Mesure de Distances, Angles et Altitudes
Contexte : Le Levé TopographiqueEnsemble des opérations permettant d'obtenir la représentation graphique ou numérique d'un terrain..
Un géomètre-topographe doit réaliser le plan d'une parcelle de terrain rectangulaire sur laquelle est implanté un bâtiment. Pour ce faire, il met en place son tachéomètreInstrument de mesure des angles et des distances. sur une station 'S' dont les coordonnées sont connues. Depuis ce point, il effectue des mesures d'angles et de distances pour déterminer la position des quatre sommets de la parcelle (A, B, C, D).
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer les formules fondamentales de la topométrie, notamment le calcul par rayonnementMéthode de levé où les points sont définis par un angle et une distance depuis une station connue., pour déterminer des coordonnées, des distances, et des altitudes, simulant ainsi une mission de terrain courante.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le gisementAngle horizontal d'une direction, mesuré depuis le Nord dans le sens horaire. d'une direction à partir d'une référence.
- Déterminer les coordonnées rectangulaires (X, Y) de points par rayonnement.
- Calculer l'altitude (Z) de points à partir de dénivelées.
- Calculer la distance et le gisement entre deux points connus par leurs coordonnées.
- Vérifier la géométrie d'un objet (perpendicularité) par le calcul d'angles.
Données de l'étude
Fiche Technique de la Station
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Coordonnées Station S (X, Y, Z) | (1000.00 m ; 500.00 m ; 150.00 m) |
| Référence Angulaire (Gisement S-Nord) | 0.0000 gon |
Schéma du Levé par Rayonnement
Carnet de Levé
| Point Visé | Lecture Angulaire Horizontale (gon) | Distance Horizontale (m) | Dénivelée (m) |
|---|---|---|---|
| A | 35.1250 | 45.82 | +1.25 |
| B | 85.6750 | 62.50 | +1.80 |
| C | 145.2250 | 55.30 | +0.90 |
| D | 210.7850 | 38.75 | +0.55 |
Questions à traiter
- Calculer le gisement de chaque direction (S-A, S-B, S-C, S-D).
- Calculer les coordonnées (X, Y) de chaque point A, B, C, et D.
- Calculer l'altitude (Z) de chaque point A, B, C, et D.
- Calculer la distance et le gisement de la ligne A-B.
- Vérifier la perpendicularité du terrain en calculant l'angle interne au sommet A (angle DAB). Conclure.
Les bases du Levé par Rayonnement
Le levé par rayonnement est une méthode fondamentale en topographie pour déterminer les coordonnées de points inaccessibles ou éloignés à partir d'une seule station connue.
1. Gisement d'une direction
Le gisement est l'angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction de référence (généralement le Nord). La formule est :
\[ G_{\text{Station} \to \text{Point}} = G_{\text{Référence}} + \text{Angle Lu} \]
2. Calcul de coordonnées par rayonnement
Les coordonnées d'un point P, mesuré depuis une station S, sont calculées avec les formules suivantes, où \(D_{SP}\) est la distance horizontale :
\[ X_P = X_S + D_{SP} \cdot \sin(G_{SP}) \]
\[ Y_P = Y_S + D_{SP} \cdot \cos(G_{SP}) \]
Correction : Mesure de Distances, Angles et Altitudes
Question 1 : Calculer le gisement de chaque direction.
Principe (le concept physique)
Le gisement est l'angle qui définit l'orientation d'une ligne par rapport à une direction de référence fixe, le Nord. C'est le concept fondamental qui permet de passer d'une mesure locale (l'angle lu sur l'instrument) à une direction absolue dans un système de coordonnées.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En topographie, tous les angles sont rapportés au Nord. Le gisement, noté G, est toujours compté dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) de 0 à 400 grades (gon). La relation fondamentale est que le gisement d'une direction (Station vers Point) est égal au gisement de la direction de référence (Station vers Référence) auquel on ajoute l'angle mesuré sur le terrain entre cette référence et le point.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le cas le plus simple, et le plus courant pour démarrer un levé, est de "caler" son instrument sur le Nord. Cela signifie qu'on oriente le 0 du cercle horizontal de l'appareil vers la direction du Nord. Dans ce cas précis, la lecture angulaire est directement le gisement, ce qui simplifie grandement les calculs.
