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Calcul des Dénivelés et des Pentes

Exercice : Calcul des Dénivelés et Pentes en Topographie

Calcul des Dénivelés et des Pentes en Topographie

Contexte : Levé topographique pour un projet routier.

Dans le cadre de l'étude préliminaire d'un projet routier, un géomètre-topographe doit réaliser un levé du terrain naturel pour déterminer son relief. La maîtrise des calculs de déniveléDifférence d'altitude entre deux points. et de penteInclinaison d'une surface par rapport à l'horizontale. est fondamentale pour concevoir le profil en long de la future route, optimiser les terrassements (déblais/remblais) et assurer la sécurité des usagers. Cet exercice vous place dans la peau du technicien chargé d'exploiter les données brutes du terrain.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler les concepts de base de la topographie appliquée au génie civil. Vous passerez des altitudes brutes à des données exploitables (pente, inclinaison) qui sont cruciales pour tout projet d'aménagement.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le dénivelé entre deux points à partir de leurs altitudes.
  • Déterminer la pente d'un terrain en pourcentage (%).
  • Convertir une pente en pourcentage en un angle en degrés (°).
  • Appliquer le concept de pente pour calculer une altitude en un point intermédiaire.
  • Distinguer et calculer la distance horizontale et la distance réelle (suivant la pente).

Données de l'étude

Un levé a été effectué entre deux points A et B matérialisés sur le terrain.

Fiche Technique
Caractéristique Valeur
Instrument de mesure Niveau de chantier optique
Système de référence Rattachement NGF-IGN69
Précision altimétrique ± 5 mm
Schéma de la situation
A B Distance Horizontale (Dh) Dénivelé (ΔZ) Zₐ Zₑ
Paramètre Symbole Valeur Unité
Altitude du point A Zₐ 152.45 m
Altitude du point B Zₑ 158.95 m
Distance Horizontale A-B Dh 85.20 m

Questions à traiter

  1. Calculer le dénivelé (ΔZ) entre le point A et le point B.
  2. Calculer la pente entre A et B en pourcentage (%).
  3. Calculer l'angle de cette pente en degrés (°).
  4. Un point C doit être implanté à une distance horizontale de 50.00 m de A (vers B). En conservant la même pente, quelle est l'altitude du point C (Z꜀) ?
  5. Calculer la distance réelle à parcourir sur le terrain entre A et B (distance suivant la pente).

Les bases sur les Pentes et Dénivelés

Pour aborder cet exercice, il est essentiel de maîtriser quelques formules fondamentales en topographie.

1. Calcul du Dénivelé (ΔZ)
Le dénivelé est la différence d'altitude entre deux points. Il est positif si l'on monte, négatif si l'on descend. \[ \Delta Z = \text{Altitude}_{\text{finale}} - \text{Altitude}_{\text{initiale}} \]

2. Calcul de la Pente (P)
La pente est le rapport entre le dénivelé et la distance horizontale. Elle s'exprime le plus souvent en pourcentage. \[ P (\%) = \frac{\Delta Z}{\text{Dh}} \times 100 \] Pour obtenir l'angle en degrés, on utilise la fonction arc tangente : \[ \alpha (°) = \arctan\left(\frac{\Delta Z}{\text{Dh}}\right) \times \frac{180}{\pi} \]

Correction : Calcul des Dénivelés et des Pentes en Topographie

Question 1 : Calculer le dénivelé (ΔZ) entre le point A et le point B.

Principe

Le concept physique ici est la mesure de la différence de potentiel gravitationnel entre deux points, représentée par leur différence d'altitude. Le dénivelé est simplement cette variation verticale.

Mini-Cours

En topographie, l'altitude d'un point est sa hauteur par rapport à une surface de référence appelée géoïde (approximativement le niveau moyen des mers). Le calcul de dénivelé est l'opération de base du nivellement, qui permet de déterminer l'altitude de points les uns par rapport aux autres.

Remarque Pédagogique

Pensez toujours au sens du parcours. De A vers B, est-ce que je monte ou est-ce que je descends ? La réponse à cette question vous donne le signe attendu de votre résultat avant même de calculer.

Normes

Les altitudes sont fournies dans le système de Nivellement Général de la France (NGF-IGN69), qui est la référence légale en France métropolitaine. Tous les calculs doivent être cohérents avec ce système.

