Calcul de l’Écart de Fermeture Angulaire d'un Polygone
Contexte : Le Levé Topographique par PolygonationMéthode de levé topographique qui consiste à déterminer les coordonnées de points (sommets) en mesurant les angles et les distances d'un parcours polygonal..
En topographie, la polygonation (ou cheminement) est une méthode fondamentale pour établir un canevas de points de référence précis. Pour garantir la qualité d'un levé polygonal fermé, une des premières vérifications cruciales est le contrôle de la fermeture angulaire. Cela consiste à comparer la somme des angles mesurés sur le terrain à leur somme théorique géométrique. L'écart trouvé, appelé "écart de fermeture angulaireDifférence entre la somme des angles mesurés sur le terrain et leur somme théorique géométrique. C'est l'erreur globale du levé angulaire.", doit être inférieur à une tolérance définie par la réglementation et la précision de l'instrument.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à valider la qualité des mesures angulaires d'un levé, une compétence essentielle pour tout technicien géomètre. Vous appliquerez les formules de base de la géométrie et apprendrez à interpréter un résultat par rapport à un seuil de tolérance.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer la somme théorique des angles internes d'un polygone.
- Déterminer l'écart de fermeture angulaire à partir de mesures de terrain.
- Comparer cet écart à une tolérance réglementaire pour valider les mesures.
- Comprendre l'importance du contrôle et de la précision en topographie.
Données de l'étude
Fiche Technique du Levé
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de Levé | Polygonation fermée |
| Instrument utilisé | Station Totale |
| Précision angulaire de l'instrument | 5 secondes d'arc (5") |
Schéma du polygone mesuré
| Sommet | Angle interne mesuré |
|---|---|
| Angle en A | 108° 25' 15" |
| Angle en B | 115° 10' 30" |
| Angle en C | 105° 45' 20" |
| Angle en D | 109° 50' 10" |
| Angle en E | 100° 48' 55" |
Questions à traiter
- Calculer la somme théorique des angles internes du polygone.
- Calculer la somme des angles mesurés sur le terrain.
- En déduire l'écart de fermeture angulaire (\(f_a\)).
- Calculer la tolérance angulaire réglementaire pour ce levé.
- Comparer l'écart de fermeture à la tolérance et conclure sur la validité des mesures.
Les bases de la Polygonation
Pour s'assurer de la cohérence d'un levé polygonal, il est indispensable de vérifier que les mesures effectuées respectent les lois de la géométrie.
1. Somme théorique des angles internes
La somme des angles internes d'un polygone simple à n sommets (ou côtés) est une constante géométrique. Elle se calcule avec la formule :
\[ \sum \alpha_{\text{théorique}} = (n - 2) \times 180^\circ \]
2. Écart de fermeture angulaire (\(f_a\))
C'est la différence entre la somme des angles que l'on a réellement mesurés sur le terrain et cette somme théorique. Idéalement, cet écart devrait être nul, mais les petites imprécisions de mesure le rendent rarement égal à zéro.
\[ f_a = \left( \sum \alpha_{\text{mesurés}} \right) - \left( \sum \alpha_{\text{théorique}} \right) \]
Correction : Calcul de l’Écart de Fermeture Angulaire d'un Polygone
Question 1 : Calculer la somme théorique des angles internes du polygone.
Principe
La géométrie euclidienneGéométrie basée sur les axiomes d'Euclide, qui s'applique aux surfaces planes. En topographie, on l'utilise pour des levés de petite étendue. nous donne une formule exacte pour la somme des angles d'un polygone en fonction de son nombre de côtés. C'est notre référence théorique, la valeur parfaite que nous devrions obtenir en l'absence de toute erreur de mesure.
Mini-Cours
La formule \((n-2) \times 180^\circ\) provient du fait que n'importe quel polygone convexe à 'n' côtés peut être décomposé en \((n-2)\) triangles. Comme la somme des angles de chaque triangle est de 180°, on obtient la formule totale en multipliant.
Remarque Pédagogique
Cette première étape est fondamentale. Elle établit la "cible" à atteindre. Sans cette valeur théorique, il est impossible de juger de la qualité des mesures de terrain. C'est le point de départ de tout contrôle de cheminement.
Normes
Cette formule n'est pas une norme de construction ou de topographie, mais un théorème mathématique universel de la géométrie euclidienne. Elle est valable pour tout polygone simple dessiné sur une surface plane.
