Études de cas pratique

EGC

Conception d’une Voie Ferrée En Topographie

Conception d’une Voie Ferrée En Topographie

Conception d’une Voie Ferrée : Planification et Calculs

Comprendre la Conception d'une Voie Ferrée

La conception d'une voie ferrée est un processus complexe qui implique la définition du tracé géométrique de la voie, en plan et en profil en long, pour assurer la sécurité, le confort et l'efficacité du transport ferroviaire. Les éléments clés du tracé en plan comprennent les alignements droits et les courbes de raccordement (circulaires, clothoïdes). Le calcul précis des caractéristiques de ces courbes (rayon, longueur, points de tangence) et leur implantation sur le terrain sont des tâches fondamentales pour le topographe et l'ingénieur en génie civil. Cet exercice se concentre sur le raccordement de deux alignements droits par une courbe circulaire simple.

Données de l'étude

Deux alignements droits d'une future voie ferrée se croisent en un point d'intersection (PI). On souhaite les raccorder par une courbe circulaire simple.

Coordonnées du Point d'Intersection des Alignements (PI) (en mètres) :

  • \(X_{\text{PI}} = 1500.000 \, \text{m}\)
  • \(Y_{\text{PI}} = 2500.000 \, \text{m}\)

Gisements des Alignements Droits :

  • Gisement de l'alignement droit amont (entrant dans la courbe) : \(G_1 = 60.0000^\circ\)
  • Gisement de l'alignement droit aval (sortant de la courbe) : \(G_2 = 105.0000^\circ\)

Paramètre de la Courbe Circulaire :

  • Rayon de la courbe circulaire (\(R\)) : \(500.000 \, \text{m}\)
Schéma : Raccordement par Courbe Circulaire
Alignement 1 (G1) Alignement 2 (G2) PI TC CT O (Centre) R Δ Raccordement de Voie Ferrée

Schéma illustrant le raccordement de deux alignements droits par une courbe circulaire.

Questions à traiter

  1. Définir les éléments suivants d'une courbe circulaire simple : Angle au centre (\(\Delta\)), Rayon (\(R\)), Tangente (\(T\)), Développement (\(L_c\)), Flèche (\(F\)), et Corde (\(C\)).
  2. Calculer l'angle au centre (\(\Delta\)) de la courbe de raccordement.
  3. Calculer la longueur de la tangente (\(T\)) de la courbe.
  4. Calculer le développement (longueur de l'arc) de la courbe circulaire (\(L_c\)).
  5. Calculer les coordonnées du point de tangence début de courbe (TC).
  6. Calculer les coordonnées du point de tangence fin de courbe (CT).
  7. Calculer la longueur de la grande corde (C) du raccordement (distance TC-CT).

Correction : Conception d’une Voie Ferrée

Question 1 : Définition des éléments d'une courbe circulaire

Définitions :
  • Angle au centre (\(\Delta\)) : Angle formé au centre de la courbe circulaire par les rayons passant par les points de tangence (début et fin de courbe). C'est aussi l'angle de déviation entre les deux alignements droits.
  • Rayon (\(R\)) : Rayon du cercle dont l'arc forme la courbe de raccordement.
  • Tangente (\(T\)) : Distance entre le point d'intersection des alignements (PI) et chacun des points de tangence (TC et CT). Les deux tangentes (PI-TC et PI-CT) sont de même longueur pour une courbe circulaire simple.
  • Développement (\(L_c\)) : Longueur de l'arc de cercle entre le point de tangence début de courbe (TC) et le point de tangence fin de courbe (CT).
  • Flèche (\(F\)) : Distance entre le milieu de la grande corde et le milieu de l'arc de la courbe. C'est la distance maximale entre la corde et l'arc.
  • Corde (\(C\)) : Segment de droite reliant les deux points de tangence (TC et CT).
Résultat Question 1 : Les éléments clés d'une courbe circulaire sont l'angle au centre \(\Delta\), le rayon \(R\), la tangente \(T\), le développement \(L_c\), la flèche \(F\), et la corde \(C\).

Question 2 : Calcul de l'angle au centre (\(\Delta\))

Principe :

L'angle au centre \(\Delta\) est égal à la valeur absolue de la différence entre les gisements des deux alignements droits. Il faut s'assurer que l'angle est positif et généralement inférieur à \(180^\circ\) pour un raccordement simple.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta = |G_2 - G_1|\]

Si le résultat est supérieur à \(180^\circ\), on prend \(360^\circ - \text{résultat}\) pour obtenir l'angle intérieur de déviation.

Données spécifiques :
  • \(G_1 = 60.0000^\circ\)
  • \(G_2 = 105.0000^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta &= |105.0000^\circ - 60.0000^\circ| \\ &= |45.0000^\circ| \\ &= 45.0000^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'angle au centre de la courbe est \(\Delta = 45.0000^\circ\).

