Études de cas pratique

EGC

Analyse d’un Réseau Électrique

Analyse d’un Réseau Électrique

Analyse d’un Réseau Électrique

Comprendre l'Analyse d’un Réseau Électrique

L'analyse des réseaux électriques consiste à déterminer les tensions et les courants en différents points d'un circuit. Pour les circuits complexes comportant plusieurs sources et/ou plusieurs boucles (mailles), des méthodes systématiques sont nécessaires. Les lois de Kirchhoff, notamment la loi des nœuds (conservation du courant) et la loi des mailles (conservation de la tension dans une boucle), sont fondamentales. La loi d'Ohm (\(U=RI\)) est utilisée pour relier la tension aux bornes d'une résistance au courant qui la traverse. L'application combinée de ces lois permet de mettre en place un système d'équations linéaires dont la résolution donne les grandeurs inconnues du circuit. Cet exercice se concentre sur l'analyse d'un circuit à deux mailles avec deux sources de tension continues.

Données de l'étude

On considère le réseau électrique continu représenté ci-dessous, comportant deux sources de tension et trois résistances.

Caractéristiques du circuit :

  • Source de tension \(E_1\) : \(12 \, \text{V}\)
  • Source de tension \(E_2\) : \(6 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(2 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(4 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(3 \, \Omega\)
Schéma du Réseau Électrique
E1 12V + - R1 (2Ω) A R2 (4Ω) B R3 (3Ω) E2 6V + - I1 I2 I3 Réseau Électrique à Deux Mailles

Schéma du réseau électrique avec les sens des courants choisis arbitrairement.

Questions à traiter

On définit les courants \(I_1\), \(I_2\), et \(I_3\) comme indiqué sur le schéma (sens arbitraires). \(I_1\) traverse \(R_1\), \(I_2\) traverse \(R_2\), et \(I_3\) traverse \(R_3\).

  1. Écrire l'équation de la loi des nœuds au nœud A.
  2. Écrire l'équation de la loi des mailles pour la maille de gauche (passant par \(E_1, R_1, R_2\)).
  3. Écrire l'équation de la loi des mailles pour la maille de droite (passant par \(R_2, R_3, E_2\)).
  4. Résoudre le système d'équations pour déterminer les valeurs des courants \(I_1, I_2,\) et \(I_3\).
  5. Calculer la tension \(U_{AB}\) (tension aux bornes de \(R_2\), avec A positif par rapport à B si \(I_2\) est positif dans le sens A vers B).
  6. Calculer la puissance dissipée par la résistance \(R_2\).
  7. Calculer la puissance fournie par la source \(E_1\).
  8. Calculer la puissance fournie ou absorbée par la source \(E_2\).

Correction : Analyse d’un Réseau Électrique

Question 1 : Loi des nœuds au nœud A

Principe :

La somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant. Au nœud A, \(I_1\) entre, et \(I_2\) et \(I_3\) sortent (selon les sens choisis sur le schéma).

Équation :
\[I_1 = I_2 + I_3 \quad \Rightarrow \quad I_1 - I_2 - I_3 = 0 \quad \text{(Éq. 1)}\]
Résultat Question 1 : L'équation de la loi des nœuds au point A est \(I_1 - I_2 - I_3 = 0\).

Question 2 : Loi des mailles pour la maille de gauche

Principe :

On parcourt la maille (E1 - R1 - R2 - retour à E1) dans le sens horaire. La somme algébrique des tensions est nulle. On prend les tensions des sources comme positives si on les traverse du - vers le +, et les chutes de tension aux bornes des résistances (\(RI\)) comme négatives si on les parcourt dans le sens du courant choisi.

Équation :
\[E_1 - R_1 I_1 - R_2 I_2 = 0\]

En remplaçant par les valeurs :

\[12 - 2I_1 - 4I_2 = 0 \quad \text{(Éq. 2)}\]
Résultat Question 2 : L'équation de la maille de gauche est \(12 - 2I_1 - 4I_2 = 0\).

Question 3 : Loi des mailles pour la maille de droite

Principe :

On parcourt la maille (R2 - R3 - E2 - retour à R2) dans le sens horaire. Attention au sens de \(E_2\) et \(I_3\).

Équation :
\[R_2 I_2 - R_3 I_3 - E_2 = 0\]

En parcourant la maille dans le sens horaire : on monte à travers \(R_2\) dans le sens de \(I_2\) (donc \(+R_2 I_2\)), on descend à travers \(R_3\) dans le sens de \(I_3\) (donc \(-R_3 I_3\)), et on traverse \(E_2\) du + vers le - (donc \(-E_2\)).