Formule(s)
La formule à utiliser est la suivante, où 'n' représente le nombre de sommets du polygone.
Hypothèses
Pour que cette formule soit valide, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le polygone est "simple", c'est-à-dire que ses arêtes ne se croisent pas.
- Le levé est réalisé sur une zone suffisamment petite pour être considérée comme un plan euclidien (on néglige la courbure de la TerreLe fait que la surface de la Terre n'est pas plate mais sphérique. Elle est négligée pour les levés locaux mais essentielle en géodésie.).
Donnée(s)
La seule donnée nécessaire pour cette question est le nombre de sommets du polygone, tiré de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de sommets | n | 5 | (sans) |
Astuces
Pour mémoriser la formule, souvenez-vous des cas simples : un triangle (n=3) a \((3-2) \times 180 = 180^\circ\). Un carré (n=4) a \((4-2) \times 180 = 360^\circ\). Cela permet de vérifier rapidement si vous utilisez la bonne formule.
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition d'un pentagone en 3 triangles
Calcul(s)
Nous appliquons la formule avec n=5.
Réflexions
Le résultat de 540° est une valeur mathématique exacte. Toute déviation par rapport à cette valeur dans nos mesures de terrain sera considérée comme une erreur de mesure.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune ici est de mal compter le nombre de sommets 'n'. Assurez-vous toujours de compter correctement les points du polygone sur le schéma ou dans le tableau de données avant d'appliquer la formule.
Points à retenir
Pour valider un levé, la première étape est toujours de calculer la somme théorique des angles avec la formule \((n-2) \times 180^\circ\). C'est la référence absolue.
Le saviez-vous ?
Sur une sphère, comme la Terre, la somme des angles d'un triangle est toujours supérieure à 180° ! Cet "excès sphérique" est utilisé en géodésieScience qui étudie les dimensions et la forme de la Terre, ainsi que son champ de gravité. Elle est nécessaire pour les levés à grande échelle. pour les calculs sur de très longues distances.
FAQ
Voici les questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la somme théorique des angles pour un polygone à 8 sommets (un octogone) ?
Question 2 : Calculer la somme des angles mesurés sur le terrain.
Principe
Cette étape consiste à faire une simple addition arithmétique de toutes les valeurs d'angles qui ont été collectées sur le terrain. Ce résultat représente la réalité de la mesure, avec ses inévitables petites imperfections.
Mini-Cours
Les angles en topographie sont exprimés dans un système sexagésimalSystème de numération en base 60, utilisé pour mesurer le temps (heures, minutes, secondes) et les angles (degrés, minutes, secondes). : le degré (°), la minute (') et la seconde ("). Il faut se rappeler que \(1^\circ = 60'\) et \(1' = 60"\). Lors de l'addition, on gère les retenues en base 60, un peu comme on le fait en base 10 pour les nombres classiques.
Remarque Pédagogique
Soyez très méthodique lors de cette addition. Une simple erreur de calcul à cette étape faussera toute l'analyse qui suit. Je conseille de poser l'addition en colonnes (degrés, minutes, secondes) pour ne rien oublier.
Normes
Il n'y a pas de norme pour une addition, mais la méthode de notation des angles (DMS) est une convention universelle en topographie et en astronomie.
Formule(s)
L'opération mathématique est une sommation :
Hypothèses
On fait l'hypothèse que les valeurs fournies dans le tableau sont les lectures brutes et fiables de l'instrument, sans erreur de transcription.
Donnée(s)
On utilise le tableau des angles mesurés fourni dans l'énoncé.
| Sommet | Angle interne mesuré |
|---|---|
| A | 108° 25' 15" |
| B | 115° 10' 30" |
| C | 105° 45' 20" |
| D | 109° 50' 10" |
| E | 100° 48' 55" |
Astuces
Pour aller plus vite avec une calculatrice, on peut convertir chaque angle en degrés décimauxUnité d'angle où les fractions de degré sont exprimées avec des décimales plutôt qu'en minutes et secondes. Ex: 90.5° au lieu de 90° 30' 00". (ex: \(108^\circ 25' 15" = 108 + 25/60 + 15/3600 = 108.4208^\circ\)), faire la somme, puis reconvertir le résultat final en DMS. C'est plus rapide et moins sujet aux erreurs de retenue.
