Études de cas pratique

EGC

Calcul des dimensions d’un terrain

Calcul des Dimensions d’un Terrain en Topographie

Calcul des Dimensions d’un Terrain en Topographie

Comprendre le Calcul des Dimensions d'un Terrain

La détermination des dimensions d'un terrain est une tâche fondamentale en topographie, que ce soit pour des raisons cadastrales, d'aménagement, de construction ou d'évaluation foncière. Les dimensions clés incluent les longueurs des côtés, le périmètre et la superficie. Lorsque les sommets d'un terrain sont définis par leurs coordonnées (X, Y, et parfois Z pour l'altitude), des formules mathématiques précises peuvent être utilisées pour calculer ces grandeurs. La méthode des coordonnées est particulièrement puissante pour le calcul de la superficie de polygones irréguliers.

Données de l'étude

On considère une parcelle de terrain de forme polygonale définie par les coordonnées de ses quatre sommets A, B, C et D dans un système plan local.

Coordonnées des sommets (en mètres) :

  • Point A : \(X_{\text{A}} = 100.00\), \(Y_{\text{A}} = 200.00\)
  • Point B : \(X_{\text{B}} = 350.00\), \(Y_{\text{B}} = 250.00\)
  • Point C : \(X_{\text{C}} = 300.00\), \(Y_{\text{C}} = 100.00\)
  • Point D : \(X_{\text{D}} = 50.00\), \(Y_{\text{D}} = 80.00\)

Hypothèses :

  • Les coordonnées sont exactes et dans un système orthonormé.
  • Le terrain est considéré comme plan pour le calcul de la superficie à partir des coordonnées X, Y.

Schéma : Parcelle de terrain polygonale
{/* */} {/* */} {/* */} A (100,200) B (350,250) C (300,100) D (50,80) Parcelle de Terrain ABCD

Schéma d'une parcelle de terrain définie par les coordonnées de ses sommets A, B, C et D.

Questions à traiter

  1. Calculer la longueur de chaque côté du terrain (AB, BC, CD, DA) en mètres.
  2. Calculer le périmètre (\(P\)) du terrain en mètres.
  3. Calculer la superficie (\(S\)) du terrain en mètres carrés (m²) en utilisant la méthode des coordonnées (formule du laçage ou des trapèzes).
  4. Convertir la superficie en hectares (ha).

Correction : Calcul des Dimensions d’un Terrain

Question 1 : Calcul de la Longueur de Chaque Côté

Principe :

La longueur d'un côté entre deux points de coordonnées (\(X_1, Y_1\)) et (\(X_2, Y_2\)) est la distance euclidienne entre ces deux points.

Formule(s) utilisée(s) :
\[L = \sqrt{(X_2 - X_1)^2 + (Y_2 - Y_1)^2}\]
Données spécifiques :
  • A: (100.00, 200.00)
  • B: (350.00, 250.00)
  • C: (300.00, 100.00)
  • D: (50.00, 80.00)
Calcul des longueurs :

Côté AB :

\[ \begin{aligned} L_{\text{AB}} &= \sqrt{(350.00 - 100.00)^2 + (250.00 - 200.00)^2} \\ &= \sqrt{(250.00)^2 + (50.00)^2} \\ &= \sqrt{62500 + 2500} = \sqrt{65000} \\ &\approx 254.951 \, \text{m} \end{aligned} \]

Côté BC :

\[ \begin{aligned} L_{\text{BC}} &= \sqrt{(300.00 - 350.00)^2 + (100.00 - 250.00)^2} \\ &= \sqrt{(-50.00)^2 + (-150.00)^2} \\ &= \sqrt{2500 + 22500} = \sqrt{25000} \\ &\approx 158.114 \, \text{m} \end{aligned} \]

Côté CD :

\[ \begin{aligned} L_{\text{CD}} &= \sqrt{(50.00 - 300.00)^2 + (80.00 - 100.00)^2} \\ &= \sqrt{(-250.00)^2 + (-20.00)^2} \\ &= \sqrt{62500 + 400} = \sqrt{62900} \\ &\approx 250.799 \, \text{m} \end{aligned} \]

Côté DA :

\[ \begin{aligned} L_{\text{DA}} &= \sqrt{(100.00 - 50.00)^2 + (200.00 - 80.00)^2} \\ &= \sqrt{(50.00)^2 + (120.00)^2} \\ &= \sqrt{2500 + 14400} = \sqrt{16900} \\ &= 130.000 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les longueurs des côtés sont :
  • \(L_{\text{AB}} \approx 254.95 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{BC}} \approx 158.11 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{CD}} \approx 250.80 \, \text{m}\)
  • \(L_{\text{DA}} = 130.00 \, \text{m}\)

Question 2 : Calcul du Périmètre (\(P\)) du Terrain

Principe :

Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de tous ses côtés.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P = L_{\text{AB}} + L_{\text{BC}} + L_{\text{CD}} + L_{\text{DA}}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &\approx 254.951 \, \text{m} + 158.114 \, \text{m} + 250.799 \, \text{m} + 130.000 \, \text{m} \\ &\approx 793.864 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le périmètre du terrain est \(P \approx 793.86 \, \text{m}\).