En remplaçant par les valeurs :

\[4I_2 - 3I_3 - 6 = 0 \quad \text{(Éq. 3)}\]
Résultat Question 3 : L'équation de la maille de droite est \(4I_2 - 3I_3 - 6 = 0\).

Question 4 : Résolution du système d'équations

Principe :

Nous avons un système de trois équations linéaires à trois inconnues (\(I_1, I_2, I_3\)) :
1) \(I_1 - I_2 - I_3 = 0\)
2) \(2I_1 + 4I_2 = 12\) (simplifiée : \(I_1 + 2I_2 = 6\))
3) \(4I_2 - 3I_3 = 6\)

De (1), \(I_3 = I_1 - I_2\). Remplaçons \(I_3\) dans (3) :
\(4I_2 - 3(I_1 - I_2) = 6\)
\(4I_2 - 3I_1 + 3I_2 = 6\)
\(-3I_1 + 7I_2 = 6 \quad \text{(Éq. 4)}\)
Nous avons maintenant un système de deux équations avec \(I_1\) et \(I_2\) :
(Éq. 2') \(I_1 + 2I_2 = 6\)
(Éq. 4) \(-3I_1 + 7I_2 = 6\)
Multiplions (Éq. 2') par 3 : \(3I_1 + 6I_2 = 18\).
Additionnons cette nouvelle équation avec (Éq. 4) :
\((3I_1 + 6I_2) + (-3I_1 + 7I_2) = 18 + 6\)
\(13I_2 = 24 \Rightarrow I_2 = 24/13 \, \text{A}\)

Calcul des courants :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{24}{13} \, \text{A} \approx 1.846 \, \text{A} \\ \text{De (Éq. 2') : } I_1 &= 6 - 2I_2 \\ &= 6 - 2 \times \frac{24}{13} \\ &= 6 - \frac{48}{13} \\ &= \frac{78-48}{13} = \frac{30}{13} \, \text{A} \approx 2.308 \, \text{A} \\ \text{De (Éq. 1) : } I_3 &= I_1 - I_2 \\ &= \frac{30}{13} - \frac{24}{13} \\ &= \frac{6}{13} \, \text{A} \approx 0.462 \, \text{A} \end{aligned} \]

Tous les courants calculés sont positifs, ce qui signifie que les sens choisis initialement sur le schéma étaient corrects.

Résultat Question 4 : Les courants sont \(I_1 = \frac{30}{13} \, \text{A} \approx 2.308 \, \text{A}\), \(I_2 = \frac{24}{13} \, \text{A} \approx 1.846 \, \text{A}\), et \(I_3 = \frac{6}{13} \, \text{A} \approx 0.462 \, \text{A}\).

Question 5 : Tension \(U_{AB}\)

Principe :

La tension \(U_{AB}\) est la tension aux bornes de la résistance \(R_2\), parcourue par le courant \(I_2\) (de A vers B).

Formule(s) utilisée(s) :
\[U_{AB} = R_2 \cdot I_2\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 4 \, \Omega\)
  • \(I_2 = \frac{24}{13} \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} U_{AB} &= 4 \, \Omega \times \frac{24}{13} \, \text{A} \\ &= \frac{96}{13} \, \text{V} \\ &\approx 7.3846 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La tension \(U_{AB} \approx 7.385 \, \text{V}\).

Question 6 : Puissance dissipée par \(R_2\)

Principe :

La puissance dissipée par une résistance est \(P = R I^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_2 = R_2 I_2^2\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 4 \, \Omega\)
  • \(I_2 = \frac{24}{13} \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= 4 \, \Omega \times \left(\frac{24}{13} \, \text{A}\right)^2 \\ &= 4 \times \frac{576}{169} \, \text{W} \\ &= \frac{2304}{169} \, \text{W} \\ &\approx 13.633 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La puissance dissipée par \(R_2\) est \(P_2 \approx 13.63 \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la résistance \(R_2\) était plus grande, et les courants restaient les mêmes (hypothétiquement), la puissance dissipée par \(R_2\) serait :

Question 7 : Puissance fournie par la source \(E_1\)

Principe :

La puissance fournie par une source de tension est \(P = E \cdot I\), où \(I\) est le courant sortant de la borne positive de la source.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{E1} = E_1 \cdot I_1\]
Données spécifiques :
  • \(E_1 = 12 \, \text{V}\)
  • \(I_1 = \frac{30}{13} \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{E1} &= 12 \, \text{V} \times \frac{30}{13} \, \text{A} \\ &= \frac{360}{13} \, \text{W} \\ &\approx 27.692 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La puissance fournie par la source \(E_1\) est \(P_{E1} \approx 27.69 \, \text{W}\).