Formule(s)
\[ \Delta Z_{\text{AB}} = Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}} \]
Hypothèses
  • Les mesures d'altitude sont considérées comme exactes et sans erreur instrumentale.
  • Les points A et B sont stables et n'ont pas subi de mouvement depuis le levé.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude du point AZₐ152.45m
Altitude du point BZₑ158.95m
Astuces

Pour une estimation rapide, arrondissez les altitudes : 159 m - 152 m = 7 m. Votre résultat final doit être très proche de cette valeur.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation des altitudes
ZA (152.45m)B (158.95m)
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{AB}} &= 158.95 \, \text{m} - 152.45 \, \text{m} \\ &= +6.50 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Illustration du Dénivelé
ΔZAB
Réflexions

Le résultat est positif (+6.50 m), ce qui signifie que le point B est plus haut que le point A. C'est une montée. Cette valeur unique est la base de tous les calculs de pente et de profil qui suivront.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'inverser les termes (Zₐ - Zₑ), ce qui donnerait un résultat de -6.50 m. Bien que la valeur absolue soit correcte, le signe est faux et indique une descente au lieu d'une montée, ce qui fausse toute l'interprétation du terrain.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez :

  • Concept : Le dénivelé est une différence d'altitudes.
  • Formule : ΔZ = Altitude Finale - Altitude Initiale.
  • Signification du signe : Positif = Montée, Négatif = Descente.
Le saviez-vous ?

Le point de référence des altitudes en France, le "niveau zéro", est fixé par le marégraphe de Marseille. Il a été choisi car la Méditerranée a des marées de très faible amplitude, offrant une référence plus stable que l'Atlantique.

FAQ
Que se passe-t-il si les deux points ont la même altitude ?

Si Zₐ = Zₑ, alors le dénivelé est nul (ΔZ = 0). Cela signifie que le terrain est parfaitement horizontal entre ces deux points.

Résultat Final
Le dénivelé entre les points A et B est de 6.50 m.
A vous de jouer

Si l'altitude de B était de 150.25 m, quel serait le nouveau dénivelé ?

Question 2 : Calculer la pente entre A et B en pourcentage (%).

Principe

La pente est la représentation de l'inclinaison. Physiquement, elle quantifie le changement d'altitude par unité de distance horizontale. Une pente de 5% signifie que pour chaque 100 mètres parcourus à l'horizontale, on monte (ou descend) de 5 mètres.

Mini-Cours

La pente est un concept fondamental en génie civil. Elle conditionne la vitesse d'écoulement de l'eau (assainissement), la conception des routes (pour la sécurité et la consommation des véhicules) et des voies ferrées (pour la traction des trains). Elle est presque toujours exprimée en pourcentage pour sa simplicité d'interprétation.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas la pente en pourcentage et l'angle en degrés. Ce sont deux manières différentes de mesurer la même inclinaison. La pente en pourcentage est plus intuitive pour les applications pratiques sur le terrain.

Normes

Pour les projets routiers en France, des guides techniques (comme ceux du SETRA) définissent des pentes maximales admissibles en fonction du type de route (autoroute, route nationale...) et du relief traversé pour garantir la sécurité.

Formule(s)
\[ P (\%) = \frac{\Delta Z_{\text{AB}}}{\text{Dh}_{\text{AB}}} \times 100 \]
Hypothèses
  • La pente est considérée comme constante et uniforme entre les points A et B.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelé A-BΔZₐₑ6.50m
Distance Horizontale A-BDhₐₑ85.20m
Astuces

Pour une estimation rapide, divisez le dénivelé par la distance et décalez la virgule. 6.5 / 85 ≈ 0.076. Multipliez par 100 -> environ 7.6%. C'est un excellent moyen de vérifier votre calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle de pente
Dh = 85.20 mΔZ = 6.50 mP (%) = ?
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} P (\%) &= \frac{6.50 \, \text{m}}{85.20 \, \text{m}} \times 100 \\ &= 0.076291... \times 100 \\ &\approx 7.63 \, \% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Pente
Pente100 m7.63 m
Réflexions

Une pente de 7.63% est une pente significative, en particulier pour un projet routier. Elle nécessiterait des terrassements importants ou un tracé adapté. Elle est par exemple trop élevée pour une voie ferrée classique.

