Études de cas pratique

EGC

Calcul du flambement d’une colonne

Calcul du flambement

Comprendre le calcul du flambement

Vous êtes ingénieur en structure et devez concevoir une colonne en acier pour soutenir une partie d’un bâtiment. La colonne doit avoir une hauteur de 4 mètres et supporter une charge axiale de 150 kN. L’objectif est de déterminer si la colonne est suffisamment résistante au flambement selon l’Eurocode 3.

Pour comprendre le Calcul des Dimensions d’un Poteau en Béton, cliquez sur le lien.

Données:

  • Longueur de la colonne : \( L = 4 \, \text{m} \)
  • Charge axiale : \( F = 150 \, \text{kN} \)
  • Matériau : Acier S275
  • Section transversale : profil HEB 200
  • Conditions de liaison : encastrement en bas et pivot en haut
calcul du flambement

Questions:

1. Calculer la longueur de flambement effective \( L_{\text{ef}} \).

2. Déterminer le rayon de giration \( i \) pour la section HEB 200 en acier S275.

3. Calculer l’élancement \( \lambda \) de la colonne.

4. Trouver la valeur de la contrainte critique de flambement \( \sigma_{\text{cr}} \) selon l’Eurocode 3.

5. Vérifier si la colonne est adéquate pour la charge donnée.

Correction : calcul du flambement

1. Calcul de la longueur de flambement effective \(L_{ef}\)

La longueur de flambement effective dépend des conditions de liaison de la colonne.

  • Conditions données : Encastrement en bas (rotation bloquée) et pivot en haut (rotation libre).
  • Selon l’Eurocode, le coefficient de longueur effective \(k\) pour ces conditions est \(k=0.7\).
Formule :

\[ L_{ef} = k \cdot L \]

Données :
  • \(L = 4 \, \text{m} = 4000 \, \text{mm},\)
  • \(k = 0.7.\)
Calcul :

\[ L_{ef} = 0.7 \times 4000 \] \[ L_{ef} = 2800 \, \text{mm} = 2.8 \, \text{m}. \]

Conclusion :
La longueur de flambement effective est \(L_{ef} = 2.8 \, \text{m}.\).

2. Détermination du rayon de giration \(i\) pour le profil HEB 200

Le rayon de giration \(i\) est une caractéristique géométrique de la section transversale. Pour les profilés en H, il existe deux rayons de giration :

  • \( i_y \) (axe fort),
  • \( i_z \) (axe faible).

Le flambement se produit généralement selon l’axe de plus faible rigidité (axe \(z-\)), donc on utilise \(i_z\).

Données (tirées des tables de profilés acier) :
  • \( i_z = 50.1 \, \text{mm} \) pour le HEB 200.

Conclusion :
Le rayon de giration à utiliser est \(i = 50.1 \, \text{mm}\).

3. Calcul de l’élancement \(\lambda\)

L’élancement \(\lambda\) caractérise la sensibilité au flambement. Il est défini par :

\[ \lambda = \frac{L_{ef}}{i}. \]

Données :
  • \(L_{ef} = 2800 \, \text{mm},\)
  • \(i = 50.1 \, \text{mm}.\)
Calcul :

\[ \lambda = \frac{2800}{50.1} \approx 55.89. \]

Conclusion :
L’élancement de la colonne est \(\lambda \approx 55.89\).

4. Calcul de la contrainte critique de flambement \(\sigma_{cr}\)

La contrainte critique de flambement élastique est donnée par la formule d’Euler :

\[ \sigma_{cr} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2}. \]

Données :
  • \(E = 210000 \, MPa\) (module d’élasticité de l’acier S275),
  • \(\lambda = 55.89.\)
Calcul :

\[ \sigma_{cr} = \frac{\pi^2 \times 210000}{55.89^2} \] \[ \sigma_{cr} = \frac{9.8696 \times 210000}{3123.9} \] \[ \sigma_{cr} \approx 663.7 \, MPa. \]

Conclusion :
La contrainte critique de flambement est \(\sigma_{cr} \approx 663.7 \, MPa\).

5. Vérification de la résistance au flambement

Méthode Eurocode 3 :

La résistance au flambement \(N_{b,Rd}\) se calcule avec :

\[ N_{b,Rd} = \chi \cdot A \cdot \frac{f_y}{\gamma_{M1}}. \]

où :

  • \(\chi\) : coefficient de réduction (dépend de l’élancement),
  • \(A\) : aire de la section transversale,
  • \(f_y = 275 \, MPa\) (limite élastique de l’acier S275),
  • \(\gamma_{M1} = 1.0\) (facteur de sécurité partiel).
a. Calcul de l’élancement réduit \(\bar{\lambda}\) :

\[ \bar{\lambda} = \frac{\lambda}{\lambda_1}, \]

avec \(\lambda_1 = 93.9 \cdot \epsilon\) et \(\epsilon = \frac{235}{f_y}.\)

\[ \epsilon = \frac{235}{275} \] \[ \epsilon \approx 0.924 \Rightarrow \lambda_1 \] \[ \epsilon = 93.9 \times 0.924 \approx 86.6. \]

\[ \bar{\lambda} = \frac{55.89}{86.6} \approx 0.645. \]

b. Détermination de \(\chi\) (courbe de flambement b) :
  • Pour \(\bar{\lambda} = 0.645\) et courbe b (\(\alpha = 0.34\)) :

\[ \phi = 0.5 \left[ 1 + \alpha (\bar{\lambda} – 0.2) + \bar{\lambda}^2 \right] \] \[ \phi \approx 0.784. \]

\[ \chi = \frac{1}{\phi + \frac{\phi^2 – \bar{\lambda}^2}{1}} \] \[ \chi \approx 0.813. \]

c. Calcul de \(N_{b,Rd}\) :
  • Aire de la section HEB 200 : \(A = 78.1 \, \text{cm}^2 = 7810 \, \text{mm}^2\).

\[ N_{b,Rd} = 0.813 \times 7810 \times 275 \] \[ N_{b,Rd} = 1744 \, \text{kN}. \]

Comparaison avec la charge appliquée :

  • Charge axiale \(F = 150 \, \text{kN}\)
  • \(150 \, kN < 1744 \, \text{kN}\) ✔️.

Conclusion :
La colonne HEB 200 en acier S275 est largement suffisante pour supporter la charge de \(150 \, \text{kN}\).

Calcul du flambement

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