Question 3 : Calcul de la Superficie (\(S\)) du Terrain

Principe :

La superficie d'un polygone dont les sommets sont donnés par leurs coordonnées \((X_i, Y_i)\) peut être calculée par la formule du laçage (ou méthode des aires par coordonnées, ou formule de Gauss pour l'aire) : \[ S = \frac{1}{2} | (X_A Y_B + X_B Y_C + X_C Y_D + X_D Y_A) - (Y_A X_B + Y_B X_C + Y_C X_D + Y_D X_A) | \] Il est important de parcourir les sommets dans un ordre séquentiel (horaire ou antihoraire).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (X_i Y_{i+1} - X_{i+1} Y_i) \right| \]

où \((X_{n+1}, Y_{n+1}) = (X_1, Y_1)\).

Données spécifiques :
  • A: (\(X_{\text{A}}=100\), \(Y_{\text{A}}=200\))
  • B: (\(X_{\text{B}}=350\), \(Y_{\text{B}}=250\))
  • C: (\(X_{\text{C}}=300\), \(Y_{\text{C}}=100\))
  • D: (\(X_{\text{D}}=50\), \(Y_{\text{D}}=80\))
Calcul :

Terme 1 : \(X_A Y_B + X_B Y_C + X_C Y_D + X_D Y_A\)

\[ \begin{aligned} T_1 &= (100 \times 250) + (350 \times 100) + (300 \times 80) + (50 \times 200) \\ &= 25000 + 35000 + 24000 + 10000 \\ &= 94000 \end{aligned} \]

Terme 2 : \(Y_A X_B + Y_B X_C + Y_C X_D + Y_D X_A\)

\[ \begin{aligned} T_2 &= (200 \times 350) + (250 \times 300) + (100 \times 50) + (80 \times 100) \\ &= 70000 + 75000 + 5000 + 8000 \\ &= 158000 \end{aligned} \]

Superficie \(S\):

\[ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} |T_1 - T_2| \\ &= \frac{1}{2} |94000 - 158000| \\ &= \frac{1}{2} |-64000| \\ &= \frac{1}{2} \times 64000 \\ &= 32000 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La superficie du terrain est \(S = 32000 \, \text{m}^2\).

Quiz Intermédiaire 1 : La méthode des coordonnées pour calculer l'aire d'un polygone nécessite :

Question 4 : Conversion de la Superficie en Hectares (ha)

Principe :

Un hectare (ha) équivaut à \(10000\) mètres carrés (m²).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S \, (\text{ha}) = \frac{S \, (\text{m}^2)}{10000}\]
Données spécifiques :
  • Superficie (\(S\)) : \(32000 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S \, (\text{ha}) &= \frac{32000 \, \text{m}^2}{10000 \, \text{m}^2/\text{ha}} \\ &= 3.2 \, \text{ha} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La superficie du terrain est de \(3.2 \, \text{ha}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Combien y a-t-il de mètres carrés dans un are ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La distance entre deux points (X1, Y1) et (X2, Y2) est donnée par :

2. Le périmètre d'un polygone est :

3. Un hectare (ha) équivaut à :

Glossaire

Coordonnées Planimétriques (X, Y)
Système de valeurs numériques (abscisse X, ordonnée Y) permettant de définir la position d'un point sur un plan horizontal par rapport à une origine et des axes de référence.
Distance Euclidienne
Distance "en ligne droite" entre deux points dans un espace euclidien. En 2D, calculée par \(\sqrt{(\Delta X)^2 + (\Delta Y)^2}\).
Périmètre
Longueur totale du contour d'une figure géométrique plane.
Superficie (Aire)
Mesure de l'étendue d'une surface plane, exprimée en unités carrées (ex: m², ha).
Formule du Laçage (Shoelace Formula)
Méthode mathématique pour calculer l'aire d'un polygone simple dont les sommets sont donnés par leurs coordonnées cartésiennes. Elle est aussi appelée formule des aires par coordonnées ou formule de Gauss pour l'aire.
Hectare (ha)
Unité de mesure de superficie équivalant à 10 000 mètres carrés (ou un carré de 100 mètres de côté).
Are (a)
Unité de mesure de superficie équivalant à 100 mètres carrés (ou un carré de 10 mètres de côté). \(1 \, \text{ha} = 100 \, \text{ares}\).
Calcul des Dimensions d’un Terrain - Exercice d'Application

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