Normes (la référence réglementaire)
Il n'y a pas de norme réglementaire pour ce calcul de base, mais il relève des bonnes pratiques et des fondements de la topométrie, enseignés dans tous les manuels de géodésie et de topographie.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que l'instrument a été parfaitement mis en station et que l'orientation sur le Nord a été réalisée sans erreur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Les données d'entrée sont les lectures angulaires du carnet de levé et la référence de départ.
| Gisement de référence (S vers Nord) | 0.0000 gon |
| Lectures Horizontales | Voir carnet de levé |
Astuces (Pour aller plus vite)
Quand la référence est le Nord (0 gon), il n'y a pas de calcul à faire ! Le gisement est simplement égal à l'angle lu. C'est un gain de temps et une source d'erreur en moins sur le terrain.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du Gisement S-A
Calcul(s) (l'application numérique)
Puisque le gisement de référence est 0, le calcul est une simple addition pour chaque point :
- \(G_{\text{SA}} = 0 + 35.1250 = 35.1250 \text{ gon}\)
- \(G_{\text{SB}} = 0 + 85.6750 = 85.6750 \text{ gon}\)
- \(G_{\text{SC}} = 0 + 145.2250 = 145.2250 \text{ gon}\)
- \(G_{\text{SD}} = 0 + 210.7850 = 210.7850 \text{ gon}\)
Schéma (Après les calculs)
Gisements des Points Rayonnés
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Ces quatre valeurs de gisement sont les orientations absolues de nos quatre sommets par rapport à la station S. Elles sont la clé qui va nous permettre de transformer nos mesures polaires (angle + distance) en coordonnées cartésiennes (X, Y) à l'étape suivante.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier d'ajouter le gisement de la référence. Même si ici il est nul, dans un cas réel (par exemple si la référence est un clocher), il faut impérativement l'ajouter à toutes les lectures.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La maîtrise de la notion de gisement est essentielle. Retenez la formule \(G_{\text{final}} = G_{\text{réf}} + \text{Angle lu}\) et le fait qu'un gisement est toujours orienté par rapport au Nord.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le grade (ou gon) a été introduit en France après la Révolution pour décimaliser les mesures d'angle (1 angle droit = 100 gon, un tour complet = 400 gon), en même temps que le système métrique. Il est majoritairement utilisé en topographie car il simplifie les calculs.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'opérateur s'était orienté sur un point de référence dont le gisement était de 50.0000 gon, quel aurait été le gisement de la direction S-A ?
Question 2 : Calculer les coordonnées (X, Y) des points.
Principe (le concept physique)
Le calcul de coordonnées par rayonnement consiste à projeter le vecteur Station-Point sur les axes X (Est) et Y (Nord) d'un système de coordonnées. Ces projections, appelées ΔX et ΔY, sont calculées par trigonométrie simple dans le triangle rectangle formé par le vecteur et les axes.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour un point P visé depuis une station S, la variation en X (ΔX) est \(D_{SP} \times \sin(G_{SP})\) et la variation en Y (ΔY) est \(D_{SP} \times \cos(G_{SP})\). Ces variations sont ensuite ajoutées aux coordonnées de la station S pour obtenir les coordonnées absolues du point P. Cette méthode transforme des mesures polaires (gisement, distance) en coordonnées cartésiennes (X, Y).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Visualisez toujours le cercle trigonométrique. Le gisement vous place dans l'un des quatre quadrants. Le signe de sinus (pour X) et cosinus (pour Y) dans ce quadrant vous donnera le signe de ΔX et ΔY. Par exemple, pour un gisement entre 100 et 200 gon (Sud-Est), le sinus est positif (ΔX > 0) et le cosinus est négatif (ΔY < 0).
Normes (la référence réglementaire)
Ce calcul est une application directe des mathématiques et ne dépend pas d'une norme spécifique, mais il est le fondement de tous les levés planimétriques réglementaires.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les distances mesurées sont bien des distances horizontales et non des distances inclinées. Les instruments modernes font cette correction automatiquement.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise les coordonnées de S, les distances du carnet de levé et les gisements calculés à la question 1.
| Coordonnées de S | (1000.00 ; 500.00) |
| Distances et Gisements | Voir Q1 et énoncé |
Astuces (Pour aller plus vite)
Avant de calculer, estimez mentalement la position. Pour le point A (gisement ~35 gon), il doit être au Nord-Est de S, donc XA > XS et YA > YS. Cela permet de détecter rapidement une erreur de signe.