Points de vigilance

N'oubliez pas de multiplier par 100 ! Une erreur fréquente est de donner le résultat sous forme décimale (0.0763), ce qui n'est pas une pente en pourcentage.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez :

  • Concept : La pente est le rapport du vertical sur l'horizontal.
  • Formule : P(%) = (ΔZ / Dh) * 100.
  • Unités : ΔZ et Dh doivent être dans la même unité.
Le saviez-vous ?

La route la plus pentue du monde se trouve en Nouvelle-Zélande. Baldwin Street a une pente maximale de 35% ! Cela signifie que pour 100m à l'horizontale, on monte de 35m.

FAQ
Une pente peut-elle être supérieure à 100% ?

Oui. Une pente de 100% correspond à un angle de 45° (ΔZ = Dh). Une pente de 200% correspondrait à un angle de 63.4°. Une falaise verticale a une pente infinie.

Résultat Final
La pente du terrain entre A et B est de 7.63 %.
A vous de jouer

Si la distance horizontale était de 120 m (avec le même dénivelé), quelle serait la nouvelle pente en % ?

Question 3 : Calculer l'angle de cette pente en degrés (°).

Principe

L'angle est une autre façon de quantifier l'inclinaison. Il est directement lié à la géométrie du triangle rectangle formé par le dénivelé et la distance horizontale. La relation entre ces trois éléments est régie par la trigonométrie.

Mini-Cours

En trigonométrie, la tangente d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé (le dénivelé) sur le côté adjacent (la distance horizontale). Pour trouver l'angle à partir de ce rapport, on utilise la fonction réciproque : l'arc tangente (notée arctan ou tan⁻¹).

Remarque Pédagogique

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" (DEG) et non en "radians" (RAD) ou "grades" (GRAD) pour obtenir un résultat directement interprétable.

Normes

Bien que la pente en % soit plus courante en génie civil, l'angle en degrés est utilisé dans d'autres domaines techniques comme la géotechnique (angle de talus naturel) ou la navigation.

Formule(s)
\[ \alpha (\text{°}) = \arctan\left(\frac{\Delta Z}{\text{Dh}}\right) \]
Hypothèses
  • On applique le modèle de la géométrie euclidienne (plane) car la distance est suffisamment faible pour négliger la courbure de la Terre.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelé A-BΔZₐₑ6.50m
Distance Horizontale A-BDhₐₑ85.20m
Astuces

Pour les petits angles (moins de 10°), l'angle en degrés est approximativement égal à la pente en pourcentage divisée par 1.75. C'est une vérification rapide : 7.63% / 1.75 ≈ 4.36°.

Schéma (Avant les calculs)
Angle à déterminer
α (°)DhΔZ
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} \alpha (\text{°}) &= \arctan\left(\frac{6.50}{85.20}\right) \\ &= \arctan(0.076291...) \\ &= 4.3633...° \\ &\approx 4.36° \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Angle de la pente
α
Réflexions

Un angle de 4.36° peut sembler petit, mais sur une longue distance, il engendre un dénivelé important. C'est une inclinaison déjà perceptible à l'œil et en marchant.

Points de vigilance

Le piège principal est le mode de la calculatrice (degrés, radians, grades). Une erreur de mode donnera un résultat complètement faux (ex: 0.076 radians). Vérifiez toujours le réglage avant le calcul.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez :

  • Concept : L'angle de pente est lié au rapport ΔZ/Dh par la fonction tangente.
  • Formule : α = arctan(ΔZ / Dh).
  • Conversion : Assurez-vous que le résultat est en degrés.
Le saviez-vous ?

En topographie, on utilise aussi le "grade" (ou "gon"). Un cercle complet fait 400 grades (au lieu de 360°). Un angle droit fait 100 grades, ce qui simplifie certains calculs. 4.36° équivaut à environ 4.84 grades.

FAQ
Pourquoi ne pas utiliser le sinus ou le cosinus ?

On pourrait, mais il faudrait connaître la distance suivant la pente. Comme les données de base d'un levé sont le plus souvent la distance horizontale et le dénivelé, la tangente est la fonction la plus directe à utiliser.

