Études de cas pratique

EGC

Système Triphasé dans une Installation

Analyse d’un Système Triphasé dans une Installation Électrique

Analyse d’un Système Triphasé dans une Installation Électrique

Comprendre les Systèmes Triphasés

Les systèmes d'alimentation électrique triphasés sont la norme pour la production, le transport et la distribution d'électricité à grande échelle, ainsi que pour l'alimentation de nombreux équipements industriels et commerciaux. Un système triphasé est constitué de trois sources de tension sinusoïdales de même fréquence et de même amplitude, mais déphasées de 120 degrés (ou \(2\pi/3\) radians) les unes par rapport aux autres. Cette configuration offre plusieurs avantages par rapport aux systèmes monophasés, notamment une puissance instantanée plus constante, une meilleure efficacité pour le transport de l'énergie, et la capacité de faire fonctionner des moteurs triphasés qui sont plus simples et plus robustes. Les charges triphasées peuvent être connectées en étoile (Y) ou en triangle (Δ). Dans un système équilibré, les trois phases ont des impédances identiques.

Données de l'étude

On considère une installation alimentée par un réseau triphasé équilibré. Une charge triphasée équilibrée est connectée en étoile (Y) à ce réseau.

Caractéristiques du réseau et de la charge :

  • Tension de ligne du réseau (\(U_L\)) : \(400 \, \text{V}\) (valeur efficace)
  • Fréquence du réseau (\(f\)) : \(50 \, \text{Hz}\)
  • Impédance par phase de la charge (\(Z_p\)) : chaque phase de la charge est constituée d'une résistance \(R\) en série avec une inductance \(L\).
    • Résistance par phase (\(R\)) : \(10 \, \Omega\)
    • Inductance par phase (\(L\)) : \(31.83 \, \text{mH}\)
Schéma d'une Charge Triphasée Équilibrée Connectée en Étoile
3~ Source L1 L2 L3 N N' Zp1 IL1 Zp2 IL2 Zp3 IL3 Charge Équilibrée en Étoile UL (L1-L2) = 400V Vp (L1-N')

Schéma d'une charge triphasée équilibrée connectée en étoile à une source triphasée.

Questions à traiter

  1. Calculer la tension de phase (\(V_p\)) aux bornes de chaque impédance de la charge.
  2. Calculer la réactance inductive (\(X_L\)) de chaque phase de la charge.
  3. Calculer le module de l'impédance par phase (\(|Z_p|\)).
  4. Calculer l'angle de déphasage (\(\phi\)) de l'impédance par phase.
  5. Calculer le courant de phase (\(I_p\)) circulant dans chaque impédance de la charge.
  6. Indiquer la valeur du courant de ligne (\(I_L\)) et justifier.
  7. Calculer la puissance active totale (\(P\)) consommée par la charge.
  8. Calculer la puissance réactive totale (\(Q\)) consommée par la charge.
  9. Calculer la puissance apparente totale (\(S\)) fournie à la charge.
  10. Calculer le facteur de puissance (FP) de la charge.

Correction : Analyse d’un Système Triphasé

Question 1 : Tension de Phase (\(V_p\))

Principe :

Pour une charge équilibrée connectée en étoile (Y), la tension de phase (\(V_p\), tension entre une phase et le neutre) est reliée à la tension de ligne (\(U_L\), tension entre deux phases) par la relation \(U_L = \sqrt{3} \cdot V_p\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_p = \frac{U_L}{\sqrt{3}}\]
Données spécifiques :
  • Tension de ligne (\(U_L\)) : \(400 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_p &= \frac{400 \, \text{V}}{\sqrt{3}} \\ &\approx \frac{400}{1.732} \, \text{V} \\ &\approx 230.94 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La tension de phase est \(V_p \approx 230.94 \, \text{V}\).

Question 2 : Réactance Inductive (\(X_L\))

Principe :

La réactance inductive (\(X_L\)) d'une bobine est donnée par \(X_L = L\omega\), où \(\omega = 2\pi f\) est la pulsation angulaire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[X_L = 2\pi f L\]
Données spécifiques :
  • Fréquence (\(f\)) : \(50 \, \text{Hz}\)
  • Inductance (\(L\)) : \(31.83 \, \text{mH} = 31.83 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_L &= 2\pi \times 50 \, \text{Hz} \times (31.83 \times 10^{-3} \, \text{H}) \\ &= 100\pi \times 0.03183 \, \Omega \\ &\approx 314.159 \times 0.03183 \, \Omega \\ &\approx 9.999 \, \Omega \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(X_L \approx 10 \, \Omega\).

Résultat Question 2 : La réactance inductive par phase est \(X_L \approx 10 \, \Omega\).