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition en ΔX et ΔY
Calcul(s) (l'application numérique)
Pour chaque point, on applique les deux formules. Attention à bien configurer votre calculatrice en mode "Grades" ou à convertir les gisements en radians (\( \text{angle}_{\text{rad}} = \text{angle}_{\text{gon}} \times \pi / 200 \)) si elle est en mode "Radians".
Point A
Point B
Point C
Point D
Schéma (Après les calculs)
Plan des Points Levé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons maintenant une description numérique et non plus graphique de notre terrain. Ces coordonnées sont la base de tout travail ultérieur : calcul de surface, dessin du plan sur un logiciel de DAO, implantation de nouveaux points, etc.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus critique et la plus fréquente est d'utiliser les fonctions trigonométriques avec une mauvaise unité d'angle (degrés au lieu de grades, ou l'inverse). Vérifiez toujours le mode de votre calculatrice avant de commencer !
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Les deux formules de rayonnement pour X et Y sont au cœur du métier de topographe. Il faut les connaître par cœur et savoir les appliquer sans hésitation.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les systèmes de coordonnées utilisés en France (comme le Lambert 93) sont des "projections". Elles permettent de représenter la surface courbe de la Terre sur un plan, mais introduisent de légères déformations. Pour des chantiers locaux, on considère le terrain comme plat sans erreur significative.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec les données de l'énoncé pour le point A, si la distance horizontale avait été de 50.00 m, quelle aurait été sa coordonnée X ?
Question 3 : Calculer l'altitude (Z) des points.
Principe (le concept physique)
Le calcul d'altitude est une simple translation verticale. On part d'une altitude connue (celle de la station) et on y ajoute la différence de hauteur mesurée (la dénivelée) pour trouver l'altitude du nouveau point.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'altimétrie consiste à déterminer la coordonnée Z des points. La dénivelée (\(\Delta Z\)) entre deux points A et B est la différence \(Z_B - Z_A\). Elle est mesurée par l'instrument grâce à l'angle vertical et la distance. Si la dénivelée est positive, le point visé est plus haut que la station. Si elle est négative, il est plus bas.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez que vous êtes sur une marche d'escalier à 150 m de hauteur (la station S). La dénivelée vous dit de combien de marches vous devez monter (+) ou descendre (-) pour atteindre le point visé. C'est une opération très intuitive.
Normes (la référence réglementaire)
Les altitudes en France sont généralement rattachées au système de Nivellement Général de la France (NGF-IGN69), dont le point zéro est fixé par le marégraphe de Marseille.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la dénivelée fournie dans le carnet de levé est la valeur finale corrigée, qui tient déjà compte de la hauteur de l'instrument et de la hauteur du prisme sur le point visé.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
| Altitude de S | 150.00 m |
| Dénivelées | Voir carnet de levé |
Astuces (Pour aller plus vite)
Le calcul d'altitude est indépendant des calculs planimétriques (X, Y). Vous pouvez le faire avant, après, ou en même temps. C'est une simple addition, il n'y a pas de piège trigonométrique.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul d'Altitude
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule pour chaque point :
- \(Z_A = 150.00 + 1.25 = 151.25 \text{ m}\)
- \(Z_B = 150.00 + 1.80 = 151.80 \text{ m}\)
- \(Z_C = 150.00 + 0.90 = 150.90 \text{ m}\)
- \(Z_D = 150.00 + 0.55 = 150.55 \text{ m}\)
Schéma (Après les calculs)
Altitude du Point A Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons maintenant la description 3D complète de la parcelle. On peut voir que le point B est le plus haut et le point D le plus bas. Ces informations sont cruciales pour les projets de terrassement, d'écoulement des eaux, etc.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Faites attention au signe de la dénivelée ! Une erreur de signe inverse la pente du terrain, ce qui peut avoir des conséquences désastreuses pour un projet de construction.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
L'altitude d'un point est toujours relative à une référence. Le calcul est simple : \(Z_{\text{arrivée}} = Z_{\text{départ}} + \Delta Z\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le GPS donne des altitudes, mais elles sont relatives à une surface mathématique appelée l'ellipsoïde. Pour obtenir l'altitude "réelle" (par rapport au niveau moyen des mers, le géoïde), il faut appliquer une grille de correction qui peut atteindre plusieurs dizaines de mètres en France !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'altitude de la station S avait été de 148.50 m, quelle aurait été l'altitude du point B ?
