Analyse d’un Circuit RLC
Comprendre l’Analyse d’un Circuit RLC
Vous êtes un ingénieur électricien et on vous a confié la tâche de concevoir un circuit pour tester la réponse d’un nouveau type de composant électronique. Le circuit contient une résistance (R), un condensateur (C) et une inductance (L) connectés en série.
Pour comprendre le Calcul de la Chute de Tension sur le Câble, cliquez sur le lien.
Données
- Résistance (R) : 220 ohms
- Capacité du condensateur (C) : 47 microfarads
- Inductance de l’inducteur (L) : 1.5 millihenrys
- Fréquence du signal d’entrée : 60 Hz
Questions
1. Calcul de la Réactance Capacitive (Xc) et Inductive (Xl):
- Calculez la réactance capacitive (Xc) du condensateur.
- Calculez la réactance inductive (Xl) de l’inducteur.
2. Calcul de l’Impédance Totale (Z):
- Déterminez l’impédance totale (Z) du circuit.
3. Courant dans le Circuit:
- Si la tension appliquée au circuit est de 120 volts, calculez le courant total (I) circulant dans le circuit.
4. Diagramme Phasoriel:
- Dessinez le diagramme phasoriel montrant les relations entre la tension et le courant pour chaque composant.
5. Réponse en Fréquence:
- Comment la fréquence du signal d’entrée affecte-t-elle la réactance capacitive et inductive ? Expliquez brièvement.
Correction : Analyse d’un Circuit RLC
1. Calcul de la Réactance Capacitive (Xc) et Inductive (Xl)
1.1. Calcul de la Réactance Capacitive (\(X_C\))
La réactance capacitive exprime la « résistance » qu’oppose un condensateur aux variations de tension, et elle est inversement proportionnelle à la fréquence.
Formule :
\[ X_C = \frac{1}{2\pi f C} \]
Données :
- \(C = 47\,\mu\text{F} = 47 \times 10^{-6}\,\text{F}\)
- \(f = 60\,\text{Hz}\)
Calcul :
\[ X_C = \frac{1}{2 \times \pi \times 60 \times 47 \times 10^{-6}} \] \[ X_C \approx \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 60 \times 0.000047} \] \[ X_C \approx \frac{1}{0.01774} \] \[ X_C \approx \mathbf{56.38\,\Omega} \]
1.2. Calcul de la Réactance Inductive (\(X_L\))
La réactance inductive mesure l’opposition d’une inductance aux variations de courant, et elle est directement proportionnelle à la fréquence.
Formule :
\[ X_L = 2\pi f L \]
Données :
- \(L = 1.5\,\text{mH} = 1.5 \times 10^{-3}\,\text{H}\)
- \(f = 60\,\text{Hz}\)
Calcul :
\[ X_L = 2 \times \pi \times 60 \times 1.5 \times 10^{-3} \] \[ X_L \approx 6.2832 \times 60 \times 0.0015 \] \[ X_L \approx 0.5655\,\Omega \] \[ X_L \approx \mathbf{0.57\,\Omega} \text{ (arrondi)} \]
2. Calcul de l’Impédance Totale (\(Z\))
Dans un circuit RLC en série, l’impédance totale combine la résistance pure et la différence entre les réactances inductive et capacitive. Le terme de réactance nette est
\[ X = X_L – X_C. \]
Formule :
\[ Z = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2} \]
Données :
- \(R = 220\,\Omega\)
- \(X_L \approx 0.57\,\Omega\)
- \(X_C \approx 56.38\,\Omega\)
Calcul :
Calcul de la réactance nette :
\[ X_{\text{net}} = X_L – X_C \] \[ X_{\text{net}} = 0.57 – 56.38 \] \[ X_{\text{net}} \approx -55.81\,\Omega \]
Puis,
\[ Z = \sqrt{220^2 + (-55.81)^2} \] \[ Z = \sqrt{48400 + 3115} \] \[ Z = \sqrt{51515} \] \[ Z \approx \mathbf{226.94\,\Omega} \]
3. Calcul du Courant dans le Circuit
Le courant total est déterminé par la loi d’Ohm appliquée à l’impédance totale.
Formule :
\[ I = \frac{V}{Z} \]
Données :
- \(V = 120\,\text{V}\)
- \(Z \approx 226.94\,\Omega\)
Calcul :
\[ I = \frac{120}{226.94} \approx \mathbf{0.528\,\text{A}} \]
4. Diagramme Phasoriel
- Le vecteur \(V_R\) (chute de tension sur la résistance) est aligné avec le courant (0°).
- Le vecteur \(V_L\) (tension sur l’inductance) est en avance de 90° par rapport au courant.
- Le vecteur \(V_C\) (tension sur le condensateur) est en retard de 90° par rapport au courant.
Remarques :
Dans ce circuit, puisque \(X_C\) est beaucoup plus grand que \(X_L\), la composante capacitive domine. Ainsi, le déphasage total montre que le courant précède la tension globale du circuit (effet capacitif).
Analyse d’un Circuit RLC
5. Réponse en Fréquence
- Réactance Capacitive (\(X_C\)) :
\(X_C\) est inversement proportionnelle à la fréquence. Ainsi, en augmentant la fréquence, \(X_C\) diminue.
- Réactance Inductive (\(X_L\)) :
\(X_L\) est directement proportionnelle à la fréquence. En augmentant la fréquence, \(X_L\) augmente.
Conclusion :
La fréquence du signal d’entrée modifie l’équilibre entre les réactances. À faible fréquence, \(X_C\) est élevé et \(X_L\) est faible, entraînant un comportement globalement capacitif. À haute fréquence, \(X_L\) augmente et \(X_C\) diminue, modifiant ainsi la réponse du circuit et pouvant, selon la plage de fréquence, faire apparaître un comportement inductif.
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