Question 3 : Module de l'Impédance par Phase (\(|Z_p|\))

Principe :

L'impédance par phase est \(Z_p = R + jX_L\). Son module est calculé par \(|Z_p| = \sqrt{R^2 + X_L^2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[|Z_p| = \sqrt{R^2 + X_L^2}\]
Données spécifiques :
  • Résistance (\(R\)) : \(10 \, \Omega\)
  • Réactance inductive (\(X_L\)) : \(10 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} |Z_p| &= \sqrt{(10 \, \Omega)^2 + (10 \, \Omega)^2} \\ &= \sqrt{100 + 100} \, \Omega \\ &= \sqrt{200} \, \Omega \\ &= 10\sqrt{2} \, \Omega \\ &\approx 14.14 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le module de l'impédance par phase est \(|Z_p| \approx 14.14 \, \Omega\).

Question 4 : Angle de Déphasage (\(\phi\)) de l'Impédance

Principe :

L'angle de déphasage \(\phi\) de l'impédance \(Z_p = R + jX_L\) est donné par \(\phi = \arctan(X_L/R)\). Cet angle représente le déphasage entre la tension et le courant dans la phase.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\phi = \arctan\left(\frac{X_L}{R}\right)\]
Données spécifiques :
  • Résistance (\(R\)) : \(10 \, \Omega\)
  • Réactance inductive (\(X_L\)) : \(10 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{10 \, \Omega}{10 \, \Omega}\right) \\ &= \arctan(1) \\ &= 45^\circ \quad \text{ou} \quad \frac{\pi}{4} \, \text{radians} \end{aligned} \]

Le courant est en retard sur la tension car la charge est inductive.

Résultat Question 4 : L'angle de déphasage de l'impédance est \(\phi = 45^\circ\).

Question 5 : Courant de Phase (\(I_p\))

Principe :

Le courant de phase (\(I_p\)) est obtenu en divisant la tension de phase (\(V_p\)) par le module de l'impédance par phase (\(|Z_p|\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_p = \frac{V_p}{|Z_p|}\]
Données spécifiques :
  • Tension de phase (\(V_p\)) : \(230.94 \, \text{V}\)
  • Module de l'impédance (\(|Z_p|\)) : \(14.14 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_p &= \frac{230.94 \, \text{V}}{14.14 \, \Omega} \\ &\approx 16.33 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le courant de phase est \(I_p \approx 16.33 \, \text{A}\).

Question 6 : Courant de Ligne (\(I_L\))

Principe :

Pour une charge équilibrée connectée en étoile (Y), le courant de ligne (\(I_L\)) est égal au courant de phase (\(I_p\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_L = I_p\]
Données spécifiques :
  • Courant de phase (\(I_p\)) : \(16.33 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ I_L \approx 16.33 \, \text{A} \]
Résultat Question 6 : Le courant de ligne est \(I_L \approx 16.33 \, \text{A}\).

Question 7 : Puissance Active Totale (\(P\))

Principe :

La puissance active totale consommée par une charge triphasée équilibrée est donnée par \(P = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \cos\phi\) ou \(P = 3 \cdot V_p \cdot I_p \cdot \cos\phi\) ou \(P = 3 \cdot R \cdot I_p^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \cos\phi\]
Données spécifiques :
  • Tension de ligne (\(U_L\)) : \(400 \, \text{V}\)
  • Courant de ligne (\(I_L\)) : \(16.33 \, \text{A}\)
  • Angle de déphasage (\(\phi\)) : \(45^\circ\) (\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} P &= \sqrt{3} \times 400 \, \text{V} \times 16.33 \, \text{A} \times \cos(45^\circ) \\ &\approx 1.732 \times 400 \times 16.33 \times 0.7071 \\ &\approx 692.8 \times 16.33 \times 0.7071 \\ &\approx 11313.824 \times 0.7071 \\ &\approx 7999.8 \, \text{W} \end{aligned} \]

Alternativement, \(P = 3 \cdot R \cdot I_p^2 = 3 \times 10 \, \Omega \times (16.33 \, \text{A})^2 = 30 \times 266.6689 \approx 8000 \, \text{W}\).

Résultat Question 7 : La puissance active totale est \(P \approx 8000 \, \text{W}\) (ou \(8 \, \text{kW}\)).

Question 8 : Puissance Réactive Totale (\(Q\))

Principe :

La puissance réactive totale consommée par une charge triphasée équilibrée est donnée par \(Q = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \sin\phi\) ou \(Q = 3 \cdot V_p \cdot I_p \cdot \sin\phi\) ou \(Q = 3 \cdot X_L \cdot I_p^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L \cdot \sin\phi\]
Données spécifiques :
  • Tension de ligne (\(U_L\)) : \(400 \, \text{V}\)
  • Courant de ligne (\(I_L\)) : \(16.33 \, \text{A}\)
  • Angle de déphasage (\(\phi\)) : \(45^\circ\) (\(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= \sqrt{3} \times 400 \, \text{V} \times 16.33 \, \text{A} \times \sin(45^\circ) \\ &\approx 1.732 \times 400 \times 16.33 \times 0.7071 \\ &\approx 7999.8 \, \text{VAR} \end{aligned} \]

Alternativement, \(Q = 3 \cdot X_L \cdot I_p^2 = 3 \times 10 \, \Omega \times (16.33 \, \text{A})^2 = 30 \times 266.6689 \approx 8000 \, \text{VAR}\).