Question 4 : Calculer la distance et le gisement de la ligne A-B.
Principe (le concept physique)
Ce calcul est l'opération inverse du rayonnement. Au lieu de calculer des coordonnées à partir d'un angle et d'une distance, on calcule l'angle (gisement) and la distance à partir de coordonnées. C'est une compétence essentielle pour vérifier des plans ou implanter des points sur le terrain.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La distance entre deux points A et B se calcule avec le théorème de Pythagore appliqué aux différences de coordonnées \(\Delta X\) et \(\Delta Y\). Le gisement se calcule avec la fonction arc tangente de \((\Delta X / \Delta Y)\). Cependant, la fonction arctan seule ne donne un résultat correct que pour le premier quadrant. Il faut appliquer une "correction de quadrant" en fonction des signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) pour obtenir le gisement correct sur 400 gon.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La détermination du bon quadrant est cruciale. Ayez toujours ce schéma en tête :
• \(\Delta X > 0, \Delta Y > 0\) : Nord-Est, G = arctan(...).
• \(\Delta X > 0, \Delta Y < 0\) : Sud-Est, G = arctan(...) + 200 gon.
• \(\Delta X < 0, \Delta Y < 0\) : Sud-Ouest, G = arctan(...) + 200 gon.
• \(\Delta X < 0, \Delta Y > 0\) : Nord-Ouest, G = arctan(...) + 400 gon.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les coordonnées des points A et B sont exactes et exprimées dans le même système de coordonnées.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise les coordonnées des points A et B calculées à la question 2.
| Coordonnées de A | (1024.58 ; 538.99) |
| Coordonnées de B | (1059.95 ; 517.58) |
Astuces (Pour aller plus vite)
La distance est toujours positive. Si votre calcul de \(\sqrt{\Delta X^2 + \Delta Y^2}\) est négatif, vous avez fait une erreur de carré. Pour le gisement, la plupart des calculatrices ont une fonction `Pol(ΔX, ΔY)` qui donne directement la distance et le gisement dans le bon quadrant.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul de Distance et Gisement Inverses
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul des différences de coordonnées
Étape 2 : Calcul de la distance
Étape 3 : Calcul du gisement
Avec \(\Delta X > 0\) et \(\Delta Y < 0\), nous sommes dans le quadrant Sud-Est. La correction est de +200 gon.
Schéma (Après les calculs)
Résultats du Calcul Inverse
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons défini le premier côté de notre parcelle par sa longueur (41.34 m) et son orientation (132.45 gon). Ces deux valeurs sont fondamentales pour reporter le terrain sur un plan ou pour le matérialiser sur le terrain ("implantation").
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais oublier la correction de quadrant ! Une erreur ici peut vous envoyer dans la direction diamétralement opposée. De plus, faites attention à l'ordre des points : \(G_{AB}\) est différent de \(G_{BA}\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Le calcul inverse (coordonnées vers distance/gisement) est aussi important que le calcul direct. Maîtrisez le théorème de Pythagore pour la distance et la méthode de l'arc tangente avec correction de quadrant pour le gisement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La plupart des calculatrices scientifiques et des logiciels utilisent une fonction `atan2(y, x)` ou `atan2(x, y)` qui calcule directement l'arc tangente en tenant compte des signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) pour retourner un angle dans le bon quadrant. Cela évite d'avoir à gérer la correction manuellement.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
En utilisant les coordonnées calculées, quelle est la distance entre les points C et D (arrondie à 2 décimales) ?
Question 5 : Vérifier la perpendicularité en calculant l'angle DAB.
Principe (le concept physique)
Un angle entre deux lignes issues d'un même sommet se calcule en faisant la différence entre les gisements de ces deux lignes. L'angle au sommet A, noté DAB, est la différence entre le gisement de la direction "avant" (A vers B) et le gisement de la direction "arrière" (A vers D).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour un angle  en un sommet A, formé par les points D et B, la formule est : \(\text{Angle}_{\text{DAB}} = G_{AB} - G_{AD}\). Le résultat est l'angle mesuré dans le sens horaire depuis la direction AD vers la direction AB. Si le résultat est négatif, on lui ajoute 400 gon pour le rendre positif.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Faites un petit dessin pour visualiser. Placez-vous au point A. La direction AD est votre référence "arrière". La direction AB est votre direction "avant". L'angle que vous cherchez est celui qu'il faut parcourir dans le sens horaire pour passer de AD à AB. C'est pourquoi on fait \(G_{avant} - G_{arrière}\).
