Études de cas pratique

EGC

Calcul de la contrainte tangentielle

Calcul de la Contrainte Tangentielle dans un Axe

Calcul de la Contrainte Tangentielle dans un Axe

Comprendre la Contrainte Tangentielle (Cisaillement)

La contrainte tangentielle, ou contrainte de cisaillement (\(\tau\)), se produit lorsqu'une force agit parallèlement à une surface ou à une section transversale d'un matériau, tendant à faire glisser une partie du matériau par rapport à une autre. Ce type de contrainte est courant dans les assemblages mécaniques tels que les boulons, les rivets, les goupilles (axes d'articulation), ainsi que dans les poutres soumises à des efforts tranchants ou des arbres soumis à la torsion. Le calcul de la contrainte de cisaillement est essentiel pour s'assurer que l'élément peut résister à la charge sans céder par cisaillement.

Données de l'étude

On considère une articulation à chape simple, comme illustré ci-dessous. Un tirant (pièce centrale) est relié à une chape (deux bras extérieurs) par un axe (goupille). Une force de traction \(F = 30 \, \text{kN}\) est appliquée au tirant.

Caractéristiques de l'assemblage :

  • Force de traction appliquée (\(F\)) : \(30 \, \text{kN}\)
  • Diamètre de l'axe (\(d\)) : \(15 \, \text{mm}\)
  • Matériau de l'axe : Acier
  • Contrainte de cisaillement admissible de l'acier (\(\tau_{adm}\)) : \(90 \, \text{MPa}\)
Schéma : Articulation à Chape avec Axe Soumis au Cisaillement
F Plan 1 Plan 2 F/2 F/2 Axe (d=15mm) Articulation à Chape

L'axe est soumis à un cisaillement double.

Questions à traiter

  1. L'axe est-il soumis à un cisaillement simple ou double ? Justifier.
  2. Calculer l'aire d'une section cisaillée de l'axe (\(A_{cis}\)).
  3. Déterminer la force de cisaillement (\(V\)) agissant sur chaque section cisaillée de l'axe.
  4. Calculer la contrainte de cisaillement moyenne (\(\tau\)) dans l'axe.
  5. Vérifier si l'axe résiste à la charge appliquée en comparant la contrainte de cisaillement calculée à la contrainte de cisaillement admissible (\(\tau \leq \tau_{adm}\)).

Correction : Calcul de la Contrainte Tangentielle

Question 1 : Type de Cisaillement

Analyse :

Dans une articulation à chape comme celle décrite, le tirant central tire sur l'axe. Cette force est reprise par les deux bras de la chape. Par conséquent, l'axe est cisaillé en deux sections distinctes, une de chaque côté du tirant central, entre le tirant et chaque bras de la chape.

Résultat Question 1 : L'axe est soumis à un cisaillement double car il y a deux plans (sections) de l'axe qui résistent à la force appliquée.

Question 2 : Aire d'une Section Cisaillée de l'Axe (\(A_{cis}\))

Principe :

Chaque section cisaillée de l'axe est un cercle de diamètre \(d\). L'aire d'un cercle est \(A = \pi d^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_{cis} = \frac{\pi d^2}{4} \]
Données spécifiques :
  • Diamètre de l'axe (\(d\)) : \(15 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_{cis} &= \frac{\pi (15 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 225}{4} \, \text{mm}^2 \\ &\approx 176.7146 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Nous utiliserons \(A_{cis} \approx 176.71 \, \text{mm}^2\).

Résultat Question 2 : L'aire d'une section cisaillée de l'axe est \(A_{cis} \approx 176.71 \, \text{mm}^2\).

Question 3 : Force de Cisaillement (\(V\)) sur Chaque Section

Principe :

En cas de cisaillement double, la force totale appliquée \(F\) est répartie sur les deux sections cisaillées. Chaque section reprend donc la moitié de la force totale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V = \frac{F}{2} \]
Données spécifiques :
  • Force de traction totale (\(F\)) : \(30 \, \text{kN}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V &= \frac{30 \, \text{kN}}{2} \\ &= 15 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Conversion en Newtons : \(V = 15 \times 10^3 \, \text{N} = 15000 \, \text{N}\).

Résultat Question 3 : La force de cisaillement agissant sur chaque section cisaillée de l'axe est \(V = 15 \, \text{kN}\).

Question 4 : Contrainte de Cisaillement Moyenne (\(\tau\))

Principe :

La contrainte de cisaillement moyenne (\(\tau\)) dans une section est la force de cisaillement (\(V\)) divisée par l'aire de la section cisaillée (\(A_{cis}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau = \frac{V}{A_{cis}} \]
Données spécifiques (unités N, mm\(^2\) pour obtenir des MPa) :
  • Force de cisaillement par section (\(V\)) : \(15000 \, \text{N}\)
  • Aire d'une section cisaillée (\(A_{cis}\)) : \(176.71 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau &= \frac{15000 \, \text{N}}{176.71 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 84.8848 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 84.88 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La contrainte de cisaillement moyenne dans l'axe est \(\tau \approx 84.88 \, \text{MPa}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'axe était soumis à un cisaillement simple avec la même force F, la contrainte de cisaillement serait :

Question 5 : Vérification de la Résistance de l'Axe

Principe :

Pour que l'axe résiste en toute sécurité au cisaillement, la contrainte de cisaillement calculée (\(\tau\)) ne doit pas dépasser la contrainte de cisaillement admissible du matériau (\(\tau_{adm}\)).

Condition :
\[ \tau \leq \tau_{adm} \]
Données spécifiques :
  • Contrainte de cisaillement calculée (\(\tau\)) : \(84.88 \, \text{MPa}\)
  • Contrainte de cisaillement admissible (\(\tau_{adm}\)) : \(90 \, \text{MPa}\)
Comparaison :
\[ 84.88 \, \text{MPa} \leq 90 \, \text{MPa} \]

La condition est respectée.

Résultat Question 5 : L'axe résiste à la charge appliquée car la contrainte de cisaillement calculée (\(84.88 \, \text{MPa}\)) est inférieure à la contrainte de cisaillement admissible (\(90 \, \text{MPa}\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La contrainte tangentielle (ou de cisaillement) est définie comme :

2. Dans un assemblage à chape en cisaillement double, la force de cisaillement sur chaque section de l'axe est :

Glossaire

Contrainte Tangentielle (ou de Cisaillement, \(\tau\))
Contrainte interne qui se développe lorsqu'une force agit parallèlement à la surface d'une section. Elle est calculée comme la force de cisaillement divisée par l'aire de la section cisaillée.
Cisaillement Simple
Situation où un élément est cisaillé selon un seul plan (une seule section transversale résiste à la force de cisaillement).
Cisaillement Double
Situation où un élément est cisaillé selon deux plans distincts (deux sections transversales résistent simultanément à la force de cisaillement), comme dans une articulation à chape typique.
Force de Cisaillement (\(V\))
Composante de la force interne agissant tangentiellement à la section transversale d'un élément.
Aire Cisaillée (\(A_{cis}\))
Aire de la section transversale d'un élément qui résiste à la force de cisaillement.
Contrainte Admissible de Cisaillement (\(\tau_{adm}\))
Valeur maximale de la contrainte de cisaillement qu'un matériau est autorisé à supporter en service, en tenant compte des facteurs de sécurité.
Calcul de la Contrainte Tangentielle - Exercice d'Application

D’autres exercices de Rdm:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *