Résolution d’un Système d’Équations Linéaires

1.1. Calcul de la matrice des coefficients

Lorsque l’on a plusieurs équations linéaires, on peut les écrire de manière compacte en utilisant une matrice. Imaginez une matrice comme un tableau à deux dimensions : chaque ligne correspond à une équation, chaque colonne à une inconnue.

Formule : On définit la matrice des coefficients A dont l’élément en ligne i, colonne j est le coefficient de F_j dans l’équation i. Les vecteurs 𝐗 regroupent les inconnues et 𝐁 les constantes (côtés droits).

Données :
\(Éq.1 : 2F_1 - F_2 + 3F_3 = 5\)
\(Éq.2 : 3F_1 + 2F_2 - F_3 = -1\)
\(Éq.3 : F_1 + F_2 + F_3 = 4\)

Calcul :
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\ 3 & 2 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{X} = \begin{pmatrix}F_1\\F_2\\F_3\end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix}. \]

2.1. Isolement de F₁ via l’équation (3)

L’équation (3) est la plus simple car elle a tous les coefficients égaux à 1. On l’utilise pour exprimer F₁ en fonction de F₂ et F₃, ce qui réduit le nombre de variables dans les autres équations.

Formule :
\[ F_1 = 4 - F_2 - F_3 \]

2.2. Substitution dans l’équation (1)

Maintenant, on remplace F₁ par l’expression trouvée dans l’équation (1). Cela donne une équation ne portant plus que sur F₂ et F₃.

Formule :
\[ 2\bigl(4 - F_2 - F_3\bigr) - F_2 + 3F_3 = 5 \]

Calculs :
Étape 1 : Développer :
\[2\times4 = 8, \quad 2\times(-F_2) = -2F_2, \quad 2\times(-F_3) = -2F_3\]
Étape 2 : Réécrire :
\[8 - 2F_2 - 2F_3 - F_2 + 3F_3 = 5\]
Étape 3 : Regrouper :
\[8 - 3F_2 + (-2F_3 + 3F_3) = 5 \Rightarrow 8 - 3F_2 + F_3 = 5\]
Étape 4 : Soustraire :
\[-3F_2 + F_3 = -3\]
Résultat :
\[-3F_2 + F_3 = -3\]

2.3. Substitution dans l’équation (2)

Même principe : remplacer F₁ dans l’équation (2) pour obtenir une relation entre F₂ et F₃.

Formule :
\[ 3\bigl(4 - F_2 - F_3\bigr) + 2F_2 - F_3 = -1 \]

Calculs :
Étape 1 : Développer :
\[3\times4 = 12, \quad 3\times(-F_2) = -3F_2, \quad 3\times(-F_3) = -3F_3\]
Étape 2 : Réécrire :
\[12 - 3F_2 - 3F_3 + 2F_2 - F_3 = -1\]
Étape 3 : Regrouper :
\[12 + (-3F_2 + 2F_2) + (-3F_3 - F_3) = -1 \Rightarrow 12 - F_2 - 4F_3 = -1\]
Étape 4 : Soustraire :
\[-F_2 - 4F_3 = -13\]
Résultat :
\[-F_2 - 4F_3 = -13\]

2.4. Système réduit

Le système devient :
\[ \begin{cases} -3F_2 + F_3 = -3,\\ -F_2 - 4F_3 = -13 \end{cases} \]

2.5. Élimination de F₂

Pour éliminer F₂, multiplier la deuxième équation par -3 puis ajouter à la première.

Calcul :
Deuxième × -3 :
\[-3\times(-F_2 - 4F_3 = -13) \Rightarrow 3F_2 + 12F_3 = 39\]
On additionne :
\[(3F_2 + 12F_3) + (-3F_2 + F_3) = 39 - 3 \Rightarrow 13F_3 = 36\]
Résultat :
\[\boxed{F_3 = \frac{36}{13} \approx 2{,}769}\]

2.6. Calcul de F₂

On remplace F₃ dans \(-3F_2 + F_3 = -3\).
\[-3F_2 + \frac{36}{13} = -3\]

Calcul :
\[-3F_2 = -3 - \frac{36}{13} = \frac{-39 - 36}{13} = -\frac{75}{13}\]
\[F_2 = \frac{-\frac{75}{13}}{-3} = \frac{75}{39} = \frac{25}{13} \approx 1{,}923\]

2.7. Calcul de F₁

Utilisation de \(F_1 = 4 - F_2 - F_3\) avec les valeurs trouvées :
\[F_1 = 4 - \frac{25}{13} - \frac{36}{13} = \frac{52 - 61}{13} = -\frac{9}{13} \approx -0{,}692\]

Solutions exactes :
\[F_1 = -\frac{9}{13},\quad F_2 = \frac{25}{13},\quad F_3 = \frac{36}{13}\]

Chaque solution indique la direction (signe) et l’amplitude (valeur) de la force. Un signe négatif signifie une orientation inverse par rapport à l’hypothèse de départ.

- F₁ : \(-\frac{9}{13} \approx -0{,}69\) → sens opposé.
- F₂ : \(\frac{25}{13} \approx 1{,}92\) → sens positif.
- F₃ : \(\frac{36}{13} \approx 2{,}77\) → sens positif.

Conclusion : La structure est soumise à une faible force inversée F₁ et à deux forces directes plus importantes F₂ et F₃. Ces résultats aident l’ingénieur à dimensionner correctement la structure.