Études de cas pratique

EGC

Distance entre Deux Collines en Géodésie

Calcul de Distance entre Deux Collines en Géodésie

Introduction aux Distances en Géodésie

En géodésie, la science de la mesure et de la représentation de la Terre, le calcul de la distance entre deux points prend une dimension plus complexe que la simple application du théorème de Pythagore sur un plan. La courbure de la Terre, sa forme non parfaitement sphérique (ellipsoïde) et les variations du champ de gravité (géoïde) influencent la définition et la mesure des distances. Pour des applications topographiques sur des étendues limitées, on travaille souvent avec des coordonnées projetées sur un plan, ce qui permet de calculer des distances horizontales et inclinées. La distance géodésique est la plus courte distance entre deux points sur la surface de l'ellipsoïde de référence.

Données de l'étude

On considère deux collines dont les sommets, P1 et P2, ont été relevés dans un système de coordonnées cartésiennes locales (supposées planes pour cet exercice sur une étendue limitée) :

Point X (Est) (m) Y (Nord) (m) Z (Altitude) (m)
P11250.753450.20450.50
P23780.404120.85620.75
Schéma Illustratif de la Distance entre Deux Collines
Distance entre Deux Collines P1 (Z1) P2 (Z2) Di Dh ΔZ

Schéma illustrant la distance horizontale (Dh), la distance inclinée (Di) et la dénivelée (ΔZ) entre les sommets P1 et P2 de deux collines.

Questions à traiter

  1. Calculer les différences de coordonnées \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) entre P1 et P2.
  2. Calculer la distance horizontale (\(D_{\text{h}}\)) entre les sommets P1 et P2.
  3. Calculer la dénivelée (\(\Delta Z\)) entre les sommets P1 et P2.
  4. Calculer la distance inclinée (\(D_{\text{i}}\)) entre les sommets P1 et P2.
  5. Si le rayon moyen de la Terre est \(R_{\text{T}} \approx 6371 \, \text{km}\), discutez brièvement de l'impact de la courbure terrestre sur la distance horizontale pour des points très éloignés (sans effectuer le calcul géodésique complet).

Correction : Calcul de Distance entre Deux Collines

Question 1 : Différences de coordonnées \(\Delta X\) et \(\Delta Y\)

Principe :

Les différences de coordonnées sont simplement \(X_{\text{P2}} - X_{\text{P1}}\) et \(Y_{\text{P2}} - Y_{\text{P1}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta X = X_{\text{P2}} - X_{\text{P1}}\]
\[\Delta Y = Y_{\text{P2}} - Y_{\text{P1}}\]
Données et Calcul :
  • P1: \(X_{\text{P1}} = 1250.75 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P1}} = 3450.20 \, \text{m}\)
  • P2: \(X_{\text{P2}} = 3780.40 \, \text{m}\), \(Y_{\text{P2}} = 4120.85 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} \Delta X &= 3780.40 - 1250.75 \\ &= 2529.65 \, \text{m} \\ \Delta Y &= 4120.85 - 3450.20 \\ &= 670.65 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Q1 : \(\Delta X = 2529.65 \, \text{m}\) et \(\Delta Y = 670.65 \, \text{m}\).

Question 2 : Distance horizontale (\(D_{\text{h}}\))

Principe :

La distance horizontale est calculée en utilisant le théorème de Pythagore avec les différences de coordonnées \(\Delta X\) et \(\Delta Y\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{\text{h}} = \sqrt{(\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2}\]
Données et Calcul :
  • \(\Delta X = 2529.65 \, \text{m}\)
  • \(\Delta Y = 670.65 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} D_{\text{h}} &= \sqrt{(2529.65)^2 + (670.65)^2} \\ &= \sqrt{6400033.3225 + 449771.4225} \\ &= \sqrt{6849804.745} \\ &\approx 2617.213 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Q2 : La distance horizontale \(D_{\text{h}} \approx 2617.213 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire : La distance horizontale tient-elle compte des altitudes des points ?

Question 3 : Dénivelée (\(\Delta Z\))

Principe :

La dénivelée est la différence d'altitude entre les deux points.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta Z = Z_{\text{P2}} - Z_{\text{P1}}\]
Données et Calcul :
  • \(Z_{\text{P1}} = 450.50 \, \text{m}\)
  • \(Z_{\text{P2}} = 620.75 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} \Delta Z &= 620.75 - 450.50 \\ &= 170.25 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Q3 : La dénivelée \(\Delta Z = 170.25 \, \text{m}\).

