Calcul du Volume de Terre Compactée en Terrassement
Contexte : La construction d'une plateforme stable, fondation de tout ouvrage.
La création d'une plateforme de travail ou de la base d'une structure (parking, dallage de maison) nécessite souvent de remblayer une zone pour atteindre une altitude de projet définie. Ce remblai n'est pas simplement un "tas de terre" ; il doit être compacté de manière contrôlée pour obtenir une densité précise. Cette densité garantit sa capacité à supporter les charges sans tasser dans le temps. Le calcul clé consiste à déterminer quel volume de matériau "en vrac" (foisonné) il faut commander à la carrière pour obtenir, après compactage, le volume géométrique final souhaité. Cet exercice se concentre sur ce calcul, en introduisant la notion fondamentale de densité ProctorRéférence de laboratoire (essai Proctor) qui détermine la masse volumique sèche maximale qu'un sol peut atteindre pour une énergie de compactage donnée. C'est l'objectif de densité à viser sur chantier..
Remarque Pédagogique : Cet exercice aborde le terrassement sous un angle différent du précédent. Au lieu de partir d'un "trou" à vider, nous partons d'un "volume" à construire. L'objectif est de passer d'un volume géométrique final (le remblai compacté) à un volume commercial initial (le matériau foisonné à commander). C'est une compétence cruciale pour la commande de matériaux et la gestion des coûts d'un chantier.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le volume géométrique d'un remblai trapézoïdal.
- Utiliser les notions de densité sèche et de taux de compactage.
- Calculer la masse de matériau sec nécessaire pour un remblai.
- Convertir une masse de matériau en volume foisonné à commander.
- Comprendre le lien entre volume en place, masse et volume foisonné.
Données de l'étude
Schéma du remblai (vue en coupe)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur du remblai | \(L\) | 20.0 | \(\text{m}\) |
| Largeur en crête du remblai | \(l_{\text{crête}}\) | 10.0 | \(\text{m}\) |
| Hauteur du remblai | \(H\) | 1.5 | \(\text{m}\) |
| Pente des talus (H/V) | \(p\) | 3/2 | (sans dimension) |
| Masse volumique sèche OPN du matériau | \(\rho_{d, \text{OPN}}\) | 1.85 | \(\text{t/m}^3\) |
| Objectif de compactage | \(Q\) | 98% | de l'OPN |
| Masse volumique foisonnée du matériau | \(\rho_{\text{f}}\) | 1.50 | \(\text{t/m}^3\) |
Questions à traiter
- Calculer la largeur à la base du remblai.
- Calculer le volume "en place" du remblai compacté.
- Calculer la masse totale de matériau sec nécessaire pour construire le remblai.
- Calculer le volume de matériau foisonné à commander à la carrière.
Les bases du Terrassement
Avant de plonger dans la correction, revoyons les deux phénomènes physiques clés qui régissent les volumes de terre.
1. Le Foisonnement :
Lorsqu'on extrait un sol, on brise sa structure naturelle compactée. Les grains se réarrangent, et de l'air s'insère entre eux. Le volume apparent du sol augmente. Ce phénomène est quantifié par le coefficient de foisonnement (\(C_{\text{f}}\)). Le volume foisonné (\(V_{\text{f}}\)) est lié au volume en place (\(V_{\text{p}}\)) par :
\[ V_{\text{f}} = V_{\text{p}} \times (1 + C_{\text{f}}) \]
Un \(C_{\text{f}}\) de 0.25 (ou 25%) signifie que 1 m³ de terre en place occupera 1.25 m³ dans la benne du camion.
2. Le Compactage :
Pour remblayer, on ne peut pas juste déverser la terre. Il faut la compacter par couches successives pour lui redonner de la densité et de la portance. Le but est d'atteindre un certain pourcentage (ex: 95%) de la densité maximale possible pour ce sol (dite densité Optimum Proctor Modifié - OPM). Cela signifie que pour combler un vide de 1 m³, il faudra apporter un volume de terre foisonnée supérieur à 1 m³, car le compactage va en réduire le volume. Pour simplifier, on utilisera un ratio de compactage (\(R_{\text{c}}\)) qui est l'inverse du taux de réduction de volume.
\[ V_{\text{matériaux à prévoir}} = V_{\text{vide à combler}} \times R_{\text{c}} \]
Un \(R_{\text{c}}\) de 1.15 signifie qu'il faut prévoir 1.15 m³ de matériau (pris en tas) pour réaliser 1 m³ de remblai compacté. Pour cet exercice, nous considérerons que le matériau de remblai est le même que le déblai et que son compactage à 95% de l'OPM le ramène à son état de densité initial "en place".
