La Flexion Composée

1. Introduction et Définitions

1.1 Rappels : Effort Normal et Flexion Simple

Avant d'aborder la flexion composée, rappelons brièvement les sollicitations simples :

• Effort Normal (N) : Force agissant perpendiculairement à la section droite, au niveau de son centre de gravité. S'il est de traction (N > 0), il tend à allonger l'élément ; s'il est de compression (N < 0), il tend à le raccourcir. Il induit une contrainte normale \(\sigma\) uniforme dans la section : \(\sigma = N / A\), où \(A\) est l'aire de la section.
• Flexion Simple (M) : Moment agissant dans un plan contenant l'axe de la poutre et l'un des axes principaux d'inertie de la section. Il tend à courber l'élément. Il induit des contraintes normales \(\sigma\) variant linéairement dans la section, nulles sur l'axe neutre (passant par le centre de gravité pour la flexion simple élastique) et maximales sur les fibres extrêmes : \(\sigma = (M / I) \cdot y\), où \(I\) est le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe neutre et \(y\) la distance à cet axe.

1.2 Définition de la Flexion Composée

La flexion composée est la sollicitation résultant de la combinaison simultanée d'un effort normal \(N\) (non nul) et d'un moment fléchissant \(M\) (non nul) agissant sur une section droite d'un élément de structure.

On parle de :

• Flexion composée "simple" ou "plane" : Lorsque l'effort normal \(N\) est combiné à un moment fléchissant \(M\) agissant autour d'un seul des axes principaux d'inertie de la section (ex: \(M_y\) ou \(M_z\)).
• Flexion composée "déviée" : Lorsque l'effort normal \(N\) est combiné à des moments fléchissants agissant simultanément autour des deux axes principaux d'inertie (\(M_y\) et \(M_z\)).

Effort Normal Centré

Effort normal appliqué au centre de gravité de la section (\(M=0\)).

Effort Normal Excentré

Effort normal appliqué en dehors du centre de gravité. Cette excentricité \(e\) crée un moment fléchissant \(M = N \times e\). Un effort normal excentré est donc équivalent à un effort normal centré \(N\) et un moment fléchissant \(M\), c'est-à-dire à de la flexion composée.

Excentricité (e)

Distance entre le point d'application de l'effort normal et le centre de gravité de la section.

1.3 Origines de la Flexion Composée

La flexion composée est une sollicitation très fréquente dans les structures :

• Poteaux de bâtiments : Ils reprennent les charges verticales (effort normal de compression) mais sont aussi soumis à des moments fléchissants dus à la continuité avec les poutres, aux charges horizontales (vent, séisme), ou aux imperfections géométriques et excentricités des charges.
• Arcs et voûtes : La géométrie courbe et les charges entraînent à la fois compression et flexion.
• Poutres précontraintes : L'effort de précontrainte (compression) est souvent excentré pour contrer les moments dus aux charges externes.
• Murs de soutènement : Soumis à la fois au poids propre (compression) et à la poussée des terres (flexion).
• Sections de cheminées, silos, réservoirs : Poids propre et pression du vent ou du contenu.

2. Principe de Superposition et Contraintes Normales

2.1 Hypothèses de Calcul (Navier-Bernoulli)

L'analyse de la flexion composée en régime élastique linéaire repose sur les mêmes hypothèses que la flexion simple (hypothèses de Navier-Bernoulli) :

• Les sections droites planes avant déformation restent planes après déformation.
• Le matériau est homogène, isotrope et suit la loi de Hooke (comportement élastique linéaire : \(\sigma = E \cdot \epsilon\)).
• Les déformations sont petites.

Ces hypothèses impliquent que la déformation normale \(\epsilon_x\) varie linéairement sur la hauteur de la section.

2.2 Superposition des Contraintes

Dans le domaine élastique linéaire, on peut utiliser le principe de superposition. La contrainte normale \(\sigma_x\) en un point quelconque de la section soumise à la flexion composée (effort normal \(N\) et moment fléchissant \(M_y\)) est la somme de la contrainte due à l'effort normal seul et de la contrainte due au moment fléchissant seul.

