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Calcul de la longueur de flambement critique

Calcul de la Longueur de Flambement Critique en Structure Métallique

Calcul de la Longueur de Flambement Critique en Structure Métallique

Comprendre le Calcul de la Longueur de Flambement Critique

Le flambement est un mode de défaillance critique pour les éléments comprimés, comme les poteaux dans une charpente métallique. La tendance d'un poteau à flamber ne dépend pas seulement de sa longueur réelle, mais aussi de la manière dont ses extrémités sont connectées à la structure environnante (conditions d'appui). La "longueur de flambement critique" (\(L_{cr}\)) est une longueur équivalente qui permet de modéliser le comportement au flambement d'un poteau réel comme celui d'un poteau de référence articulé aux deux extrémités. Elle est calculée en multipliant la longueur réelle du poteau (\(L\)) par un coefficient de longueur de flambement (\(k\)) qui dépend des conditions d'appui. Une détermination correcte de \(L_{cr}\) est essentielle pour évaluer avec précision la charge critique de flambement et la résistance au flambement du poteau.

Données de l'étude

On considère un poteau en acier dans une structure métallique.

Caractéristiques du poteau :

  • Longueur réelle du poteau entre appuis (\(L\)) : \(4.50 \, \text{m}\)
  • Conditions d'appui aux extrémités :
    • Extrémité inférieure : Encastrée (fixe en position et en rotation)
    • Extrémité supérieure : Articulée (fixe en position, libre en rotation)

Coefficients de longueur de flambement (\(k\)) théoriques pour différents cas d'appui (selon Eurocode 3) :

Conditions d'Appui Coefficient \(k\) (Théorique)
Articulé - Articulé 1.0
Encastré - Encastré 0.5
Encastré - Articulé 0.7
Encastré - Libre 2.0
Articulé - Guidé (sans rotation) 1.0
Encastré - Guidé (sans rotation) 0.5
Schéma : Poteau avec Conditions d'Appui (Encastré-Articulé)
Encastré Articulé N_Ed L = 4.50 m Poteau Encastré-Articulé

Poteau avec un appui encastré en base et un appui articulé en tête.

Questions à traiter

  1. Identifier le coefficient de longueur de flambement (\(k\)) approprié pour le poteau décrit, en utilisant le tableau fourni.
  2. Calculer la longueur de flambement critique (\(L_{cr}\)) du poteau en mètres.
  3. Si les conditions d'appui étaient changées pour "Encastré - Encastré", quelle serait la nouvelle longueur de flambement critique ?
  4. Si les conditions d'appui étaient changées pour "Encastré - Libre", quelle serait la nouvelle longueur de flambement critique ?
  5. Expliquer brièvement pourquoi la longueur de flambement critique est différente de la longueur réelle du poteau pour la plupart des conditions d'appui.

Correction : Calcul de la Longueur de Flambement Critique

Question 1 : Coefficient de Longueur de Flambement (\(k\))

Principe :

Le coefficient de longueur de flambement (\(k\)) dépend des conditions de liaison (encastrement, articulation, libre, etc.) aux extrémités du poteau. Chaque combinaison de conditions d'appui a une valeur de \(k\) théorique qui modifie la longueur réelle du poteau pour obtenir une longueur équivalente d'un poteau articulé-articulé ayant la même charge critique de flambement.

Données spécifiques :
  • Conditions d'appui : Extrémité inférieure Encastrée, Extrémité supérieure Articulée.
  • Tableau des coefficients \(k\) fourni dans l'énoncé.
Identification :

En consultant le tableau des coefficients de longueur de flambement fourni, pour un poteau "Encastré - Articulé", le coefficient théorique est :

\[k = 0.7\]
Résultat Question 1 : Le coefficient de longueur de flambement approprié est \(k = 0.7\).

Question 2 : Calcul de la Longueur de Flambement Critique (\(L_{cr}\))

Principe :

La longueur de flambement critique (\(L_{cr}\)) est calculée en multipliant la longueur réelle du poteau (\(L\)) par le coefficient de longueur de flambement (\(k\)) déterminé à l'étape précédente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[L_{cr} = k \cdot L\]
Données spécifiques :
  • Coefficient de longueur de flambement (\(k\)) : \(0.7\)
  • Longueur réelle du poteau (\(L\)) : \(4.50 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_{cr} &= 0.7 \times 4.50 \, \text{m} \\ &= 3.15 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La longueur de flambement critique du poteau est \(L_{cr} = 3.15 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si un poteau est articulé à ses deux extrémités (\(k=1.0\)) et a une longueur réelle de 5m, sa longueur de flambement critique est :

Question 3 : Nouvelle \(L_{cr}\) pour Appuis "Encastré - Encastré"

Principe :

Si les conditions d'appui changent, le coefficient \(k\) change, et par conséquent la longueur de flambement critique \(L_{cr}\) change également. Pour des appuis "Encastré - Encastré", le poteau est plus contraint et donc plus résistant au flambement, ce qui se traduit par un coefficient \(k\) plus faible.

