Calcul d’une Charpente Métallique
Comprendre le Calcul d’une charpente métallique
Vous êtes chargé de concevoir une charpente métallique pour un petit entrepôt. La charpente est de type portique simple avec des liaisons articulées à la base et des contreventements en X.
Pour comprendre le calcul du Contreventement charpente métallique, cliquez sur le lien.
Données
- Portée de la charpente : 12 m.
- Espacement entre les poteaux : 6 m.
- Charge permanente sur la toiture (incluant le poids propre) : qk= 1,5 kN/m2
- Charge d’exploitation (neige) : .

Questions:
1. Analyse des Charges
- Calculez les charges permanentes et d’exploitation sur un poteau.
- Calculez les moments fléchissants à la base des poteaux.
2. Vérification de la Section
- Choisissez une section de poteau et de poutre en H ou I à partir d’un catalogue de fabricant.
- Vérifiez la section choisie pour la compression en utilisant l’Eurocode 3 (EN 1993-1-1).
- Vérifiez la stabilité de la section pour le flambement en utilisant l’Eurocode 3 (EN 1993-1-1).
3. Contreventement
- Proposez un type de contreventement pour la charpente.
- Calculez les forces dans les éléments de contreventement en considérant un effet du vent de 0,6 kN/m^2 sur le côté le plus long de la charpente.
- Vérifiez les sections des contreventements.
Correction sur le Calcul d’une Charpente Métallique
1. Analyse des Charges
a. Calcul des Charges Verticales sur un Poteau
Aire tributaire par portique :
Le portique s’étend en largeur sur \(6\,\text{m}\) (espacement entre portiques) et en longueur sur \(12\,\text{m}\) (portée). Pour un portique isolé, la charge verticale est généralement répartie de façon symétrique sur les deux poteaux, de sorte que chaque poteau supporte la moitié de la charge totale appliquée sur la toiture du portique.
1. Aire totale d’un portique :
\[ A_{\text{portique}} = L \times s \] \[ A_{\text{portique}} = 12\,\text{m} \times 6\,\text{m} \] \[ A_{\text{portique}} = 72\,\text{m}^2. \]
2. Aire tributaire par poteau :
\[ A_{\text{poteau}} = \frac{A_{\text{portique}}}{2} \] \[ A_{\text{poteau}} = \frac{72}{2} = 36\,\text{m}^2. \]
3. Charges sur un poteau :
- Charge permanente :
\[ Q_{\text{perm}} = q_k \times A_{\text{poteau}} \] \[ Q_{\text{perm}} = 1,5\,\frac{\text{kN}}{\text{m}^2} \times 36\,\text{m}^2 \] \[ Q_{\text{perm}} = 54\,\text{kN}. \]
- Charge d’exploitation (neige) :
\[ Q_{\text{neige}} = q_{\text{snow}} \times A_{\text{poteau}} \] \[ Q_{\text{neige}} = 0,8\,\frac{\text{kN}}{\text{m}^2} \times 36\,\text{m}^2 \] \[ Q_{\text{neige}} = 28,8\,\text{kN}. \]
- Charge verticale totale sur le poteau :
\[ N_v = Q_{\text{perm}} + Q_{\text{neige}} \] \[ N_v = 54 + 28,8 \] \[ N_v = 82,8\,\text{kN}. \]
b. Calcul des Moments Fléchissants à la Base des Poteaux
Dans un portique rigide, la poutre supérieure supporte une charge répartie dont la réaction induit un moment négatif (de flambement inversé) aux appuis. Ce moment est transmis aux poteaux. Pour déterminer ce moment, nous pouvons procéder ainsi :
Charge linéique agissant sur la poutre
La charge uniformément répartie sur la toiture (dans le sens de la portée) est obtenue en multipliant l’intensité de charge surfacique par la largeur tributaire (ici, l’espacement entre portiques, soit 6 m) :
\[ q_{\text{linéique}} = \Bigl( q_k + q_{\text{snow}} \Bigr) \times s \] \[ q_{\text{linéique}} = \Bigl( 1,5 + 0,8 \Bigr) \times 6 \] \[ q_{\text{linéique}} = 2,3 \times 6 \] \[ q_{\text{linéique}} = 13,8\,\frac{\text{kN}}{\text{m}}. \]
Moment dans une poutre encastrée aux deux extrémités
Pour une poutre continue encastrée aux deux appuis, la formule usuelle du moment négatif aux appuis sous charge uniformément répartie est :
\[ M_{\text{appui}} = – \frac{q_{\text{linéique}} \, L^2}{12}. \]
En substituant :
\[ M_{\text{appui}} = – \frac{13,8 \times (12)^2}{12} \] \[ M_{\text{appui}} = – \frac{13,8 \times 144}{12} \] \[ M_{\text{appui}} = -13,8 \times 12 = -165,6\,\text{kNm}. \]
Le signe négatif indique la nature « concave » du moment à l’appui.
