Études de cas pratique

EGC

Calcul d’une poutre en acier

Calcul d’une poutre en acier

Calcul d’une poutre en acier

Comprendre le Dimensionnement d'une Poutre en Acier

Le dimensionnement des poutres en acier selon l'Eurocode 3 implique la vérification de plusieurs états limites pour garantir la sécurité et la fonctionnalité de la structure. Les principales vérifications à l'État Limite Ultime (ELU) concernent la résistance en flexion, la résistance au cisaillement, et la stabilité au déversement (flambement latéral-torsionnel) pour les poutres non maintenues latéralement. À l'État Limite de Service (ELS), on vérifie principalement les déformations (flèches).

Données

On étudie une poutre en acier simplement appuyée, supportant un plancher.

Géométrie et Profilé :

  • Profilé : IPE 300
  • Portée de la poutre (entre appuis) : \(L = 7.0 \, \text{m}\)
  • Caractéristiques du profilé IPE 300 (extraites d'un catalogue) :
    • Hauteur : \(h = 300 \, \text{mm}\)
    • Largeur des semelles : \(b_f = 150 \, \text{mm}\)
    • Épaisseur de l'âme : \(t_w = 7.1 \, \text{mm}\)
    • Épaisseur des semelles : \(t_f = 10.7 \, \text{mm}\)
    • Module d'inertie élastique par rapport à l'axe fort y-y : \(W_{el,y} = 557 \, \text{cm}^3\)
    • Module d'inertie plastique par rapport à l'axe fort y-y : \(W_{pl,y} = 628.4 \, \text{cm}^3\)
    • Aire de cisaillement : \(A_v = A - 2 b_f t_f + (t_w + 2r)t_f \approx A_{web} = h t_w\) (simplifié ici \(A_v \approx (h - 2t_f)t_w = (300 - 2 \times 10.7) \times 7.1 = 278.6 \times 7.1 \approx 1978 \, \text{mm}^2\))
    • Moment d'inertie par rapport à l'axe fort y-y : \(I_y = 8360 \, \text{cm}^4\)

Charges Caractéristiques :

  • Charge permanente (poids propre du profilé inclus) : \(g_k = 5.0 \, \text{kN/m}\)
  • Charge d'exploitation (plancher) : \(q_k = 8.0 \, \text{kN/m}\)

Matériau :

  • Nuance d'acier : S275
  • Limite d'élasticité : \(f_y = 275 \, \text{MPa} = 275 \, \text{N/mm}^2\) (pour épaisseur \( \le 40mm\))
  • Module d'Young : \(E = 210 \, 000 \, \text{MPa}\)

Coefficients (Eurocode 3) :

  • Coefficient partiel pour la résistance des sections : \(\gamma_{M0} = 1.00\)
  • Coefficient partiel pour la résistance à l'instabilité : \(\gamma_{M1} = 1.00\)
  • Coefficient partiel pour les charges permanentes (ELU) : \(\gamma_G = 1.35\)
  • Coefficient partiel pour les charges d'exploitation (ELU) : \(\gamma_Q = 1.5\)
  • Facteur de combinaison pour valeur fréquente (ELS) : \(\psi_1 = 0.7\) (supposé pour cet exemple)
  • Classe de section : Supposée Classe 1 (permettant un calcul plastique).
Schéma : Poutre en Acier Simplement Appuyée
Poutre IPE 300 p_Ed (ou p_ser) L = 7.0 m

Questions

  1. Calculer la charge linéique de calcul à l'ELU (\(p_{Ed}\)).
  2. Déterminer le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_{Ed}\)) et l'effort tranchant maximal de calcul (\(V_{Ed}\)).
  3. Vérifier la résistance de la section à la flexion à l'ELU.
  4. Vérifier la résistance de la section au cisaillement à l'ELU.
  5. Vérifier la stabilité au déversement (on supposera pour cet exercice que la poutre est maintenue latéralement de manière continue, \(\chi_{LT} = 1.0\), ou on indiquera que cette vérification est nécessaire).
  6. Calculer la charge linéique à l'ELS pour la combinaison fréquente (\(p_{ser,freq}\)) et calculer la flèche maximale (\(w_{max}\)). Vérifier si \(w_{max} \le L/300\).

Correction : Calcul d’une poutre en acier

Question 1 : Calcul de la Charge Linéique de Calcul à l'ELU (\(p_{Ed}\))

Principe (EC0 - Éq. 6.10) :

La combinaison fondamentale à l'ELU est utilisée pour déterminer la charge de calcul.

Formule :
\[p_{Ed} = \gamma_G G_k + \gamma_Q Q_k\]
Données :
  • \(G_k = 5.0 \, \text{kN/m}\)
  • \(Q_k = 8.0 \, \text{kN/m}\)
  • \(\gamma_G = 1.35\)
  • \(\gamma_Q = 1.5\)
Calcul :
\[p_{Ed} = (1.35 \times 5.0 \, \text{kN/m}) + (1.5 \times 8.0 \, \text{kN/m})\] \[p_{Ed} = 6.75 \, \text{kN/m} + 12.0 \, \text{kN/m} \] \[p_{Ed} = 18.75 \, \text{kN/m}\]
Résultat Question 1 : La charge linéique de calcul à l'ELU est \(p_{Ed} = 18.75 \, \text{kN/m}\).

