Résolution d’un Système d’Équations Linéaires

Comprendre la résolution d’un Système d’Équations Linéaires

Un ingénieur en génie civil doit calculer les forces agissant sur un système de poutres dans une structure.

Il modélise le système avec trois forces, \( F_1 \), \( F_2 \), et \( F_3 \), qui doivent satisfaire les équations d’équilibre suivantes :

\begin{align*}
2F_1 – F_2 + 3F_3 &= 5 \\
3F_1 + 2F_2 – F_3 &= -1 \\
F_1 + F_2 + F_3 &= 4
\end{align*}

Tâches:

1. Représenter ce système sous forme matricielle.
2. Utiliser la méthode de votre choix (substitution, élimination, ou matrice inverse) pour trouver les valeurs de \( F_1 \), \( F_2 \), et \( F_3 \).
3. Interpréter les résultats en termes de forces agissant sur la structure.

Correction : résolution d’un Système d’Équations Linéaires

Énoncé:

Résoudre le système suivant :
\begin{align*}
2F_1 – F_2 + 3F_3 &= 5 \\
3F_1 + 2F_2 – F_3 &= -1 \\
F_1 + F_2 + F_3 &= 4
\end{align*}

Étape 1: Représentation Matricielle

Convertir le système d’équations en une représentation matricielle, \( AX = B \):
\[
A = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 3 \\
3 & 2 & -1 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}, \quad
X = \begin{bmatrix}
F_1 \\
F_2 \\
F_3
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
5 \\
-1 \\
4
\end{bmatrix}
\]

Étape 2: Méthode de Résolution

Utiliser la règle de Cramer. Calculer d’abord le déterminant de \( A \):

\[\text{det}(A) = 2(2 – (-1)) – (-1)(3 – 1) + 3(3 – 2) = 11\]

Étape 3: Calcul des Forces

Pour \( F_1 \): Remplacer la première colonne de \( A \) par \( B \) et calculer \( \text{det}(A_1) \):
\[
A_1 = \begin{bmatrix}
5 & -1 & 3 \\
-1 & 2 & -1 \\
4 & 1 & 1
\end{bmatrix}, \quad
\text{det}(A_1) = 5
\]
\[
F_1 = \frac{\text{det}(A_1)}{\text{det}(A)} = \frac{5}{11}
\]

Pour \( F_2 \): Remplacer la deuxième colonne de \( A \) par \( B \) et calculer \( \text{det}(A_2) \):
\[
A_2 = \begin{bmatrix}
2 & 5 & 3 \\
3 & -1 & -1 \\
1 & 4 & 1
\end{bmatrix}, \quad
\text{det}(A_2) = -7
\]
\[
F_2 = \frac{\text{det}(A_2)}{\text{det}(A)} = \frac{-7}{11}
\]

Pour \( F_3 \): Remplacer la troisième colonne de \( A \) par \( B \) et calculer \( \text{det}(A_3) \):
\[
A_3 = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 5 \\
3 & 2 & -1 \\
1 & 1 & 4
\end{bmatrix}, \quad
\text{det}(A_3) = 8
\]
\[
F_3 = \frac{\text{det}(A_3)}{\text{det}(A)} = \frac{8}{11}
\]

Conclusion:

Les valeurs des forces sont :
\[
F_1 = \frac{5}{11}, \quad F_2 = \frac{-7}{11}, \quad F_3 = \frac{8}{11}
\]

L’interprétation des résultats:

L’interprétation des résultats obtenus pour \( F_1 = \frac{5}{11} \), \( F_2 = \frac{-7}{11} \), et \( F_3 = \frac{8}{11} \) en termes de forces agissant sur la structure dans un contexte de génie civil implique de comprendre la direction et la magnitude de ces forces.

Force \( F_1 = \frac{5}{11} \):

• Cette force a une valeur positive, ce qui signifie qu’elle agit dans la direction positive définie dans le modèle.
• Sa magnitude est plus petite que 1 (si nous considérons les unités standard comme les Newtons ou les kiloNewtons), indiquant qu’elle est moins intense par rapport à une force unitaire.

Force \( F_2 = \frac{-7}{11} \):

• Le signe négatif de cette force indique qu’elle agit dans la direction opposée à celle définie comme positive dans le modèle.
• Sa magnitude, bien que négative, est plus grande en valeur absolue que \( F_1 \), ce qui suggère qu’elle est une force plus importante dans le système, mais agissant dans la direction opposée.

Force \( F_3 = \frac{8}{11} \):

• Comme \( F_1 \), cette force a une valeur positive, donc elle agit également dans la direction positive.
• Sa magnitude est la plus grande des trois, suggérant qu’elle est la force dominante dans le système.

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