Études de cas pratique

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Calcul d’une poutre en acier

Calcul d’une poutre en acier

Comprendre le Calcul d’une poutre en acier

Vous devez concevoir une poutre en acier pour un petit pont piétonnier. La poutre doit supporter une charge uniformément répartie (UDL) provenant du poids du pont et des piétons.

Pour comprendre le Calcul des Connexions Métalliques, cliquez sur le lien.

Données:

  • Longueur de la poutre, = 10 m
  • Charge uniformément répartie, = 5 kN/m (inclut le poids propre de la poutre et la charge des piétons)
  • Matériau de la poutre : Acier S275
  • Facteurs de sécurité selon l’Eurocode
Calcul d'une poutre en acier

Questions:

1. Calculer le moment fléchissant maximal (Mmax) dans la poutre.

2. Sélectionner une section transversale appropriée pour la poutre.

3. Vérifier la résistance en flexion de la section choisie.

4. Vérifier le déplacement vertical maximal (flèche) de la poutre pour s’assurer qu’il respecte les limites acceptables.

Correction : Calcul d’une poutre en acier

1. Calcul du moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\))

Dans une poutre simplement appuyée soumise à une charge uniformément répartie (UDL), le moment fléchissant maximal se produit au centre de la poutre. La formule utilisée est :

\[ M_{\text{max}} = \frac{w \cdot L^2}{8} \]

Données :
  • \(w = 5 \, \text{kN/m} = 5 \, \text{N/mm}\)
  • \(L = 10 \, \text{m} = 10000 \, \text{mm}\)
Calcul :

\[ M_{\text{max}} = \frac{5 \cdot 10^2}{8} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{500}{8} \] \[ M_{\text{max}} = 62.5 \, \text{kNm} \] \[ M_{\text{max}} = 62.5 \times 10^6 \, \text{Nmm}. \]

Conclusion :

Le moment maximal à résister est \(62.5 \, \text{kNm}\).

2. Sélection d’une section transversale appropriée

On choisit une section en acier S275. La résistance en flexion requise est :

\[ Z_{\text{requis}} = \frac{M_{\text{max}}}{f_y/\gamma_{M0}} \]

où \(f_y = 275 \, \text{MPa}\) et \(\gamma_{M0} = 1.0\) (selon Eurocode).

Calcul :

\[ Z_{\text{requis}} = \frac{62.5 \times 10^6}{275} \] \[ Z_{\text{requis}} = 227273 \, \text{mm}^3 \] \[ Z_{\text{requis}} = 227.27 \, \text{cm}^3. \]

Choix initial :

Une IPE 220 (profilé européen) a :

  • \(Z_{\text{élastique}} = 252 \, \text{cm}^3\)
  • \(W_{\text{plastique}} = 285 \, \text{cm}^3\)
Vérification de la classe de la section (Eurocode) :
  • Semelle :

\[ \frac{c}{t_f} = \frac{(110 – 5.9)}{2 \cdot 9.2} = 5.7 < 8.28 \quad (\text{Classe 1}) \]

Âme :

\[ \frac{d}{t_w} = \frac{220 – 2 \cdot 9.2}{5.9} = 34.2 < 66.24 \quad (\text{Classe 1}) \]

→ Section Classe 1, donc utilisation de \(W_{\text{plastique}}\).

Résistance en flexion (\(M_{\text{Rd}}\)) :

\[ M_{\text{Rd}} = \frac{W_{\text{pl}} \cdot f_y}{\gamma_{M0}} \] \[ M_{\text{Rd}} = \frac{285 \times 10^3 \cdot 275}{1.0} \] \[ M_{\text{Rd}} = 78.4 \, \text{kNm} > 62.5 \, \text{kNm}. \]

Conclusion :
La IPE 220 est suffisante pour la résistance en flexion.

3. Vérification de la flèche maximale

La flèche maximale (\(\delta_{\text{max}}\)) pour une poutre simplement appuyée est :

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \cdot w \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I}. \]

Limite acceptée :

\[ \delta_{\text{limite}} = \frac{L}{250} \] \[ \delta_{\text{limite}} = \frac{10000}{250} \] \[ \delta_{\text{limite}} = 40 \, \text{mm}. \]

Données pour la IPE 220 :
  • \(I_y = 2770 \, \text{cm}^4 = 2770 \times 10^4 \, \text{mm}^4\)
  • \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
Calcul :

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \cdot 5 \cdot (10000)^4}{384 \cdot 210000 \cdot 2770 \times 10^4} \] \[ \delta_{\text{max}} = \frac{2.5 \times 10^{17}}{2.23 \times 10^{15}} \] \[ \delta_{\text{max}} \approx 112 \, \text{mm} > 40 \, \text{mm}. \]

Conclusion :
La IPE 220 ne respecte pas la limite de flèche. Il faut choisir une section plus rigide.

4. Nouvelle sélection basée sur la flèche

Choix final : IPE 330
  • \(I_y = 11770 \, \text{cm}^4 = 11770 \times 10^4 \, \text{mm}^4\)
  • \(W_{\text{plastique}} = 804 \, \text{cm}^3\)
Recalcul de la flèche :

\[ \delta_{\text{max}} = \frac{5 \cdot 5 \cdot (10000)^4}{384 \cdot 210000 \cdot 11770 \times 10^4} \] \[ \delta_{\text{max}} = \frac{2.5 \times 10^{17}}{9.5 \times 10^{15}} \] \[ \delta_{\text{max}} \approx 26.3 \, \text{mm} < 40 \, \text{mm}. \]

Vérification de la résistance :

\[ M_{\text{Rd}} = \frac{804 \times 10^3 \cdot 275}{1.0} \] \[ M_{\text{Rd}} = 221.1 \, \text{kNm} > 62.5 \, \text{kNm}. \]

Conclusion :
La IPE 330 satisfait à la fois la résistance en flexion et la limitation de flèche.

Synthèse finale

  1. Moment fléchissant maximal : \(62.5 \, \text{kNm}\).
  2. Section choisie : IPE 330 (car la flèche est souvent le critère dimensionnant pour les ponts piétonniers).
  3. Résistance validée : \(221.1 \, \text{kNm} > 62.5 \, \text{kNm}\).
  4. Flèche validée : \(26.3 \, \text{mm} < 40 \, \text{mm}\).

Remarque pédagogique :

La flèche est souvent plus contraignante que la résistance en flexion pour les structures légères. Il est crucial de toujours vérifier les deux critères !

D’autres exercices de structure métallique :

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