Le flambement des poutres

1. Introduction au Flambement : Une Perte de Stabilité

Imaginez une longue règle en plastique que vous poussez par les deux bouts. Au début, elle reste droite. Mais si vous poussez plus fort, elle va soudainement se courber sur le côté. C'est ça, le flambement ! Ce n'est pas que le matériau a cassé parce qu'il n'était pas assez solide (comme casser une brindille en la pliant), mais il a perdu sa forme stable sous l'effet de la compression. Le flambement est donc un problème d'instabilité structurelle qui arrive aux éléments longs et minces (élancés) quand on les comprime.

C'est un phénomène très important en ingénierie, car une structure peut flamber bien avant que le matériau lui-même n'atteigne sa limite de résistance. Pensez aux poteaux de construction, aux colonnes, ou même aux bielles d'un moteur ; s'ils flambent, la structure entière peut s'effondrer. Ce cours va vous expliquer les bases pour comprendre et calculer ce phénomène pour des poutres droites.

Illustration du flambement d'une poutre élancée soumise à une force de compression \(F\).

2. Concept de Charge Critique : Le Seuil de l'Instabilité

Pour qu'une poutre flambe, il faut que la force de compression appliquée atteigne une certaine valeur. Cette valeur limite est appelée la charge critique de flambement (\(F_{cr}\)). Tant que la force appliquée (\(F\)) est inférieure à la charge critique (\(F < F_{cr}\)), la poutre reste stable dans sa forme droite. Si la force dépasse la charge critique (\(F > F_{cr}\)), la poutre devient instable et flambe.

La charge critique ne dépend pas directement de la résistance du matériau (sa limite d'élasticité ou de rupture), mais plutôt de sa rigidité (son Module d'Young \(E\)), de la forme de sa section transversale (son moment d'inertie \(I\)), de sa longueur (\(L\)) et de la manière dont elle est maintenue à ses extrémités (ses conditions d'appui).

3. Théorie d'Euler pour le Flambement : La Formule Magique

Le mathématicien Leonhard Euler a été le premier à développer une théorie pour calculer la charge critique de flambement pour une poutre idéale (parfaitement droite, homogène, avec des appuis parfaits). Sa formule est fondamentale :

Où :
\(F_{cr}\) est la Charge critique de flambement (en \(\text{N}\)).
\(\pi\) est la constante Pi (\(\approx 3.14159\)).
\(E\) est le Module d'Young du matériau (en \(\text{Pa}\)). C'est une mesure de la rigidité.
\(I\) est le Moment quadratique (ou moment d'inertie de section) de la section transversale de la poutre par rapport à l'axe autour duquel elle flambe (en \(\text{m}^4\)). Il représente la "résistance" de la section à la flexion.
\(L\) est la Longueur de la poutre (en \(\text{m}\)).

Cette formule montre que la charge critique :

• Augmente avec la rigidité du matériau (\(E\)) et la rigidité de la section (\(I\)). Un matériau plus rigide ou une section plus "résistante" à la flexion (comme une section en I par rapport à une section carrée de même aire) permet de supporter une charge plus élevée avant de flamber.
• Diminue très rapidement avec la longueur (\(L\)). Comme \(L\) est au carré au dénominateur, doubler la longueur divise la charge critique par quatre ! C'est pourquoi les éléments élancés sont plus sensibles au flambement.

Le moment quadratique \(I\) est calculé différemment selon la forme de la section (rectangle, cercle, profilé en I, etc.). Pour une section rectangulaire de largeur \(b\) et hauteur \(h\), le moment quadratique par rapport à un axe passant par le centre et parallèle à la largeur \(b\) est \(I = \frac{b h^3}{12}\). Il est important de prendre le moment quadratique minimal de la section si la poutre n'est pas contrainte à flamber dans un plan particulier, car elle flambera toujours autour de l'axe le plus "faible" (celui qui a le plus petit \(I\)).

4. Longueur de Flambement : L'Effet des Appuis

La formule d'Euler a été établie pour une poutre articulée à ses deux extrémités (les appuis permettent la rotation mais empêchent le déplacement). Dans la réalité, les conditions d'appui peuvent être différentes (encastrement, appui libre, etc.). Ces conditions changent la forme que prend la poutre lorsqu'elle flambe.

Pour adapter la formule d'Euler à différentes conditions d'appui, on utilise la notion de longueur de flambement (\(L_k\)). C'est une longueur "équivalente" qui remplace la longueur réelle \(L\) dans la formule d'Euler. La longueur de flambement dépend de la longueur réelle \(L\) et d'un facteur \(k\) qui caractérise les conditions d'appui :

Où :
\(L_k\) est la Longueur de flambement.
\(k\) est le Facteur de longueur de flambement (sans unité).
\(L\) est la Longueur réelle de la poutre.

