Études de cas pratique

EGC

Analyse d’un Circuit RLC

Analyse d’un Circuit RLC Série

Analyse d’un Circuit RLC Série

Comprendre l'Analyse d’un Circuit RLC Série

Un circuit RLC série est un circuit électrique fondamental composé d'une résistance (R), d'une bobine (inductance L) et d'un condensateur (capacité C) connectés en série. Lorsqu'il est alimenté par une source de tension alternative, ce circuit présente un comportement dépendant de la fréquence, caractérisé par son impédance totale, le courant qui le traverse, et le déphasage entre la tension et le courant. L'analyse de ces circuits est cruciale en électronique pour la conception de filtres, d'oscillateurs et d'autres dispositifs. Des concepts clés incluent la réactance inductive, la réactance capacitive, l'impédance totale, la fréquence de résonance, et le facteur de qualité.

Données de l'étude

On étudie un circuit RLC série alimenté par une source de tension sinusoïdale.

Caractéristiques du circuit et de l'alimentation :

  • Résistance (\(R\)) : \(50 \, \Omega\)
  • Inductance (\(L\)) : \(150 \, \text{mH} = 0.15 \, \text{H}\)
  • Capacité (\(C\)) : \(10 \, \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • Tension efficace de la source (\(V_{\text{eff}}\)) : \(120 \, \text{V}\)
  • Fréquence de la source (\(f\)) : \(60 \, \text{Hz}\)
Schéma : Circuit RLC Série
Veff, f R L C Circuit RLC Série Alimenté en AC

Schéma d'un circuit RLC série avec une source de tension alternative.

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation (fréquence angulaire) \(\omega\) de la source.
  2. Calculer la réactance inductive (\(X_L\)) de la bobine.
  3. Calculer la réactance capacitive (\(X_C\)) du condensateur.
  4. Calculer l'impédance totale (\(Z\)) du circuit RLC série.
  5. Calculer le courant efficace (\(I_{\text{eff}}\)) circulant dans le circuit.
  6. Calculer le déphasage (\(\phi\)) entre la tension totale et le courant. Préciser si le circuit est globalement inductif, capacitif ou résistif.
  7. Calculer la fréquence de résonance (\(f_0\)) de ce circuit.
  8. Quelle serait l'impédance du circuit à la fréquence de résonance ?

Correction : Analyse d’un Circuit RLC Série

Question 1 : Pulsation (\(\omega\)) de la source

Principe :

La pulsation \(\omega\) (en radians par seconde) est liée à la fréquence \(f\) (en Hertz) par la relation \(\omega = 2\pi f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega = 2\pi f\]
Données spécifiques :
  • Fréquence (\(f\)) : \(60 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi \times 60 \, \text{Hz} \\ &\approx 2 \times 3.14159 \times 60 \, \text{rad/s} \\ &\approx 376.99 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pulsation de la source est \(\omega \approx 376.99 \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Réactance inductive (\(X_L\))

Principe :

La réactance inductive d'une bobine d'inductance \(L\) est donnée par \(X_L = \omega L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[X_L = \omega L\]
Données spécifiques :
  • Pulsation (\(\omega\)) : \(\approx 376.99 \, \text{rad/s}\)
  • Inductance (\(L\)) : \(0.15 \, \text{H}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_L &= 376.99 \, \text{rad/s} \times 0.15 \, \text{H} \\ &\approx 56.5485 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La réactance inductive est \(X_L \approx 56.55 \, \Omega\).

Question 3 : Réactance capacitive (\(X_C\))

Principe :

La réactance capacitive d'un condensateur de capacité \(C\) est donnée par \(X_C = \frac{1}{\omega C}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[X_C = \frac{1}{\omega C}\]
Données spécifiques :
  • Pulsation (\(\omega\)) : \(\approx 376.99 \, \text{rad/s}\)
  • Capacité (\(C\)) : \(10 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_C &= \frac{1}{376.99 \, \text{rad/s} \times 10 \times 10^{-6} \, \text{F}} \\ &= \frac{1}{0.0037699} \, \Omega \\ &\approx 265.258 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La réactance capacitive est \(X_C \approx 265.26 \, \Omega\).

Question 4 : Impédance totale (\(Z\))

Principe :

L'impédance totale d'un circuit RLC série est donnée par \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\]
Données spécifiques :
  • Résistance (\(R\)) : \(50 \, \Omega\)
  • Réactance inductive (\(X_L\)) : \(\approx 56.55 \, \Omega\)
  • Réactance capacitive (\(X_C\)) : \(\approx 265.26 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_L - X_C &\approx 56.55 - 265.26 = -208.71 \, \Omega \\ Z &= \sqrt{(50 \, \Omega)^2 + (-208.71 \, \Omega)^2} \\ &= \sqrt{2500 + 43559.9041} \, \Omega \\ &= \sqrt{46059.9041} \, \Omega \\ &\approx 214.6157 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'impédance totale du circuit est \(Z \approx 214.62 \, \Omega\).

Question 5 : Courant efficace (\(I_{\text{eff}}\))

Principe :

Le courant efficace dans le circuit est donné par la loi d'Ohm en régime alternatif : \(I_{\text{eff}} = V_{\text{eff}} / Z\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{eff}} = \frac{V_{\text{eff}}}{Z}\]
Données spécifiques :
  • Tension efficace (\(V_{\text{eff}}\)) : \(120 \, \text{V}\)
  • Impédance (\(Z\)) : \(\approx 214.6157 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{eff}} &= \frac{120 \, \text{V}}{214.6157 \, \Omega} \\ &\approx 0.55910 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le courant efficace circulant dans le circuit est \(I_{\text{eff}} \approx 0.559 \, \text{A}\).