Correction : Calcul du Volume de Terre Compactée en Terrassement
Question 1 : Calculer la largeur à la base du remblai
Principe (le concept physique)
La forme d'un remblai stable est un trapèze. Sa largeur au sommet (la crête) est définie par le projet (ex: largeur d'une route). Sa largeur à la base est plus grande car elle doit inclure les talus de chaque côté. La dimension de ces talus dépend de la hauteur du remblai et de la pente maximale que le matériau peut supporter sans glisser.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La pente d'un talus, notée \(p\), est le rapport de la distance horizontale sur la distance verticale (H/V). Pour une hauteur de remblai \(H\), le déport horizontal de chaque talus est \(d = H \times p\). La largeur totale à la base (\(l_{\text{base}}\)) est donc la largeur en crête (\(l_{\text{crête}}\)) augmentée de deux fois ce déport (un de chaque côté).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est la première étape pour définir l'emprise au sol de votre ouvrage. Une pente plus douce (par exemple 2/1 au lieu de 3/2) nécessite une base beaucoup plus large, donc plus de surface de terrain et plus de matériaux. Le choix de la pente est un compromis crucial entre la sécurité géotechnique et le coût du projet.
Normes (la référence réglementaire)
Le guide GTR (Guide des Terrassements Routiers) en France est la référence pour la classification des matériaux et les règles de mise en œuvre des remblais, y compris les pentes de talus recommandées en fonction de la nature des sols et des conditions hydriques.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Largeur à la base du remblai :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le terrain d'assise est parfaitement horizontal et que la pente du talus est constante sur toute la hauteur.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Largeur en crête, \(l_{\text{crête}} = 10.0 \, \text{m}\)
- Hauteur, \(H = 1.5 \, \text{m}\)
- Pente, \(p = 3/2 = 1.5\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Calculez d'abord le déport d'un seul talus : \(d = 1.5 \, \text{m} \times 1.5 = 2.25 \, \text{m}\). Il suffit ensuite d'ajouter deux fois cette valeur à la largeur en crête.
Schéma (Avant les calculs)
Détermination de la largeur à la base
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Dimensions Finales de la Coupe
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La base du remblai doit mesurer 14.5 mètres de large pour accommoder la plateforme de 10 mètres et les talus de chaque côté. Cette dimension est essentielle pour implanter correctement l'ouvrage sur le terrain et calculer la surface de la section.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à la définition de la pente. En terrassement, elle est souvent donnée en H/V. Une pente de 3/2 est moins raide qu'une pente de 2/3. Une inversion dans la fraction conduirait à une erreur significative sur l'emprise au sol.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La largeur à la base est toujours supérieure à la largeur en crête.
- Elle dépend de la hauteur et de la pente des talus.
- La formule est \(l_{\text{base}} = l_{\text{crête}} + 2 \times H \times p\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les grands remblais autoroutiers sont souvent construits avec des matériaux renforcés, comme des géotextiles ou des géogrilles. Ces nappes synthétiques sont posées en couches horizontales à l'intérieur du remblai pour en augmenter la cohésion et permettre la construction de talus plus raides, réduisant ainsi l'emprise et le volume total de matériaux.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Avec une pente plus raide de 1/1 (H/V), quelle serait la nouvelle largeur à la base en m ?
