la somme des parties doit être égale au tout. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur quelque part. C'est un principe fondamental de contrôle qualité.
Remarque Pédagogique
Ne sautez jamais l'étape de vérification ! C'est elle qui vous donne confiance dans votre résultat. C'est la différence entre un calcul "probablement juste" et un calcul "certainement juste".
Normes
Les procédures de qualité pour les géomètres-experts imposent des contre-calculs et des vérifications systématiques pour minimiser le risque d'erreur dans les documents fonciers.
Formule(s)
On peut vérifier de deux manières : par soustraction ou par calcul direct.
Ou en appliquant la formule des lacets au polygone APCD.
Hypothèses
Aucune nouvelle hypothèse. On utilise les résultats précédents.
Donnée(s)
- \(S_{\text{ABCD}} = 61250 \text{ m}^2\)
- \(S_{\text{lot1}} = S_{\text{ABP}} = 30625 \text{ m}^2\)
- Coordonnées de A, P, C, D.
Astuces
La méthode par soustraction est la plus rapide pour une vérification. Si vous avez le temps, le calcul direct est une vérification plus robuste car il ne dépend pas de votre calcul initial de la surface totale.
Schéma (Avant les calculs)
Vérification du Lot 2 (APCD)
Calcul(s)
Par soustraction :
La surface du second lot est bien égale à celle du premier.
Schéma (Après les calculs)
Plan final de la division validée
Réflexions
La vérification est concluante. La somme des deux lots (30625 + 30625) est bien égale à 61250, la surface totale. La mission est accomplie : nous avons déterminé une nouvelle limite qui divise la parcelle en deux moitiés égales.
Points de vigilance
Une erreur d'arrondi dans le calcul des coordonnées de P aurait pu introduire un léger écart ici. C'est pourquoi il est crucial de conserver une grande précision tout au long des calculs et de n'arrondir qu'à la toute fin.
Points à retenir
Un problème de topographie n'est terminé que lorsque les résultats ont été vérifiés et que la "fermeture" des calculs est assurée.
Le saviez-vous ?
Les logiciels modernes de DAO/CAO (comme AutoCAD ou Covadis) réalisent ces calculs de division instantanément. Cependant, comprendre la méthode manuelle est indispensable pour tout professionnel afin de pouvoir contrôler les résultats de la machine et résoudre des cas complexes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le Lot 1 avait une surface de 30620 m² et la surface totale était de 61250 m², quelle serait la surface du Lot 2 ?
Outil Interactif : Simulateur de Division
Utilisez les curseurs pour modifier les coordonnées du point C et observez en temps réel comment la surface totale et la position du point de partage P sont affectées.
Paramètres du Point C
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle méthode est la plus appropriée pour calculer la surface d'un polygone à partir de coordonnées ?
2. Dans notre exercice, pourquoi a-t-on d'abord calculé la surface du triangle ABC ?
3. Le rapport des surfaces (S_ABP / S_ABC) est égal au rapport des longueurs :
4. Que se passe-t-il si la surface cible est plus grande que la surface du polygone entier ?
5. La vérification finale consiste à :
- Coordonnées Planes
- Système de deux nombres (X, Y) permettant de définir la position d'un point sur une surface plane (un plan de projection).
- Division Parcellaire
- Opération de topographie consistant à diviser une propriété foncière en plusieurs lots plus petits.
- Géométrie Analytique
- Branche des mathématiques qui étudie la géométrie en utilisant un système de coordonnées.
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