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Conception d’une Voie Ferrée En Topographie

Topographie : Conception d’une Voie Ferrée (Courbe Circulaire)

Conception d’une Voie Ferrée : Raccordement Circulaire

Contexte : L'Art de Tourner en Douceur

Lors de la conception d'une route ou d'une voie ferrée, il est impossible de ne tracer que des lignes droites. Les changements de direction sont gérés par des courbes. La plus simple est la courbe circulaireUn arc de cercle de rayon constant utilisé pour connecter deux sections droites (tangentes) d'un tracé., qui assure un virage à rayon constant. Le calcul précis des points de début et de fin de cette courbe, ainsi que de sa longueur, est une tâche fondamentale de la topographie pour garantir un tracé sûr et confortable. Cet exercice a pour but de calculer les éléments clés d'un raccordement circulaire simple pour une voie ferrée.

Remarque Pédagogique : Ce type de calcul est la base de tous les projets d'infrastructure linéaire (routes, canaux, voies ferrées). Maîtriser la géométrie du raccordement circulaire est la première étape avant d'aborder des concepts plus avancés comme les courbes de transition (clothoïdes), qui sont essentielles pour les voies à grande vitesse.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la géométrie d'un raccordement circulaire.
  • Calculer la longueur de la tangente et le développement de l'arc.
  • Déterminer les points kilométriques (PK)Système de repérage longitudinal le long d'un projet linéaire (route, voie ferrée), indiquant la distance depuis un point d'origine. des points de raccordement.
  • Appliquer la trigonométrie pour calculer les éléments d'une courbe.
  • Comprendre les bases de l'implantation de courbe sur le terrain.

Données de l'étude

Deux alignements droits d'une future voie ferrée se croisent en un point S avec un angle \(\alpha = 140 \, \text{gr}\) (grades). On souhaite les raccorder par une courbe circulaire de rayon \(R = 800 \, \text{m}\).

Schéma du Raccordement Circulaire
S T1 T2 O α = 140 gr θ

Données complémentaires :

  • Le point d'intersection S est au PK 12+450.50 m.
  • On utilise les grades comme unité d'angle (\(200 \, \text{gr} = 180^\circ = \pi \, \text{rad}\)).

Questions à traiter

  1. Calculer la longueur de la tangente \(TS = ST_1 = ST_2\).
  2. Calculer le développement de l'arc de cercle \(L_{T_1T_2}\).
  3. Calculer les PK du point de tangence d'entrée (\(PK_{T_1}\)) et de sortie (\(PK_{T_2}\)).

Correction : Conception d’une Voie Ferrée

Question 1 : Calcul de la longueur de la tangente (TS)

Principe :
S T1 O TS = ? R α/2

Les deux tangentes (ST1 et ST2) et les deux rayons (OT1 et OT2) forment un quadrilatère. La bissectrice de l'angle en S passe par le centre O et divise ce quadrilatère en deux triangles rectangles identiques (ex: OT1S). Dans le triangle OT1S, rectangle en T1, on peut utiliser la trigonométrie pour trouver la longueur de la tangente TS.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La symétrie est la clé de la géométrie des raccordements. Le fait que les triangles OT1S et OT2S soient identiques simplifie grandement les calculs. La longueur de la tangente est la distance entre le début de la courbe et le point où les alignements droits se seraient croisés.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{OT_1}{ST_1} = \frac{R}{TS} \Rightarrow TS = \frac{R}{\tan(\alpha/2)} = R \times \tan\left(\frac{200-\alpha}{2}\right) \]
Donnée(s) :
  • Rayon \(R = 800 \, \text{m}\)
  • Angle au sommet \(\alpha = 140 \, \text{gr}\)
Calcul(s) :
\[ \frac{\alpha}{2} = \frac{140}{2} = 70 \, \text{gr} \]
\[ \begin{aligned} TS &= \frac{800}{\tan(70 \, \text{gr})} \\ &= \frac{800}{1.37638} \\ &\approx 581.22 \, \text{m} \end{aligned} \]

Alternative avec l'angle complémentaire :

\[ \begin{aligned} TS &= 800 \times \tan\left(\frac{200-140}{2}\right) \\ &= 800 \times \tan(30 \, \text{gr}) \\ &= 800 \times 0.72654 \\ &\approx 581.23 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Unité d'angle : L'énoncé utilise les grades. Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode Grades (GRA) et non en Degrés (DEG) ou Radians (RAD). C'est la source d'erreur la plus courante.

