Conception d’une Voie Ferrée En Topographie
Contexte : Le tracé en plan d'une voie ferrée.
La conception géométrique d'une voie ferrée est une étape cruciale en topographie et en génie civil. Elle consiste à définir l'axe de la voie dans les trois dimensions. Le tracé en plan, qui est la projection de l'axe sur un plan horizontal, est constitué d'alignements droits et de courbes. Cet exercice se concentre sur le calcul d'un raccordement circulaireCourbe à rayon constant utilisée pour relier deux sections droites (alignements) d'un tracé. simple, un élément fondamental pour assurer la transition douce et sécuritaire d'un train entre deux sections rectilignes.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer des formules de topographie et de trigonométrie à un cas pratique d'ingénierie ferroviaire, en particulier le calcul des éléments nécessaires à l'implantation d'une courbe sur le terrain.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et calculer les caractéristiques géométriques d'une courbe circulaire.
- Déterminer le déversInclinaison transversale de la voie en courbe, destinée à compenser la force centrifuge. Le rail extérieur est plus haut que le rail intérieur. nécessaire en fonction de la vitesse et du rayon.
- Calculer les points kilométriques (PK) des points clés de la courbe.
- Maîtriser les formules de base du tracé ferroviaire.
Données de l'étude
Schéma du Raccordement Circulaire
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Angle au sommet des alignements | \( \alpha \) | 40 | \( \text{gon} \) |
| Rayon de la courbe | \( R \) | 800 | \( \text{m} \) |
| Vitesse de référence de la ligne | \( V \) | 120 | \( \text{km/h} \) |
| Point Kilométrique du sommet S | \( PK_{\text{S}} \) | 12 + 450.00 | \( \text{km + m} \) |
| Écartement standard de la voie | \( e \) | 1.435 | \( \text{m} \) |
Questions à traiter
- Calculer la longueur de la tangente (ST1 = ST2).
- Calculer la longueur développée de l'arc de cercle (T1-T2).
- Déterminer les Points Kilométriques (PK) du point d'entrée en courbe (T1) et du point de sortie de courbe (T2).
- Calculer le dévers théorique à appliquer en voie pour compenser la force centrifuge.
Les bases du Raccordement Circulaire
Un raccordement circulaire est défini par son rayon R et l'angle α que forment les deux alignements droits qu'il relie. Les calculs visent à déterminer les dimensions et positions des points caractéristiques de la courbe.
1. Longueur de la Tangente (T)
C'est la distance entre le sommet (S) et les points de tangence (T1 ou T2). Elle se calcule avec la formule :
\[ T = R \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \]
2. Développement de l'arc (D)
C'est la longueur de la courbe entre T1 et T2. Il faut d'abord convertir l'angle α en radians.
\[ D = R \cdot \alpha_{\text{rad}} \quad \text{avec} \quad \alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{gon}} \cdot \frac{\pi}{200} \]
3. Dévers (d)
Le dévers est la surélévation du rail extérieur pour contrer la force centrifuge. Une formule usuelle simplifiée est :
\[ d \text{ [mm]} = \frac{11.8 \cdot V^2 \text{ [km/h]}}{R \text{ [m]}} \]
Correction : Conception d’une Voie Ferrée En Topographie
Question 1 : Calculer la longueur de la tangente (T)
Principe
La tangente est la distance du sommet S aux points de début (T1) et de fin (T2) de la courbe. Dans le triangle rectangle (O, T1, S), on peut utiliser la trigonométrie pour trouver cette longueur, connaissant le rayon R et la moitié de l'angle au sommet α.
Mini-Cours
La ligne qui joint le centre du cercle (O) au sommet (S) est la bissectrice de l'angle α. Elle forme donc deux triangles rectangles identiques (O-T1-S et O-T2-S), rectangles en T1 et T2 car le rayon est toujours perpendiculaire à la tangente au point de tangence.
Remarque Pédagogique
Visualisez toujours le triangle rectangle (O, T1, S). C'est la clé pour comprendre d'où vient la formule de la tangente et pour la retrouver si vous l'oubliez. La trigonométrie de base est votre meilleure alliée.
Normes
Le calcul des éléments géométriques de base est universel, mais les tolérances d'implantation sur le terrain sont définies par les cahiers des charges de l'exploitant ferroviaire (par exemple, les instructions de SNCF Réseau en France).