Identification du nouveau \(k\) :

D'après le tableau fourni, pour "Encastré - Encastré", le coefficient \(k = 0.5\).

Données spécifiques :
  • Nouveau coefficient (\(k\)) : \(0.5\)
  • Longueur réelle du poteau (\(L\)) : \(4.50 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_{cr, nouveau} &= 0.5 \times 4.50 \, \text{m} \\ &= 2.25 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Pour des appuis "Encastré - Encastré", la nouvelle longueur de flambement critique serait \(L_{cr, nouveau} = 2.25 \, \text{m}\).

Question 4 : Nouvelle \(L_{cr}\) pour Appuis "Encastré - Libre"

Principe :

Pour des appuis "Encastré - Libre" (comme un mât ou un poteau de signalisation), le poteau est beaucoup moins contraint et donc beaucoup plus susceptible de flamber. Cela se traduit par un coefficient \(k\) plus élevé.

Identification du nouveau \(k\) :

D'après le tableau fourni, pour "Encastré - Libre", le coefficient \(k = 2.0\).

Données spécifiques :
  • Nouveau coefficient (\(k\)) : \(2.0\)
  • Longueur réelle du poteau (\(L\)) : \(4.50 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_{cr, nouveau} &= 2.0 \times 4.50 \, \text{m} \\ &= 9.00 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Pour des appuis "Encastré - Libre", la nouvelle longueur de flambement critique serait \(L_{cr, nouveau} = 9.00 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Parmi les conditions d'appui listées, laquelle conduit à la plus grande longueur de flambement critique (et donc à la plus faible résistance au flambement pour une même section) ?

Question 5 : Explication de la Différence entre \(L_{cr}\) et \(L\)

Explication :

La longueur de flambement critique (\(L_{cr}\)) est différente de la longueur réelle (\(L\)) du poteau pour la plupart des conditions d'appui (sauf pour le cas articulé-articulé où \(k=1.0\)) parce que les conditions de liaison aux extrémités influencent la forme de la déformée de flambement.

  • Un encastrement empêche la rotation et la translation à une extrémité. Cela "rigidifie" l'extrémité du poteau, réduisant la longueur sur laquelle il peut effectivement flamber. La déformée de flambement est plus courte, comme si on avait un poteau articulé-articulé plus court. C'est pourquoi \(k < 1.0\) pour les cas avec encastrement (ex: encastré-encastré \(k=0.5\), encastré-articulé \(k=0.7\)).
  • Une extrémité libre (comme dans le cas encastré-libre) permet à la fois la rotation et la translation. Le poteau se comporte alors comme la moitié d'un poteau articulé-articulé beaucoup plus long (deux fois plus long), ce qui le rend très susceptible au flambement. C'est pourquoi \(k > 1.0\) (ex: \(k=2.0\) pour encastré-libre).
La longueur de flambement critique est donc une manière de ramener tous les cas de figure à un cas de référence (articulé-articulé) pour pouvoir utiliser les mêmes formules de calcul de la charge critique de flambement (comme la formule d'Euler) en ajustant simplement la longueur. Elle représente la distance entre les points d'inflexion (points où la courbure change de signe) de la déformée de flambement théorique.

Résultat Question 5 : La longueur de flambement critique \(L_{cr}\) diffère de \(L\) car les conditions d'appui modifient la manière dont le poteau peut se déformer sous compression, changeant ainsi sa "longueur effective" de flambement.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Le coefficient de longueur de flambement \(k\) pour un poteau encastré à ses deux extrémités est théoriquement :

2. Une longueur de flambement critique (\(L_{cr}\)) plus courte pour un même poteau indique :

3. Le calcul de la longueur de flambement critique est une étape essentielle pour déterminer :

Glossaire

Flambement (ou Flambage)
Phénomène d'instabilité d'un élément élancé soumis à un effort de compression, conduisant à une flexion latérale et potentiellement à la ruine.
Longueur de Flambement Critique (\(L_{cr}\))
Longueur théorique d'un poteau équivalent articulé-articulé qui aurait la même charge critique de flambement que le poteau réel avec ses conditions d'appui. Elle est calculée par \(L_{cr} = k \cdot L\).
Coefficient de Longueur de Flambement (\(k\))
Facteur sans dimension qui dépend des conditions de liaison (encastrement, articulation, libre) aux extrémités du poteau.
Poteau (ou Colonne)
Élément structural vertical conçu pour supporter des charges de compression axiales.
Appui Articulé (ou Rotulé)
Type de liaison qui empêche la translation mais permet la rotation libre de l'extrémité de l'élément.
Appui Encastré (ou Fixe)
Type de liaison qui empêche à la fois la translation et la rotation de l'extrémité de l'élément.
Extrémité Libre
Extrémité d'un élément qui n'est soumise à aucune contrainte de déplacement ou de rotation.
Eurocode 3 (EN 1993)
Norme européenne pour le calcul des structures en acier.
Calcul de la Longueur de Flambement Critique – Exercice d'Application

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