Ce moment (en valeur absolue) est transmis aux poteaux par le système rigide.
Conséquence pour les poteaux
Ainsi, le moment fléchissant à la base des poteaux dû aux charges verticales est de l’ordre de :
\[ M_{\text{base}} \approx 165,6\,\text{kNm}. \]
Remarque : Dans un calcul complet, on pourrait également tenir compte d’effets complémentaires (comme la portée effective du poteau, la continuité de la poutre, etc.), mais cette approche simplifiée est suffisante pour cet exercice.
2. Vérification de la Section des Poteaux et des Poutres
L’objectif est de choisir une section commerciale (en I ou en H) et de vérifier que ses capacités en compression et en flambement (stabilité) sont adéquates au regard des charges.
a. Choix d’une Section Type
Par exemple, nous pouvons sélectionner un profilé en I de type IPE 300 (valeurs indicatives – à vérifier dans un catalogue de fabricant) dont les caractéristiques typiques sont :
- Aire effective, \( A = 8,1 \times 10^{-3}\,\text{m}^2 \) (soit 81 cm\(^2\)).
- Moment d’inertie (axe fort), \( I = 2,0 \times 10^{-5}\,\text{m}^4 \).
- Limite d’élasticité, \( f_y = 355\,\text{MPa} \).
- Module d’élasticité, \( E = 210\,000\,\text{MPa} \).
b. Vérification en Compression
La résistance en compression (sans flambement) est donnée par :
\[ N_{Rd} = \frac{A \cdot f_y}{\gamma_{M1}}, \]
où \(\gamma_{M1}\) est le coefficient partiel (typiquement 1,0 à 1,1). En prenant \(\gamma_{M1} = 1,0\) :
\[ N_{Rd} = 8,1 \times 10^{-3}\,\text{m}^2 \times 355 \times 10^6\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2} \] \[ N_{Rd} \approx 2,875 \times 10^6\,\text{N} \] \[ N_{Rd} = 2875\,\text{kN}. \]
Comparé à la charge verticale appliquée \(N_v = 82,8\,\text{kN}\), la section est largement suffisante en compression.
c. Vérification de la Stabilité (Flambement)
1. Calcul du Rayon de Giration:
Le rayon de giration est défini par :
\[ r = \sqrt{\frac{I}{A}}. \]
En substituant :
\[ r = \sqrt{\frac{2,0 \times 10^{-5}}{8,1 \times 10^{-3}}} \] \[ r \approx \sqrt{2,47 \times 10^{-3}} \] \[ r \approx 0,0497\,\text{m} \quad (\approx 50\,\text{mm}). \]
2. Élancement et Charge Critique:
En présence de conditions d’appui (par exemple, une base encastrée et un appui semi-rigide en haut), l’élancement effectif \(L_{\text{eff}}\) peut être inférieur à la hauteur totale. Supposons, par prudence, \(L_{\text{eff}} = 3\,\text{m}\). Le coefficient d’élancement est alors :
\[ \lambda = \frac{L_{\text{eff}}}{r} = \frac{3}{0,05} = 60. \]
Ce rapport (\(\lambda \approx 60\)) est très faible pour un profilé en acier (les limites de flambement selon Eurocode sont de l’ordre de 200–300), ce qui indique que la section est bien protégée contre le flambement.
De plus, la charge critique d’Euler est :
\[ N_{cr} = \frac{\pi^2 \, E \, I}{(L_{\text{eff}})^2}. \]
En substituant \(E = 210 \times 10^9\,\text{N/m}^2\), \(I = 2,0 \times 10^{-5}\,\text{m}^4\) et \(L_{\text{eff}} = 3\,\text{m}\) :
\[ N_{cr} = \frac{\pi^2 \times 210 \times 10^9 \times 2,0 \times 10^{-5}}{9} \] \[ N_{cr} \approx \frac{(9,87)(210 \times 10^9)(2,0 \times 10^{-5})}{9}. \] \[ N_{cr} = 4,6 \times 10^6\,\text{N} = \textbf{4600\,kN} \]
Ce résultat est plusieurs dizaines de fois supérieur à la charge de compression appliquée (82,8 kN), ce qui confirme que le risque de flambement est négligeable pour cette section.
