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Calcul de la Capacité d’un Assemblage par Boulons

Calcul de la Capacité d'un Assemblage par Boulons en Acier

Calcul de la Capacité d'un Assemblage par Boulons en Acier (Eurocode 3)

Comprendre le Dimensionnement des Assemblages

Les assemblages boulonnés sont les "articulations" des structures métalliques. Leur défaillance peut entraîner l'effondrement de l'ensemble de l'ouvrage, d'où l'importance capitale de leur dimensionnement. Selon l'Eurocode 3Ensemble de normes européennes (EN 1993) pour la conception et le calcul des structures en acier. Il définit les règles de sécurité, de service et de durabilité., la vérification d'un assemblage simple en traction/cisaillement implique l'analyse de plusieurs modes de ruine potentiels. Les plus courants pour le connecteur et la zone proche sont la rupture par cisaillement du boulon et la rupture par pression diamétrale de la tôle.

Remarque Pédagogique : Dans cet exercice, nous nous concentrons sur les modes de ruine liés au corps du boulon et au contact boulon/tôle. Une analyse complète inclurait aussi la vérification de la résistance de la section nette de la tôle (rupture en traction loin des trous) et la rupture par cisaillement de bloc. Nous simplifions ici pour nous focaliser sur les calculs de base du connecteur.

Données de l'étude

On étudie l'assemblage à simple recouvrement ci-dessous, soumis à un effort de traction N. L'assemblage est réalisé avec 4 boulons disposés en deux rangées.

Caractéristiques des matériaux et de la géométrie :

  • Nuance de l'acier des tôles : S 235 (\(f_{\text{u}} = 360 \, \text{MPa}\))
  • Épaisseur des tôles (\(t\)) : \(10 \, \text{mm}\)
  • Classe des boulons : 8.8 (\(f_{\text{ub}} = 800 \, \text{MPa}\))
  • Diamètre des boulons (\(d\)) : \(20 \, \text{mm}\)
  • Diamètre des trous (\(d_0\)) : \(22 \, \text{mm}\)
  • Distances : Pince amont (\(e_1\)) = 40 mm, Pince latérale (\(e_2\)) = 35 mm, Entraxe (\(p_1\)) = 70 mm
  • Coefficient de sécurité partiel (Eurocode 3) : \(\gamma_{\text{M2}} = 1.25\)
Schéma de l'assemblage à simple recouvrement
N N p1=70 e2=35

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance au cisaillement d'un boulon (\(F_{\text{v,Rd}}\)).
  2. Calculer la résistance à la pression diamétrale d'un boulon (\(F_{\text{b,Rd}}\)).
  3. Déterminer la résistance d'un seul boulon dans cet assemblage.
  4. Calculer la résistance totale de l'assemblage (\(N_{\text{Rd}}\)).

Question 1 : Résistance au Cisaillement (\(F_{\text{v,Rd}}\))

Principe :
Animation de la rupture par cisaillement d'un boulon

La résistance au cisaillementCapacité d'un boulon à résister à des forces qui tendent à le couper transversalement, à travers sa section. est la capacité du boulon à résister à l'effort qui tend à le "cisailler" ou le couper en deux (ou plus) au niveau de l'interface entre les tôles. Elle dépend de la résistance intrinsèque de l'acier du boulon (\(f_{\text{ub}}\)) et de l'aire de sa section cisaillée.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le coefficient \(\alpha_v\) dépend de la classe d'acier du boulon. Pour la classe 8.8, on utilise 0.6. On utilise aussi l'aire de la section résistante du boulon, \(A_s\), qui tient compte de la réduction de section due aux filets. Elle est généralement donnée par les fabricants ou les normes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{\text{v,Rd}} = \frac{\alpha_{\text{v}} \cdot f_{\text{ub}} \cdot A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \]
Données(s) :
  • Classe du boulon : 8.8 \(\Rightarrow f_{\text{ub}} = 800 \, \text{MPa}\)
  • \(\alpha_{\text{v}}\) : \(0.6\)
  • Aire résistante (M20) (\(A_{\text{s}}\)) : \(245 \, \text{mm}^2\)
  • Coefficient de sécurité (\(\gamma_{\text{M2}}\)) : \(1.25\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} F_{\text{v,Rd}} &= \frac{0.6 \times 800 \, \text{N/mm}^2 \times 245 \, \text{mm}^2}{1.25} \\ &= \frac{117600 \, \text{N}}{1.25} \\ &= 94080 \, \text{N} \approx 94.1 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance au cisaillement d'un boulon est \(F_{\text{v,Rd}} \approx 94.1 \, \text{kN}\).

