Études de cas pratique

EGC

Connexion des Éléments Métalliques

Calcul des Connexions Métalliques : Vérification d'un Assemblage Boulonné

Calcul des Connexions Métalliques : Vérification d'un Assemblage Boulonné

Comprendre le Calcul des Connexions Métalliques

Les connexions sont des points critiques dans les structures métalliques, car elles assurent le transfert des efforts entre les différents éléments (poutres, poteaux, etc.). Le dimensionnement correct des assemblages boulonnés est essentiel pour garantir la sécurité et la stabilité de l'ensemble de la structure. Il s'agit de vérifier que l'assemblage peut résister aux efforts de calcul (traction, cisaillement, ou une combinaison) sans dépasser les capacités des boulons ou des pièces assemblées. Cet exercice se concentre sur la vérification d'un assemblage simple soumis à un effort de traction, en calculant la résistance des boulons au cisaillement et la résistance des plats à la pression diamétrale.

Données de l'étude

On étudie un assemblage à simple recouvrement constitué de deux plats en acier S275, assemblés par une file de 3 boulons de classe 8.8. L'assemblage est soumis à un effort de traction centré à l'État Limite Ultime (ELU).

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Épaisseur du plat 1 (\(t_1\)) : \(10 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur du plat 2 (\(t_2\)) : \(12 \, \text{mm}\)
  • Diamètre des boulons (\(d\)) : \(20 \, \text{mm}\) (M20)
  • Diamètre des trous pour les boulons (\(d_0\)) : \(22 \, \text{mm}\) (standard pour M20)
  • Nombre de boulons (\(n_{bolts}\)) : 3 (disposés en une seule file)
  • Acier des plats : S275 (\(f_y = 275 \, \text{MPa}\), \(f_u = 410 \, \text{MPa}\))
  • Boulons : Classe 8.8 (\(f_{ub} = 800 \, \text{MPa}\) - résistance à la rupture de l'acier du boulon)
  • Aire résistante au cisaillement d'un boulon M20 (\(A_s\)) : \(245 \, \text{mm}^2\) (valeur tabulée)
  • Coefficients partiels de sécurité (Eurocode 3) : \(\gamma_{M2} = 1.25\) (pour la résistance des assemblages)
  • Coefficient \(\alpha_v\) pour le cisaillement des boulons : \(0.6\) (pour classe 8.8)
  • Pour la pression diamétrale, on prendra (simplification pour cet exercice, les valeurs réelles dépendent des pinces et entraxes) :
    • \(k_1 = 2.5\)
    • \(\alpha_b = 0.8\) (valeur indicative, à calculer en fonction de \(e_1, p_1, d_0\))

Sollicitations (ELU) :

  • Effort de traction de calcul appliqué à l'assemblage (\(N_{Ed}\)) : \(280 \, \text{kN}\)
Schéma : Assemblage Boulonné à Simple Recouvrement
Plat 1 (t1) N_Ed Plat 2 (t2) N_Ed (3 boulons M20) Assemblage Simple Recouvrement

Deux plats en acier assemblés par une file de boulons, soumis à un effort de traction.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance de calcul au cisaillement d'un seul boulon (\(F_{v,Rd}\)).
  2. Déterminer l'épaisseur déterminante (\(t_{min}\)) pour le calcul de la pression diamétrale.
  3. Calculer la résistance de calcul à la pression diamétrale par boulon (\(F_{b,Rd}\)) sur le plat le plus faible.
  4. Déterminer la résistance de calcul d'un boulon pour cet assemblage (\(F_{1,Rd}\)), qui est la plus petite des deux résistances (cisaillement et pression diamétrale).
  5. Calculer la résistance totale de calcul de l'assemblage boulonné (\(N_{joint,Rd}\)).
  6. Vérifier si l'assemblage est adéquat pour reprendre l'effort \(N_{Ed}\).

Correction : Calcul des Connexions Métalliques – Vérification d'un Assemblage Boulonné

Question 1 : Résistance de Calcul au Cisaillement d'un Boulon (\(F_{v,Rd}\))

Principe :

La résistance au cisaillement d'un boulon dépend de la résistance ultime de l'acier du boulon (\(f_{ub}\)), de son aire résistante au cisaillement (\(A_s\)), d'un coefficient \(\alpha_v\) lié à la classe du boulon, et du coefficient partiel de sécurité \(\gamma_{M2}\). Pour un assemblage à simple cisaillement, chaque boulon travaille sur un seul plan de cisaillement.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3) :
\[F_{v,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}\]
Données spécifiques :
  • \(\alpha_v = 0.6\) (pour classe 8.8)
  • \(f_{ub} = 800 \, \text{MPa} = 800 \, \text{N/mm}^2\) (pour classe 8.8)
  • \(A_s = 245 \, \text{mm}^2\) (pour M20)
  • \(\gamma_{M2} = 1.25\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_{v,Rd} &= \frac{0.6 \times 800 \, \text{N/mm}^2 \times 245 \, \text{mm}^2}{1.25} \\ &= \frac{480 \times 245}{1.25} \, \text{N} \\ &= \frac{117600}{1.25} \, \text{N} \\ &= 94080 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kN : \(F_{v,Rd} = 94.08 \, \text{kN}\).