Question 4 : Distance inclinée (\(D_{\text{i}}\))

Principe :

La distance inclinée (ou distance suivant la pente) est la distance directe entre les deux points dans l'espace tridimensionnel. Elle est calculée en utilisant le théorème de Pythagore en 3D, ou à partir de la distance horizontale et de la dénivelée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[D_{\text{i}} = \sqrt{(D_{\text{h}})^2 + (\Delta Z)^2}\]

Ou directement : \(D_{\text{i}} = \sqrt{(\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2 + (\Delta Z)^2}\)

Données et Calcul :
  • \(D_{\text{h}} \approx 2617.213 \, \text{m}\)
  • \(\Delta Z = 170.25 \, \text{m}\)
\[ \begin{aligned} D_{\text{i}} &= \sqrt{(2617.213)^2 + (170.25)^2} \\ &= \sqrt{6849804.745 + 28985.0625} \\ &= \sqrt{6878789.8075} \\ &\approx 2622.741 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Q4 : La distance inclinée \(D_{\text{i}} \approx 2622.741 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire : La distance inclinée est-elle toujours :

Question 5 : Impact de la courbure terrestre

Discussion :

Pour des distances relativement courtes comme celle calculée (environ \(2.6 \, \text{km}\)), l'approximation d'un terrain plat localement et l'utilisation de coordonnées cartésiennes planes donnent des résultats pour la distance horizontale et inclinée qui sont généralement suffisants pour de nombreuses applications topographiques courantes.

Cependant, sur de plus longues distances, la courbure de la Terre devient significative :

  • La distance horizontale calculée comme \(\sqrt{(\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2}\) à partir de coordonnées projetées est une distance sur le plan de projection, pas la distance réelle mesurée à la surface de la Terre (distance géodésique sur l'ellipsoïde) ni la distance à vol d'oiseau (corde).
  • La distance géodésique, qui est la plus courte distance entre deux points sur la surface d'un ellipsoïde de référence, serait légèrement plus longue que la corde passant à travers la Terre et généralement différente de la distance horizontale plane, surtout si les points ont des altitudes différentes par rapport à l'ellipsoïde.
  • Pour des calculs précis sur de grandes distances, des formules géodésiques (comme celles de Vincenty ou utilisant la géométrie sphérique/ellipsoïdale) sont nécessaires. Ces formules prennent en compte les paramètres de l'ellipsoïde terrestre.
  • L'altitude elle-même est définie par rapport à une surface de référence (souvent le géoïde). La différence entre l'ellipsoïde et le géoïde (ondulation du géoïde) peut aussi introduire des complexités.
En résumé, pour cet exercice, la distance inclinée \(D_{\text{i}}\) est une bonne approximation de la distance réelle entre les sommets dans l'espace 3D local. La distance géodésique serait pertinente si nous parlions de la distance "au sol" en suivant la courbure terrestre sur une plus grande échelle.

Résultat Q5 : Pour des distances de quelques kilomètres, la courbure terrestre a un impact minime sur la distance horizontale calculée dans un système de projection local. Sur de longues distances, elle devient primordiale et nécessite des calculs géodésiques spécifiques.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. La distance horizontale entre deux points P1(X1,Y1) et P2(X2,Y2) est :

2. Laquelle de ces distances est généralement la plus longue entre deux points situés à des altitudes différentes ?

3. La géodésie est la science qui étudie :

Glossaire

Distance Horizontale (\(D_{\text{h}}\))
Distance entre les projections verticales de deux points sur un plan horizontal de référence.
Dénivelée (\(\Delta Z\))
Différence d'altitude entre deux points.
Distance Inclinée (\(D_{\text{i}}\))
Distance directe entre deux points dans l'espace tridimensionnel, suivant la pente du terrain.
Géodésie
Science qui étudie la forme, les dimensions de la Terre, son champ de gravité, et qui permet de déterminer la position de points à sa surface.
Ellipsoïde de référence
Modèle mathématique de la forme de la Terre, utilisé comme surface de référence pour les calculs géodésiques et les systèmes de coordonnées.
Géoïde
Surface équipotentielle du champ de pesanteur terrestre qui coïncide au mieux avec le niveau moyen des mers. C'est la surface de référence pour les altitudes orthométriques.
Coordonnées Cartésiennes (Planes)
Système de localisation de points dans un plan (X, Y) ou dans l'espace (X, Y, Z) par rapport à des axes orthogonaux.
Courbure Terrestre
Le fait que la surface de la Terre n'est pas plane mais courbe, ce qui doit être pris en compte pour les mesures et calculs sur de longues distances.
Calcul de Distance entre Deux Collines - Exercice d'Application en Géodésie

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