Question 8 : Puissance fournie ou absorbée par la source \(E_2\)

Principe :

La puissance associée à la source \(E_2\) est \(P_{E2} = E_2 \cdot I_3\). Si le courant \(I_3\) sort de la borne positive de \(E_2\) (comme c'est le cas sur notre schéma, car \(I_3\) va de A vers B et traverse \(E_2\) du + vers le -), alors \(E_2\) fournit de la puissance. Si \(I_3\) entrait par la borne positive, \(E_2\) absorberait de la puissance. Sur notre schéma, \(I_3\) circule dans le sens qui s'oppose à \(E_2\) (il entre par la borne + de \(E_2\) si on considère la maille de droite). Donc \(E_2\) absorbe de la puissance, ou on peut dire qu'elle fournit une puissance négative.

Convention: Puissance fournie \(P = UI\). Si \(I\) sort de la borne +, \(P > 0\) (fournie). Si \(I\) entre par la borne +, \(P < 0\) (absorbée).

Le courant \(I_3\) traverse \(R_3\) de A vers B, puis remonte vers \(E_2\). Le sens de \(I_3\) est tel qu'il sort de la borne négative de \(E_2\) et entre par sa borne positive. Donc, \(E_2\) est en convention récepteur et absorbe de la puissance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{E2} = E_2 \cdot I_3 \quad (\text{puissance absorbée si } I_3 \text{ entre par la borne +})\]
Données spécifiques :
  • \(E_2 = 6 \, \text{V}\)
  • \(I_3 = \frac{6}{13} \, \text{A}\) (sens de A vers B, donc entre par la borne + de \(E_2\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{E2, \text{absorbée}} &= 6 \, \text{V} \times \frac{6}{13} \, \text{A} \\ &= \frac{36}{13} \, \text{W} \\ &\approx 2.769 \, \text{W} \end{aligned} \]

La source \(E_2\) absorbe donc de la puissance (elle se comporte comme un récepteur, par exemple une batterie en charge).

Résultat Question 8 : La source \(E_2\) absorbe une puissance d'environ \(P_{E2} \approx 2.77 \, \text{W}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi des nœuds de Kirchhoff exprime la conservation de :

2. Dans un circuit avec plusieurs résistances en série, le courant :

3. Si une source de tension \(E\) débite un courant \(I\), la puissance qu'elle fournit est :

Glossaire

Loi d'Ohm
Relation fondamentale en électricité qui lie la tension (\(U\)) aux bornes d'un conducteur ohmique à l'intensité du courant (\(I\)) qui le traverse et à sa résistance (\(R\)) : \(U = RI\).
Loi des Mailles (Loi de Kirchhoff pour les tensions)
Dans toute boucle fermée (maille) d'un circuit électrique, la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) est nulle.
Loi des Nœuds (Loi de Kirchhoff pour les courants)
En tout point d'un circuit où des conducteurs se rencontrent (nœud), la somme algébrique des intensités des courants qui y entrent est égale à la somme des intensités des courants qui en sortent (conservation de la charge).
Résistance Électrique (\(R\))
Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Courant Électrique (\(I\))
Débit de charges électriques. Unité : Ampère (A).
Tension Électrique (\(U\) ou \(V\))
Différence de potentiel électrique entre deux points d'un circuit. Unité : Volt (V).
Puissance Électrique (\(P\))
Quantité d'énergie électrique transférée ou dissipée par unité de temps. Pour une résistance, \(P = UI = RI^2 = U^2/R\). Unité : Watt (W).
Circuit en Série
Montage où les composants sont connectés les uns à la suite des autres, de sorte que le même courant les traverse.
Circuit en Parallèle (ou Dérivation)
Montage où les composants sont connectés de manière à ce que la même tension soit appliquée à leurs bornes.
Résistance Équivalente
Résistance unique qui aurait le même effet dans un circuit qu'un groupement de plusieurs résistances.
Maille
Boucle fermée dans un circuit électrique.
Nœud
Point de connexion entre trois conducteurs ou plus dans un circuit.
Source de Tension
Composant qui fournit une différence de potentiel (tension) constante ou variable à un circuit.
Loi des Mailles et Loi d’Ohm - Exercice d'Application

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