Question 2 : Calculer le volume "en place" du remblai compacté
Principe (le concept physique)
Le volume "en place" est le volume géométrique final que le remblai occupera une fois construit et compacté. Pour un ouvrage de longueur constante comme notre plateforme, ce volume est simplement l'aire de la section transversale (le trapèze que nous venons de définir) multipliée par la longueur du remblai.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'aire d'un trapèze se calcule par la formule : \(A = \frac{(\text{grande base} + \text{petite base}) \times \text{hauteur}}{2}\). Dans notre cas, la grande base est la largeur au sol (\(l_{\text{base}}\)), la petite base est la largeur en crête (\(l_{\text{crête}}\)) et la hauteur est \(H\). Le volume est ensuite obtenu en multipliant cette aire par la longueur \(L\) du remblai.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ce volume est l'objectif final du chantier de terrassement. C'est le volume "fini" qui doit figurer sur les plans du projet. Toutes les étapes suivantes (calcul de masse, commande de matériaux) découleront de ce chiffre. Une erreur ici se répercutera sur tout le reste du budget.
Normes (la référence réglementaire)
Les plans d'exécution d'un projet de BTP doivent toujours indiquer les volumes "en place" ou "finis" des ouvrages. Ces volumes servent de base aux métrés qui permettent de quantifier et de payer les travaux réalisés par l'entreprise.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Aire de la section trapézoïdale :
Volume du remblai :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la section trapézoïdale est constante sur toute la longueur du remblai, ce qui en fait un prisme droit.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Largeur à la base, \(l_{\text{base}} = 14.5 \, \text{m}\) (de Q1)
- Largeur en crête, \(l_{\text{crête}} = 10.0 \, \text{m}\)
- Hauteur, \(H = 1.5 \, \text{m}\)
- Longueur, \(L = 20.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Calculez d'abord l'aire de la section, puis multipliez par la longueur. Cela décompose le problème en deux étapes simples et réduit le risque d'erreur de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul du Volume du Prisme
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de l'aire de la section :
2. Calcul du volume :
Schéma (Après les calculs)
Volume du Remblai Compacté
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le volume final de l'ouvrage à construire est de 367.5 m³. C'est un volume considérable qui nécessitera une quantité encore plus grande de matériau foisonné pour être réalisé, comme nous le verrons dans les questions suivantes.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur classique est de confondre la hauteur du trapèze (\(H\)) avec la longueur de son côté incliné. La formule de l'aire utilise bien la hauteur verticale. Assurez-vous également d'utiliser la bonne longueur (ici, 20 m) pour le calcul du volume final.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le volume d'un remblai prismatique est l'aire de sa section multipliée par sa longueur.
- L'aire d'un trapèze est la moyenne des bases multipliée par la hauteur.
- Ce volume est le volume "en place" final, après compactage.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les pyramides d'Égypte sont essentiellement d'immenses remblais en pierre. La grande pyramide de Gizeh, par exemple, représente un volume d'environ 2.5 millions de mètres cubes, mis en place avec une précision stupéfiante sans outils modernes.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la longueur L du remblai était de 50 m, quel serait le nouveau volume en place en m³ ?
Question 3 : Calculer la masse totale de matériau sec nécessaire
Principe (le concept physique)
Le compactage vise à atteindre une certaine masse volumique sèche (\(\rho_d\)), qui représente la masse des grains de sol solides contenus dans un mètre cube de remblai. En connaissant le volume total du remblai et la masse volumique sèche cible, on peut calculer la masse totale de "squelette solide" de matériau que nous devons mettre en œuvre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La masse volumique sèche cible (\(\rho_{d, \text{cible}}\)) est définie par un pourcentage de l'optimum Proctor (\(\rho_{d, \text{OPN}}\)). La masse totale de matière sèche (\(M_s\)) nécessaire pour un volume de remblai (\(V_{\text{remblai}}\)) est alors simplement le produit des deux : \(M_s = V_{\text{remblai}} \times \rho_{d, \text{cible}}\). Cette masse sèche est une constante, peu importe le foisonnement ou la teneur en eau du matériau lors du transport.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Raisonner en masse sèche est une méthode très robuste en géotechnique. L'eau contenue dans les sols peut varier, ce qui fait fluctuer la masse volumique totale, mais la masse de grains solides pour un volume compacté donné reste la même. C'est la quantité "utile" de matériau que l'on cherche à déterminer.