Question 2 : Résistance à la Pression Diamétrale (\(F_{\text{b,Rd}}\))

Principe :
Animation de la rupture par pression diamétrale

La résistance à la pression diamétraleCapacité de la tôle à résister à l'écrasement ou au déchirement local causé par la pression du corps du boulon contre le bord du trou. est la capacité de la tôle à résister à l'écrasement local par le boulon. Elle dépend de la géométrie de l'assemblage (distances aux bords et entraxes) et de la résistance de l'acier des tôles (\(f_{\text{u}}\)).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Les coefficients \(k_1\) et \(\alpha_b\) sont cruciaux. Ils réduisent la résistance de base pour prendre en compte les risques de déchirement de la tôle si les boulons sont trop près des bords (\(e_1\), \(e_2\)) ou trop près les uns des autres (\(p_1\)). Un bon design géométrique maximise ces coefficients (et donc la résistance).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{\text{b,Rd}} = \frac{k_1 \cdot \alpha_{\text{b}} \cdot f_{\text{u}} \cdot d \cdot t}{\gamma_{\text{M2}}} \]

Avec \(\alpha_{\text{b}} = \min\left(\frac{e_1}{3d_0} ; \frac{p_1}{3d_0} - \frac{1}{4} ; \frac{f_{\text{ub}}}{f_{\text{u}}} ; 1.0\right)\) et \(k_1 = \min\left(2.8\frac{e_2}{d_0} - 1.7 ; 2.5\right)\)

Calcul(s) :

1. Calcul du coefficient \(\alpha_{\text{b}}\)

\[ \begin{aligned} \alpha_{\text{b}} &= \min\left( \frac{40}{3 \times 22} \,;\, \frac{70}{3 \times 22} - 0.25 \,;\, \frac{800}{360} \,;\, 1.0 \right) \\ &= \min(0.606 \,;\, 1.06 - 0.25 \,;\, 2.22 \,;\, 1.0) \\ &= \min(0.606 \,;\, 0.81 \,;\, 2.22 \,;\, 1.0) \\ &= 0.606 \end{aligned} \]

2. Calcul du coefficient \(k_1\)

\[ \begin{aligned} k_1 &= \min\left( 2.8 \times \frac{35}{22} - 1.7 \,;\, 2.5 \right) \\ &= \min(4.45 - 1.7 \,;\, 2.5) \\ &= \min(2.75 \,;\, 2.5) \\ &= 2.5 \end{aligned} \]

3. Calcul de la résistance \(F_{\text{b,Rd}}\)

\[ \begin{aligned} F_{\text{b,Rd}} &= \frac{2.5 \times 0.606 \times 360 \, \text{N/mm}^2 \times 20 \, \text{mm} \times 10 \, \text{mm}}{1.25} \\ &= \frac{109080 \, \text{N}}{1.25} \\ &= 87264 \, \text{N} \approx 87.3 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance à la pression diamétrale par boulon est \(F_{\text{b,Rd}} \approx 87.3 \, \text{kN}\).