Le saviez-vous ?

Le grade (ou gradian) est une unité d'angle divisant le cercle en 400 unités. Il a été introduit en France après la Révolution pour décimaliser les angles (1 angle droit = 100 gr), mais son usage reste aujourd'hui principalement confiné à la topographie dans certains pays européens.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi y a-t-il deux formules pour TS ?

Ce sont en fait les mêmes. Dans le triangle rectangle OT1S, l'angle en S est \(\alpha/2\) et l'angle au centre O est \((200-\alpha)/2\). Comme \(\tan(x) = 1/\tan(100-x)\) en grades, \(\tan((200-\alpha)/2) = \tan(100-\alpha/2) = 1/\tan(\alpha/2)\). Les deux formules sont donc mathématiquement équivalentes.

Résultat : La longueur de la tangente \(TS\) est d'environ 581.23 m.

Question 2 : Calcul du développement de l'arc (\(L_{T_1T_2}\))

Principe :
L = R × θ

Le développement (ou longueur) de l'arc de cercle est la distance réelle que le train parcourra sur la courbe. Elle est proportionnelle au rayon \(R\) et à l'angle au centre \(\theta\). Cet angle est le supplémentaire de l'angle au sommet \(\alpha\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Il est essentiel de ne pas confondre l'angle au sommet \(\alpha\) (angle entre les tangentes) et l'angle au centre \(\theta\) (angle qui définit l'arc). Dans un raccordement circulaire, leur somme est toujours de 200 grades (ou 180°).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \theta_{\text{gr}} = 200 - \alpha \]
\[ \theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{gr}} \times \frac{\pi}{200} \]
\[ L = R \times \theta_{\text{rad}} \]
Donnée(s) :
  • Rayon \(R = 800 \, \text{m}\)
  • Angle au sommet \(\alpha = 140 \, \text{gr}\)
Calcul(s) :
\[ \theta_{\text{gr}} = 200 - 140 = 60 \, \text{gr} \]
\[ \theta_{\text{rad}} = 60 \times \frac{\pi}{200} \approx 0.9425 \, \text{rad} \]
\[ \begin{aligned} L &= 800 \times 0.9425 \\ &\approx 753.98 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Angle en radians : La formule \(L=R\theta\) n'est valable que si l'angle \(\theta\) est exprimé en radians. L'utiliser avec des grades ou des degrés est une erreur fondamentale.

Le saviez-vous ?

Pour les voies ferrées, le rayon des courbes est un facteur limitant de la vitesse. Un train à grande vitesse nécessite des courbes de très grand rayon (plusieurs kilomètres) pour limiter la force centrifuge ressentie par les passagers.

FAQ en rapport avec la question :
Existe-t-il une formule directe avec l'angle en grades ?

Oui. La longueur d'un arc est une portion de la circonférence du cercle complet (\(2\pi R\)). La formule générale est \(L = (\text{Circonférence}) \times (\frac{\text{Angle de l'arc}}{\text{Angle du cercle complet}})\). En grades, cela donne \(L = 2\pi R \times \frac{\theta_{gr}}{400}\), ce qui est équivalent.

Résultat : Le développement de l'arc est d'environ 753.98 m.

Question 3 : Calcul des PK de T1 et T2

Principe :
Origine T1 T2 PK(T1) L

Le PK (Point Kilométrique) est l'abscisse curviligne le long de l'axe du projet. Pour trouver le PK de T1, on part du PK de S et on "recule" de la longueur de la tangente. Pour trouver le PK de T2, on part du PK de T1 et on "avance" le long de la courbe de la longueur de l'arc.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le cheminement pour le calcul des PK suit le tracé réel. On ne peut pas calculer \(PK_{T_2}\) à partir de S, car la distance \(ST_2\) n'est pas sur l'axe du projet final. L'axe passe par la courbe, pas par le point S.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ PK_{T_1} = PK_S - TS \]
\[ PK_{T_2} = PK_{T_1} + L_{T_1T_2} \]
Donnée(s) :
  • \(PK_S = 12450.50 \, \text{m}\)
  • \(TS \approx 581.23 \, \text{m}\)
  • \(L_{T_1T_2} \approx 753.98 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} PK_{T_1} &= 12450.50 - 581.23 \\ &= 11869.27 \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} PK_{T_2} &= 11869.27 + 753.98 \\ &= 12623.25 \, \text{m} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Notation des PK : Soyez attentif à la notation. "PK 12+450.50" signifie 12 km et 450.50 m, soit 12450.50 m. Il est plus sûr de tout convertir en mètres pour les calculs afin d'éviter les erreurs.