Schéma (Avant les calculs)
Angles à sommer
Calcul(s)
On additionne les 5 angles mesurés en colonnes :
Étape 1 : Somme des secondes
On convertit : \(130'' = 2 \times 60'' + 10'' = 2' 10''\). On garde 10" et on retient 2 minutes.
Étape 2 : Somme des minutes (avec la retenue)
On convertit : \(180' = 3 \times 60' = 3^\circ 00'\). On garde 00' et on retient 3 degrés.
Étape 3 : Somme des degrés (avec la retenue)
Réflexions
Le résultat obtenu, 540° 00' 10", est très proche de la valeur théorique de 540°. Cela indique a priori que les mesures ont été effectuées avec soin et qu'il n'y a pas d'erreur grossière (comme une erreur de lecture d'un tour complet, soit 360°).
Points de vigilance
Attention aux erreurs de calcul lors des conversions en base 60. Vérifiez toujours deux fois vos additions et vos retenues, car c'est une source d'erreur fréquente.
Points à retenir
La somme des angles mesurés est le reflet direct du travail de terrain. C'est la première donnée brute qui sera utilisée pour quantifier la qualité du levé.
Le saviez-vous ?
Le système sexagésimal (base 60) nous vient des Babyloniens, il y a près de 4000 ans ! Ils l'utilisaient pour l'astronomie et la géométrie, et nous l'avons conservé pour mesurer le temps et les angles.
FAQ
Voici les questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle en E avait été mesuré à 100° 48' 45" (10" de moins), quelle aurait été la nouvelle somme des angles mesurés ?
Question 3 : En déduire l'écart de fermeture angulaire (\(f_a\)).
Principe
L'écart de fermeture est la quantification de l'erreur globale commise sur la mesure des angles. Il se calcule en faisant la différence directe entre le résultat des mesures (Question 2) et la valeur géométrique parfaite (Question 1).
Mini-Cours
Le signe de l'écart de fermeture a une signification. Un écart positif (\(f_a > 0\)) signifie qu'il y a un "excédent" de mesure : la somme mesurée est trop grande. Un écart négatif (\(f_a < 0\)) signifie qu'il y a un "défaut" : la somme mesurée est trop petite. Cette information sera cruciale pour la compensation des anglesOpération qui consiste à répartir l'écart de fermeture sur tous les angles mesurés pour que leur somme soit mathématiquement exacte..
Remarque Pédagogique
Cette valeur, \(f_a\), est le premier indicateur de qualité de votre travail de terrain. C'est un chiffre unique qui résume la précision de l'ensemble de vos mesures angulaires. Un géomètre expérimenté a toujours une idée de l'ordre de grandeur de l'écart qu'il s'attend à trouver.
Normes
Le calcul de l'écart est une opération mathématique. La valeur obtenue sera ensuite comparée à une norme ou une tolérance réglementaire dans la question suivante.
Formule(s)
La formule de l'écart de fermeture angulaire est :
Hypothèses
Nous faisons l'hypothèse que les deux valeurs utilisées (somme mesurée et somme théorique) ont été calculées correctement aux étapes précédentes.
Donnée(s)
On utilise les résultats des deux questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Somme des angles mesurés | \(\sum \alpha_{\text{mes}}\) | 540° 00' 10" |
| Somme théorique des angles | \(\sum \alpha_{\text{th}}\) | 540° 00' 00" |
Astuces
La soustraction est généralement simple car la partie en degrés et minutes est souvent identique. L'écart se résume la plupart du temps à une différence de quelques secondes.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de l'écart de fermeture
Calcul(s)
On applique la formule de la différence.
Réflexions
L'écart est positif, ce qui signifie que la somme des angles mesurés est de 10 secondes supérieure à la somme théorique. C'est un excédent. Pour corriger les angles, il faudra donc enlever au total 10 secondes, réparties sur l'ensemble des sommets.
Points de vigilance
Attention au signe de l'écart ! Un signe positif signifie un excédent, un signe négatif un défaut. Ne vous trompez pas dans le sens de la soustraction, car cela inverserait la correction à appliquer plus tard.
Points à retenir
L'écart de fermeture \(f_a\) est la première et la plus importante valeur à calculer pour juger de la qualité d'un cheminement. Sa valeur et son signe sont essentiels.
Le saviez-vous ?