Normes (la référence réglementaire)
La norme NF P94-093 définit la procédure de l'essai Proctor, qui permet de déterminer en laboratoire la masse volumique sèche maximale (\(\rho_{d, \text{OPN}}\)) d'un matériau. Les cahiers des charges des projets de BTP (CCTP) spécifient ensuite le pourcentage de cette valeur à atteindre sur chantier (ex: Q = 98%).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Masse volumique sèche cible :
Masse sèche totale :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le matériau livré aura bien les caractéristiques Proctor mesurées en laboratoire et que le compactage sur chantier permettra d'atteindre uniformément l'objectif de 98%.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Volume du remblai, \(V_{\text{remblai}} = 367.5 \, \text{m}^3\) (de Q2)
- Masse volumique OPN, \(\rho_{d, \text{OPN}} = 1.85 \, \text{t/m}^3\)
- Objectif de compactage, \(Q = 98\% = 0.98\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Les unités sont importantes. Ici, la masse volumique est en tonnes par mètre cube (\(\text{t/m}^3\)). En multipliant par un volume en \(\text{m}^3\), on obtiendra directement une masse en tonnes, ce qui est l'unité la plus pratique pour commander des matériaux en grande quantité.
Schéma (Avant les calculs)
Du Volume à la Masse
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de la masse volumique sèche cible :
2. Calcul de la masse sèche totale :
Schéma (Après les calculs)
Masse Sèche Requise
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Pour construire notre remblai de 367.5 m³, nous avons besoin d'apporter sur le chantier une quantité de matière solide équivalente à 666.5 tonnes. Cette masse est la quantité "invariante" de notre problème. La prochaine étape va consister à traduire cette masse en un volume de camion à commander.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas oublier d'appliquer le pourcentage de compactage. Utiliser directement la densité OPN (1.85 t/m³) au lieu de la densité cible (1.813 t/m³) est une erreur qui conduirait à sur-estimer la quantité de matériaux nécessaire.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La masse sèche est le produit du volume en place et de la masse volumique sèche.
- La masse volumique sèche cible est un pourcentage de la masse volumique OPN.
- La masse sèche est une quantité invariante, utile pour les conversions.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le contrôle du compactage sur chantier est une mission cruciale. Des techniciens de laboratoire utilisent des appareils comme le gammadensimètre (à source radioactive) ou le pénétromètre dynamique pour mesurer la densité en place et vérifier qu'elle atteint bien l'objectif fixé par le bureau d'études.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'objectif de compactage était de seulement 95% de l'OPN, quelle serait la masse sèche requise en tonnes ?
Question 4 : Calculer le volume de matériau foisonné à commander
Principe (le concept physique)
Nous savons que nous avons besoin de 666.5 tonnes de matière sèche. Le matériau que nous allons commander à la carrière n'est pas sec et il n'est pas compacté ; il est "foisonné" et possède une certaine teneur en eau. La carrière nous le vendra au volume (en m³) ou à la tonne (poids total, eau incluse). Ici, on nous donne sa masse volumique foisonnée, qui est la masse d'un mètre cube de matériau tel que chargé dans le camion. En divisant la masse totale nécessaire par cette masse volumique foisonnée, nous obtiendrons le volume total à commander.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La masse volumique foisonnée (\(\rho_f\)) est généralement une donnée pratique fournie par le carrier. Elle tient compte à la fois du foisonnement (les vides entre les grains) et de la teneur en eau naturelle du matériau. La masse totale du matériau humide (\(M_h\)) est égale à la masse sèche (\(M_s\)) augmentée de la masse de l'eau. Le volume à commander (\(V_f\)) est donc \(M_h / \rho_f\). Pour simplifier ici, nous allons considérer que la masse volumique foisonnée de 1.50 t/m³ nous permet de convertir directement la masse sèche requise en volume foisonné. C'est une simplification courante pour les pré-dimensionnements.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est l'étape finale qui boucle le cycle : Volume compacté \(\Rightarrow\) Masse sèche \(\Rightarrow\) Volume foisonné. C'est ce dernier chiffre qui sera sur le bon de commande. Il est crucial de bien comprendre la différence entre ces trois notions pour ne pas commander trop ou pas assez de matériaux.