Question 3 : Résistance d'un Boulon

Principe :
Choix du mode de ruine critique \(F_{v,Rd}\) \(F_{b,Rd}\) min

La résistance d'un boulon dans un assemblage est la plus petite des valeurs calculées pour les différents modes de ruine. L'assemblage cédera selon le mode le plus faible, c'est le "maillon faible" qui dicte la résistance globale.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Dans ce cas, la pression diamétrale (\(87.3 \, \text{kN}\)) est inférieure au cisaillement (\(94.1 \, \text{kN}\)). C'est donc la tôle qui cédera par écrasement avant que le boulon ne se cisaille. On dit que l'assemblage est "critique en pression diamétrale". Pour optimiser l'assemblage, on pourrait augmenter les distances aux bords (\(e_1, e_2\)) ou l'épaisseur de la tôle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ F_{\text{Rd}} = \min(F_{\text{v,Rd}} \,;\, F_{\text{b,Rd}}) \]
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} F_{\text{Rd}} &= \min(94.1 \, \text{kN} \,;\, 87.3 \, \text{kN}) \\ &= 87.3 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La résistance d'un seul boulon est de \(87.3 \, \text{kN}\).

Question 4 : Résistance Totale de l'Assemblage

Principe :
Multiplication de la résistance \(F_{Rd}\) x 4

En supposant une distribution uniforme des efforts, la résistance totale de l'assemblage est simplement la résistance du boulon le plus faible multipliée par le nombre total de boulons.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'hypothèse de distribution uniforme est valide pour les assemblages courts et rigides comme celui-ci. Pour des assemblages très longs (avec de nombreuses rangées de boulons), les boulons aux extrémités de l'assemblage sont plus chargés que ceux au centre. L'Eurocode 3 propose alors des facteurs de réduction pour tenir compte de cet effet.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ N_{\text{Rd}} = n \times F_{\text{Rd}} \]
Données(s) :
  • Résistance d'un boulon (\(F_{\text{Rd}}\)) : \(87.3 \, \text{kN}\)
  • Nombre de boulons (\(n\)) : 4
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} N_{\text{Rd}} &= 4 \times 87.3 \, \text{kN} \\ &= 349.2 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La résistance de calcul de l'assemblage est \(N_{\text{Rd}} \approx 349 \, \text{kN}\).

À quoi correspondent 349 kN ?

C'est une force équivalente au poids d'environ 35 tonnes, soit le poids d'un camion semi-remorque à vide ! Cet assemblage, avec seulement quatre boulons, peut donc ancrer des poutres de grande taille.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre Valeur Calculée (par boulon)
Résistance au cisaillement (\(F_{\text{v,Rd}}\)) Cliquez pour révéler
Résistance à la pression diamétrale (\(F_{\text{b,Rd}}\)) Cliquez pour révéler
Résistance de calcul d'un boulon (\(F_{\text{Rd}}\)) Cliquez pour révéler
Résistance totale de l'assemblage (4 boulons) Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Recalculez la résistance totale de l'assemblage (\(N_{\text{Rd}}\)) en utilisant des boulons de classe **10.9** (\(f_{\text{ub}} = 1000 \, \text{MPa}\)). Attention, le mode de ruine critique pourrait changer !

Pièges à Éviter

Unités : Le piège classique ! Assurez-vous d'être cohérent. Si vous utilisez des MPa (N/mm²), toutes vos longueurs doivent être en mm. Le résultat sera alors en Newtons.

Aire du boulon : Pour le cisaillement, on utilise l'aire résistante du boulon (\(A_{\text{s}}\), dans la partie filetée), pas l'aire nominale (\(\pi d^2 / 4\)), car la rupture se produit souvent dans le filet.

Épaisseur (\(t\)) : Pour la pression diamétrale, si les tôles assemblées ont des épaisseurs différentes, on utilise toujours la plus faible des deux.

Simulation Interactive de la Résistance

Variez les paramètres pour voir quel mode de ruine devient critique et comment la résistance évolue.

Paramètres de Simulation
Résistance par Boulon (\(F_{\text{Rd}}\))
Cisaillement (\(F_{\text{v,Rd}}\))
Pression Diamétrale (\(F_{\text{b,Rd}}\))
Résistance Critique

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Assemblage à double recouvrement : Si on ajoutait un second couvre-joint, le boulon serait cisaillé sur deux plans. La résistance au cisaillement (\(F_{\text{v,Rd}}\)) doublerait, rendant probablement la pression diamétrale beaucoup plus critique.

