Calcul de la Distance entre Deux Collines en Géodésie
Contexte : La TriangulationTechnique topographique permettant de déterminer la position d'un point en mesurant les angles entre ce point et d'autres points de référence dont les positions sont connues. en Topographie.
Un géomètre-topographe est chargé de déterminer la distance horizontale exacte entre les sommets de deux collines, A et B, qui sont inaccessibles. Pour ce faire, il met en place une base de mesure accessible, la ligne CD, dont il mesure précisément la longueur. Depuis les points C et D, il utilise une station totaleInstrument électronique de mesure utilisé en topographie pour mesurer des angles et des distances simultanément. pour mesurer les angles horizontaux vers les sommets A et B. Cet exercice vous guidera à travers les calculs trigonométriques nécessaires pour résoudre ce problème classique de la géodésie.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe en plusieurs triangles simples et à appliquer les lois fondamentales de la trigonométrie (loi des sinus et loi des cosinus) pour trouver une distance inaccessible.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la Loi des Sinus pour calculer les longueurs des côtés d'un triangle.
- Utiliser le Théorème d'Al-Kashi (Loi des Cosinus) pour trouver la longueur d'un côté opposé à un angle connu.
- Comprendre la méthode de la triangulation pour la mesure de distances indirectes.
- Maîtriser la décomposition d'un problème de géodésie en étapes de calcul logiques.
Données de l'étude
Schéma de la Situation Topographique
Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
---|---|---|---|
Longueur de la base | CD | 500,00 | mètres |
Angle DCA | \( \alpha_1 \) | 40 | degrés |
Angle DCB | \( \alpha_2 \) | 75 | degrés |
Angle CDA | \( \beta_1 \) | 80 | degrés |
Angle CDB | \( \beta_2 \) | 35 | degrés |
Questions à traiter
- Calculer la distance AC dans le triangle ADC.
- Calculer la distance BC dans le triangle BDC.
- Déterminer la valeur de l'angle ACB.
- En utilisant les résultats précédents, calculer la distance AB.
- (Bonus) Quel serait l'impact sur la distance AB si la base CD mesurait 600m au lieu de 500m, tous les angles restant identiques ?
Les bases de la Trigonométrie en Topographie
Pour résoudre ce problème, nous aurons besoin de deux outils mathématiques fondamentaux qui permettent de résoudre n'importe quel triangle.
1. La Loi des Sinus
Dans un triangle quelconque, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés. Pour un triangle avec les côtés a, b, c et les angles opposés A, B, C :
\[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \]
Cette loi est très utile lorsque l'on connaît deux angles et un côté, ou deux côtés et un angle non-compris.
2. Le Théorème d'Al-Kashi (Loi des Cosinus)
Ce théorème est une généralisation du théorème de Pythagore. Il permet de calculer la longueur d'un côté si l'on connaît les deux autres côtés et l'angle qu'ils forment.
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]
Il est indispensable lorsque la loi des sinus ne peut pas être appliquée directement.
Correction : Calcul de la Distance entre Deux Collines en Géodésie
Question 1 : Calculer la distance AC
Principe
Le concept physique ici est de "viser" un point inaccessible (A) depuis deux points connus (C et D) pour former un triangle. En mesurant la base (CD) et les angles, on peut déterminer toutes les dimensions de ce triangle, y compris la distance AC qui nous intéresse.
Mini-Cours
La résolution d'un triangle consiste à trouver ses éléments inconnus (côtés et angles) à partir d'éléments connus. Le cas "un côté et deux angles" (ici, le côté CD et les angles en C et D du triangle ADC) est l'un des cas de base qui se résout élégamment avec la Loi des Sinus, après avoir déterminé le troisième angle.
Remarque Pédagogique
La clé est de toujours isoler un seul triangle à la fois. Ne vous laissez pas submerger par toutes les lignes du schéma. Concentrez-vous uniquement sur le triangle ADC pour cette question. Identifiez ce que vous connaissez et ce que vous cherchez à l'intérieur de ce triangle.
Normes
En topographie professionnelle, les levés sont classés par précision (par ex. canevas de précision, levé de détail). Ces classes imposent des tolérances sur les mesures angulaires et les longueurs, garantissant que l'incertitude sur le résultat final (la distance AB) reste dans des limites acceptables pour le projet.