Question 3 : Calcul de la longueur de la tangente (\(T\))

Principe :

La longueur de la tangente (\(T\)) pour une courbe circulaire simple est calculée en fonction du rayon (\(R\)) et de l'angle au centre (\(\Delta\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T = R \cdot \tan\left(\frac{\Delta}{2}\right)\]
Données spécifiques :
  • \(R = 500.000 \, \text{m}\)
  • \(\Delta = 45.0000^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{\Delta}{2} &= \frac{45.0000^\circ}{2} = 22.5000^\circ \\ T &= 500.000 \, \text{m} \cdot \tan(22.5000^\circ) \\ &\approx 500.000 \cdot 0.41421356 \\ &\approx 207.10678 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La longueur de la tangente est \(T \approx 207.107 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le rayon \(R\) était de \(1000 \, \text{m}\) (avec \(\Delta = 45^\circ\)), la longueur de la tangente \(T\) serait :

Question 4 : Calcul du développement de la courbe (\(L_c\))

Principe :

Le développement (\(L_c\)) est la longueur de l'arc de la courbe circulaire. Il est calculé en fonction du rayon (\(R\)) et de l'angle au centre (\(\Delta\)), ce dernier devant être exprimé en radians pour la formule directe.

Formule(s) utilisée(s) :
\[L_c = R \cdot \Delta_{\text{rad}}\]

où \(\Delta_{\text{rad}} = \Delta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180^\circ}\).

Alternativement : \(L_c = \frac{\pi R \Delta_{\text{deg}}}{180^\circ}\).

Données spécifiques :
  • \(R = 500.000 \, \text{m}\)
  • \(\Delta = 45.0000^\circ\)
Calcul :

Conversion de \(\Delta\) en radians :

\[ \Delta_{\text{rad}} = 45.0000^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{4} \approx 0.785398 \, \text{rad} \]
\[ \begin{aligned} L_c &= 500.000 \, \text{m} \cdot \frac{\pi}{4} \\ &\approx 500.000 \cdot 0.78539816 \\ &\approx 392.69908 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le développement de la courbe circulaire est \(L_c \approx 392.699 \, \text{m}\).

Question 5 : Coordonnées du point de tangence TC

Principe :

Le point de tangence début de courbe (TC) se trouve sur l'alignement amont, à une distance \(T\) en amont du point d'intersection PI. Son gisement depuis PI est l'opposé du gisement de l'alignement amont (\(G_1\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{PI-TC}} = (G_1 + 180^\circ) \pmod{360^\circ} \quad \text{ou} \quad G_{\text{PI-TC}} = G_1 - 180^\circ \pmod{360^\circ} \]

(On recule sur l'alignement \(G_1\))

\[ X_{\text{TC}} = X_{\text{PI}} + T \cdot \sin(G_{\text{PI-TC}}) \]
\[ Y_{\text{TC}} = Y_{\text{PI}} + T \cdot \cos(G_{\text{PI-TC}}) \]
Données spécifiques :
  • \(X_{\text{PI}} = 1500.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{PI}} = 2500.000 \, \text{m}\)
  • \(T \approx 207.10678 \, \text{m}\)
  • \(G_1 = 60.0000^\circ\)
Calcul :

Gisement de PI vers TC (en reculant sur l'alignement \(G_1\)) :

\[ G_{\text{PI-TC}} = (60.0000^\circ + 180.0000^\circ) \pmod{360^\circ} = 240.0000^\circ \]
\[ \begin{aligned} X_{\text{TC}} &= 1500.000 + 207.10678 \cdot \sin(240.0000^\circ) \\ &= 1500.000 + 207.10678 \cdot (-0.8660254) \\ &\approx 1500.000 - 179.374 \\ &\approx 1320.626 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{TC}} &= 2500.000 + 207.10678 \cdot \cos(240.0000^\circ) \\ &= 2500.000 + 207.10678 \cdot (-0.5) \\ &\approx 2500.000 - 103.553 \\ &\approx 2396.447 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Les coordonnées du point TC sont environ \(X_{\text{TC}} \approx 1320.626 \, \text{m}\), \(Y_{\text{TC}} \approx 2396.447 \, \text{m}\).