• Contrainte due à \(N\) : \(\sigma_N = N / A\) (constante sur la section)
• Contrainte due à \(M_y\) : \(\sigma_{My} = (M_y / I_y) \cdot z\) (varie linéairement avec \(z\), la distance à l'axe neutre de flexion simple y)

Donc, la contrainte totale est : \(\sigma_x = \sigma_N + \sigma_{My}\).

Principe de superposition pour calculer la contrainte normale en flexion composée.

2.3 Formule Générale des Contraintes

En considérant un repère (\(G, y, z\)) lié au centre de gravité \(G\) de la section et dont les axes \(y\) et \(z\) sont les axes principaux d'inertie, la contrainte normale \(\sigma_x\) en un point de coordonnées (\(y, z\)) soumise à un effort normal \(N\) et des moments \(M_y\) et \(M_z\) (cas de la flexion composée déviée) est donnée par : \[ \sigma_x(y, z) = \frac{N}{A} + \frac{M_y}{I_y} z - \frac{M_z}{I_z} y \] où \(A\) est l'aire de la section, \(I_y\) et \(I_z\) sont les moments d'inertie principaux.

Convention de signe importante :

• \(N\) est positif en traction, négatif en compression.
• \(M_y\) est positif s'il tend les fibres à \(z > 0\) (convention usuelle RdM).
• \(M_z\) est positif s'il tend les fibres à \(y < 0\) (attention, signe moins dans la formule avec cette convention).
• Les coordonnées \(y\) et \(z\) sont mesurées par rapport au centre de gravité \(G\).

2.4 Diagramme des Contraintes

La formule montre que la contrainte normale \(\sigma_x\) varie toujours linéairement sur la section droite. Le diagramme des contraintes est donc trapézoïdal (ou triangulaire si l'axe neutre passe par un bord, ou rectangulaire en compression/traction simple).

Exemple de diagramme de contraintes (trapézoïdal) en flexion composée.

3. Position de l'Axe Neutre

3.1 Définition et Équation

L'axe neutre (A.N.) est le lieu géométrique des points de la section droite où la contrainte normale \(\sigma_x\) est nulle. Sa position est déterminée en annulant la formule générale des contraintes.

Pour la flexion composée simple (\(N, M_y\)) : \[ \sigma_x(z) = \frac{N}{A} + \frac{M_y}{I_y} z = 0 \] La position \(z_{AN}\) de l'axe neutre par rapport à l'axe \(y\) passant par G est donc : \[ z_{AN} = - \frac{N}{A} \frac{I_y}{M_y} \]

Contrairement à la flexion simple où l'axe neutre passe toujours par le centre de gravité G (en élasticité), en flexion composée, l'axe neutre ne passe généralement pas par G. Sa position dépend du rapport entre l'effort normal et le moment fléchissant.

L'axe neutre est toujours perpendiculaire au plan de flexion (plan contenant N et M).

3.2 Cas Particuliers

• Flexion simple (\(N=0\)) : \(z_{AN} = 0\). L'axe neutre passe par le centre de gravité G.
• Compression / Traction simple (\(M_y=0\)) : \(z_{AN} \rightarrow \infty\). L'axe neutre est rejeté à l'infini (toute la section est soit comprimée, soit tendue).
• Cas limite : Si l'axe neutre passe par un des bords de la section, la contrainte y est nulle et de signe constant sur le reste de la section.

3.3 Influence de l'Excentricité

On peut exprimer le moment fléchissant en fonction de l'excentricité \(e_z = M_y / N\) (distance du point d'application de N à l'axe y). La position de l'axe neutre devient : \[ z_{AN} = - \frac{N}{A} \frac{I_y}{N e_z} = - \frac{I_y}{A e_z} = - \frac{r_y^2}{e_z} \] où \(r_y = \sqrt{I_y / A}\) est le rayon de giration par rapport à l'axe y.

On voit que la position de l'axe neutre \(z_{AN}\) et l'excentricité \(e_z\) sont inversement proportionnelles (mesurées par rapport à G). Plus l'effort normal est excentré (grand \(e_z\)), plus l'axe neutre se rapproche du centre de gravité. Moins il est excentré (petit \(e_z\)), plus l'axe neutre s'éloigne de G.