Résultat Final
L'angle de la pente est d'environ 4.36°.
A vous de jouer

Quelle serait la pente en degrés si le dénivelé était de 15 m pour une distance horizontale de 100 m ?

Question 4 : Quelle est l'altitude du point C (Z꜀) ?

Principe

Ce calcul est une interpolation linéaire. On suppose que la pente est constante sur le segment AB, et on utilise cette information pour trouver l'altitude d'un point intermédiaire C. On calcule d'abord le gain d'altitude sur la distance AC, puis on l'ajoute à l'altitude de départ A.

Mini-Cours

L'interpolation est une opération mathématique qui permet d'estimer la valeur d'une fonction entre deux points connus. En topographie, on l'utilise constamment pour calculer l'altitude de points sur un profil en long ou pour tracer des courbes de niveau sur un plan.

Remarque Pédagogique

Cette question est très concrète. C'est exactement ce que fait un technicien pour implanter un projet : il calcule l'altitude théorique d'un point du projet (ici, le point C) pour pouvoir ensuite le matérialiser sur le terrain.

Normes

La précision de l'altitude calculée dépend directement de la validité de l'hypothèse de pente constante. Pour des projets de précision, on utiliserait un modèle de terrain plus complexe (Modèle Numérique de Terrain - MNT).

Formule(s)
\[ Z_{\text{C}} = Z_{\text{A}} + \left( \frac{P (\%)}{100} \times \text{Dh}_{\text{AC}} \right) \]
Hypothèses
  • La pente du terrain est parfaitement linéaire entre A et B.
  • Le point C se trouve sur le segment de droite reliant A et B en planimétrie.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Altitude du point AZₐ152.45m
Distance Horizontale A-CDhₐ꜀50.00m
Pente A-BP7.63%
Astuces

On peut aussi utiliser un produit en croix (règle de trois) : si on monte de 6.50 m pour 85.20 m, alors pour 50.00 m on montera de (6.50 * 50.00) / 85.20 ≈ 3.815 m.

Schéma (Avant les calculs)
Position du point C
ABC (Zc=?)50.00 m
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du dénivelé de A à C.

\[ \begin{aligned} \Delta Z_{\text{AC}} &= \frac{P (\%)}{100} \times \text{Dh}_{\text{AC}} \\ &= \frac{7.63}{100} \times 50.00 \, \text{m} \\ &= 3.815 \, \text{m} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de l'altitude de C.

\[ \begin{aligned} Z_{\text{C}} &= Z_{\text{A}} + \Delta Z_{\text{AC}} \\ &= 152.45 \, \text{m} + 3.815 \, \text{m} \\ &= 156.265 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Altitude du point C
ZcΔZacA
Réflexions

L'altitude de C (156.27 m) est bien comprise entre celle de A (152.45 m) et celle de B (158.95 m), ce qui est logique. Le résultat est cohérent.

Points de vigilance

Attention à ne pas utiliser la pente en pourcentage directement dans le calcul. Il faut la diviser par 100 pour la ramener à sa forme décimale (7.63% -> 0.0763) avant de la multiplier par la distance.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez :

  • Concept : L'interpolation linéaire suppose une pente constante.
  • Formule : Z_final = Z_initial + (Pente_décimale * Distance_horizontale).
Le saviez-vous ?

Les logiciels de conception routière (comme AutoCAD Civil 3D ou Mensura) automatisent ces calculs sur des milliers de points pour générer des profils en long et en travers très précis, permettant d'optimiser les volumes de terre à déplacer.

FAQ
Et si le point C n'était pas entre A et B ?

La méthode reste la même. Si C était à 50m de A mais dans la direction opposée à B, on soustrairait le dénivelé calculé à l'altitude de A (en supposant que la pente soit la même de l'autre côté).

Résultat Final
L'altitude du point C est de 156.27 m (arrondi au cm).
A vous de jouer

Quelle serait l'altitude de C si ce point était situé à seulement 20 m de A ?

Question 5 : Calculer la distance réelle à parcourir sur le terrain entre A et B.

Principe

Le concept physique est la mesure de la distance euclidienne dans un plan vertical. La distance horizontale est une projection, tandis que la distance réelle est la longueur de l'hypoténuse du triangle formé par la projection horizontale (Dh) et la différence verticale (ΔZ).