Normes (la référence réglementaire)
La transaction commerciale de granulats est encadrée par des normes qui définissent les classes de matériaux (par exemple, Grave Non Traitée 0/31.5) et les tolérances sur la granulométrie et la propreté. Le bon de commande doit spécifier précisément la classe de matériau désirée.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Volume foisonné à commander :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On fait l'hypothèse simplificatrice que la masse volumique foisonnée peut être utilisée directement avec la masse sèche. En toute rigueur, il faudrait connaître la teneur en eau pour passer de la masse sèche à la masse humide avant de diviser par la masse volumique foisonnée (qui est humide). Cependant, pour un exercice, cette simplification est acceptable et donne un ordre de grandeur correct.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Masse sèche totale, \(M_s = 666.4875 \, \text{t}\) (de Q3)
- Masse volumique foisonnée, \(\rho_f = 1.50 \, \text{t/m}^3\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Vérifiez que les unités de masse sont cohérentes (tonnes et tonnes/m³) pour que le résultat soit bien en m³. Le volume commandé doit logiquement être supérieur au volume compacté final (367.5 m³). Si vous trouvez moins, il y a une erreur.
Schéma (Avant les calculs)
De la Masse au Volume de Commande
Calcul(s) (l'application numérique)
Schéma (Après les calculs)
Volume Foisonné à Commander
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Pour construire un remblai de 367.5 m³, il faut commander environ 444.3 m³ de matériau à la carrière. Le ratio entre le volume commandé et le volume final est de 444.3 / 367.5 ≈ 1.21. Cela signifie que pour chaque mètre cube de remblai final, il faut prévoir 1.21 m³ de matériau foisonné. C'est ce "rendement" qui est clé pour le budget.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais diviser la masse sèche par la masse volumique sèche OPN. La masse volumique OPN se rapporte au volume compacté, tandis que la masse volumique foisonnée se rapporte au volume en vrac. Il faut utiliser la masse volumique qui correspond au volume que l'on cherche à calculer.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le volume à commander est la masse sèche requise divisée par la masse volumique foisonnée du matériau.
- Ce volume est toujours supérieur au volume compacté final.
- Il permet de planifier la logistique de transport (nombre de camions).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La plupart des carrières vendent les matériaux à la tonne, et non au mètre cube. Le poids est mesuré sur un pont-bascule à la sortie de la carrière. Le calcul en masse que nous avons fait est donc très proche de la réalité commerciale. Le transporteur, lui, est souvent limité par le volume de sa benne avant d'atteindre la charge maximale autorisée.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le matériau était plus léger en vrac (\(\rho_f = 1.40 \, \text{t/m}^3\)), quel serait le volume à commander en m³ ?
Outil Interactif : Paramètres de Terrassement
Modifiez les dimensions et les coefficients pour voir leur influence sur le bilan final des terres.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
L'un des plus grands projets de terrassement de l'histoire est le canal de Panama. Sa construction a nécessité l'excavation de plus de 200 millions de mètres cubes de terre et de roche, un défi colossal pour les technologies du début du 20ème siècle, qui a coûté la vie à des milliers d'ouvriers.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi ne peut-on pas simplement remettre toute la terre et la tasser ?
Parce que l'ouvrage que l'on a construit (la fondation en béton) occupe désormais une partie du volume qui était auparavant rempli de terre. Le volume de terre correspondant à celui de la fondation est donc forcément excédentaire et doit être évacué.
Est-ce que le compactage peut rendre le sol plus dense qu'à l'origine ?
Oui, c'est possible. Un compactage très énergique avec un matériau bien choisi peut donner au remblai une densité supérieure à celle du terrain naturel avoisinant. C'est souvent un objectif recherché pour les couches de forme sous les routes ou les dallages, afin de garantir une excellente portance.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si le coefficient de foisonnement d'un sol augmente, le volume de terre à évacuer...
2. Pour un même "trou" à creuser, un sol rocheux par rapport à un sol sableux générera...
- Foisonnement
- Augmentation du volume apparent d'un sol après son extraction, due à la décompaction et à l'incorporation d'air. Exprimé par un coefficient (ex: 0.25) ou un pourcentage (25%).
- Compactage
- Opération mécanique visant à augmenter la densité d'un sol en le serrant pour réduire les vides. Essentiel pour la stabilité et la portance des remblais.
- Volume en place
- Volume d'un sol dans son état naturel, avant toute perturbation. C'est le volume géométrique de référence.
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