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que les alignements sont parfaitement droits et que le raccordement est un arc de cercle parfait, sans courbes de transition (clothoïdes).
Donnée(s)
Nous listons ici les données de l'énoncé nécessaires pour résoudre cette question.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rayon de la courbe | \(R\) | 800 | m |
| Angle au sommet | \(\alpha\) | 40 | gon |
Astuces
Pour un angle de 50 gon (angle droit / 2), la tangente T est égale au rayon R. Pour 100 gon (angle plat / 2), T est infinie. Cela vous donne des points de repère pour vérifier la plausibilité de votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle rectangle pour le calcul de T
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de l'angle \(\alpha/2\)
Étape 2 : Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Schéma avec tangente calculée
Réflexions
Cette longueur de 259.94 m est la distance qu'un topographe doit mesurer depuis le sommet S le long de chaque alignement pour trouver les points T1 et T2 où la courbe commencera et se terminera. C'est une dimension clé pour l'implantation sur le terrain.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'utiliser le mauvais mode d'angle sur sa calculatrice. Vérifiez toujours si elle est en DEG, RAD ou GRAD (gon). Une erreur ici faussera tous les calculs suivants.
Points à retenir
- La tangente T dépend à la fois du rayon R et de l'angle α.
- La formule \( T = R \cdot \tan(\alpha/2) \) est fondamentale.
- La géométrie du problème repose sur un triangle rectangle simple.
Le saviez-vous ?
Dans les tracés modernes, on insère des 'clothoïdes' (courbes à rayon progressif) entre la ligne droite et le cercle pour que la force centrifuge augmente progressivement, améliorant considérablement le confort des passagers.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le rayon était de 1000 m avec le même angle, quelle serait la nouvelle longueur de la tangente ?
Question 2 : Calculer la longueur développée de l'arc (D)
Principe
La longueur développée de l'arc est la distance réelle que parcourra le train sur la courbe, du point T1 au point T2. Elle est proportionnelle au rayon et à l'angle au centre de la courbe (qui est égal à α).
Mini-Cours
La définition même du radian est que pour un angle d'un radian, la longueur de l'arc intercepté est égale au rayon. C'est pourquoi la formule D = R * α est si simple lorsque l'angle est exprimé dans cette unité "naturelle".
Remarque Pédagogique
Ne confondez jamais la longueur de l'arc (le chemin réellement parcouru) avec la longueur de la corde (la ligne droite entre T1 et T2). Le train suit l'arc, c'est cette distance qui est utilisée pour le chaînage des PK.
Normes
La longueur des courbes a un impact sur la signalisation et la pose des balises (par exemple pour le système KVB ou ERTMS) qui doivent être positionnées à des distances précises le long de la voie.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que les alignements sont parfaitement droits et que le raccordement est un arc de cercle parfait. On suppose également que la longueur est mesurée exactement le long de l'axe central de la voie.
Donnée(s)
Nous listons ici les données de l'énoncé nécessaires pour résoudre cette question.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Rayon de la courbe | \(R\) | 800 | m |
| Angle au sommet | \(\alpha\) | 40 | gon |
Astuces
Une astuce pour vérifier l'ordre de grandeur : pour un petit angle, la longueur de l'arc D est très proche de la longueur de la corde T1-T2. Pour un angle de 100 gon (demi-cercle), D = (π/2)R.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul du développement de l'arc
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion de l'angle en radians
Étape 2 : Calcul du développement
Schéma (Après les calculs)
Arc avec développement calculé
Réflexions
Cette longueur de 502.65 m est la distance qui sera ajoutée au PK de T1 pour trouver le PK de T2. C'est la longueur de voie nouvelle à construire pour cette courbe.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir l'angle en radians. Si vous calculez 800 * 40, le résultat sera absurde. La formule \(D = R \cdot \alpha\) n'est valide qu'avec \(\alpha\) en radians.
Points à retenir
- La longueur de l'arc est directement proportionnelle au rayon et à l'angle.
- La conversion de l'angle en radians est une étape critique et non négociable.
Le saviez-vous ?
Le record du monde de vitesse sur rail (574,8 km/h par le TGV en 2007) a été établi sur une section de la LGV Est-Européenne avec des courbes de très grand rayon, de l'ordre de plusieurs dizaines de kilomètres, pour minimiser les effets centrifuges.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec un angle de 50 gon et un rayon de 800m, quel serait le développement ?
