Théorème de Pythagore pour un Parc Triangulaire
Comprendre le Théorème de Pythagore pour un Parc Triangulaire
Sophie est architecte et travaille sur la conception d’un nouveau parc triangulaire dans sa ville. Pour finaliser son projet, elle doit calculer la longueur d’une allée qui traversera le parc. Le parc est conçu sous la forme d’un triangle rectangle.
Données :
- Le côté le plus long du triangle (l’hypoténuse), qui est l’allée que Sophie doit calculer, n’est pas encore connu.
- La longueur d’un des côtés adjacents à l’angle droit est de 80 mètres.
- L’autre côté adjacent à l’angle droit mesure 60 mètres.
Questions :
1. Utilisez le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de l’allée (l’hypoténuse).
2. En supposant que Sophie souhaite ajouter une petite allée perpendiculaire à l’hypoténuse, à mi-chemin, calculez la longueur de cette petite allée si elle doit atteindre le côté opposé du triangle. Utilisez les propriétés des triangles semblables pour résoudre ce problème.
Correction : Théorème de Pythagore pour un Parc Triangulaire
1. Calcul de l’allée principale (hypoténuse)
Théorème
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
\[c^2 = a^2 + b^2\]
L’hypoténuse \(c\) est le côté opposé à l’angle droit. Pour la déterminer, on élève chaque côté adjacent (\(a\) et \(b\)) au carré, on additionne, puis on prend la racine carrée du total.
Formule
\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]
Données
- \(a = 80\,\text{m}\)
- \(b = 60\,\text{m}\)
Calculs
1. Calcul des carrés
\[a^2 = 80^2 = 6\,400\]
\[b^2 = 60^2 = 3\,600\]
2. Somme des carrés
\[a^2 + b^2 = 6\,400 + 3\,600 = 10\,000\]
3. Racine carrée
\[c = \sqrt{10\,000} = 100\]
Résultat
L’allée principale mesure \(100\,\text{m}\).
2. Calcul de la petite allée perpendiculaire (hauteur issue de l’angle droit)
Propriété (triangles semblables)
Dans un triangle rectangle, l’altitude \(h\) abaissée de l’angle droit sur l’hypoténuse peut être trouvée grâce aux triangles semblables :
\[h = \frac{a \times b}{c}\]
En traçant la perpendiculaire CD depuis l’angle droit C jusqu’à l’hypoténuse AB, on forme deux petits triangles (\(ΔACD\) et \(ΔCBD\)) qui sont chacun semblables au grand \(ΔABC\). Le rapport des côtés donne directement la valeur de la hauteur \(h\).
Remarque : on nomme \(D\) le pied de la perpendiculaire sur l’hypoténuse.
Formule
\[h = \frac{a \times b}{c}\]
Données
- \(a = 60\,\text{m}\)
- \(b = 80\,\text{m}\)
- \(c = 100\,\text{m}\)
Calculs
1. Produit des deux côtés adjacents
\[a \times b = 60 \times 80 = 4\,800\]
2. Division par l’hypoténuse
\[h = \frac{4\,800}{100} = 48\]
Résultat
La petite allée (hauteur) mesure \(48\,\text{m}\).
Théorème de Pythagore pour un Parc Triangulaire
D’autres exercices de mathematique:
Ressource externe de mathematique:
0 commentaires