Formule(s)
Nous devons d'abord trouver le troisième angle du triangle, \( \angle CAD \), puis appliquer la Loi des Sinus.
Somme des angles d'un triangle
Loi des Sinus
Hypothèses
Pour ce calcul, nous faisons les hypothèses suivantes :
- Le terrain est considéré comme un plan horizontal (topographie plane). Pour des distances plus grandes, il faudrait tenir compte de la courbure de la Terre (géodésie).
- Les mesures d'angles sont parfaites et ne contiennent pas d'erreur instrumentale ou d'observation.
Donnée(s)
Nous utilisons les données relatives au triangle ADC.
Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
---|---|---|---|
Base CD | CD | 500 | m |
Angle DCA | \( \alpha_1 \) | 40 | degrés |
Angle CDA | \( \beta_1 \) | 80 | degrés |
Astuces
Avant de calculer, vérifiez la "forme" du triangle. L'angle le plus grand doit être opposé au côté le plus long. Ici, \( \angle CDA \) (80°) est le plus grand angle connu, donc AC devrait être plus long que CD. Cela vous donne un contrôle rapide de la plausibilité de votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle d'étude ADC
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de l'angle manquant (\( \angle CAD \))
Étape 2 : Application de la Loi des Sinus pour trouver AC
Schéma (Après les calculs)
Triangle ADC Résolu
Réflexions
Le résultat de 568,59 m est supérieur à la base de 500 m, ce qui est cohérent avec l'astuce de vérification (le côté AC est opposé à un angle plus grand (80°) que le côté CD (opposé à 60°)). La valeur est du bon ordre de grandeur.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est d'oublier de calculer le troisième angle (\( \angle CAD \)) avant d'appliquer la Loi des Sinus. Une autre erreur fréquente est d'inverser les sinus dans la formule. Assurez-vous que le sinus de l'angle opposé au côté que vous cherchez est au numérateur.
Points à retenir
Pour résoudre un triangle quand on connaît un côté et deux angles :
- 1. Calculez le troisième angle (somme = 180°).
- 2. Appliquez la Loi des Sinus pour trouver les côtés manquants.
Le saviez-vous ?
La grande carte de France, dite "carte de Cassini", a été réalisée au XVIIIe siècle entièrement par des techniques de triangulation similaires à celle de cet exercice, sur des dizaines de milliers de triangles couvrant tout le royaume.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle \( \angle CDA \) était de 75° au lieu de 80°, quelle serait la nouvelle distance AC ? (L'angle \( \angle CAD \) deviendrait 180-40-75=65°)
Question 2 : Calculer la distance BC
Principe
Le principe est identique à la question 1, mais appliqué à un autre triangle. Nous utilisons la même base connue CD et les angles mesurés vers le point B pour définir le triangle BDC et en calculer les dimensions.
Mini-Cours
Cet enchaînement de calculs illustre la puissance de la triangulation : à partir d'une seule base mesurée, on peut déterminer les coordonnées et les distances de multiples points visibles en créant autant de triangles que nécessaire, chacun résolu de la même manière.
Remarque Pédagogique
La méthode est un copier-coller de la question 1. C'est une bonne occasion de vérifier si vous avez bien assimilé le processus. Isolez le triangle BDC, listez les données connues et appliquez la même logique.
Normes
Les carnets de terrain topographiques doivent suivre des formats normalisés pour assurer la traçabilité des mesures. Chaque angle mesuré est généralement noté avec des informations sur l'instrument, la date, et les conditions, conformément aux bonnes pratiques du métier.
Formule(s)
Nous calculons d'abord l'angle \( \angle CBD \), puis nous appliquons la Loi des Sinus.
Somme des angles d'un triangle
Loi des Sinus
Hypothèses
Les mêmes hypothèses que pour la question 1 s'appliquent : nous travaillons en topographie plane et nous considérons les mesures comme parfaites.
Donnée(s)
Nous utilisons les données relatives au triangle BDC.
Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
---|---|---|---|
Base CD | CD | 500 | m |
Angle DCB | \( \alpha_2 \) | 75 | degrés |
Angle CDB | \( \beta_2 \) | 35 | degrés |
Astuces
Dans le triangle BDC, l'angle le plus grand est \( \angle DCB \) (75°), opposé au côté DB. Le deuxième plus grand est \( \angle CBD \) (70°), opposé au côté CD (500m). Le plus petit est \( \angle CDB \) (35°), opposé au côté BC. Donc, BC doit être le côté le plus court du triangle. Cela vous donne un excellent moyen de vérifier votre résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle d'étude BDC
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de l'angle manquant (\( \angle CBD \))
Étape 2 : Application de la Loi des Sinus pour trouver BC
Schéma (Après les calculs)
Triangle BDC Résolu
Réflexions
Le résultat de 305,21 m est bien inférieur à 500 m, ce qui confirme notre astuce de vérification : BC est bien le plus petit côté du triangle BDC car il est opposé au plus petit angle.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser les bons angles pour le bon triangle. Il est facile de mélanger les angles pour A et B. Une bonne pratique est de toujours redessiner ou surligner le triangle sur lequel vous travaillez pour éviter les confusions.
Points à retenir
La méthode de résolution d'un triangle par "un côté et deux angles" est une compétence fondamentale en topographie. La maîtriser vous permet de résoudre une grande variété de problèmes de lever de terrain.
Le saviez-vous ?
Les systèmes GPS fonctionnent sur un principe similaire appelé trilatération. Au lieu de mesurer des angles, le récepteur mesure les distances à plusieurs satellites dont les positions sont connues pour calculer sa propre position sur Terre.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle \( \angle DCB \) était de 80° au lieu de 75°, quelle serait la nouvelle distance BC ? (L'angle \( \angle CBD \) deviendrait 180-80-35=65°)
Question 3 : Déterminer la valeur de l'angle ACB
Principe
Cet angle est crucial car il "fait le lien" entre nos deux triangles de calcul précédents (ADC et BDC). Il se situe au sommet C du triangle final ABC que nous voulons résoudre. Sa détermination ne nécessite pas de trigonométrie, mais une simple analyse géométrique des angles mesurés depuis le point C.
Mini-Cours
En topographie, les angles mesurés depuis une station sont souvent relatifs à une direction de référence (comme le Nord, ou une autre station). L'angle entre deux points visés est simplement la différence entre les lectures angulaires (azimuts ou gisements) de ces deux points.
Remarque Pédagogique
C'est souvent l'étape la plus simple, mais elle est fondamentale. Une erreur ici rendra tout le calcul final incorrect. Prenez le temps de bien regarder le schéma pour comprendre pourquoi il s'agit d'une soustraction.
Normes
La précision de cet angle dépend directement de la précision de la station totale. Les normes de topographie spécifient les précisions angulaires requises pour les instruments en fonction du type de travail (par exemple, 1" pour un canevas de précision, 5" pour un levé de détail).
Formule(s)
La formule est une simple soustraction des angles mesurés depuis le point C.
Hypothèses
Nous supposons que les points A, B, C et D sont coplanaires, c'est-à-dire situés sur le même plan horizontal. C'est l'hypothèse de base de la planimétrie.
Donnée(s)
Nous utilisons les deux angles mesurés depuis C.
Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
---|---|---|---|
Angle DCB | \( \alpha_2 \) | 75 | degrés |
Angle DCA | \( \alpha_1 \) | 40 | degrés |
Astuces
Pour éviter les erreurs de signe, nommez toujours les angles avec trois lettres (par exemple, DCB). L'angle est au sommet de la lettre du milieu. Cela vous aide à visualiser clairement quelles directions sont impliquées.
Schéma (Avant les calculs)
Angles à la station C
Calcul(s)
On soustrait l'angle le plus petit du plus grand.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma reste le même, mais nous avons maintenant la valeur de l'angle qui nous manquait pour le triangle ABC.
Réflexions
La valeur de 35° est une donnée essentielle que nous avons pu déduire sans calculs complexes. C'est la "pièce du puzzle" qui va nous permettre de lier les côtés AC et BC pour trouver AB.
Points de vigilance
Attention à l'ordre de soustraction. Un angle doit toujours être positif. Il faut bien visualiser sur le schéma quel angle est le plus grand (ici DCB) pour s'assurer d'obtenir un résultat cohérent.
Points à retenir
L'angle entre deux directions issues d'une même station est la différence des lectures angulaires de ces directions par rapport à une référence commune.