Question 6 : Déphasage (\(\phi\))

Principe :

Le déphasage \(\phi\) entre la tension totale et le courant dans un circuit RLC série est donné par \(\tan(\phi) = (X_L - X_C) / R\). Si \(\phi > 0\), le circuit est inductif (courant en retard sur la tension). Si \(\phi < 0\), le circuit est capacitif (courant en avance sur la tension).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\phi = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)\]
Données spécifiques :
  • \(X_L - X_C \approx -208.71 \, \Omega\)
  • \(R = 50 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tan(\phi) &= \frac{-208.71}{50} \approx -4.1742 \\ \phi &= \arctan(-4.1742) \\ &\approx -76.52^\circ \end{aligned} \]

Puisque \(\phi\) est négatif (et \(X_C > X_L\)), le circuit est globalement capacitif. Le courant est en avance sur la tension.

Résultat Question 6 : Le déphasage est \(\phi \approx -76.52^\circ\). Le circuit est capacitif.

Quiz Intermédiaire 1 : Si \(X_L > X_C\), le déphasage \(\phi\) serait :

Question 7 : Fréquence de résonance (\(f_0\))

Principe :

La fréquence de résonance \(f_0\) d'un circuit RLC série est la fréquence pour laquelle la réactance inductive \(X_L\) est égale à la réactance capacitive \(X_C\). À cette fréquence, l'impédance du circuit est minimale (égale à \(R\)) et le courant est maximal.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C} \Rightarrow \omega_0^2 = \frac{1}{LC} \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\] \[f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]
Données spécifiques :
  • Inductance (\(L\)) : \(0.15 \, \text{H}\)
  • Capacité (\(C\)) : \(10 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} LC &= (0.15 \, \text{H}) \times (10 \times 10^{-6} \, \text{F}) = 1.5 \times 10^{-6} \, \text{s}^2 \\ \sqrt{LC} &= \sqrt{1.5 \times 10^{-6}} \approx 0.0012247 \, \text{s} \\ f_0 &= \frac{1}{2\pi \times 0.0012247 \, \text{s}} \\ &\approx \frac{1}{0.007695} \, \text{Hz} \\ &\approx 130.0 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La fréquence de résonance du circuit est \(f_0 \approx 130.0 \, \text{Hz}\).

Question 8 : Impédance à la fréquence de résonance

Principe :

À la fréquence de résonance (\(f_0\)), \(X_L = X_C\). Par conséquent, la partie réactive de l'impédance \( (X_L - X_C) \) est nulle. L'impédance totale \(Z\) du circuit RLC série se réduit alors à la résistance \(R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_0 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\]

À la résonance, \(X_L = X_C\), donc \(X_L - X_C = 0\).

\[Z_0 = \sqrt{R^2 + 0^2} = R\]
Données spécifiques :
  • Résistance (\(R\)) : \(50 \, \Omega\)
Calcul :
\[ Z_0 = 50 \, \Omega \]
Résultat Question 8 : À la fréquence de résonance, l'impédance du circuit est \(Z_0 = 50 \, \Omega\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un circuit RLC série en régime sinusoïdal, si la fréquence augmente, la réactance inductive \(X_L\) :

2. À la fréquence de résonance d'un circuit RLC série :

3. Si \(X_C > X_L\) dans un circuit RLC série, le circuit a un comportement global :

Glossaire

Circuit RLC Série
Circuit électrique comprenant une résistance (R), une inductance (L) et une capacité (C) connectées en série.
Résistance (\(R\))
Propriété d'un composant à s'opposer au passage du courant électrique, dissipant l'énergie sous forme de chaleur. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Inductance (\(L\))
Propriété d'un circuit électrique par laquelle une force électromotrice (tension) est induite par une variation du courant qui le traverse. Unité : Henry (H).
Capacité (\(C\))
Propriété d'un composant (condensateur) à stocker de l'énergie électrique sous forme d'un champ électrique. Unité : Farad (F).
Pulsation (Fréquence Angulaire, \(\omega\))
Mesure de la vitesse de rotation ou d'oscillation, liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).
Réactance Inductive (\(X_L\))
Opposition offerte par une inductance au passage d'un courant alternatif. \(X_L = \omega L\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Réactance Capacitive (\(X_C\))
Opposition offerte par une capacité au passage d'un courant alternatif. \(X_C = 1/(\omega C)\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Impédance (\(Z\))
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Elle combine la résistance et la réactance. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Courant Efficace (\(I_{\text{eff}}\))
Valeur d'un courant continu qui produirait la même dissipation de chaleur dans une résistance qu'un courant alternatif donné.
Tension Efficace (\(V_{\text{eff}}\))
Valeur d'une tension continue qui produirait la même dissipation de chaleur dans une résistance qu'une tension alternative donnée.
Déphasage (\(\phi\))
Différence de phase entre deux signaux sinusoïdaux de même fréquence (ici, entre la tension et le courant).
Fréquence de Résonance (\(f_0\))
Fréquence à laquelle les réactances inductive et capacitive d'un circuit RLC s'annulent (\(X_L = X_C\)), conduisant à une impédance minimale (pour un circuit série) ou maximale (pour un circuit parallèle).
Analyse d’un Circuit RLC Série - Exercice d'Application

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