Les erreurs de mesure en topographie sont classées en trois catégories : les fautes (erreurs grossières, comme une mauvaise lecture), les erreurs systématiques (liées à l'instrument, ex: mauvais calibrage) et les erreurs accidentelles (aléatoires et inévitables). L'écart de fermeture est principalement dû à l'accumulation des erreurs accidentelles.
FAQ
Voici les questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la somme mesurée avait été de 539° 59' 52", quel aurait été l'écart de fermeture \(f_a\) ?
Question 4 : Calculer la tolérance angulaire réglementaire pour ce levé.
Principe
La tolérance n'est pas une valeur mesurée, mais un seuil d'erreur acceptable défini par des normes ou un cahier des charges. Elle représente la "marge d'erreur" autorisée. Elle dépend de la précision de l'instrument et du nombre d'angles mesurés (car plus on mesure, plus les petites erreurs peuvent s'accumuler).
Mini-Cours
La formule \(T_a = p \times \sqrt{n}\) est issue de la théorie de la propagation des erreurs aléatoiresThéorie mathématique qui étudie comment les petites erreurs inévitables sur des mesures individuelles s'accumulent dans un calcul final.. Elle modélise comment des erreurs indépendantes (sur chaque mesure d'angle) s'accumulent. L'utilisation de la racine carrée (\(\sqrt{n}\)) montre que l'erreur totale n'augmente pas linéairement, mais plus lentement, car certaines erreurs positives et négatives ont tendance à s'annuler mutuellement.
Remarque Pédagogique
Le calcul de la tolérance est l'étape qui transforme votre mesure en un résultat professionnel. C'est ce qui permet de dire objectivement : "Mon travail est conforme aux exigences" ou "Mon travail doit être refait". C'est une étape de prise de décision cruciale.
Normes
En France, les tolérances pour les levés topographiques sont souvent spécifiées dans des textes réglementaires ou des CCTPCahier des Clauses Techniques Particulières. Document contractuel qui définit les spécifications techniques d'un projet, y compris les tolérances. (Cahier des Clauses Techniques Particulières) pour les marchés publics. La formule \(p \sqrt{n}\) est une approximation courante et reconnue.
Formule(s)
La tolérance angulaire (\(T_a\)) est calculée avec la formule :
Où 'p' est la précision de l'instrument en secondes et 'n' le nombre de sommets.
Hypothèses
On suppose que la précision de l'instrument donnée par le constructeur (5") est fiable et correspond aux conditions réelles du terrain.
Donnée(s)
Nous utilisons les données de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Précision de l'instrument | p | 5 | secondes (") |
| Nombre de sommets | n | 5 | (sans) |
Astuces
Gardez en tête quelques valeurs de racines carrées courantes pour estimer rapidement la tolérance : \(\sqrt{4}=2\), \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{16}=4\). Pour notre cas, \(\sqrt{5}\) est un peu plus que \(\sqrt{4}\), donc le résultat sera un peu plus que \(5 \times 2 = 10\). C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s)
On applique la formule.
Réflexions
Le résultat signifie que pour un polygone de 5 côtés mesuré avec cet instrument, toute erreur de fermeture comprise entre -11.18" et +11.18" sera considérée comme acceptable et due aux aléas normaux de la mesure.
Points de vigilance
Ne confondez pas la précision 'p' de l'instrument avec la tolérance 'Ta'. La précision est une caractéristique de l'appareil, tandis que la tolérance est une exigence du projet qui dépend aussi du nombre de mesures.
Points à retenir
La tolérance angulaire \(T_a = \pm p \sqrt{n}\) est la formule clé pour valider un cheminement. Elle lie la qualité de l'instrument (p) à la complexité du parcours (n).
Le saviez-vous ?
Dans les anciens levés, réalisés au théodolite mécaniqueAncêtre de la station totale. Instrument optique permettant de mesurer les angles avec des cercles gradués (limbes) lus manuellement par l'opérateur., les précisions étaient moindres et les tolérances plus larges. L'arrivée des stations totales électroniques dans les années 1980 a révolutionné la topographie en augmentant drastiquement la précision.
FAQ
Voici les questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la tolérance pour un polygone de 9 sommets mesuré avec le même instrument (p=5") ?
Question 5 : Comparer l'écart de fermeture à la tolérance et conclure.
Principe
C'est le jugement final. On met en balance l'erreur réellement commise sur le terrain (\(f_a\)) avec l'erreur maximale que l'on s'autorisait (\(T_a\)). Si l'erreur commise est dans la marge autorisée, le travail est validé.
