Études de cas pratique

EGC

Calculs de Résistance et Déformation

Calculs de Résistance et Déformation d'une Poutre en Acier

Calculs de Résistance et Déformation d'une Poutre en Acier

Comprendre la Résistance et la Déformation des Poutres

Lors de la conception de structures métalliques, il est crucial de s'assurer que les éléments, tels que les poutres, peuvent non seulement résister aux charges appliquées sans rupture (vérification à l'État Limite Ultime - ELU), mais aussi qu'ils ne se déforment pas excessivement sous ces charges (vérification à l'État Limite de Service - ELS). Ces calculs impliquent la détermination des sollicitations (moment fléchissant, effort tranchant), la vérification des contraintes par rapport à la résistance du matériau, et le calcul de la flèche par rapport aux limites admissibles.

Données de l'étude

On étudie une poutre en acier S355, de profilé IPE 300, simplement appuyée à ses deux extrémités. Elle est soumise à une charge uniformément répartie et à une charge ponctuelle en son milieu.

Caractéristiques du profilé IPE 300 et du matériau :

  • Profilé : IPE 300
  • Acier : S355 (\(f_y = 355 \, \text{MPa}\), \(E = 210000 \, \text{MPa}\))
  • Module de résistance élastique (axe fort) : \(W_{el,y} = 557 \, \text{cm}^3\)
  • Moment d'inertie (axe fort) : \(I_y = 8356 \, \text{cm}^4\)
  • Aire de cisaillement (âme) : \(A_{vz} = A_v = 22.35 \, \text{cm}^2\) (valeur typique pour IPE 300)
  • Coefficient partiel de sécurité pour la résistance du matériau : \(\gamma_{M0} = 1.0\)

Géométrie et Chargement :

  • Portée de la poutre : \(L = 7.0 \, \text{m}\)
  • Charge uniformément répartie de calcul (ELU) : \(q_{Ed} = 10 \, \text{kN/m}\)
  • Charge ponctuelle de calcul (ELU) au milieu de la portée : \(P_{Ed} = 30 \, \text{kN}\)

Critères de service (ELS) :

  • Flèche admissible (pour la combinaison de charges de service) : \(w_{adm} = L/300\)
  • Pour la vérification de la flèche, on utilisera les charges de service : \(q_{serv} = 7 \, \text{kN/m}\) et \(P_{serv} = 20 \, \text{kN}\).

Hypothèse : Le déversement de la poutre est empêché.

Schéma : Poutre sur Deux Appuis avec Charges Combinées
\(q_{Ed}\)
\(P_{Ed}\)
\(L\)
Poutre avec Charges Combinées

Poutre simplement appuyée avec charge répartie et charge ponctuelle.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_{Ed}\)) dans la poutre.
  2. Calculer l'effort tranchant maximal de calcul (\(V_{Ed}\)) dans la poutre.
  3. Vérifier la résistance à la flexion du profilé IPE 300 (\(M_{Ed} \leq M_{c,Rd}\)).
  4. Vérifier la résistance à l'effort tranchant du profilé IPE 300 (\(V_{Ed} \leq V_{pl,Rd}\)).
  5. Calculer la flèche maximale (\(w_{max}\)) sous charges de service. (Rappel : pour une charge répartie \(w_q = \frac{5 q L^4}{384 E I}\), pour une charge ponctuelle au milieu \(w_P = \frac{P L^3}{48 E I}\)).
  6. Vérifier si la flèche maximale respecte le critère admissible (\(w_{max} \leq w_{adm}\)).

Correction : Calculs de Résistance et Déformation

Question 1 : Moment Fléchissant Maximal (\(M_{Ed}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée, le moment maximal dû à la charge répartie est \(\frac{qL^2}{8}\) et celui dû à la charge ponctuelle au milieu est \(\frac{PL}{4}\). Les deux se produisent au milieu de la portée et s'additionnent.

Formule(s) utilisée(s) :
\[M_{Ed} = M_{q,Ed} + M_{P,Ed} = \frac{q_{Ed} L^2}{8} + \frac{P_{Ed} L}{4}\]
Données spécifiques :
  • \(q_{Ed} = 10 \, \text{kN/m}\)
  • \(P_{Ed} = 30 \, \text{kN}\)
  • \(L = 7.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} M_{Ed} &= \frac{10 \, \text{kN/m} \cdot (7.0 \, \text{m})^2}{8} + \frac{30 \, \text{kN} \cdot 7.0 \, \text{m}}{4} \\ &= \frac{10 \cdot 49}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} + \frac{210}{4} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= \frac{490}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} + 52.5 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 61.25 \, \text{kN} \cdot \text{m} + 52.5 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 113.75 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le moment fléchissant maximal est \(M_{Ed} = 113.75 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 2 : Effort Tranchant Maximal (\(V_{Ed}\))

Principe :

L'effort tranchant maximal se produit à l'un des appuis. Il est la somme des réactions d'appui dues à chaque charge. Pour des charges symétriques, la réaction est la moitié de la charge totale.

