Études de cas pratique

EGC

Application des Lois de Kirchhoff

Application des Lois de Kirchhoff en Électricité

Application des Lois de Kirchhoff en Électricité

Comprendre l'Application des Lois de Kirchhoff

Les lois de Kirchhoff sont deux principes fondamentaux en théorie des circuits électriques, formulés par Gustav Kirchhoff. Elles permettent d'analyser des circuits complexes en établissant des relations entre les courants et les tensions. La première loi, appelée loi des nœuds (ou loi des courants de Kirchhoff, LCK), stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud (un point de connexion dans un circuit) est nulle. Autrement dit, la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants. Cette loi découle du principe de conservation de la charge électrique. La deuxième loi, appelée loi des mailles (ou loi des tensions de Kirchhoff, LTK), stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle. Cette loi est une conséquence du principe de conservation de l'énergie.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique simple représenté ci-dessous, alimenté par deux sources de tension.

Valeurs des composants :

  • Source de tension \(V_1\) : \(12 \, \text{V}\)
  • Source de tension \(V_2\) : \(6 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(2 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(4 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(3 \, \Omega\)

Les sens des courants \(I_1, I_2, I_3\) sont indiqués sur le schéma.

Schéma du Circuit Électrique
V1 + - R1 A R3 B R2 V2 + - I1 I3 I2

Circuit électrique avec deux sources et trois résistances.

Questions à traiter

  1. Écrire l'équation de la loi des nœuds au nœud A.
  2. Écrire les équations de la loi des mailles pour les deux mailles indépendantes du circuit (par exemple, maille de gauche incluant \(V_1, R_1, R_3\) et maille de droite incluant \(R_3, R_2, V_2\)).
  3. Résoudre le système d'équations pour trouver les valeurs des courants \(I_1, I_2\) et \(I_3\).
  4. Calculer la tension aux bornes de la résistance \(R_3\) (\(U_{R3}\)).
  5. Calculer la puissance dissipée par la résistance \(R_2\) (\(P_{R2}\)).

Correction : Application des Lois de Kirchhoff

Question 1 : Loi des Nœuds au Nœud A

Principe :

La loi des nœuds stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud est égale à la somme algébrique des courants sortant de ce nœud. En considérant les courants entrants comme positifs et les sortants comme négatifs (ou vice-versa, tant que la convention est cohérente), leur somme est nulle.

Application au Nœud A :

Au nœud A, le courant \(I_1\) entre, et les courants \(I_2\) et \(I_3\) sortent (selon les sens fléchés sur le schéma).

\[I_1 = I_2 + I_3 \quad \Rightarrow \quad I_1 - I_2 - I_3 = 0 \quad \text{(Équation 1)}\]
Résultat Question 1 : L'équation de la loi des nœuds au nœud A est \(I_1 - I_2 - I_3 = 0\).

Question 2 : Loi des Mailles

Principe :

La loi des mailles stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle. On choisit un sens de parcours pour chaque maille et on somme les tensions : positives si on traverse une source de tension du - vers le +, négatives sinon ; positives si on traverse une résistance dans le sens du courant, négatives sinon (ou l'inverse, en utilisant la convention \(U=RI\) où \(U\) est la chute de potentiel).

Convention adoptée : on parcourt la maille, les f.é.m. sont positives si on va du - au +, les chutes de tension \(RI\) sont négatives si on parcourt la résistance dans le sens du courant.

Maille de Gauche (V1, R1, R3) - Sens horaire :
\[+V_1 - R_1 I_1 - R_3 I_3 = 0\] \[12 - 2I_1 - 3I_3 = 0 \quad \text{(Équation 2)}\]
Maille de Droite (R3, R2, V2) - Sens anti-horaire :

En partant du bas de R3, en remontant R3, puis R2, puis V2.

\[+R_3 I_3 - R_2 I_2 - V_2 = 0\] \[3I_3 - 4I_2 - 6 = 0 \quad \text{(Équation 3)}\]
Résultat Question 2 : Les équations des mailles sont :
Maille gauche : \(12 - 2I_1 - 3I_3 = 0\)
Maille droite : \(3I_3 - 4I_2 - 6 = 0\)

Question 3 : Résolution du Système d'Équations

Principe :

Nous avons un système de trois équations linéaires à trois inconnues (\(I_1, I_2, I_3\)). Nous pouvons le résoudre par substitution ou par d'autres méthodes algébriques.