2. Rupture de la section nette : L'effort de traction doit aussi pouvoir passer dans la tôle "affaiblie" par les trous. Il faut vérifier que \(N_{\text{net,Rd}} = A_{\text{net}} \cdot f_{\text{u}} / \gamma_{\text{M2}}\) est supérieur à l'effort appliqué. \(A_{\text{net}}\) est l'aire de la tôle moins l'aire des trous.

3. Assemblages précontraints (HR) : On peut serrer les boulons très fort (précontrainte) pour que les tôles soient "collées" l'une à l'autre par friction. L'effort passe alors par friction avant de cisailler les boulons. C'est un assemblage à l'état limite de service (ELS) anti-glissement, qui se calcule différemment.

Le Saviez-Vous ?

La Tour Eiffel n'est pas assemblée par des boulons mais par environ 2.5 millions de rivets ! Posés à chaud, les rivets se contractent en refroidissant, créant une force de serrage (précontrainte) qui maintient les pièces en place par friction, un ancêtre de nos boulons précontraints modernes.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est la différence entre un boulon 8.8 et 10.9 ?

Les chiffres indiquent les propriétés mécaniques. Pour un boulon 8.8 : le premier '8' signifie une résistance à la rupture \(f_{\text{ub}} \ge 800 \, \text{MPa}\). Le second '8' signifie que la limite d'élasticité \(f_{\text{yb}}\) est 80% de la résistance à la rupture (soit 640 MPa). Pour un 10.9, on a \(f_{\text{ub}} \ge 1000 \, \text{MPa}\) et \(f_{\text{yb}} \ge 900 \, \text{MPa}\). Les boulons 10.9 sont donc plus résistants mais aussi moins ductiles.

Pourquoi utiliser \(\gamma_{\text{M2}}\) et pas un autre facteur ?

L'Eurocode 3 définit plusieurs facteurs de sécurité partiels. \(\gamma_{\text{M0}}\) (souvent 1.0) est pour la résistance des sections. \(\gamma_{\text{M1}}\) (souvent 1.0) est pour la stabilité. \(\gamma_{\text{M2}}\) (1.25) est spécifiquement utilisé pour la résistance des assemblages (boulons, soudures, rivets), car on considère que l'incertitude sur la résistance et la mise en œuvre d'un assemblage est plus élevée que sur une poutre laminée en usine.

Que se passe-t-il si l'effort est excentré ?

Si l'effort de traction n'est pas appliqué au centre de gravité du groupe de boulons, il crée un moment en plus de la force. Ce moment génère des efforts de cisaillement supplémentaires dans les boulons les plus éloignés. Le calcul devient plus complexe, car il faut combiner le cisaillement dû à la traction et celui dû au moment pour trouver le boulon le plus sollicité.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente l'épaisseur des tôles (\(t\)), quelle résistance est directement améliorée ?

2. Un assemblage est dimensionné de manière "équilibrée" lorsque :

Glossaire

Résistance au cisaillement (\(F_{\text{v,Rd}}\))
Capacité d'un boulon à résister à des forces qui tendent à le couper transversalement, à travers sa section.
Résistance à la pression diamétrale (\(F_{\text{b,Rd}}\))
Capacité de la tôle à résister à l'écrasement ou au déchirement local causé par la pression du corps du boulon contre le bord du trou.
Eurocode 3 (EN 1993)
Ensemble de normes européennes pour la conception et le calcul des structures en acier. Il définit les règles de sécurité, de service et de durabilité.
Limite de rupture (\(f_{\text{u}}\), \(f_{\text{ub}}\))
Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter en traction avant de rompre. \(f_{\text{u}}\) pour l'acier des tôles, \(f_{\text{ub}}\) pour l'acier des boulons.
Capacité d'un Assemblage - Exercice d'Application (EC3)

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