Le saviez-vous ?
Les anciens théodolites n'étaient pas électroniques. Les topographes lisaient les angles sur des cercles de verre gradués (les limbes) à l'aide de verniers ou de microscopes, un processus qui demandait une grande habileté et beaucoup de temps.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'angle DCB était de 82° et l'angle DCA de 31°, quel serait l'angle ACB ?
Question 4 : Calculer la distance AB
Principe
C'est l'objectif final. Nous avons maintenant un triangle ABC dont nous connaissons deux côtés (AC et BC) et l'angle qu'ils forment (\( \angle ACB \)). C'est le cas d'application direct du Théorème d'Al-Kashi (ou Loi des Cosinus) pour trouver la longueur du côté opposé, qui est la distance AB que nous cherchons.
Mini-Cours
Le Théorème d'Al-Kashi est une généralisation du théorème de Pythagore. Si l'angle C est de 90°, alors cos(90°) = 0, et la formule se simplifie en c² = a² + b², la formule de Pythagore. Cela montre comment la trigonométrie étend les concepts de la géométrie euclidienne aux triangles non rectangles.
Remarque Pédagogique
Cette dernière étape rassemble tous vos calculs précédents. Soyez méticuleux. Une erreur dans le calcul de AC ou BC se propagera ici. C'est pourquoi il est bon de vérifier la plausibilité de chaque résultat intermédiaire.
Normes
Le résultat final doit être présenté avec un nombre de chiffres significatifs cohérent avec la précision des données d'entrée. Si la base est mesurée au centimètre près (500,00 m), le résultat final devrait aussi être donné au centimètre près.
Formule(s)
Nous appliquons directement la formule du Théorème d'Al-Kashi.
Hypothèses
Les hypothèses de planimétrie et de mesures parfaites sont toujours valables.
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats des questions 1, 2 et 3.
Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
---|---|---|---|
Distance AC | AC | 568.59 | m |
Distance BC | BC | 305.21 | m |
Angle ACB | \( \angle ACB \) | 35 | degrés |
Astuces
Attention au mode de votre calculatrice ! Assurez-vous qu'elle est bien en mode "Degrés" et non "Radians" ou "Grades" lorsque vous calculez le cosinus de 35°, sinon votre résultat sera complètement faux.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle d'étude ABC
Calcul(s)
Nous remplaçons les valeurs dans la formule et nous calculons AB.
Schéma (Après les calculs)
Triangle ABC Résolu
Réflexions
Ce résultat final est l'aboutissement de plusieurs étapes de calcul. Une petite erreur dans les premières questions se répercuterait directement ici. La distance de 363.55 m semble cohérente par rapport aux autres distances calculées et à la géométrie du problème.
Points de vigilance
N'oubliez pas de prendre la racine carrée à la fin ! Le Théorème d'Al-Kashi donne le carré de la longueur (\( AB^2 \)). C'est une omission très fréquente dans les examens.
Points à retenir
Le Théorème d'Al-Kashi est l'outil ultime pour trouver une distance lorsque vous connaissez les deux autres côtés d'un triangle et l'angle entre eux. C'est un pilier de la trigonométrie.
Le saviez-vous ?
Le théorème porte le nom du mathématicien perse Ghiyath al-Kashi (XIVe siècle), qui l'a formulé dans ses travaux. En France, il est connu sous le nom de Théorème d'Al-Kashi, mais dans une grande partie du monde anglo-saxon, il est simplement appelé la "Loi des Cosinus" (Law of Cosines).
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
En gardant AC=568.59m et BC=305.21m, que deviendrait la distance AB si l'angle ACB était de 45° au lieu de 35° ?
Question 5 : (Bonus) Impact d'un changement de la base
Principe
La géométrie du problème est entièrement définie par les angles. Si les angles ne changent pas, tous les triangles restent "semblables" à eux-mêmes. Changer la longueur de la base CD revient à appliquer un zoom (un facteur d'échelle) à l'ensemble de la figure. Toutes les longueurs seront donc multipliées par ce même facteur.
Mini-Cours
Ce concept est celui des triangles semblables. Deux triangles sont dits semblables s'ils ont les mêmes angles. Leurs côtés sont alors proportionnels. Le rapport de proportionnalité est appelé le rapport de similitude. C'est un concept fondamental en géométrie.
Remarque Pédagogique
C'est une question de compréhension plus que de calcul. Au lieu de tout recalculer depuis le début avec la nouvelle base de 600m (ce qui fonctionnerait, mais serait long), on peut utiliser ce raccourci basé sur la proportionnalité. C'est plus élégant et plus rapide.
Normes
Les normes de cartographie (comme les standards de l'IGN en France) définissent les échelles de représentation. Changer la base de mesure sans changer les angles est analogue à changer l'échelle d'une carte : les proportions sont conservées.
Formule(s)
La formule est basée sur un simple rapport de proportionnalité.
Hypothèses
Nous supposons que seuls la longueur de la base change, et que tous les angles mesurés restent rigoureusement identiques.
Donnée(s)
Nous utilisons les bases et le résultat de la question 4.
Paramètre | Valeur | Unité |
---|---|---|
Ancienne base CD | 500 | m |
Nouvelle base CD | 600 | m |
Ancienne distance AB | 363.55 | m |
Astuces
Cette méthode de proportionnalité est très utile pour faire des estimations rapides sur le terrain ou pour évaluer l'impact d'une modification d'un paramètre sans avoir à refaire tous les calculs complexes.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma est le même que celui de l'énoncé, mais on imagine que l'échelle a changé.
Calcul(s)
Nous pouvons calculer le facteur de proportionnalité et l'appliquer au résultat final.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma final serait identique au précédent, mais avec toutes les longueurs multipliées par 1.2.
Réflexions
Le résultat montre une relation linéaire directe entre la longueur de la base et la distance finale calculée. Une augmentation de 20% de la base entraîne une augmentation de 20% de la distance finale. Cela souligne l'importance cruciale de mesurer la base avec la plus grande précision possible.
Points de vigilance
Cette méthode de proportionnalité ne fonctionne que si les angles sont inchangés. Si un seul angle avait été modifié, il aurait fallu refaire tous les calculs depuis le début.
Points à retenir
Dans une figure géométrique dont les angles sont fixes, toutes les longueurs sont proportionnelles. Changer l'échelle d'un côté change l'échelle de tous les autres côtés dans la même proportion.
Le saviez-vous ?
Lors de la première mesure de la circonférence de la Terre par Ératosthène au IIIe siècle av. J.-C., l'imprécision principale venait de la distance entre les villes de Syène et d'Alexandrie (sa "base"). L'angle, lui, était mesuré de manière assez précise grâce à l'ombre du soleil. La précision de la base est souvent le maillon faible en triangulation.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant la méthode de proportionnalité, quelle serait la distance AB si la base CD mesurait 450m ?
Outil Interactif : Simulateur d'Analyse de Sensibilité
Utilisez cet outil pour voir comment la distance finale AB change lorsque vous modifiez la longueur de la base ou un des angles mesurés. Cela montre l'importance de la précision des mesures sur le terrain.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle loi trigonométrique est la plus appropriée pour trouver un côté lorsque l'on connaît deux côtés et l'angle compris entre eux ?
2. Dans cet exercice, pourquoi n'a-t-on pas pu mesurer directement la distance AB ?
3. Que se passerait-il si l'angle \( \angle CAD \) était très petit (proche de 0°) ?
4. La somme des angles dans un triangle plan est toujours égale à :
5. La technique consistant à mesurer des angles à partir d'une base connue pour déterminer des positions s'appelle :
Glossaire
- Géodésie
- La science de la mesure et de la représentation de la surface de la Terre, de son champ de gravité et de ses variations dans le temps.
- Loi des Sinus
- Une relation mathématique de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus de leurs angles opposés.
- Station Totale
- Un instrument de mesure électronique utilisé par les topographes qui combine un théodolite (pour mesurer les angles) et un distancemètre (pour mesurer les distances).
- Théorème d'Al-Kashi (Loi des Cosinus)
- Une extension du théorème de Pythagore qui relie la longueur d'un côté d'un triangle aux longueurs des deux autres côtés et au cosinus de l'angle inclus.
- Triangulation
- Une méthode fondamentale en topographie qui utilise la trigonométrie pour déterminer les positions de points en formant des triangles à partir d'une base et d'angles mesurés.
D’autres exercices de topographie:
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