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Théorème de Pythagore pour un Parc Triangulaire

Mathématiques : Théorème de Pythagore pour un Parc Triangulaire

Théorème de Pythagore : Application à un Parc Triangulaire

Contexte : Un Théorème Ancien aux Usages Modernes

Le théorème de PythagoreDans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (cathètes). est l'un des résultats les plus célèbres et les plus fondamentaux de la géométrie. Il établit une relation simple et élégante entre les trois côtés d'un triangle rectangle. Bien qu'attribué au mathématicien grec Pythagore, ce principe était connu de civilisations plus anciennes comme les Babyloniens. Son utilité dépasse largement le cadre scolaire : il est indispensable en architecture, en ingénierie, en navigation, en cartographie et même en infographie 3D. Cet exercice montre comment l'appliquer à un problème d'aménagement urbain simple.

Remarque Pédagogique : Comprendre et savoir appliquer le théorème de Pythagore est une compétence essentielle. Cet exercice a pour but de renforcer cette compétence en la plaçant dans un contexte concret, ce qui aide à visualiser l'utilité du théorème au-delà de la simple formule abstraite.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier l'hypoténuse et les cathètes dans un triangle rectangle.
  • Appliquer correctement le théorème de Pythagore pour trouver une longueur manquante.
  • Utiliser les longueurs des côtés pour calculer l'aire d'un triangle rectangle.
  • Calculer le périmètre d'un triangle.
  • Résoudre un problème concret en plusieurs étapes logiques.

Données de l'étude

La municipalité d'Annay souhaite aménager un nouveau parc sur un terrain triangulaire. Le terrain forme un triangle rectangle parfait. Les deux côtés formant l'angle droit (les cathètesNom donné aux deux côtés d'un triangle rectangle qui forment l'angle droit.) mesurent respectivement 80 mètres et 150 mètres. Un chemin piétonnier doit être construit le long du troisième côté (l'hypoténuseCôté le plus long d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit.).

Plan du Parc Triangulaire
150 m 80 m Chemin (c) = ?

Objectif : Réaliser les calculs nécessaires pour la planification du parc.

Questions à traiter

  1. Quelle sera la longueur exacte du chemin piétonnier ?
  2. Quelle est la superficie totale (l'aire) du parc en mètres carrés (m²) ?
  3. Quelle est la longueur totale de la clôture nécessaire pour entourer complètement le parc (le périmètre) ?

Correction : Théorème de Pythagore

Question 1 : Longueur du Chemin (Hypoténuse)

Principe :
Visualisation du Théorème

Le théorème de Pythagore stipule que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, ici le chemin 'c') est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (les cathètes 'a' et 'b').

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Il est crucial d'identifier correctement l'hypoténuse avant d'appliquer la formule. C'est toujours le côté le plus long, et celui qui ne touche pas l'angle droit. Inverser l'hypoténuse et une cathète est l'erreur la plus commune.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ a^2 + b^2 = c^2 \quad \text{donc} \quad c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Donnée(s) :
  • Côté a = 80 m
  • Côté b = 150 m
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} c^2 &= 80^2 + 150^2 \\ c^2 &= 6400 + 22500 \\ c^2 &= 28900 \\ c &= \sqrt{28900} \\ c &= 170 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Ne pas oublier la racine carrée : Une erreur fréquente est de s'arrêter à \(c^2\) et d'oublier de prendre la racine carrée pour trouver la longueur finale de \(c\).

Le saviez-vous ?

Un triplet de nombres entiers (a, b, c) qui satisfait le théorème de Pythagore est appelé un "triplet pythagoricien". Le plus connu est (3, 4, 5). Notre parc utilise le triplet (8, 15, 17), qui est un autre exemple de triplet pythagoricien (multiplié par 10).

FAQ en rapport avec la question :
Le théorème fonctionne-t-il pour tous les triangles ?

Non, il ne fonctionne QUE pour les triangles rectangles. Pour les triangles quelconques, on utilise des formules plus générales comme la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi).

Résultat : Le chemin piétonnier aura une longueur exacte de 170 mètres.

Question 2 : Superficie (Aire) du Parc

Principe :
Calcul de l'Aire

L'aire d'un triangle est donnée par la formule \( \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \). Dans le cas spécifique d'un triangle rectangle, les deux cathètes peuvent être considérées comme la base et la hauteur.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Un triangle rectangle est exactement la moitié d'un rectangle dont les côtés seraient les cathètes. C'est une façon simple de se souvenir de la formule de l'aire et de comprendre pourquoi elle fonctionne.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} = \frac{a \times b}{2} \]
Donnée(s) :
  • Base (cathète a) = 80 m
  • Hauteur (cathète b) = 150 m
Calcul(s) :
\[ \text{Aire} = \frac{80 \times 150}{2} = \frac{12000}{2} = 6000 \]
Points de vigilance :

Unités : L'aire est toujours exprimée en unités carrées. Si les longueurs sont en mètres, l'aire est en mètres carrés (m²). Il est important de ne pas oublier cette distinction.

