Équation Différentielle Ordinaire
Comprendre l’équation Différentielle Ordinaire
Dans un problème de génie civil, vous êtes confronté à une situation où vous devez modéliser le refroidissement d’un matériau après un processus thermique intense. La loi de refroidissement de Newton est applicable, qui stipule que le taux de changement de température d’un corps est proportionnel à la différence entre la température du corps et celle de son environnement.
Données :
- Température initiale du matériau : \( T_0 = 200^\circ C \)
- Température ambiante constante : \( T_{\text{env}} = 30^\circ C \)
- Constante de refroidissement : \( k = 0.07 \) (unité appropriée)
Questions :
1. Formulez l’équation différentielle qui modélise la situation.
2. Résolvez l’équation différentielle pour trouver l’expression de la température \( T(t) \) en fonction du temps \( t \).
3. Calculez la température du matériau après 10 minutes.
Correction : équation Différentielle Ordinaire
1. Formulation de l’équation différentielle
Imaginons que vous avez une tasse de café brûlant à 200 °C dans une pièce à 30 °C. Au fil du temps, le café va se refroidir et se rapprocher de la température ambiante. La loi de Newton dit que plus la différence de température est grande, plus le café perd rapidement de la chaleur. Ici, on note :
- T(t) : la température du matériau à l’instant t (en °C).
- Tenv : la température ambiante constante (30 °C).
- k : la constante de proportionnalité qui mesure la rapidité du refroidissement (0,07 min−1).
La loi s’écrit alors :
Formule générale :
\[ \frac{dT}{dt} = -\,k\,(T(t) - T_{env}) \]
Le signe « − » indique que si la température du matériau est plus élevée que celle de l’environnement, sa température diminue (dT/dt est négatif).
Données :
- Température initiale T(0) = T0 = 200 °C (au début, t = 0).
- Température ambiante Tenv = 30 °C.
- Constante de refroidissement k = 0.07 min−1.
Équation modélisée :
En remplaçant k et Tenv :
\[ \frac{dT}{dt} = -0.07\,(T - 30) \]
2. Résolution de l’équation différentielle
2.1 Séparation des variables
Pour isoler les termes en T d’un côté et ceux en t de l’autre, on écrit :
\[ \frac{dT}{T - 30} = -0.07\,dt \]
Ici, on divise par (T−30) pour que la seule fonction de T soit sous l’intégrale gauche, et la seule fonction de t à droite.
2.2 Intégration
On intègre chaque côté :
\[ \int \frac{dT}{T - 30} = \int -0.07\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln\left|T - 30\right| = -0.07\,t + C \]
La primitive de 1/(T−30) est ln|T−30| et celle de -0.07 est -0.07·t.
2.3 Détermination de la constante C
On utilise la condition initiale T(0)=200 pour trouver C :
\[ \ln\left|200 - 30\right| = \ln(170) = C \approx 5,1358 \]
Donc, l’équation devient :
\[ \ln\left|T - 30\right| = -0.07\,t + \ln(170) \]
2.4 Expression explicite de T(t)
On exponentie pour se débarrasser du ln :
\[ |T - 30| = e^{-0.07\,t + \ln(170)} = 170\,e^{-0.07\,t} \]
Comme T−30 est positif (T>30), on peut enlever les barres :
\[ T(t) = 30 + 170\,e^{-0.07\,t} \]
Cette formule donne directement la température à tout instant t.
3. Calcul de la température après 10 minutes
3.1 Substitution dans la formule
On remplace t par 10 dans T(t) :
\[ T(10) = 30 + 170\,e^{-0.07 imes 10} \]
3.2 Calcul de l’exposant
On calcule d’abord -0.07×10 :
\[ -0.07 \times 10 = -0.70 \quad\Longrightarrow\quad e^{-0.70} \approx 0.4966 \]
Ce résultat signifie qu’après 10 minutes, la différence initiale (170 °C) est réduite à ~49,66%.
3.3 Multiplication et addition
On multiplie :
\[ 170 \times 0.4966 \approx 84.42 \quad\Longrightarrow\quad T(10) = 30 + 84.42 = 114.42\,°C \]
Résultat final :
Après 10 minutes, la température du matériau est :
\[ T(10) \approx 114{,}42\,°C \]
Équation Différentielle Ordinaire
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