Question 3 : Déterminer les PK de T1 et T2
Principe
Le Point Kilométrique (PK)Système de repérage longitudinal le long d'un axe (route, voie ferrée). Il indique la distance depuis une origine définie. permet de localiser un point sur l'axe du projet. Pour trouver le PK de T1, on part du PK du sommet S et on recule de la longueur de la tangente T. Pour trouver le PK de T2, on part du PK de T1 et on avance de la longueur développée de la courbe D.
Mini-Cours
Le chaînage est l'opération de base de tout projet linéaire. Il s'agit de reporter des distances le long d'un axe. Le sens du chaînage (généralement du plus petit PK vers le plus grand) est crucial. Ici, le PK de S est un point sur la "tangente prolongée", pas sur la voie finale. On doit donc "revenir en arrière" pour trouver T1, puis suivre la nouvelle voie (la courbe) pour trouver T2.
Remarque Pédagogique
Le chaînage des PK est comme suivre un fil d'Ariane le long du projet. Pour aller 'en arrière' sur le projet (de S vers T1), on soustrait. Pour aller 'en avant' (de T1 vers T2), on ajoute. La difficulté est de bien identifier quel chemin on suit.
Normes
La gestion des PK est fondamentale pour tout projet linéaire. Les normes d'implantation précisent la matérialisation des PK sur le terrain (bornes, piquets) et leur précision requise.
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que les alignements sont parfaitement droits et le raccordement circulaire, ce qui valide les calculs de T et D. On suppose également que le PK du sommet S est exact et se situe sur l'alignement prolongé.
Donnée(s)
Nous listons ici les données de l'énoncé et les résultats des calculs précédents qui sont nécessaires pour résoudre cette question.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| PK du Sommet | \(PK_{\text{S}}\) | 12 + 450.00 | km + m |
| Longueur Tangente | \(T\) | 259.94 | m |
| Développement | \(D\) | 502.65 | m |
Astuces
Vérifiez toujours la cohérence : PK(T1) doit être inférieur à PK(S), et PK(T2) doit être supérieur à PK(T1). C'est une vérification simple mais efficace contre les erreurs d'addition/soustraction.
Schéma (Avant les calculs)
Chaînage des Points Kilométriques
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du PK de T1
Étape 2 : Calcul du PK de T2
Schéma (Après les calculs)
Chaînage avec PK calculés
Réflexions
Il est important de noter que la distance sur le projet entre T1 et T2 est de 502.65 m (la longueur de la courbe), alors que la distance le long des tangentes (de T1 à S puis de S à T2) serait de 2 * 259.94 = 519.88 m. Le PK suit le tracé réel, plus court.
Points de vigilance
Ne jamais additionner la tangente au PK du sommet pour trouver T1. Le sens du chaînage va du PK le plus petit au plus grand. Comme S est "après" T1 sur l'alignement, on doit soustraire.
Points à retenir
- Le calcul des PK est séquentiel : une erreur sur T se répercute sur T1 et T2.
- On recule du sommet S pour trouver le début de la courbe T1.
- On avance le long de la courbe (avec la longueur D) pour trouver la fin T2.
Le saviez-vous ?
L'origine des PK (le point 0+000) d'une ligne de chemin de fer en France est historiquement le 'heurtoir' de la gare de départ à Paris. Par exemple, le PK 0 de la ligne Paris-Marseille se trouve en Gare de Lyon.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si PKs = 25+800 et T=300m, quel est le PK de T1 ?
Question 4 : Calculer le dévers théorique (d)
Principe
Lorsqu'un train circule en courbe, il est soumis à une force centrifuge qui tend à le déporter vers l'extérieur. Pour contrer cet effet, améliorer le confort des passagers et limiter l'usure du rail, on incline la voie transversalement. C'est le dévers. Le rail extérieur est plus haut que le rail intérieur.
Mini-Cours
Le dévers vise à ce que la composante de la pesanteur due à l'inclinaison compense exactement la force centrifuge. Le calcul dépend de la vitesse au carré (plus on va vite, plus l'effet est grand) et est inversement proportionnel au rayon (plus la courbe est serrée, plus l'effet est grand).