Réaction due à \(q_{Ed}\) : \(R_q = \frac{q_{Ed}L}{2}\). Réaction due à \(P_{Ed}\) : \(R_P = \frac{P_{Ed}}{2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{Ed} = R_A = R_B = \frac{q_{Ed} L}{2} + \frac{P_{Ed}}{2}\]
Données spécifiques :
  • \(q_{Ed} = 10 \, \text{kN/m}\)
  • \(P_{Ed} = 30 \, \text{kN}\)
  • \(L = 7.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{Ed} &= \frac{10 \, \text{kN/m} \cdot 7.0 \, \text{m}}{2} + \frac{30 \, \text{kN}}{2} \\ &= \frac{70}{2} \, \text{kN} + 15 \, \text{kN} \\ &= 35 \, \text{kN} + 15 \, \text{kN} \\ &= 50 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'effort tranchant maximal est \(V_{Ed} = 50 \, \text{kN}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la charge ponctuelle \(P_{Ed}\) était appliquée à \(L/4\) d'un appui au lieu du milieu, l'effort tranchant maximal serait-il différent ?

Question 3 : Vérification de la Résistance à la Flexion (\(M_{Ed} \leq M_{c,Rd}\))

Principe :

La résistance en flexion du profilé (\(M_{c,Rd}\)) doit être supérieure ou égale au moment de calcul (\(M_{Ed}\)). Pour les sections de classe 1 ou 2 (cas courant pour IPE), on peut utiliser le module plastique \(W_{pl,y}\). Si seul \(W_{el,y}\) est donné et que le profilé est de classe 1 ou 2, on peut l'utiliser de manière conservative ou estimer \(W_{pl,y} \approx 1.12 \cdot W_{el,y}\) pour les profilés en I. Ici, nous utiliserons \(W_{el,y}\) par simplicité, sachant que cela donne une marge de sécurité. La formule exacte est \(M_{c,Rd} = \frac{W_{pl,y} \cdot f_y}{\gamma_{M0}}\) ou \(\frac{W_{el,y} \cdot f_y}{\gamma_{M0}}\) pour une vérification élastique.

Formule(s) utilisée(s) (vérification élastique) :
\[M_{c,Rd} = \frac{W_{el,y} \cdot f_y}{\gamma_{M0}}\]
Données spécifiques pour IPE 300 :
  • \(W_{el,y} = 557 \, \text{cm}^3 = 557 \times 10^3 \, \text{mm}^3\)
  • \(f_y = 355 \, \text{MPa} = 355 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\gamma_{M0} = 1.0\)
  • \(M_{Ed} = 113.75 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 113.75 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
Calcul de \(M_{c,Rd}\) :
\[ \begin{aligned} M_{c,Rd} &= \frac{557 \times 10^3 \, \text{mm}^3 \cdot 355 \, \text{N/mm}^2}{1.0} \\ &= 197735000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 197.735 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Vérification :

\[113.75 \, \text{kN} \cdot \text{m} \leq 197.735 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{OK})\]
Résultat Question 3 : Le profilé IPE 300 résiste à la flexion (\(M_{Ed} \leq M_{c,Rd}\)).

Question 4 : Vérification de la Résistance à l'Effort Tranchant (\(V_{Ed} \leq V_{pl,Rd}\))

Principe :

La résistance plastique au cisaillement (\(V_{pl,Rd}\)) doit être supérieure ou égale à l'effort tranchant de calcul (\(V_{Ed}\)). On suppose qu'il n'y a pas de risque de voilement par cisaillement.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3) :
\[V_{pl,Rd} = \frac{A_v \cdot (f_y / \sqrt{3})}{\gamma_{M0}}\]
Données spécifiques pour IPE 300 :
  • \(A_v = 22.35 \, \text{cm}^2 = 2235 \, \text{mm}^2\)
  • \(f_y = 355 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\gamma_{M0} = 1.0\)
  • \(V_{Ed} = 50 \, \text{kN} = 50 \times 10^3 \, \text{N}\)
Calcul de \(V_{pl,Rd}\) :
\[ \begin{aligned} V_{pl,Rd} &= \frac{2235 \, \text{mm}^2 \cdot (355 \, \text{N/mm}^2 / \sqrt{3})}{1.0} \\ &\approx \frac{2235 \cdot 204.958}{1.0} \, \text{N} \\ &\approx 458077 \, \text{N} \\ &\approx 458.08 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Vérification :

\[50 \, \text{kN} \leq 458.08 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]
Résultat Question 4 : Le profilé IPE 300 résiste à l'effort tranchant.

Quiz Intermédiaire 2 : Si l'aire de cisaillement \(A_v\) était plus petite, la résistance \(V_{pl,Rd}\) serait :

Question 5 : Calcul de la Flèche Maximale (\(w_{max}\))

Principe :

La flèche maximale est la somme des flèches dues à chaque type de charge (principe de superposition pour les déformations élastiques).