Relation entre l'excentricité \(e_z\) de l'effort normal N et la position \(z_{AN}\) de l'axe neutre.

4. Analyse d'une Section Rectangulaire

Considérons une section rectangulaire de largeur \(b\) et de hauteur \(h\), soumise à un effort normal \(N\) et un moment \(M_y\). Son aire est \(A = b \times h\) et son moment d'inertie \(I_y = b h^3 / 12\). Les fibres extrêmes sont situées à \(z = \pm h/2\).

4.1 Calcul des Contraintes Extrêmes

La contrainte normale varie linéairement entre une valeur maximale \(\sigma_{max}\) et une valeur minimale \(\sigma_{min}\) sur les bords opposés de la section : \[ \sigma_{max} = \frac{N}{A} + \frac{M_y}{I_y} \frac{h}{2} = \frac{N}{bh} + \frac{6 M_y}{bh^2} \] \[ \sigma_{min} = \frac{N}{A} - \frac{M_y}{I_y} \frac{h}{2} = \frac{N}{bh} - \frac{6 M_y}{bh^2} \]

4.2 Détermination de l'Axe Neutre et Section Comprimée/Tendue

La position de l'axe neutre est donnée par \( z_{AN} = - \frac{N}{A} \frac{I_y}{M_y} \).

• Si \(|z_{AN}| > h/2\), l'axe neutre est à l'extérieur de la section. Toute la section est soumise à une contrainte de même signe (soit entièrement comprimée si N < 0, soit entièrement tendue si N > 0). \(\sigma_{max}\) et \(\sigma_{min}\) ont le même signe.
• Si \(|z_{AN}| \le h/2\), l'axe neutre coupe la section. Une partie de la section est comprimée et l'autre est tendue. \(\sigma_{max}\) et \(\sigma_{min}\) ont des signes opposés.

4.3 Notion de Noyau Central (Kern)

Le noyau central (ou kern) d'une section est le domaine à l'intérieur duquel doit se trouver le point d'application de l'effort normal \(N\) (de compression) pour que toute la section reste comprimée (c'est-à-dire pour que \(\sigma_{min} \le 0\)). Si le point d'application de \(N\) sort du noyau central, une partie de la section sera tendue.

La condition \(\sigma_{min} \le 0\) s'écrit : \[ \frac{N}{A} - \frac{M_y}{I_y} \frac{h}{2} \le 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{N}{A} \le \frac{N e_z}{I_y} \frac{h}{2} \] En supposant \(N\) de compression (N < 0, donc on divise par N en inversant le signe) : \[ \frac{1}{A} \ge \frac{e_z h}{2 I_y} \quad \Rightarrow \quad e_z \le \frac{2 I_y}{A h} = \frac{2 (bh^3/12)}{(bh) h} = \frac{h}{6} \] Pour une section rectangulaire, le noyau central est donc un losange dont les sommets sur les axes principaux sont situés à \( \pm h/6 \) sur l'axe z et \( \pm b/6 \) sur l'axe y. Tant que l'effort de compression est appliqué à l'intérieur de ce losange (excentricités \(|e_z| \le h/6\) et \(|e_y| \le b/6\)), la section est entièrement comprimée.

Noyau central (losange) pour une section rectangulaire.

5. Cas de la Flexion Déviée Composée

5.1 Définition

C'est le cas général où la section est soumise simultanément à un effort normal \(N\) et à deux moments fléchissants \(M_y\) et \(M_z\) autour de ses axes principaux d'inertie. Cela se produit lorsque la charge normale est excentrée par rapport aux deux axes, ou lorsque des moments sont appliqués dans un plan quelconque.

5.2 Formule des Contraintes

Comme vu précédemment, la contrainte normale en un point \( (y, z) \) est donnée par la superposition des effets : \[ \sigma_x(y, z) = \frac{N}{A} + \frac{M_y}{I_y} z - \frac{M_z}{I_z} y \] La distribution des contraintes est toujours linéaire (plane) sur la section.

5.3 Position de l'Axe Neutre

L'axe neutre est défini par l'équation \(\sigma_x(y, z) = 0\): \[ \frac{N}{A} + \frac{M_y}{I_y} z - \frac{M_z}{I_z} y = 0 \] C'est l'équation d'une droite dans le plan (\(y, z\)). L'axe neutre n'est généralement pas perpendiculaire au plan du moment résultant \(M = \sqrt{M_y^2 + M_z^2}\), sauf si la section est circulaire ou carrée (\(I_y = I_z\)). Sa position et son orientation dépendent des valeurs relatives de \(N\), \(M_y\), et \(M_z\). Il peut être intérieur ou extérieur à la section.

6. Application au Dimensionnement (États Limites)

La vérification d'une section en flexion composée se fait aux états limites ultimes (ELU) et de service (ELS).

6.1 Vérification à l'ELU (Résistance)

On vérifie que la section peut résister aux sollicitations de calcul (\(N_{Ed}, M_{y,Ed}, M_{z,Ed}\)) sans rupture. Pour les matériaux comme l'acier ou le béton armé, cela implique souvent de considérer le comportement plastique du matériau.

• Sections entièrement comprimées ou tendues : La vérification est similaire à la compression ou traction simple, mais avec la contrainte maximale calculée en flexion composée.
• Sections partiellement comprimées/tendues (béton armé) : Le calcul devient non linéaire. On utilise des diagrammes contrainte-déformation adaptés pour le béton et l'acier et on cherche l'équilibre de la section (méthodes des pivots en béton armé).
• Instabilité (Flambement) : Pour les éléments comprimés élancés (poteaux), il faut vérifier la résistance au flambement en tenant compte de l'interaction entre l'effort normal et les moments (effets du second ordre).

6.2 Vérification à l'ELS (Contraintes, Fissuration)

On vérifie que le comportement sous charges de service reste acceptable :

• Limitation des contraintes : Dans certains cas (ex: béton précontraint), on limite les contraintes de compression dans le béton et de traction dans les aciers pour éviter des déformations excessives ou des dommages irréversibles. Les calculs se font généralement en élasticité.
• Maîtrise de la fissuration (béton armé/précontraint) : Si la section est partiellement tendue, on vérifie que l'ouverture des fissures reste inférieure à une limite admissible pour garantir la durabilité (protection des armatures contre la corrosion).
• Déformations : Bien que plus complexe, l'évaluation des déformations (flèches, rotations) peut être nécessaire pour certains éléments en flexion composée.

6.3 Diagrammes d'Interaction N-M

Pour le dimensionnement à l'ELU, notamment en béton armé ou pour l'acier en tenant compte de la plasticité et de l'instabilité, on utilise souvent des diagrammes d'interaction. Ces diagrammes représentent, pour une section donnée, la courbe limite des combinaisons (\(N_{Rd}, M_{Rd}\)) que la section peut supporter.

Le point (\(N_{Ed}, M_{Ed}\)) représentant les sollicitations de calcul doit se trouver à l'intérieur du domaine délimité par ce diagramme pour que la section soit vérifiée. Il existe des diagrammes pour la flexion composée simple (N-M) et pour la flexion déviée composée (surfaces d'interaction N-My-Mz).

Exemple schématique d'un diagramme d'interaction N-M.

7. Conclusion

La flexion composée est une sollicitation fondamentale et très répandue dans les structures de génie civil. Elle résulte de la combinaison d'un effort normal et d'un moment fléchissant, entraînant une distribution linéaire mais non uniforme des contraintes normales dans la section.

Son analyse en régime élastique repose sur le principe de superposition, permettant de calculer les contraintes et de déterminer la position de l'axe neutre, qui ne coïncide généralement pas avec le centre de gravité. La notion de noyau central est utile pour déterminer si une section soumise à une compression excentrée reste entièrement comprimée.

Le dimensionnement des éléments en flexion composée nécessite de vérifier la résistance à l'ELU (souvent à l'aide de diagrammes d'interaction pour tenir compte de la plasticité ou de l'instabilité) et le respect des critères de service à l'ELS (limitation des contraintes, maîtrise de la fissuration). Une bonne compréhension de la flexion composée est donc indispensable pour concevoir des structures sûres et fonctionnelles.