3. Dimensionnement du Contreventement
Afin de stabiliser le portique contre les charges latérales (notamment le vent), un contreventement en X est souvent utilisé.
a. Proposition de Système de Contreventement
- Type retenu : Un contreventement en diagonale (disposé en « X ») reliant les poteaux du portique.
- Fonction : Assurer la stabilité latérale et résister aux efforts horizontaux induits par le vent.
b. Calcul des Efforts dans le Contreventement (Effet du Vent)
1. Détermination de la Charge Horizontale Totale:
La face la plus longue de l’entrepôt (de dimension 12 m × 6 m) est exposée au vent.
- Aire de la façade :
\[ A_{\text{façade}} = 12\,\text{m} \times 6\,\text{m} = 72\,\text{m}^2. \]
- Force de vent totale :
\[ F_{v} = q_v \times A_{\text{façade}} \] \[ F_{v} = 0,6\,\frac{\text{kN}}{\text{m}^2} \times 72\,\text{m}^2 \] \[ F_{v} = 43,2\,\text{kN}. \]
2. Distribution de la Charge et Calcul du Moment Induit
Le vent engendre également un moment de renversement. En supposant que la force de vent agit à la hauteur du toit (\(H = 4\,\text{m}\)) :
\[ M_{v} = F_{v} \times H \] \[ M_{v} = 43,2\,\text{kN} \times 4\,\text{m} \] \[ M_{v} = 172,8\,\text{kNm}. \]
Dans un portique symétrique, cette force horizontale sera répartie également sur les deux poteaux. Ainsi, la réaction horizontale sur chaque poteau est environ :
\[ F_{h} = \frac{F_{v}}{2} = \frac{43,2}{2} = 21,6\,\text{kN}. \]
3. Effort Axial dans une Diagonale du Contreventement
Considérons que le contreventement en X se compose de deux diagonales. Pour l’une d’entre elles, l’effort à compenser est (en projection horizontale) la moitié de \(F_v\), soit \(21,6\, \text{kN}\)
Pour déterminer l’effort axial réel dans le diagonal, il faut tenir compte de l’angle que fait le diagonal avec l’horizontale.
- Géométrie du contreventement :
– Portée horizontale entre poteaux : \(12\,\text{m}\).
– Différence de hauteur : \(4\,\text{m}\).
– Longueur du diagonal :
\[ L_{\text{diag}} = \sqrt{12^2 + 4^2} \] \[ L_{\text{diag}} = \sqrt{144 + 16} \] \[ L_{\text{diag}} = \sqrt{160} \] \[ L_{\text{diag}} \approx 12,65\,\text{m}. \]
- Angle \(\alpha\) entre le diagonal et l’horizontale :
\[ \cos\alpha = \frac{\text{composante horizontale}}{L_{\text{diag}}} \] \[ \cos\alpha = \frac{12}{12,65} \approx 0,948. \]
- Effort axial dans le diagonal :
\[ F_{\text{diag}} = \frac{F_{h}}{\cos\alpha} \] \[ F_{\text{diag}} = \frac{21,6\,\text{kN}}{0,948} \approx 22,8\,\text{kN}. \]
3. Vérification de la Section du Contreventement
On choisira un profilé léger (par exemple, un tube rectangulaire ou circulaire) dont la section effective devra résister à une charge axiale de 22,8 kN.
Si, par exemple, on opte pour une section avec une aire effective \( A_{\text{eff}} \) d’environ 1000\,mm\(^2\) (soit 0,001\,m\(^2\)), la contrainte moyenne dans le matériau sera :
\[ \sigma = \frac{F_{\text{diag}}}{A_{\text{eff}}} \] \[ \sigma = \frac{22,8 \times 10^3\,\text{N}}{0,001\,\text{m}^2} = 22,8\,\text{MPa}. \]
Cette contrainte est très faible par rapport à la limite d’élasticité de l’acier (typiquement 250–355 MPa), ce qui confirme que la section du contreventement est satisfaisante.
Calcul d’une Charpente Métallique
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