Études de cas pratique

EGC

Contreventement charpente métallique

Calcul des Efforts dans un Contreventement de Charpente Métallique

Calcul des Efforts dans un Contreventement de Charpente Métallique

Comprendre le Calcul des Efforts dans un Contreventement

Le contreventement est un système structural essentiel qui assure la stabilité globale d'une charpente métallique face aux efforts horizontaux, tels que le vent ou les effets sismiques. Il empêche également les déformations excessives et les phénomènes d'instabilité comme le déversement des éléments comprimés. Les systèmes de contreventement les plus courants sont les palées en croix de Saint-André (diagonales) ou les portiques rigides. Cet exercice se concentre sur le calcul de l'effort dans une diagonale d'une palée de contreventement en croix de Saint-André soumise à une charge de vent.

Données de l'étude

On étudie une palée de contreventement en croix de Saint-André dans un portique de bâtiment industriel.

Caractéristiques géométriques du portique contreventé :

  • Hauteur des poteaux du portique (\(H\)) : \(6.00 \, \text{m}\)
  • Portée du portique (distance entre poteaux) (\(L\)) : \(5.00 \, \text{m}\)

Sollicitations (ELU) :

  • Effort horizontal de calcul dû au vent, appliqué en tête des poteaux et repris par cette palée (\(F_{w,Ed}\)) : \(50 \, \text{kN}\)

Hypothèse : On considère que seule la diagonale tendue travaille pour reprendre l'effort horizontal. L'autre diagonale, sollicitée en compression, est supposée flamber et ne pas participer à la reprise de l'effort. Les articulations sont supposées parfaites aux nœuds.

Schéma : Portique avec Contreventement en Croix de Saint-André
Fw,Ed L = 5.00 m H = 6.00 m α Palée de Contreventement

Portique contreventé soumis à un effort de vent horizontal.

Questions à traiter

  1. Calculer la longueur de la diagonale tendue (\(L_{diag}\)).
  2. Calculer l'angle (\(\alpha\)) que fait la diagonale tendue avec l'horizontale (ou avec le poteau).
  3. Déterminer l'effort de traction (\(N_{diag,Ed}\)) dans la diagonale tendue.
  4. Si la diagonale est réalisée en cornière d'acier S235 (\(f_y = 235 \, \text{MPa}\)) et que sa section brute requise pour la traction est \(A_{req} = N_{diag,Ed} / (f_y / \gamma_{M0})\) avec \(\gamma_{M0}=1.0\), quelle serait cette section ? (Calcul simplifié ne tenant pas compte des assemblages ni du flambement de la barre comprimée).

Correction : Calcul des Efforts dans un Contreventement

Question 1 : Longueur de la Diagonale Tendue (\(L_{diag}\))

Principe :

La palée de contreventement forme un rectangle avec les poteaux et la traverse (ou le sol). La diagonale de ce rectangle peut être calculée en utilisant le théorème de Pythagore, car elle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont la hauteur \(H\) et la portée \(L\) du portique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[L_{diag} = \sqrt{H^2 + L^2}\]
Données spécifiques :
  • Hauteur (\(H\)) : \(6.00 \, \text{m}\)
  • Portée (\(L\)) : \(5.00 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_{diag} &= \sqrt{(6.00)^2 + (5.00)^2} \\ &= \sqrt{36.00 + 25.00} \\ &= \sqrt{61.00} \\ &\approx 7.81 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La longueur de la diagonale tendue est \(L_{diag} \approx 7.81 \, \text{m}\).

Question 2 : Angle (\(\alpha\)) de la Diagonale avec l'Horizontale

Principe :

L'angle \(\alpha\) que fait la diagonale avec l'horizontale (c'est-à-dire avec la base du portique de longueur \(L\)) peut être trouvé en utilisant les fonctions trigonométriques dans le triangle rectangle formé par \(H\), \(L\), et \(L_{diag}\). Par exemple, la tangente de l'angle \(\alpha\) est le rapport du côté opposé (la hauteur \(H\)) sur le côté adjacent (la portée \(L\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tan(\alpha) = \frac{H}{L}\] \[\alpha = \arctan\left(\frac{H}{L}\right)\]
Données spécifiques :
  • Hauteur (\(H\)) : \(6.00 \, \text{m}\)
  • Portée (\(L\)) : \(5.00 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{6.00}{5.00} \\ &= 1.20 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \alpha &= \arctan(1.20) \\ &\approx 50.19^\circ \end{aligned} \]

(Assurez-vous que votre calculatrice est en mode degrés pour obtenir le résultat en degrés).

Résultat Question 2 : L'angle de la diagonale avec l'horizontale est \(\alpha \approx 50.19^\circ\).

Question 3 : Effort de Traction (\(N_{diag,Ed}\)) dans la Diagonale Tendue

Principe :

L'effort horizontal de vent (\(F_{w,Ed}\)) appliqué en tête du portique est repris par la composante horizontale de l'effort dans la diagonale tendue. En considérant l'équilibre horizontal au nœud supérieur où la force de vent est appliquée, la force de vent doit être équilibrée par la composante horizontale de la force dans la diagonale. Si \(N_{diag,Ed}\) est la force de traction dans la diagonale, sa composante horizontale est \(N_{diag,Ed} \times \cos(\alpha)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_{w,Ed} = N_{diag,Ed} \times \cos(\alpha)\] \[N_{diag,Ed} = \frac{F_{w,Ed}}{\cos(\alpha)}\]

Alternativement, on peut utiliser la géométrie : \(\cos(\alpha) = \frac{L}{L_{diag}}\). Donc, \(N_{diag,Ed} = F_{w,Ed} \times \frac{L_{diag}}{L}\).