Résultat Question 8 : La puissance réactive totale est \(Q \approx 8000 \, \text{VAR}\) (ou \(8 \, \text{kVAR}\)).

Question 9 : Puissance Apparente Totale (\(S\))

Principe :

La puissance apparente totale d'une charge triphasée équilibrée est \(S = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L\) ou \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[S = \sqrt{3} \cdot U_L \cdot I_L\]
Données spécifiques :
  • Tension de ligne (\(U_L\)) : \(400 \, \text{V}\)
  • Courant de ligne (\(I_L\)) : \(16.33 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S &= \sqrt{3} \times 400 \, \text{V} \times 16.33 \, \text{A} \\ &\approx 1.732 \times 400 \times 16.33 \\ &\approx 11313.824 \, \text{VA} \end{aligned} \]

Alternativement, \(S = \sqrt{(8000 \, \text{W})^2 + (8000 \, \text{VAR})^2} = \sqrt{64000000 + 64000000} = \sqrt{128000000} = 8000\sqrt{2} \approx 11313.7 \, \text{VA}\).

Résultat Question 9 : La puissance apparente totale est \(S \approx 11314 \, \text{VA}\) (ou \(11.31 \, \text{kVA}\)).

Question 10 : Facteur de Puissance (FP)

Principe :

Le facteur de puissance (FP) est le rapport de la puissance active (\(P\)) à la puissance apparente (\(S\)). Il est aussi égal au cosinus de l'angle de déphasage (\(\phi\)) entre la tension et le courant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{FP} = \frac{P}{S} = \cos\phi\]
Données spécifiques :
  • Puissance active (\(P\)) : \(8000 \, \text{W}\)
  • Puissance apparente (\(S\)) : \(11313.7 \, \text{VA}\)
  • Angle de déphasage (\(\phi\)) : \(45^\circ\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{FP} &= \frac{8000 \, \text{W}}{11313.7 \, \text{VA}} \\ &\approx 0.7071 \\ \text{Ou directement :} \\ \text{FP} &= \cos(45^\circ) \\ &\approx 0.7071 \end{aligned} \]

Le facteur de puissance est inductif (en retard) car la charge est inductive.

Résultat Question 10 : Le facteur de puissance de la charge est \(\text{FP} \approx 0.707\) (inductif).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un système triphasé équilibré connecté en étoile, la relation entre la tension de ligne \(U_L\) et la tension de phase \(V_p\) est :

2. Pour une charge triphasée équilibrée connectée en étoile, le courant de ligne \(I_L\) est :

3. La puissance active totale dans un système triphasé équilibré est donnée par :

Glossaire

Système Triphasé
Système de production, de transport et de distribution d'énergie électrique utilisant trois conducteurs parcourus par des courants alternatifs de même fréquence et de même amplitude, mais déphasés de 120° les uns par rapport aux autres.
Tension de Phase (\(V_p\))
Dans un système triphasé, tension entre un conducteur de phase et le point neutre (pour une connexion en étoile) ou tension aux bornes d'une phase d'une charge (pour une connexion en triangle ou en étoile).
Tension de Ligne (\(U_L\))
Dans un système triphasé, tension entre deux conducteurs de phase.
Courant de Phase (\(I_p\))
Courant circulant dans une phase d'une charge triphasée.
Courant de Ligne (\(I_L\))
Courant circulant dans un conducteur de ligne alimentant une charge triphasée.
Connexion Étoile (Y)
Type de connexion d'une source ou d'une charge triphasée où les trois phases sont connectées à un point commun appelé neutre.
Connexion Triangle (Δ)
Type de connexion d'une source ou d'une charge triphasée où les trois phases sont connectées en série pour former une boucle fermée.
Impédance (\(Z\))
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif, combinant la résistance et la réactance. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Réactance (\(X\))
Opposition au passage du courant alternatif due à l'inductance (\(X_L\)) ou à la capacité (\(X_C\)) d'un circuit. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Puissance Active (\(P\))
Puissance réellement consommée ou transformée en travail utile dans un circuit. Unité : Watt (W).
Puissance Réactive (\(Q\))
Puissance échangée entre la source et les éléments réactifs (inductances, capacités) d'un circuit, nécessaire à l'établissement des champs magnétiques et électriques. Unité : Voltampère réactif (VAR).
Puissance Apparente (\(S\))
Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant. C'est la puissance totale fournie par la source. Unité : Voltampère (VA).
Facteur de Puissance (FP)
Rapport entre la puissance active et la puissance apparente (\(\text{FP} = P/S\)). Il est aussi égal au cosinus de l'angle de déphasage (\(\phi\)) entre la tension et le courant.
Analyse d’un Système Triphasé - Exercice d'Application

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