Le saviez-vous ?

La superficie de 6000 m² équivaut à 0.6 hectare. C'est un peu moins que la taille d'un terrain de football réglementaire (qui fait environ 7140 m²).

FAQ en rapport avec la question :
Aurait-on pu utiliser l'hypoténuse pour calculer l'aire ?

Oui, mais c'est plus compliqué. Il faudrait alors calculer la hauteur relative à l'hypoténuse. Utiliser les deux cathètes comme base et hauteur est la méthode la plus directe et la plus simple pour un triangle rectangle.

Résultat : La superficie totale du parc est de 6000 m².

Question 3 : Longueur de la Clôture (Périmètre)

Principe :
Calcul du Périmètre

Le périmètre d'une figure géométrique est la longueur totale de son contour. Pour un triangle, il suffit d'additionner les longueurs de ses trois côtés.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette question montre comment les résultats des questions précédentes peuvent être nécessaires pour répondre aux suivantes. Nous avons besoin de la longueur de l'hypoténuse, calculée à la question 1, pour pouvoir trouver le périmètre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{Périmètre} = a + b + c \]
Donnée(s) :
  • Côté a = 80 m
  • Côté b = 150 m
  • Côté c (calculé à la Q1) = 170 m
Calcul(s) :
\[ \text{Périmètre} = 80 + 150 + 170 = 400 \]
Points de vigilance :

Ne pas confondre Aire et Périmètre : C'est une confusion classique. Le périmètre est une longueur (en m), tandis que l'aire est une surface (en m²). Il est essentiel de bien comprendre la différence conceptuelle et d'utiliser les bonnes unités.

Le saviez-vous ?

Le mot "périmètre" vient du grec "peri" (autour) et "metron" (mesure). Le mot "géométrie" vient de "geo" (la Terre) et "metron" (mesure). La géométrie était à l'origine la science de la mesure des terres, notamment pour l'agriculture et la construction.

FAQ en rapport avec la question :
Le périmètre est-il toujours plus grand que l'aire ?

Non, il n'y a pas de relation directe. Pour un carré de 4m de côté, le périmètre est 16m et l'aire 16m². Pour un carré de 5m de côté, le périmètre est 20m et l'aire 25m². Les deux grandeurs sont de natures différentes et ne peuvent être comparées directement.

Résultat : La longueur totale de la clôture nécessaire est de 400 mètres.

Calculateur de Pythagore Interactif

Entrez les longueurs des deux cathètes (côtés de l'angle droit) pour calculer la longueur de l'hypoténuse.

Entrez les longueurs des cathètes

Hypoténuse c = 170

Le Saviez-Vous ?

Le dernier théorème de Fermat est une généralisation célèbre du théorème de Pythagore. Il énonce qu'il n'existe aucun entier non nul a, b, et c tel que \( a^n + b^n = c^n \) dès que l'exposant n est un entier strictement supérieur à 2. Cette conjecture, énoncée par Pierre de Fermat en 1637, n'a été prouvée qu'en 1994 par Andrew Wiles après 357 ans de recherches !

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment trouver une cathète si je connais l'hypoténuse et l'autre cathète ?

On peut réarranger la formule. Si vous connaissez l'hypoténuse (c) et une cathète (a), vous pouvez trouver l'autre cathète (b) avec la formule \( b^2 = c^2 - a^2 \), donc \( b = \sqrt{c^2 - a^2} \). Il faut soustraire au lieu d'additionner avant de prendre la racine carrée.

Le théorème est-il toujours exact dans la vie réelle ?

Oui, dans le cadre de la géométrie euclidienne qui régit notre expérience quotidienne. Cependant, dans la théorie de la relativité générale d'Einstein, l'espace-temps est courbe. Sur de très grandes échelles cosmiques, la géométrie n'est plus euclidienne et le théorème de Pythagore ne s'applique plus exactement de la même manière.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un triangle rectangle, le côté le plus long s'appelle :

2. Un triangle a des côtés de 5 cm, 12 cm et 13 cm. Est-il rectangle ?

Glossaire

Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Hypoténuse
Le côté d'un triangle rectangle qui est opposé à l'angle droit. C'est toujours le côté le plus long.
Cathète
Chacun des deux côtés d'un triangle rectangle qui forment l'angle droit.
Aire
La mesure de la surface d'une figure plane, exprimée en unités carrées (comme le m²).
Périmètre
La longueur totale du contour d'une figure plane, obtenue en additionnant la longueur de tous ses côtés.
Mathématiques : Théorème de Pythagore

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