Question 2 : Calcul de \(M_{Ed}\) et \(V_{Ed}\) Maxima

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée de portée L soumise à une charge uniformément répartie \(p_{Ed}\) :

  • Le moment maximal se produit à mi-portée (\(x=L/2\)).
  • L'effort tranchant maximal se produit aux appuis (\(x=0\) et \(x=L\)).
Formules :
\[M_{Ed,max} = \frac{p_{Ed} L^2}{8}\] \[V_{Ed,max} = \frac{p_{Ed} L}{2}\]
Données :
  • \(p_{Ed} = 18.75 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 7.0 \, \text{m}\)
Calcul :

Moment maximal :

\[M_{Ed,max} = \frac{18.75 \times (7.0)^2}{8} \] \[M_{Ed,max} = \frac{18.75 \times 49}{8} \] \[M_{Ed,max} \approx 114.84 \, \text{kN} \cdot \text{m}\]

Effort tranchant maximal :

\[V_{Ed,max} = \frac{18.75 \times 7.0}{2} \] \[V_{Ed,max} = 65.625 \, \text{kN}\]
Résultat Question 2 : Les sollicitations maximales à l'ELU sont :
  • Moment fléchissant : \(M_{Ed,max} \approx 114.8 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Effort tranchant : \(V_{Ed,max} \approx 65.6 \, \text{kN}\)

Question 3 : Vérification de la Résistance à la Flexion (ELU)

Principe (EC3 - 6.2.5) :

Pour une section de Classe 1 ou 2, la résistance en flexion est basée sur le module plastique \(W_{pl,y}\).

Formule :
\[M_{c,Rd} = M_{pl,Rd} = \frac{W_{pl,y} f_y}{\gamma_{M0}}\]

Condition de vérification :

\[M_{Ed} \le M_{c,Rd}\]
Données :
  • \(M_{Ed,max} = 114.8 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\) (conversion en Nmm)
  • \(W_{pl,y} = 628.4 \, \text{cm}^3 = 628.4 \times 10^3 \, \text{mm}^3\)
  • \(f_y = 275 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\gamma_{M0} = 1.00\)
Calcul :
\[M_{c,Rd} = \frac{628.4 \times 10^3 \times 275}{1.00} \] \[M_{c,Rd} = 172.81 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \] \[M_{c,Rd} = 172.81 \, \text{kN} \cdot \text{m}\]

Vérification :

\[M_{Ed,max} = 114.8 \, \text{kN} \cdot \text{m} \le M_{c,Rd} = 172.8 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{OK})\]

Taux de travail : \(\frac{114.8}{172.8} \approx 66.4\%\)

Résultat Question 3 : La poutre IPE 300 vérifie la condition de résistance à la flexion (\(114.8 \, \text{kN.m} \le 172.8 \, \text{kN.m}\)).

Question 4 : Vérification de la Résistance au Cisaillement (ELU)

Principe (EC3 - 6.2.6) :

La résistance au cisaillement plastique est basée sur l'aire de cisaillement \(A_v\) et la limite d'élasticité au cisaillement.

Formule :
\[V_{pl,Rd} = \frac{A_v (f_y / \sqrt{3})}{\gamma_{M0}}\]

Condition de vérification :

\[V_{Ed} \le V_{pl,Rd}\]

On vérifie aussi que \(V_{Ed} \le 0.5 V_{pl,Rd}\) pour ne pas avoir à considérer l'interaction flexion-cisaillement (EC3 - 6.2.8).

Données :
  • \(V_{Ed,max} = 65.6 \times 10^3 \, \text{N}\)
  • \(A_v \approx 1978 \, \text{mm}^2\) (valeur simplifiée donnée)
  • \(f_y = 275 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\gamma_{M0} = 1.00\)
Calcul :
\[V_{pl,Rd} = \frac{1978 \times (275 / \sqrt{3})}{1.00} \] \[V_{pl,Rd} \approx \frac{1978 \times 158.77}{1.00} \] \[V_{pl,Rd} \approx 313 \, 990 \, \text{N} \approx 314.0 \, \text{kN}\]

Vérification :

\[V_{Ed,max} = 65.6 \, \text{kN} \le V_{pl,Rd} = 314.0 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]

Vérification pour interaction :

\[0.5 V_{pl,Rd} = 0.5 \times 314.0 = 157.0 \, \text{kN}\] \[V_{Ed,max} = 65.6 \, \text{kN} \le 0.5 V_{pl,Rd} = 157.0 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]

L'interaction flexion-cisaillement n'a pas besoin d'être vérifiée.