Données spécifiques :
  • Effort horizontal (\(F_{w,Ed}\)) : \(50 \, \text{kN}\)
  • Angle (\(\alpha\)) : \(\approx 50.19^\circ\)
  • \(\cos(50.19^\circ) \approx 0.6402\)
  • Ou : \(L = 5.00 \, \text{m}\), \(L_{diag} \approx 7.81 \, \text{m}\)
Calcul :

Avec l'angle :

\[ \begin{aligned} N_{diag,Ed} &= \frac{50 \, \text{kN}}{0.6402} \\ &\approx 78.09 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Avec les longueurs :

\[ \begin{aligned} N_{diag,Ed} &= 50 \, \text{kN} \times \frac{7.81 \, \text{m}}{5.00 \, \text{m}} \\ &= 50 \times 1.562 \\ &= 78.10 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Les légères différences sont dues aux arrondis.

Résultat Question 3 : L'effort de traction dans la diagonale tendue est \(N_{diag,Ed} \approx 78.1 \, \text{kN}\).

Question 4 : Section d'Acier Requise (\(A_{req}\)) pour la Diagonale

Principe :

Pour qu'une barre tendue résiste à un effort de traction \(N_{diag,Ed}\), sa section \(A_{req}\) doit être telle que la contrainte dans l'acier (\(N_{diag,Ed} / A_{req}\)) ne dépasse pas la résistance de calcul de l'acier en traction (\(f_{y}/\gamma_{M0}\)). La résistance de calcul est la limite d'élasticité caractéristique \(f_y\) divisée par un coefficient partiel de sécurité \(\gamma_{M0}\) (pris ici à 1.0 pour les situations d'ELU pour la résistance des sections, conformément à certaines approches simplifiées ou à l'Eurocode 3 pour les assemblages, bien que \(\gamma_{M0}\) soit généralement 1.0 pour la résistance des sections en acier).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_{req} = \frac{N_{diag,Ed}}{f_{yd}}\] \[\text{avec } f_{yd} = \frac{f_y}{\gamma_{M0}}\]

Pour l'acier S235, \(f_y = 235 \, \text{MPa}\). Si \(\gamma_{M0}=1.0\), alors \(f_{yd} = 235 \, \text{MPa}\).

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(N_{diag,Ed} \approx 78.1 \, \text{kN} = 78100 \, \text{N}\)
  • Acier S235 : \(f_y = 235 \, \text{MPa} = 235 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(\gamma_{M0} = 1.0\)
Calcul :
\[ f_{yd} = \frac{235 \, \text{N/mm}^2}{1.0} = 235 \, \text{N/mm}^2 \]
\[ \begin{aligned} A_{req} &= \frac{78100 \, \text{N}}{235 \, \text{N/mm}^2} \\ &\approx 332.34 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Conversion en cm² : \(A_{req} \approx 3.32 \, \text{cm}^2\).

Résultat Question 4 : La section brute d'acier requise pour la diagonale tendue est \(A_{req} \approx 3.32 \, \text{cm}^2\). Il faudrait ensuite choisir un profilé (cornière, tube, etc.) dont la section est supérieure ou égale à cette valeur.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Quel est le rôle principal d'un système de contreventement dans une charpente métallique ?

2. Dans une palée en croix de Saint-André soumise à un effort horizontal, comment travaillent typiquement les diagonales ?

3. Si l'angle \(\alpha\) de la diagonale avec l'horizontale augmente (la palée devient plus "verticale"), l'effort dans la diagonale pour un même effort horizontal \(F_{w,Ed}\) :

Glossaire

Contreventement
Système d'éléments structuraux (diagonales, portiques rigides) conçu pour assurer la stabilité d'une structure face aux efforts horizontaux (vent, séisme) et pour limiter les déformations latérales.
Palée de Contreventement
Plan vertical ou horizontal de la structure contenant les éléments de contreventement.
Croix de Saint-André
Système de contreventement courant formé par deux barres diagonales qui se croisent, travaillant l'une en traction et l'autre (théoriquement) en compression.
Portique
Structure plane constituée de poteaux et de traverses assemblés de manière rigide ou articulée.
Effort Horizontal de Calcul (\(F_{w,Ed}\))
Force horizontale (ex: due au vent) agissant sur la structure, calculée à l'ELU.
Diagonale Tendue
Élément d'un contreventement en croix qui est sollicité en traction sous l'effet d'une charge horizontale.
Résistance de Calcul de l'Acier (\(f_{yd}\))
Limite d'élasticité de l'acier divisée par le coefficient partiel de sécurité \(\gamma_{M0}\) (ou \(\gamma_s\)).
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité de la structure (rupture, instabilité).
Calcul des Efforts dans un Contreventement - Exercice d'Application

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