Dérivation en Mathématiques Appliquées

Nous utilisons la fonction suivante pour modéliser la pente de la rampe :

\[ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \]

où x (en mètres) représente la distance horizontale depuis le début de la rampe, et f(x) (en mètres) est la hauteur de la rampe à cette distance.

1. Calcul de f'(x), la dérivée première

But : Trouver comment la hauteur change instantanément quand on avance d’un tout petit peu sur la rampe.

Concept clé : La dérivée est comme la pente d’une ligne droite tangente à la courbe de f au point x. Elle mesure le « taux de variation instantané » (ou « vitesse de montée ou descente »).

Formule générale :
\[ \frac{d}{dx}(x^n) = n\,x^{n-1}, \quad \frac{d}{dx}(a\,x) = a, \quad \frac{d}{dx}(\text{constante}) = 0. \]

Données :
• Pour x³ : dérivée = 3x²
• Pour -6x² : dérivée = -12x
• Pour +9x : dérivée = +9

Calcul :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(9x) \\[4pt] &= 3x^2 - 12x + 9 \end{aligned} \]

Résultat :
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]

2. Points où la pente change de manière la plus marquée

But : Identifier les points où la pente (f'(x)) atteint un extremum (minimum ou maximum local).

Pourquoi : Ces points correspondent à un changement de direction ou un point « le plus raide » ou « le moins raide » localement.

Calcul de la dérivée seconde :
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) \]

Données :
• Pour 3x² : dérivée = 6x
• Pour -12x : dérivée = -12
• Pour +9 : dérivée = 0

Calcul :
\[ f''(x) = 6x - 12 \]

Pour trouver l’extrémum, on met f''(x) = 0 :

\[ 6x - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2\ \text{m} \]

Interprétation :
• Si x < 2, f''(x) < 0 → pente f' diminue → le point est un maximum local de f'.
• Si x > 2, f''(x) > 0 → pente f' augmente → le point est un minimum local de f'.
En réalité, comme f' est un polynôme de degré 2 avec coefficient positif devant x², il n’y a pas de maximum global (la pente tend vers +∞ quand x→±∞).

Conclusion :
Point critique de \(f':\;x = 2\ \text{m (extremum local).}\)

3. Valeur de la pente en x = 2 m

But : Connaître la pente exacte de la rampe au point où x = 2 m.

Formule :
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]

Données : x = 2 m

Calcul :
\[ \begin{aligned} f'(2) &= 3\times(2)^2 - 12\times2 + 9 \\ &= 12 - 24 + 9 \\ &= -3 \end{aligned} \]

Interprétation :
\[ f'(2) = -3 \] signifie que la rampe descend de 3 m vertical pour chaque 1 m horizontal à ce point (pente négative indique une descente).

4. Conformité aux normes fauteuils roulants

But : Vérifier si la pente respecte la norme maximale de 1 : 12 (soit environ 0,0833).

Norme :
\[ \frac{1}{12} \approx 0{,}0833 \quad(\text{mètre vertical/mètre horizontal}). \]

Comparaison :
• Pente réelle en x=2 : \( |f'(2)| = 3 \).
• Pente autorisée : \(0{,}0833\).

Analyse :
Comme 3 est beaucoup plus grand que 0,0833, la rampe est beaucoup trop raide et ne serait pas praticable pour un fauteuil roulant.

Conclusion :
La rampe n’est pas conforme aux normes fauteuils roulants (1:12).