Système :

  1. \(I_1 - I_2 - I_3 = 0 \Rightarrow I_1 = I_2 + I_3\)
  2. \(12 - 2I_1 - 3I_3 = 0\)
  3. \(3I_3 - 4I_2 - 6 = 0 \Rightarrow 4I_2 = 3I_3 - 6 \Rightarrow I_2 = \frac{3}{4}I_3 - \frac{6}{4} = 0.75I_3 - 1.5\)
Calcul :

Substituer \(I_2\) de (3) dans (1) :

\[ \begin{aligned} I_1 &= (0.75I_3 - 1.5) + I_3 \\ I_1 &= 1.75I_3 - 1.5 \end{aligned} \]

Substituer cette nouvelle expression de \(I_1\) dans (2) :

\[ \begin{aligned} 12 - 2(1.75I_3 - 1.5) - 3I_3 &= 0 \\ 12 - 3.5I_3 + 3 - 3I_3 &= 0 \\ 15 - 6.5I_3 &= 0 \\ 6.5I_3 &= 15 \\ I_3 &= \frac{15}{6.5} = \frac{30}{13} \\ &\approx 2.3077 \, \text{A} \end{aligned} \]

Maintenant, calculer \(I_2\) en utilisant la valeur de \(I_3\) dans l'expression de \(I_2\) de (3) :

\[ \begin{aligned} I_2 &= 0.75 \times \left(\frac{30}{13}\right) - 1.5 \\ &= \frac{3}{4} \times \frac{30}{13} - \frac{3}{2} \\ &= \frac{90}{52} - \frac{3}{2} = \frac{45}{26} - \frac{39}{26} = \frac{6}{26} = \frac{3}{13} \\ &\approx 0.2308 \, \text{A} \end{aligned} \]

Et calculer \(I_1\) en utilisant l'expression de \(I_1\) :

\[ \begin{aligned} I_1 &= I_2 + I_3 \\ &= \frac{3}{13} + \frac{30}{13} = \frac{33}{13} \\ &\approx 2.5385 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Les courants sont approximativement :
\(I_1 \approx 2.54 \, \text{A}\)
\(I_2 \approx 0.23 \, \text{A}\)
\(I_3 \approx 2.31 \, \text{A}\)

Question 4 : Tension aux Bornes de \(R_3\) (\(U_{R3}\))

Principe :

La tension aux bornes d'une résistance est donnée par la loi d'Ohm : \(U = RI\). Le courant traversant \(R_3\) est \(I_3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[U_{R3} = R_3 \times I_3\]
Données spécifiques :
  • \(R_3 = 3 \, \Omega\)
  • \(I_3 = \frac{30}{13} \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} U_{R3} &= 3 \, \Omega \times \frac{30}{13} \, \text{A} \\ &= \frac{90}{13} \, \text{V} \\ &\approx 6.923 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension aux bornes de \(R_3\) est \(U_{R3} \approx 6.92 \, \text{V}\).

Question 5 : Puissance Dissipée par \(R_2\) (\(P_{R2}\))

Principe :

La puissance dissipée par une résistance peut être calculée par \(P = RI^2\) ou \(P = UI\) ou \(P = U^2/R\). Nous connaissons \(R_2\) et \(I_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{R2} = R_2 \times I_2^2\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 4 \, \Omega\)
  • \(I_2 = \frac{3}{13} \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{R2} &= 4 \, \Omega \times \left(\frac{3}{13} \, \text{A}\right)^2 \\ &= 4 \times \frac{9}{169} \, \text{W} \\ &= \frac{36}{169} \, \text{W} \\ &\approx 0.213 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La puissance dissipée par \(R_2\) est \(P_{R2} \approx 0.213 \, \text{W}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi des nœuds de Kirchhoff est une conséquence de la conservation de :

2. La loi des mailles de Kirchhoff stipule que :

3. Si le sens choisi pour un courant dans une branche est incorrect lors de l'application des lois de Kirchhoff :

Glossaire

Loi des Nœuds de Kirchhoff (LCK)
La somme algébrique des courants électriques qui entrent dans un nœud d'un circuit électrique est égale à la somme algébrique des courants qui en sortent (ou la somme algébrique de tous les courants en un nœud est nulle).
Loi des Mailles de Kirchhoff (LTK)
La somme algébrique des différences de potentiel (tensions) dans une maille (boucle fermée) d'un circuit électrique est nulle.
Nœud
Point d'un circuit électrique où au moins trois conducteurs se rencontrent.
Maille
Chemin fermé dans un circuit électrique.
Résistance (\(R\))
Propriété d'un composant électrique à s'opposer au passage du courant électrique. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Tension (\(U\) ou \(V\))
Différence de potentiel électrique entre deux points d'un circuit. Unité : Volt (V).
Courant (\(I\))
Débit de charge électrique à travers un conducteur. Unité : Ampère (A).
Source de Tension
Dispositif qui fournit une différence de potentiel constante (source idéale) ou variable à un circuit.
Puissance Électrique (\(P\))
Quantité d'énergie électrique transférée ou dissipée par unité de temps. Pour une résistance, \(P = RI^2\). Unité : Watt (W).
Application des Lois de Kirchhoff - Exercice d'Application

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