Résultat Question 1 : La résistance de calcul au cisaillement d'un boulon est \(F_{v,Rd} = 94.08 \, \text{kN}\).

Question 2 : Épaisseur Déterminante (\(t_{min}\)) pour la Pression Diamétrale

Principe :

La résistance à la pression diamétrale (ou contact) est limitée par la pièce la plus faible de l'assemblage. Dans un assemblage à simple recouvrement avec deux plats d'épaisseurs \(t_1\) et \(t_2\), l'épaisseur déterminante (\(t_{min}\)) est la plus petite de ces deux épaisseurs, car c'est cette pièce qui cédera en premier par écrasement sous le boulon.

Formule(s) utilisée(s) :
\[t_{min} = \min(t_1, t_2)\]
Données spécifiques :
  • Épaisseur du plat 1 (\(t_1\)) : \(10 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur du plat 2 (\(t_2\)) : \(12 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ t_{min} = \min(10 \, \text{mm}, 12 \, \text{mm}) = 10 \, \text{mm} \]
Résultat Question 2 : L'épaisseur déterminante pour la pression diamétrale est \(t_{min} = 10 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si les deux plats avaient une épaisseur de 15 mm, quelle serait \(t_{min}\) ?

Question 3 : Résistance de Calcul à la Pression Diamétrale par Boulon (\(F_{b,Rd}\))

Principe :

La résistance à la pression diamétrale (\(F_{b,Rd}\)) est la capacité de la pièce assemblée à résister à l'écrasement local dû à la pression exercée par le corps du boulon. Elle dépend de la résistance ultime de l'acier du plat (\(f_u\)), du diamètre du boulon (\(d\)), de l'épaisseur déterminante (\(t_{min}\)), et de coefficients (\(k_1, \alpha_b\)) qui tiennent compte des distances aux bords et des entraxes (pinces et pas). On divise ensuite par le coefficient partiel de sécurité \(\gamma_{M2}\).

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 3, simplifiée) :
\[F_{b,Rd} = \frac{k_1 \alpha_b f_u d t_{min}}{\gamma_{M2}}\]
Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(k_1 = 2.5\) (hypothèse simplificatrice)
  • \(\alpha_b = 0.8\) (hypothèse simplificatrice)
  • Résistance ultime de l'acier des plats S275 (\(f_u\)) : \(410 \, \text{MPa} = 410 \, \text{N/mm}^2\)
  • Diamètre du boulon (\(d\)) : \(20 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur déterminante (\(t_{min}\)) : \(10 \, \text{mm}\)
  • \(\gamma_{M2} = 1.25\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_{b,Rd} &= \frac{2.5 \times 0.8 \times 410 \, \text{N/mm}^2 \times 20 \, \text{mm} \times 10 \, \text{mm}}{1.25} \\ &= \frac{2.0 \times 410 \times 200}{1.25} \, \text{N} \\ &= \frac{164000}{1.25} \, \text{N} \\ &= 131200 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kN :

\[ F_{b,Rd} = 131.2 \, \text{kN} \]
Résultat Question 3 : La résistance de calcul à la pression diamétrale par boulon est \(F_{b,Rd} = 131.2 \, \text{kN}\).

Question 4 : Résistance de Calcul d'un Boulon pour l'Assemblage (\(F_{1,Rd}\))

Principe :

La résistance effective d'un boulon dans un assemblage est limitée par le plus faible des modes de ruine possibles. Pour un assemblage à simple cisaillement sollicité en traction, les modes principaux à considérer pour le boulon lui-même et son interaction avec les plats sont le cisaillement du boulon et la pression diamétrale sur les plats. La résistance de calcul d'un boulon (\(F_{1,Rd}\) ou \(F_{bolt,Rd}\)) est donc la plus petite de ces deux valeurs.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_{1,Rd} = \min(F_{v,Rd}, F_{b,Rd})\]
Données spécifiques :
  • \(F_{v,Rd} = 94.08 \, \text{kN}\) (calculée à la question 1)
  • \(F_{b,Rd} = 131.2 \, \text{kN}\) (calculée à la question 3)
Calcul :
\[ F_{1,Rd} = \min(94.08 \, \text{kN}, 131.2 \, \text{kN}) = 94.08 \, \text{kN} \]

Dans ce cas, la résistance du boulon est limitée par sa résistance au cisaillement.