Formule(s) utilisée(s) :
\[w_{q,serv} = \frac{5 \cdot q_{serv} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y}\] \[w_{P,serv} = \frac{P_{serv} \cdot L^3}{48 \cdot E \cdot I_y}\] \[w_{max} = w_{q,serv} + w_{P,serv}\]
Données spécifiques (charges de service, unités N, mm) :
  • \(q_{serv} = 7 \, \text{kN/m} = 7 \, \text{N/mm}\)
  • \(P_{serv} = 20 \, \text{kN} = 20 \times 10^3 \, \text{N}\)
  • \(L = 7.0 \, \text{m} = 7000 \, \text{mm}\)
  • \(E = 210000 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(I_y = 8356 \, \text{cm}^4 = 8356 \times 10^4 \, \text{mm}^4\)
Calcul de \(w_{q,serv}\) :
\[ \begin{aligned} w_{q,serv} &= \frac{5 \cdot (7 \, \text{N/mm}) \cdot (7000 \, \text{mm})^4}{384 \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (8356 \times 10^4 \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{35 \cdot (2.401 \times 10^{15})}{384 \cdot 210000 \cdot 83560000} \\ &= \frac{8.4035 \times 10^{16}}{6.7378 \times 10^{15}} \\ &\approx 12.47 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Calcul de \(w_{P,serv}\) :
\[ \begin{aligned} w_{P,serv} &= \frac{(20 \times 10^3 \, \text{N}) \cdot (7000 \, \text{mm})^3}{48 \cdot (210000 \, \text{N/mm}^2) \cdot (8356 \times 10^4 \, \text{mm}^4)} \\ &= \frac{20000 \cdot (3.43 \times 10^{11})}{48 \cdot 210000 \cdot 83560000} \\ &= \frac{6.86 \times 10^{15}}{8.422 \times 10^{14}} \\ &\approx 8.15 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Calcul de \(w_{max}\) :
\[w_{max} = 12.47 \, \text{mm} + 8.15 \, \text{mm} = 20.62 \, \text{mm}\]
Résultat Question 5 : La flèche maximale sous charges de service est \(w_{max} \approx 20.62 \, \text{mm}\).

Question 6 : Vérification de la Flèche (\(w_{max} \leq w_{adm}\))

Principe :

Comparer la flèche calculée à la flèche admissible.

Calcul de \(w_{adm}\) :
\[w_{adm} = \frac{L}{300} = \frac{7000 \, \text{mm}}{300} \approx 23.33 \, \text{mm}\]
Comparaison :
\[20.62 \, \text{mm} \leq 23.33 \, \text{mm} \quad (\text{OK})\]

La condition est vérifiée.

Résultat Question 6 : La flèche maximale (\(20.62 \, \text{mm}\)) respecte le critère admissible (\(23.33 \, \text{mm}\)).

Quiz Intermédiaire 3 : Si la flèche admissible était \(L/400\), la poutre IPE 300 serait-elle toujours acceptable pour la flèche ? ( \(L/400 \approx 17.5 \, \text{mm}\) )

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. La vérification de la résistance à la flexion d'une poutre en acier se fait typiquement en comparant :

8. Lequel de ces facteurs augmente la flèche d'une poutre pour une charge donnée ?

9. L'État Limite de Service (ELS) pour une poutre concerne principalement :

Glossaire

État Limite Ultime (ELU)
État qui, s'il est dépassé, met en cause la sécurité de la structure ou de ses éléments (ex: rupture, flambement, perte d'équilibre).
État Limite de Service (ELS)
État qui, s'il est dépassé, compromet le bon fonctionnement de la structure ou le confort des usagers (ex: flèche excessive, vibrations).
Moment Fléchissant (\(M_{Ed}\))
Sollicitation interne dans un élément structural (comme une poutre) qui tend à le faire fléchir ou courber.
Effort Tranchant (\(V_{Ed}\))
Sollicitation interne qui tend à faire glisser les sections transversales d'un élément les unes par rapport aux autres.
Module de Résistance Élastique (\(W_{el,y}\))
Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa capacité à résister à la flexion en régime élastique.
Moment d'Inertie (\(I_y\))
Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa rigidité en flexion. Plus \(I_y\) est grand, moins la poutre fléchit pour une charge donnée.
Flèche (\(w\))
Déplacement vertical d'une poutre sous l'effet des charges. La flèche maximale (\(w_{max}\)) est généralement limitée à une fraction de la portée (\(L/x\)).
Limite d'Élasticité (\(f_y\))
Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter avant de subir une déformation plastique permanente.
Module d'Young (\(E\))
Mesure de la rigidité d'un matériau élastique ; rapport entre la contrainte et la déformation en traction ou compression.
Calculs de Résistance et Déformation - Exercice d'Application

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