Résolution d’un Système d’Équations Linéaires
Contexte : Décoder les Relations entre les Nombres
Les systèmes d'équations linéairesEnsemble de plusieurs équations linéaires impliquant les mêmes variables. La résolution consiste à trouver les valeurs des variables qui satisfont toutes les équations simultanément. sont omniprésents en sciences, en économie et en ingénierie. Ils permettent de modéliser des situations où plusieurs inconnues sont liées par différentes relations. Par exemple, déterminer le prix de plusieurs articles à partir de différents totaux d'achats, analyser des circuits électriques, ou encore équilibrer des réactions chimiques. Savoir résoudre ces systèmes est une compétence fondamentale pour trouver la solution unique qui satisfait toutes les conditions en même temps.
Remarque Pédagogique : Cet exercice présente les deux méthodes les plus courantes pour résoudre les systèmes de deux équations à deux inconnues : la substitutionMéthode consistant à exprimer une variable en fonction de l'autre dans une équation, puis à remplacer cette expression dans la seconde équation. et la combinaison linéaireMéthode consistant à multiplier les équations par des coefficients choisis pour que l'addition ou la soustraction des équations élimine l'une des variables. (ou méthode par addition). Maîtriser ces deux techniques vous donne la flexibilité de choisir la plus efficace selon la structure du problème.
Objectifs Pédagogiques
- Traduire un problème concret en un système de deux équations linéaires à deux inconnues.
- Résoudre un système d'équations par la méthode de substitution.
- Résoudre un système d'équations par la méthode de combinaison linéaire.
- Vérifier la validité d'une solution trouvée.
- Interpréter la solution mathématique dans le contexte du problème initial.
Données de l'étude
Le Problème de la Boulangerie
Questions à traiter
- Mettre le problème en équation sous la forme d'un système de deux équations à deux inconnues, en notant \(x\) le prix d'un croissant et \(y\) le prix d'un pain au chocolat.
- Résoudre ce système par la méthode de substitution.
- Résoudre ce système par la méthode de combinaison linéaire.
- Conclure en donnant le prix de chaque viennoiserie.
Correction : Résolution d'un Système d'Équations
Question 1 : Mise en Équation
Principe :
Il s'agit de traduire chaque phrase de l'énoncé en une équation mathématique. Chaque achat correspond à une équation, où les inconnues sont les prix unitaires \(x\) et \(y\).
Calcul(s) :
- "2 croissants et 1 pain au chocolat coûtent 2,80 €" se traduit par : \(2x + 1y = 2.80\)
- "1 croissant et 3 pains au chocolat coûtent 4,90 €" se traduit par : \(1x + 3y = 4.90\)
Question 2 : Résolution par Substitution
Principe :
Animation de la Substitution
La méthode par substitution consiste à isoler une des inconnues dans l'une des équations, puis à "substituer" (remplacer) son expression dans l'autre équation. On obtient alors une équation à une seule inconnue, facile à résoudre.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Pour faciliter les calculs, il est judicieux de choisir d'isoler une inconnue qui a un coefficient de 1 ou -1. Ici, dans la première équation (\(L_1\)), le coefficient de \(y\) est 1, ce qui rend son isolation très simple et évite l'apparition de fractions.
Formule(s) utilisée(s) :
Les étapes sont :
Donnée(s) :
Calcul(s) :
Étape 1 : Isoler y dans (L₁)
Étape 2 : Substituer y dans (L₂)
Étape 3 : Résoudre l'équation en x
Étape 4 : Trouver y
Points de vigilance :
Erreurs de distribution : En remplaçant \(y\), il faut bien distribuer le facteur 3 à tous les termes entre parenthèses : \(3 \times 2.80\) et \(3 \times (-2x)\). Oublier de distribuer est une erreur fréquente.
Le saviez-vous ?
Question 3 : Résolution par Combinaison Linéaire
Principe :
Animation de la Combinaison
La méthode par combinaison (ou addition) consiste à multiplier une ou les deux équations par des nombres bien choisis afin que les coefficients d'une des inconnues deviennent opposés. En additionnant ensuite les deux équations, cette inconnue s'élimine.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Cette méthode est souvent plus rapide que la substitution quand aucune inconnue n'a un coefficient de 1. L'objectif est de "viser" une inconnue et de faire en sorte que ses coefficients s'annulent. Ici, on peut viser \(x\) en multipliant \(L_2\) par -2.
Formule(s) utilisée(s) :
Les étapes sont :
Donnée(s) :
Calcul(s) :
Étape 1 : Multiplier (L₂) par -2 pour éliminer x
Étape 2 : Additionner (L₁) et (L'₂)
Étape 3 : Résoudre l'équation en y
Étape 4 : Remplacer y dans (L₁) pour trouver x
Question 4 : Conclusion
Principe :
La dernière étape consiste à traduire la solution mathématique \((x, y)\) en une réponse claire et concrète à la question posée dans l'énoncé initial.
Vérification (optionnelle mais recommandée) :
On vérifie que la solution fonctionne pour les deux équations :
Pour \(L_1\): \(2(0.70) + 1.40 = 1.40 + 1.40 = 2.80\). Correct.
Pour \(L_2\): \(0.70 + 3(1.40) = 0.70 + 4.20 = 4.90\). Correct.
Le Saviez-Vous ?
Votre GPS utilise des systèmes d'équations pour fonctionner ! Pour déterminer votre position en 3D (latitude, longitude, altitude), le récepteur GPS doit résoudre un système d'au moins quatre équations complexes, basées sur les signaux de temps reçus d'au moins quatre satellites différents.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si les deux méthodes ne donnent pas le même résultat ?
Si les deux méthodes donnent des résultats différents, cela signifie qu'il y a une erreur de calcul dans au moins l'une des deux résolutions. C'est une excellente façon de vérifier son travail : si les résultats concordent, il y a de fortes chances qu'ils soient corrects.
Existe-t-il des systèmes sans solution ou avec une infinité de solutions ?
Oui. Si les deux équations représentent des droites parallèles distinctes, il n'y a aucune solution. Si elles représentent des droites confondues, il y a une infinité de solutions. Dans ces cas, la méthode par combinaison aboutirait à une absurdité (comme \(0 = 5\)) ou à une évidence (comme \(0 = 0\)).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans la méthode par substitution, que cherche-t-on à faire en premier ?
2. Un système d'équations représente graphiquement :
Glossaire
- Système d'Équations Linéaires
- Ensemble d'au moins deux équations linéaires partageant les mêmes inconnues. La solution du système est l'ensemble des valeurs des inconnues qui vérifient toutes les équations simultanément.
- Méthode par Substitution
- Technique de résolution qui consiste à exprimer une variable en fonction des autres dans une équation, puis à remplacer cette expression dans les autres équations.
- Méthode par Combinaison Linéaire
- Aussi appelée méthode par addition ou élimination. Elle consiste à multiplier les équations par des constantes afin que l'addition des équations modifiées élimine l'une des variables.
- Inconnue
- Variable (souvent notée x, y, z...) dont on cherche la valeur dans une équation ou un système.
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