La formule d'Euler généralisée devient alors :

La valeur du facteur \(k\) dépend des conditions d'appui :

• Poutre articulée-articulée : \(k = 1\)
• Poutre encastrée-libre : \(k = 2\) (flambe comme la moitié d'une poutre articulée de longueur \(2L\))
• Poutre encastrée-articulée : \(k \approx 0.7\)
• Poutre encastrée-encastrée : \(k = 0.5\)

Schéma illustrant l'influence des conditions d'appui sur la forme du flambement et le facteur \(k\) de longueur de flambement.

5. Limite de Validité de la Formule d'Euler : Quand ça ne Marche Plus

La formule d'Euler est très utile, mais elle a une limite ! Elle est basée sur l'hypothèse que le matériau reste parfaitement élastique jusqu'au moment du flambement. C'est vrai pour les poutres très élancées (longues et minces) qui flambent sous une contrainte bien inférieure à la limite d'élasticité du matériau.

Cependant, pour les poutres moins élancées (plus courtes ou plus épaisses), la contrainte dans la poutre au moment où elle flambe peut atteindre ou dépasser la limite d'élasticité du matériau. Dans ce cas, le matériau commence à se déformer plastiquement, et la formule d'Euler n'est plus valable. On entre dans le domaine du flambement inélastique.

Pour déterminer si une poutre flambe de manière élastique ou inélastique, on utilise le concept d'élancement (\(\lambda\)). L'élancement est un rapport qui compare la longueur de flambement à la taille de la section transversale :

Où :
\(\lambda\) est l'Élancement de la poutre (sans unité).
\(L_k\) est la Longueur de flambement.
\(i\) est le Rayon de giration minimal de la section (en \(\text{m}\)). Il est lié au moment quadratique minimal \(I_{min}\) et à l'aire de la section \(A\) par la relation \(i = \sqrt{\frac{I_{min}}{A}}\).

On compare ensuite cet élancement à un élancement limite (\(\lambda_e\)) qui dépend du matériau (sa limite d'élasticité \(R_e\) et son Module d'Young \(E\)) :

* Si \(\lambda > \lambda_e\), la poutre est très élancée et flambe de manière élastique. La formule d'Euler est applicable. * Si \(\lambda \le \lambda_e\), la poutre est moins élancée et flambe de manière inélastique. Des formules plus complexes (comme les formules de Rankine ou des normes de construction) doivent être utilisées.

6. Flambement des Poutres Réelles : Le Monde n'est Pas Parfait

La théorie d'Euler s'applique à des poutres idéales. Dans la réalité, les poutres ont toujours de petits défauts :

• Elles ne sont jamais parfaitement droites au départ (imperfections géométriques).
• La force de compression n'est pas toujours appliquée exactement au centre de la section (excentricité de charge).
• Le matériau n'est pas parfaitement homogène.

Ces imperfections font que la poutre commence à se courber très légèrement dès que la charge est appliquée, et cette courbure s'accentue rapidement à l'approche de la charge critique d'Euler. Les normes de construction prennent en compte ces imperfections en utilisant des formules qui donnent une charge critique légèrement inférieure à celle d'Euler, surtout pour les élancements intermédiaires.

7. Facteurs Influents sur le Flambement : Ce Qui Compte Vraiment

En résumé, plusieurs facteurs clés déterminent la résistance au flambement d'une poutre :

• Le matériau : Sa rigidité (Module d'Young \(E\)) et sa limite d'élasticité (\(R_e\)) sont cruciales.
• La géométrie de la section : Son moment quadratique minimal (\(I_{min}\)) et son aire (\(A\)) (qui déterminent le rayon de giration \(i\)). Une section "épaisse" dans une direction résistera mieux au flambement dans cette direction.
• La longueur de la poutre (\(L\)) : Plus elle est longue, plus le risque de flambement est grand.
• Les conditions d'appui : Elles déterminent la longueur de flambement équivalente (\(L_k = kL\)). Un encastrement augmente la résistance au flambement par rapport à un appui articulé.
• Les imperfections : Les défauts réels réduisent la charge de flambement par rapport à la théorie idéale.

8. Conclusion et Applications : Pourquoi C'est Important

Le flambement est un mode de ruine par instabilité qui doit être systématiquement vérifié dans la conception des éléments comprimés élancés. La théorie d'Euler fournit une base solide pour comprendre ce phénomène, en particulier pour les grandes élancements. Pour les cas réels et les élancements intermédiaires, les normes de construction (comme l'Eurocode 3 pour les structures en acier) proposent des méthodes de calcul plus élaborées qui prennent en compte les imperfections et le comportement inélastique du matériau.

Le Flambement des Poutres