Mini-Cours

Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. C'est une pierre angulaire de la géométrie.

Remarque Pédagogique

Cette question met en évidence la différence entre une carte (qui représente la distance horizontale) et la réalité du terrain. Pour un randonneur ou pour calculer la longueur d'une canalisation, c'est la distance réelle qui compte !

Normes

Dans les contrats de construction, il est souvent précisé si les métrés (mesures de longueurs, surfaces) sont calculés en projection 2D (horizontal) ou en 3D (réel), car cela peut avoir un impact financier sur les quantités de matériaux.

Formule(s)
\[ D_{\text{pente}} = \sqrt{\text{Dh}^2 + \Delta Z^2} \]
Hypothèses
  • Le terrain a une pente constante, formant ainsi un triangle rectangle parfait.
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Dénivelé A-BΔZₐₑ6.50m
Distance Horizontale A-BDhₐₑ85.20m
Astuces

Pour les pentes faibles, la distance réelle sera toujours très légèrement supérieure à la distance horizontale. Si vous trouvez une grande différence, vérifiez vos calculs, notamment les carrés.

Schéma (Avant les calculs)
Hypoténuse à calculer
D pente = ?DhΔZ
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} D_{\text{pente}} &= \sqrt{(85.20)^2 + (6.50)^2} \\ &= \sqrt{7259.04 + 42.25} \\ &= \sqrt{7301.29} \\ &\approx 85.45 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Distance réelle illustrée
Distance Pente
Réflexions

La différence entre la distance horizontale (85.20 m) et la distance réelle (85.45 m) est de 25 cm. C'est faible mais non négligeable pour des travaux de précision comme la pose d'une canalisation dont la longueur doit être exacte.

Points de vigilance

N'oubliez pas la racine carrée à la fin du calcul ! Une erreur classique est de s'arrêter après l'addition des carrés.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez :

  • Concept : La distance réelle est l'hypoténuse du triangle de pente.
  • Formule : Théorème de Pythagore D = √(Dh² + ΔZ²).
  • Relation : La distance réelle est toujours supérieure ou égale à la distance horizontale.
Le saviez-vous ?

Les instruments modernes de topographie (stations totales) peuvent mesurer directement la distance suivant la pente. Ils calculent ensuite automatiquement la distance horizontale et le dénivelé en mesurant également l'angle vertical.

FAQ
Quand cette différence devient-elle vraiment importante ?

La différence devient significative sur des terrains très pentus. Pour une pente de 30%, la différence est déjà d'environ 4.4%. Pour une pente de 100% (45°), la distance réelle est 41% plus longue que la distance horizontale !

Résultat Final
La distance réelle suivant la pente entre A et B est de 85.45 m.
A vous de jouer

Si le dénivelé était de 20 m pour la même distance horizontale (85.20 m), quelle serait la distance réelle ?

Outil Interactif : Simulateur de Pente

Utilisez les curseurs pour modifier les altitudes et la distance horizontale, et observez en temps réel l'impact sur le profil du terrain, la pente et la distance réelle.

Paramètres d'Entrée
152.5 m
159.0 m
85 m
Résultats Clés
Dénivelé (m) -
Pente (%) -
Angle (°) -
Distance réelle (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le dénivelé est défini comme :

2. Une pente de 100% correspond à un angle de :

3. Si le point B est plus bas que le point A, le dénivelé de A vers B est :

4. Pour calculer la distance réelle sur le terrain, on utilise :

5. La pente d'une route est généralement exprimée en :

Altitude (Z)
Hauteur verticale d'un point par rapport à un niveau de référence (souvent le niveau de la mer).
Dénivelé (ΔZ)
Différence d'altitude entre deux points. Il peut être positif (montée) ou négatif (descente).
Distance Horizontale (Dh)
Distance entre deux points projetée sur un plan horizontal. C'est la distance que l'on lit sur une carte.
Distance suivant la pente
Distance réelle mesurée sur le terrain en suivant son inclinaison naturelle.
Pente (P)
Rapport entre le dénivelé et la distance horizontale. Elle indique l'inclinaison du terrain.
Exercice : Calcul des Dénivelés et Pentes en Topographie

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