Question 6 : Coordonnées du point de tangence CT

Principe :

Le point de tangence fin de courbe (CT) se trouve sur l'alignement aval, à une distance \(T\) en aval du point d'intersection PI. Son gisement depuis PI est le gisement de l'alignement aval (\(G_2\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ G_{\text{PI-CT}} = G_2 \]
\[ X_{\text{CT}} = X_{\text{PI}} + T \cdot \sin(G_{\text{PI-CT}}) \]
\[ Y_{\text{CT}} = Y_{\text{PI}} + T \cdot \cos(G_{\text{PI-CT}}) \]
Données spécifiques :
  • \(X_{\text{PI}} = 1500.000 \, \text{m}\), \(Y_{\text{PI}} = 2500.000 \, \text{m}\)
  • \(T \approx 207.10678 \, \text{m}\)
  • \(G_2 = 105.0000^\circ\)
Calcul :
\[ G_{\text{PI-CT}} = 105.0000^\circ \]
\[ \begin{aligned} X_{\text{CT}} &= 1500.000 + 207.10678 \cdot \sin(105.0000^\circ) \\ &= 1500.000 + 207.10678 \cdot 0.9659258 \\ &\approx 1500.000 + 200.045 \\ &\approx 1700.045 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Y_{\text{CT}} &= 2500.000 + 207.10678 \cdot \cos(105.0000^\circ) \\ &= 2500.000 + 207.10678 \cdot (-0.2588190) \\ &\approx 2500.000 - 53.598 \\ &\approx 2446.402 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Les coordonnées du point CT sont environ \(X_{\text{CT}} \approx 1700.045 \, \text{m}\), \(Y_{\text{CT}} \approx 2446.402 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le point PI (Point d'Intersection) se situe :

Question 7 : Longueur de la grande corde (C)

Principe :

La longueur de la grande corde (C) d'une courbe circulaire simple est la distance en ligne droite entre TC et CT. Elle peut être calculée à partir du rayon \(R\) et de l'angle au centre \(\Delta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ C = 2 R \cdot \sin\left(\frac{\Delta}{2}\right) \]

Alternativement, on peut calculer la distance euclidienne entre les coordonnées de TC et CT.

Données spécifiques :
  • \(R = 500.000 \, \text{m}\)
  • \(\Delta = 45.0000^\circ \Rightarrow \frac{\Delta}{2} = 22.5000^\circ\)
  • Coordonnées TC: \(X_{\text{TC}} \approx 1320.626\), \(Y_{\text{TC}} \approx 2396.447\)
  • Coordonnées CT: \(X_{\text{CT}} \approx 1700.045\), \(Y_{\text{CT}} \approx 2446.402\)
Calcul (méthode trigonométrique) :
\[ \begin{aligned} C &= 2 \times 500.000 \, \text{m} \cdot \sin(22.5000^\circ) \\ &= 1000.000 \cdot 0.3826834 \\ &\approx 382.683 \, \text{m} \end{aligned} \]
Calcul (vérification par coordonnées) :
\[ \begin{aligned} \Delta X_{\text{TC-CT}} &\approx 1700.045 - 1320.626 = 379.419 \, \text{m} \\ \Delta Y_{\text{TC-CT}} &\approx 2446.402 - 2396.447 = 49.955 \, \text{m} \\ C &= \sqrt{(379.419)^2 + (49.955)^2} \\ &= \sqrt{143958.709961 + 2495.502025} \\ &= \sqrt{146454.211986} \\ &\approx 382.693 \, \text{m} \end{aligned} \]

La petite différence est due aux arrondis successifs dans les calculs de coordonnées.

Résultat Question 7 : La longueur de la grande corde est \(C \approx 382.683 \, \text{m}\) (par trigonométrie) ou \(C \approx 382.693 \, \text{m}\) (par coordonnées).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. La tangente \(T\) d'une courbe circulaire est la distance entre :

9. Si l'angle au centre \(\Delta\) d'une courbe augmente, avec un rayon \(R\) constant, la longueur de la tangente \(T\) :

10. Le développement (\(L_c\)) d'une courbe circulaire est toujours :

Glossaire

Alignement Droit
Section rectiligne d'un tracé (route, voie ferrée).
Courbe Circulaire Simple
Arc de cercle de rayon constant utilisé pour raccorder deux alignements droits sécants.
Point d'Intersection (PI)
Point où les prolongements des deux alignements droits se croisent.
Angle au Centre (\(\Delta\))
Angle formé par les deux rayons de la courbe aboutissant aux points de tangence. C'est aussi l'angle de déviation des alignements.
Rayon (\(R\))
Rayon de l'arc de cercle formant la courbe.
Tangente (\(T\))
Distance du PI à chacun des points de tangence (TC et CT).
Point de Tangence Début de Courbe (TC)
Point où l'alignement droit amont devient tangent à la courbe circulaire.
Point de Tangence Fin de Courbe (CT)
Point où la courbe circulaire devient tangente à l'alignement droit aval.
Développement de la Courbe (\(L_c\))
Longueur de l'arc de cercle entre TC et CT.
Gisement (ou Azimuth)
Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir d'une direction de référence (généralement le Nord) jusqu'à une ligne.
Grande Corde (\(C\))
Segment de droite reliant directement TC à CT.
Conception d’une Voie Ferrée - Exercice d'Application

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