Normes (la référence réglementaire)
La vérification de la géométrie d'un ouvrage est une étape clé du contrôle qualité sur un chantier. Les tolérances angulaires sont définies dans les cahiers des charges ou les normes de construction.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On se base sur les coordonnées calculées précédemment, en supposant qu'elles sont suffisamment précises pour mener cette vérification.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On a besoin du gisement G_AB (calculé en Q4) et du gisement G_AD, qu'il faut d'abord calculer sur le même modèle que G_AB.
| Coordonnées de A | (1024.58 ; 538.99) |
| Coordonnées de D | (986.09 ; 463.81) |
| Gisement G_AB | 132.45 gon |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour trouver l'angle interne d'un polygone, il faut toujours soustraire le gisement "arrière" du gisement "avant" en parcourant le polygone dans un sens constant (par exemple, horaire). Si le résultat est négatif, ajoutez 400 gon.
Schéma (Avant les calculs)
Angle au Sommet A
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Calcul du gisement G_AD
Avec \(\Delta X < 0\) et \(\Delta Y < 0\), nous sommes dans le quadrant Sud-Ouest. La correction est de +200 gon.
Étape 2 : Calcul de l'angle DAB
Le résultat est négatif, on ajoute 400 gon pour trouver l'angle externe : \(-99.10 + 400 = 300.90\) gon. L'angle interne est le complément : \(400 - 300.90 = 99.10\) gon.
Schéma (Après les calculs)
Angle au Sommet A Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'angle calculé, 99.10 gon, est très proche de la valeur théorique d'un angle droit, qui est de 100 gon. L'écart de 0.90 gon (soit 0.81°) est faible et peut s'expliquer par les petites imprécisions inévitables lors des mesures sur le terrain. On peut donc considérer que le coin A de la parcelle est bien à angle droit.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'ordre de soustraction des gisements est primordial. \(G_{AB} - G_{AD}\) ne donne pas le même résultat que \(G_{AD} - G_{AB}\). Le premier donne l'angle DAB, le second l'angle BAD. L'un est l'angle interne, l'autre l'angle externe.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
La méthode de calcul d'un angle par différence de gisements est une application directe de tout ce qui a été vu précédemment. C'est une compétence de synthèse qui permet de vérifier la conformité géométrique d'un ouvrage.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
En topographie de très haute précision, les géomètres doivent même tenir compte de la courbure de la Terre. Les angles d'un grand triangle tracé sur la surface du globe ne font pas 200 gon (ou 180°), mais légèrement plus ! C'est ce qu'on appelle l'excès sphérique.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Sachant que le gisement G_BC est de 232.45 gon, quel est l'angle interne au sommet B (ABC) ? (Rappel : \(G_{BA} = G_{AB} + 200\))
Outil Interactif : Simulateur de Rayonnement
Ce simulateur vous permet de voir comment les coordonnées d'un point changent en fonction de l'angle et de la distance mesurés depuis une station fixe S(1000, 500).
Paramètres d'Entrée
Coordonnées Calculées
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce qu'un gisement en topographie ?
2. La méthode de calcul principale utilisée dans cet exercice est :
3. Un angle droit, qui mesure 90 degrés sexagésimaux, équivaut à :
4. Si ΔX est positif et ΔY est négatif, le gisement se situe dans quel quadrant ?
5. L'objectif principal d'un levé topographique est de :
Glossaire
- Gisement
- Angle horizontal d'une direction, mesuré depuis la direction de référence du Nord dans le sens des aiguilles d'une montre. L'unité est le grade (gon).
- Rayonnement
- Méthode de levé topographique qui consiste à déterminer les coordonnées de points en mesurant un angle et une distance depuis une unique station connue.
- Tachéomètre
- Instrument de géomètre (aussi appelé station totale) qui mesure les angles horizontaux, les angles verticaux et les distances.
- Dénivelée
- Différence d'altitude entre deux points. Elle est positive si on monte et négative si on descend.
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