Mini-Cours
La comparaison se fait sur la valeur absolue de l'écart, car le signe (défaut ou excédent) n'importe pas pour le jugement de validité. On regarde uniquement l'amplitude de l'erreur. Si \(|f_a| \le T_a\), on procède à la compensationOpération qui consiste à répartir l'écart de fermeture sur tous les angles mesurés pour que leur somme soit mathématiquement exacte.. Si \(|f_a| > T_a\), le levé est rejeté et doit être refait.
Remarque Pédagogique
La conclusion doit être claire et sans ambiguïté : "le levé est accepté" ou "le levé est rejeté". C'est une décision binaire qui engage la responsabilité du géomètre pour la suite des opérations.
Normes
Le critère de comparaison \(|f_a| \le T_a\) est la mise en application directe des normes de tolérance discutées à la question précédente. C'est le passage de la théorie réglementaire à la validation pratique d'un cas concret.
Formule(s)
Le critère de validation est une inégalité :
Hypothèses
Nous supposons que les calculs de \(f_a\) et \(T_a\) sont corrects.
Donnée(s)
On utilise les résultats des deux questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Écart de fermeture angulaire | \(f_a\) | +10" |
| Tolérance angulaire | \(T_a\) | ±11.18" |
Astuces
Il n'y a pas d'astuce particulière ici, la comparaison est directe.
Schéma (Avant les calculs)
Position de l'écart par rapport à la Tolérance
Calcul(s)
Nous vérifions si l'inégalité est respectée.
Réflexions
L'inégalité étant vérifiée, l'erreur accidentelle accumulée est considérée comme normale et acceptable au vu des conditions du levé. Les mesures angulaires sont donc validées. La prochaine étape serait de "compenser" cet écart, c'est-à-dire de répartir les -10" de correction sur les 5 angles mesurés pour que leur somme soit parfaitement égale à 540°.
Points de vigilance
Une erreur courante est d'oublier de prendre la valeur absolue de l'écart. Un écart de -12" est bien supérieur en amplitude à une tolérance de ±11", même si -12 est mathématiquement inférieur à +11. On compare bien les grandeurs des erreurs, pas leurs valeurs signées.
Points à retenir
La conclusion d'un contrôle de cheminement repose sur une unique comparaison : \(|f_a| \le T_a\). Si c'est vrai, on accepte. Si c'est faux, on rejette.
Le saviez-vous ?
La méthode de compensation la plus simple consiste à répartir l'écart de manière égale sur tous les angles. Pour notre cas, on enlèverait \(10" / 5 = 2"\) à chaque angle mesuré. Des méthodes plus complexes, dites "par les moindres carrésMéthode statistique de compensation qui permet de trouver le meilleur ajustement possible pour un ensemble de mesures, en minimisant la somme des carrés des erreurs.", permettent une répartition pondérée.
FAQ
Voici les questions fréquentes pour cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si votre écart de fermeture était de -15" avec une tolérance de ±14", quelle serait votre conclusion ?
Outil Interactif : Simulateur de Tolérance
Utilisez cet outil pour voir comment le nombre de sommets d'un polygone et la précision de l'instrument influencent la tolérance angulaire acceptée.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la somme théorique des angles internes d'un hexagone (6 côtés) ?
2. Un écart de fermeture négatif (-8") signifie que :
3. Si l'écart de fermeture est supérieur à la tolérance, que doit faire le géomètre ?
4. À précision d'instrument égale, un polygone de 10 sommets aura une tolérance...
5. La vérification de la fermeture angulaire est une étape du contrôle...
- Polygonation (ou Cheminement)
- Méthode de levé topographique qui consiste à déterminer les coordonnées de points (sommets) en mesurant les angles et les distances d'un parcours polygonal. Un cheminement est "fermé" quand il revient à son point de départ.
- Écart de Fermeture Angulaire
- Différence entre la somme des angles d'un polygone mesurée sur le terrain et la somme théorique que ces angles devraient avoir selon les lois de la géométrie.
- Tolérance
- Erreur maximale admissible pour une opération de mesure. Si l'erreur constatée est inférieure à la tolérance, la mesure est acceptée ; sinon, elle est rejetée.
- Station Totale
- Appareil de topographie qui mesure électroniquement les angles (horizontaux et verticaux) et les distances. C'est l'instrument de base du géomètre-topographe.
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