Le saviez-vous ?

Sur le terrain, les topographes "implantent" ces points calculés (T1, T2, et des points intermédiaires sur la courbe) à l'aide de stations totales et de piquets, pour guider les engins de chantier avec une précision centimétrique.

FAQ en rapport avec la question :
Le PK de S est-il toujours connu ?

Oui, en phase de conception, les alignements droits sont définis en premier. Leur intersection (le point S) est donc un point géométrique dont on peut calculer les coordonnées et le PK (en prolongeant l'axe du premier alignement) avant même de définir la courbe.

Résultat : \(PK_{T_1} = 11+869.27\) m et \(PK_{T_2} = 12+623.25\) m.

Simulation de Raccordement Circulaire

Faites varier le rayon de la courbe et l'angle au sommet pour observer leur impact sur la géométrie du raccordement. Un grand rayon adoucit la courbe mais augmente la longueur des tangentes.

Paramètres de la Courbe
Longueur Tangente (TS)
Longueur de l'Arc (L)

Pour Aller Plus Loin : Les Courbes de Transition

La Clothoïde, la courbe idéale : Sur une voie rapide, passer brutalement d'une ligne droite (rayon infini) à une courbe circulaire (rayon R) provoquerait une secousse latérale instantanée. Pour éviter cela, on insère une "courbe de transition" (généralement une clothoïde) dont le rayon diminue progressivement de l'infini à R. Cela permet une application progressive de la force centrifuge, assurant confort et sécurité. Le calcul des clothoïdes est une étape plus avancée mais essentielle de la conception routière et ferroviaire moderne.

Le Saviez-Vous ?

Pour compenser la force centrifuge dans les courbes, les voies ferrées sont inclinées. Cette inclinaison, appelée "dévers", est calculée en fonction du rayon de la courbe et de la vitesse nominale des trains. C'est pour cela que l'on se sent "poussé" vers l'intérieur du virage dans un train rapide.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si l'angle alpha est de 200 gr ?

Un angle de 200 gr (ou 180°) signifie que les deux alignements droits sont parallèles et ne se croisent jamais. Il n'y a donc pas de raccordement circulaire possible dans ce cas ; le tracé reste une ligne droite.

Comment implante-t-on la courbe sur le terrain ?

Il existe plusieurs méthodes. La plus courante est "l'implantation par coordonnées polaires" depuis le point de tangence T1. Un topographe place son appareil (station totale) sur T1, vise l'alignement droit, puis tourne d'un certain angle et mesure une certaine distance pour placer un piquet sur la courbe. Il répète l'opération pour plusieurs points afin de matérialiser l'arc de cercle.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente le rayon R d'une courbe (en gardant l'angle α constant) :

2. Le point kilométrique (PK) est une mesure de :

Glossaire

Alignement Droit
Une section droite d'un tracé routier ou ferroviaire.
Raccordement Circulaire
Un arc de cercle de rayon constant utilisé pour connecter en douceur deux alignements droits qui se croisent.
Point Kilométrique (PK)
Un système de repérage qui mesure la distance le long de l'axe central d'un projet linéaire (route, voie ferrée) depuis un point d'origine. Ex: PK 12+450.50 = 12450.50 mètres.
Tangente (TS)
La distance entre le point de début (ou de fin) de la courbe et le point d'intersection des alignements droits.
Développement de l'arc (L)
La longueur réelle de l'arc de cercle, mesurée sur la courbe.
Grade (gr)
Une unité de mesure d'angle où un cercle complet est divisé en 400 grades. Un angle droit mesure 100 gr.
Conception d’une Voie Ferrée

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