Remarque Pédagogique
Imaginez-vous dans une voiture qui prend un virage serré : vous êtes projeté vers l'extérieur. Le dévers est comme le fait d'incliner la route dans le virage pour que vous restiez bien assis dans votre siège. C'est le même principe pour un train.
Normes
Les normes ferroviaires (comme l'Instruction Générale pour la Sécurité des Circulations de la SNCF ou les fiches UIC) fixent des valeurs maximales pour le dévers (ex: 160 mm) et pour l'insuffisance de déversDifférence entre le dévers théorique nécessaire pour une vitesse donnée et le dévers réellement appliqué. Une insuffisance de dévers est tolérée pour les trains rapides. (ex: 150 mm) pour garantir la sécurité et le confort.
Formule(s)
Nous utilisons ici une formule empirique couramment admise pour l'écartement standard.
Hypothèses
On suppose que la courbe est un arc de cercle parfait sur lequel la vitesse est constante. La formule utilisée est une simplification ; les calculs réglementaires sont plus complexes.
Donnée(s)
Nous listons ici les données de l'énoncé nécessaires pour résoudre cette question.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Vitesse de référence | \(V\) | 120 | km/h |
| Rayon de la courbe | \(R\) | 800 | m |
Astuces
Le dévers augmente avec le carré de la vitesse. Doubler la vitesse ne double pas le dévers, il le quadruple ! C'est pourquoi les lignes à grande vitesse nécessitent des courbes à très grand rayon.
Schéma (Avant les calculs)
Voie en alignement droit (sans dévers)
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Voie en courbe (avec dévers)
Réflexions
Un dévers de 212.4 mm est très important. En pratique, le dévers est limité par les normes (généralement à 160 mm, voire 180 mm sur les Lignes à Grande Vitesse) pour des raisons de sécurité, notamment pour un train à l'arrêt ou à faible vitesse dans la courbe. Notre valeur calculée est donc théorique. En réalité, on appliquerait le dévers maximal autorisé et on vérifierait que l'insuffisance de dévers reste dans les limites acceptables pour le confort.
Points de vigilance
Assurez-vous que les unités sont correctes : V en km/h et R en m pour cette formule spécifique. Une erreur d'unité est la cause la plus fréquente d'un résultat erroné.
Points à retenir
- Le dévers est un compromis entre le confort des trains rapides et la sécurité des trains lents/arrêtés.
- Il dépend du carré de la vitesse et inversement du rayon.
- La valeur calculée est théorique et doit être comparée aux limites réglementaires.
Le saviez-vous ?
Les premiers chemins de fer n'avaient pas de dévers. C'est l'ingénieur britannique William Froude qui, vers 1870, a formalisé la théorie et les calculs du dévers pour améliorer la stabilité des trains en courbe.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour une vitesse de 100 km/h sur la même courbe, quel serait le dévers théorique ?
Outil Interactif : Simulateur de Dévers
Utilisez les curseurs pour faire varier le rayon de la courbe et la vitesse du train, et observez en temps réel l'impact sur le dévers théorique nécessaire et sur l'accélération centrifuge non compensée (si le dévers était limité à 160 mm).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. À quoi sert principalement le dévers dans une courbe ferroviaire ?
2. Si le rayon d'une courbe diminue, la longueur de la tangente (pour un même angle α)...
3. L'unité d'angle à utiliser obligatoirement pour la formule du développement D = R * α est :
4. Pour trouver le PK du point d'entrée T1, on part du PK du sommet S et on...
5. Une "insuffisance de dévers" signifie que :
- Dévers
- Inclinaison transversale de la voie en courbe, où le rail extérieur est positionné plus haut que le rail intérieur pour compenser la force centrifuge.
- Point Kilométrique (PK)
- Système de repérage permettant de localiser un point le long d'un axe (voie ferrée, route) par sa distance à une origine 0.
- Raccordement Circulaire
- Courbe de rayon constant utilisée pour relier deux alignements droits. C'est le type de courbe le plus simple.
- Tangente (en tracé)
- Segment de droite reliant le sommet d'angle (S) au début (T1) ou à la fin (T2) d'une courbe de raccordement.
- Insuffisance de dévers
- Différence entre le dévers théorique requis pour une vitesse donnée et le dévers réellement mis en place (souvent limité par les normes). Elle est ressentie par les passagers comme une force latérale.
D’autres exercices de topographie:
0 commentaires