Taux de travail : \(\frac{65.6}{314.0} \approx 20.9\%\)

Résultat Question 4 : La poutre IPE 300 vérifie la condition de résistance au cisaillement (\(65.6 \, \text{kN} \le 314.0 \, \text{kN}\)). L'interaction flexion-cisaillement n'est pas nécessaire.

Question 5 : Vérification de la Stabilité au Déversement

Principe (EC3 - 6.3.2) :

Le déversement est un phénomène d'instabilité qui peut survenir pour les poutres élancées fléchies par rapport à leur axe fort, si elles ne sont pas maintenues latéralement. La vérification est \(M_{Ed} \le M_{b,Rd} = \chi_{LT} W_y f_y / \gamma_{M1}\).

Le calcul de \(\chi_{LT}\) est complexe et dépend de l'élancement réduit \(\bar{\lambda}_{LT}\), de la courbe de flambement appropriée, et des imperfections.

Dans cet exercice, il est indiqué de supposer un maintien latéral continu, ce qui implique \(\chi_{LT} = 1.0\). Dans ce cas, la vérification du déversement se ramène à la vérification de la résistance en flexion de la section (Question 3) si \(W_y = W_{pl,y}\) (Classe 1 ou 2) ou \(W_y = W_{el,y}\) (Classe 3).

Vérification :

Avec \(\chi_{LT} = 1.0\) et une section de Classe 1 :

\[M_{b,Rd} = 1.0 \times \frac{W_{pl,y} f_y}{\gamma_{M1}} \] \[M_{b,Rd} = \frac{628.4 \times 10^3 \times 275}{1.00} \] \[M_{b,Rd} = 172.81 \, \text{kN} \cdot \text{m}\]

Cette valeur est la même que \(M_{c,Rd}\) calculée en Q3 (car \(\gamma_{M0} = \gamma_{M1} = 1.0\)).

\[M_{Ed,max} = 114.8 \, \text{kN} \cdot \text{m} \le M_{b,Rd} = 172.8 \, \text{kN} \cdot \text{m} \quad (\text{OK})\]
Résultat Question 5 : En supposant un maintien latéral continu (\(\chi_{LT} = 1.0\)), la poutre est stable au déversement. Dans un cas réel sans maintien continu, un calcul détaillé de \(\chi_{LT}\) serait impératif.

Question 6 : Vérification de la Flèche (ELS - Combinaison Fréquente)

Principe (EC3 - 7.2.1) :

La flèche est calculée sous les combinaisons de charges de service. Pour les planchers, une limite courante pour la flèche due aux charges variables (ou la flèche totale nette) est \(L/300\).

Formules :

Charge ELS fréquente :

\[p_{ser,freq} = G_k + \psi_1 Q_k\]

Flèche maximale pour une charge répartie \(p\) sur une poutre bi-appuyée :

\[w_{max} = \frac{5 p L^4}{384 E I_y}\]

Limite de flèche : \(w_{lim} = L/300\)

Données :
  • \(G_k = 5.0 \, \text{kN/m}\)
  • \(Q_k = 8.0 \, \text{kN/m}\)
  • \(\psi_1 = 0.7\)
  • \(L = 7.0 \, \text{m} = 7000 \, \text{mm}\)
  • \(E = 210 \, 000 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(I_y = 8360 \, \text{cm}^4 = 8360 \times 10^4 \, \text{mm}^4\)
Calcul :

Charge ELS fréquente :

\[p_{ser,freq} = 5.0 + (0.7 \times 8.0) \] \[p_{ser,freq} = 5.0 + 5.6 \] \[p_{ser,freq} = 10.6 \, \text{kN/m} = 10.6 \, \text{N/mm}\]

Flèche maximale :

\[w_{max} = \frac{5 \times 10.6 \, \text{N/mm} \times (7000 \, \text{mm})^4}{384 \times 210000 \, \text{N/mm}^2 \times (8360 \times 10^4 \, \text{mm}^4)}\] \[w_{max} = \frac{5 \times 10.6 \times (2.401 \times 10^{15})}{384 \times 210000 \times 8360 \times 10^4} \] \[w_{max} \approx \frac{1.2725 \times 10^{17}}{6.741 \times 10^{15}} \] \[w_{max} \approx 18.88 \, \text{mm}\]

Limite de flèche :

\[w_{lim} = \frac{L}{300} = \frac{7000 \, \text{mm}}{300} \approx 23.33 \, \text{mm}\]

Vérification :

\[w_{max} = 18.9 \, \text{mm} \le w_{lim} = 23.3 \, \text{mm} \quad (\text{OK})\]
Résultat Question 6 : La flèche maximale sous combinaison fréquente (\(w_{max} \approx 18.9 \, \text{mm}\)) est inférieure à la limite de \(L/300 \approx 23.3 \, \text{mm}\). La poutre est acceptable vis-à-vis de la déformation.

Conclusion Générale : Le profilé IPE 300 en acier S275 est correctement dimensionné pour les charges et la portée données, tant à l'ELU (flexion, cisaillement, déversement sous hypothèse de maintien) qu'à l'ELS (flèche).

Calcul d’une poutre en acier

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