Résultat Question 4 : La résistance de calcul d'un boulon pour cet assemblage est \(F_{1,Rd} = 94.08 \, \text{kN}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Si \(F_{v,Rd} = 100 \, \text{kN}\) et \(F_{b,Rd} = 80 \, \text{kN}\), par quoi la résistance du boulon est-elle limitée ?

Question 5 : Résistance Totale de Calcul de l'Assemblage Boulonné (\(N_{joint,Rd}\))

Principe :

La résistance totale de l'assemblage boulonné est la somme des résistances de calcul de chaque boulon. Si tous les boulons sont identiques et travaillent de manière similaire (ce qui est une simplification pour une file unique), on multiplie la résistance d'un boulon par le nombre de boulons.

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{joint,Rd} = n_{bolts} \times F_{1,Rd}\]
Données spécifiques :
  • Nombre de boulons (\(n_{bolts}\)) : 3
  • Résistance d'un boulon (\(F_{1,Rd}\)) : \(94.08 \, \text{kN}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_{joint,Rd} &= 3 \times 94.08 \, \text{kN} \\ &= 282.24 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La résistance totale de calcul de l'assemblage boulonné est \(N_{joint,Rd} = 282.24 \, \text{kN}\).

Question 6 : Vérification de l'Assemblage

Principe :

L'assemblage est considéré comme adéquat si sa résistance totale de calcul (\(N_{joint,Rd}\)) est supérieure ou égale à l'effort de traction de calcul agissant (\(N_{Ed}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{Ed} \leq N_{joint,Rd}\]
Données spécifiques :
  • Effort de traction de calcul (\(N_{Ed}\)) : \(280 \, \text{kN}\)
  • Résistance totale de l'assemblage (\(N_{joint,Rd}\)) : \(282.24 \, \text{kN}\)
Comparaison :
\[280 \, \text{kN} \leq 282.24 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]

La condition est vérifiée, bien que de justesse. Le rapport d'utilisation est \(280 / 282.24 \approx 0.992\).

Résultat Question 6 : L'assemblage avec 3 boulons M20 de classe 8.8 est adéquat pour reprendre l'effort de traction de calcul de \(280 \, \text{kN}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Dans un assemblage à simple recouvrement, chaque boulon est soumis à combien de plans de cisaillement ?

2. La résistance à la pression diamétrale dépend principalement de :

3. Si la résistance au cisaillement d'un boulon est \(F_{v,Rd} = 50 \, \text{kN}\) et sa résistance à la pression diamétrale est \(F_{b,Rd} = 70 \, \text{kN}\), la résistance de calcul du boulon dans l'assemblage est :

Glossaire

Assemblage Boulonné
Connexion entre deux ou plusieurs pièces réalisée à l'aide de boulons (tige filetée + écrou) ou de vis.
Simple Recouvrement
Type d'assemblage où les pièces à joindre sont superposées et connectées par un ou plusieurs organes d'assemblage. Les boulons sont alors en simple cisaillement.
Simple Cisaillement
Situation où un organe d'assemblage (comme un boulon) est sollicité par des forces tendant à le couper selon un seul plan transversal.
Effort de Calcul (\(N_{Ed}\))
Force (traction, compression, cisaillement) agissant sur un élément ou un assemblage, calculée à l'État Limite Ultime (ELU) en tenant compte des coefficients de pondération des charges.
Résistance de Calcul au Cisaillement d'un Boulon (\(F_{v,Rd}\))
Capacité maximale d'un boulon à résister à un effort de cisaillement par plan de cisaillement, à l'ELU.
Résistance de Calcul à la Pression Diamétrale (\(F_{b,Rd}\))
Capacité d'une pièce assemblée à résister à l'écrasement localisé dû à la pression exercée par le corps d'un boulon, à l'ELU.
État Limite Ultime (ELU)
État limite correspondant à la capacité portante maximale de la structure ou d'un de ses éléments avant rupture ou perte de stabilité.
Limite d'Élasticité (\(f_y\))
Contrainte à partir de laquelle un matériau commence à se déformer plastiquement de manière significative.
Résistance à la Rupture (\(f_u\))
Contrainte maximale qu'un matériau peut supporter avant de rompre en traction.
Coefficient Partiel de Sécurité (\(\gamma_{M2}\))
Coefficient appliqué à la résistance caractéristique des assemblages pour obtenir leur résistance de calcul (spécifique aux assemblages).
Calcul des Connexions Métalliques – Exercice d'Application

Techniques de Connexion des Éléments Métalliques

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